有限体积交替方向隐式方法

Moreoverfi，j±0.5（P，τ）=fa，i，j±0.5（P，τ）+fd，i，j±0.5（P，τ），其中fa，i，j-0.5（P，τ）=u2，i，j-0.5Pi，j-1（τ）+π，j（τ）≈ u2，i，j-0.5p（xi，yj-0.5，τ），和FD，i，j-0.5（P，τ）=σ2，i，j-1Pi，j-1（τ）-σ2，i，jPi，j（τ）yj公司≈ -yσ（xi，y，τ）p（xi，y，τ）|y=yj-0.5，对于1≤ 我≤ m、 2≤ j≤ 最后，对于混合空间导数，我们定义为-0.5，j-0.5（P，τ）=ρσ1，i-0.5，j-0.5σ2，i-0.5，j-0.5Pi-1，j-1（τ）+π-1，j（τ）+π，j-1（τ）+π，j（τ）≈ ρσ（xi-0.5，yj-0.5，τ）σ（xi）-0.5，yj-0.5，τ）p（xi）-0.5，yj-0.5，τ），（2.23）对于1≤ 我≤ m+1，1≤ j≤ m+1，其中假设P0，j（τ）：=P1，j（τ），Pm+1，j（τ）：=Pm，j（τ），Pi，0（τ）：=Pi，1（τ），Pi，m+1（τ）：=Pi，m（τ），（2.24），使得一般公式在空间域的边界处自然扩展。数值flux项（2.23）可以看作是先在x方向，然后在y方向对前倾部分进行离散化的结果。半离散化通过定义边界条件和截断域边界处的离散化来完成。因为p又是一个密度函数，所以z∞-∞Z∞-∞τpdxdy=0。插入PDE（2.1）的右侧，可以将其重写为0=Z∞-∞Z∞-∞h类x个σp-x（up）idxdy+Z∞-∞Z∞-∞h类yσp-y（up）idydx+Z∞-∞Z∞-∞x个y（ρσσp）dxdy。与一维情况类似，假设边界的选择充分远离点值（X，Y），或者通过空间域的自然截断来定义边界。然后，上述条件近似为0=Zymaxyminx个σp- upx=xmaxx=xmindy+Zxmaxxminhyσp- upiy=ymaxy=ymindx+zymaxyminzxmaxminx个y（ρσσp）dxdy。（2.25）注意，通过假设ρσσp | x=xmin，y=ymin=ρσσp | x=xmin，y=ymax=ρσσp | x=xmax，y=ymin=ρσp | x=xmax，y=ymax=0，（2.26）与混合导数项相对应的最后一个积分始终等于零。接下来，我们概括了边界上没有fluxes的想法，即。

在边界上没有任何物质进入或流出。有鉴于此，假设应满足以下边界条件：x个σp- （up）x=xmin=0，表示ymin≤ y≤ ymax，x个σp- （up）x=xmax=0，对于ymin≤ y≤ ymax，hyσp- （up）iy=ymin=0，对于xmin≤ x个≤ X最大，hyσp- （up）iy=ymax=0，对于xmin≤ x个≤ X最大值。通过将该边界条件与假设（2.26）相结合，可以得出满足条件（2.25）。对于截断域边界处（2.21a）和（2.21b）中一维流体的离散化，推广了一维情况下的方法。通过对边界条件进行类似的离散化，最终得到的数值flux在边界处为零，即f0.5，j（P，τ）=fm+0.5，j（P，τ）=fi，0.5（P，τ）=fi，m+0.5（P，τ）=0，对于1≤ 我≤ m、 1个≤ j≤ m、 混合导数项产生的流量，见（2.21c），在边界处使用（2.23）和（2.24）进行离散。很容易验证，如果0=ρσ1,1,1σ2,1,1P1,1（τ）=ρσ1,1，mσ2,1，mP1，m（τ）=ρσ1，m，1σ2，m，1Pm，1（τ）=ρσ1，m，mσ2，m，mPm，m（τ），这是（2.26）的半离散版本，那么空间域边界上的总数值通量等于零，总数值质量在时间上保持不变，即mXi=1mXj=1Pi，j（τ）|Ohmi、 j |=常数，对于τ≥ 如上所述，一些过程是自然有界的，例如，第1节中的一般方差过程永远不会变为负。例如，假设与PDE（2.1）中的y变量相对应的过程从下面开始有界。那么，yminis自然等于这个下边界。此外，该下边界是可以达到的（参见第1节中α<1/2的方差过程），概率质量可以叠加在该边界上。这可能会导致该边界附近混合导数项近似的不稳定性。

为了解决这一问题，例如，如果可以获得边界ymin，则y方向的中心FV方案用于ymin处的“混合导数fluxes”（2.21c+yare被First orderforward方案取代。更准确地说，上面的fm，i±0.5,1.5（P，τ）被fm，i代替-0.5,1.5（P，τ）=ρσ1，i-0.5,1.5σ2，i-0.5,1.5Pi-1,2（τ）+π，2（τ），对于1≤ 我≤ m+1，其中P0,2（τ）：=P1,2（τ），Pm+1,2（τ）：=Pm，2（τ）。总体空间离散化（2.22）产生了一个大型微分方程组。通过使用Kronecker积，该微分方程组可以写成一个方程组，其中，对于τ>0且给定矩阵a（τ），desp（τ）=a（τ）P（τ），（2.27）。与一维情况类似，由于值spi，j（τ）可以被视为单元平均值p（xi，yj，τ）的近似值，因此很自然地将初始向量定义为p（0）=vec[p（0）]，其中pi，j（0）=|Ohmi、 j | if（X，V）∈ Ohmi、 j，其他0。请注意，矩阵A可以拆分为asA=A+A+A，其中A分别表示第一、第二个空间维度中空间导数的离散化。矩阵表示（2.1）中混合空间导数项的离散化。可以很容易地验证，Ais三对角、Ais基本三对角和AHA通常是每行和每列九个非零元素。在第3节中，该结构用于对一般常微分方程系统进行有效的时间离散化（2.27）。s10 100 200 300 400 500S201002000300400500图6:Black–Scholes示例中（S1,0，S2,0）周围非均匀网格的图示和实际值S1,0=S2,0=100，m=m=50.2.5数值试验在本节中，2D FV离散化的性能针对两个实际示例进行了测试。

在第一个实验中，我们考虑了可以用SDEs系统描述的二维Black-Scholes模型dS1，τ=rS1，τdτ+σ1，BSS1，τdW（1）τ，dS2，τ=rS2，τdτ+σ2，BSS2，τdW（2）τ，dW（1）τ·dW（2）τ=ρdτ，-1.≤ ρ≤ 1和r，σ1，BS，σ2，BS严格正常数。相应的正向Kolmogorov方程如下所示：τp=sσ1，BSsp+ss（ρσ1，BSσ2，BSssp）+sσ2，BSsp-s（rsp）-s（rsp），对于s，s，τ>0且p（s，s，0）=δ（s- S1,0）δ（s- S2,0），对于给定值S1,0，S2,0。精确解在解析上是已知的，可以写成asp（s，s，τ）=n（log（s/S1,0），log（s/S2,0），τ）ss，对于s>0，s>0，τ>0，此时n（x，y，τ）是二维正态分布随机变量的密度函数，其均值μ和协方差矩阵∑由μ给出=（r）-σ1，BS）τ（r-σ2，BS）τ, ∑=σ1，BSτρσ1，BSσ2，BSτρσ1，BSσ2，BSτσ2，BSτ.与第2.3小节中一维数值实验中的域截断类似，空间域被截断为[S1，min，S1，max]×[S2，min，S2，max]=[0，30S1,0]×[0，30S2,0]。笛卡尔空间网格（s1，i，s2，j），用于1≤ 我≤ m、 1个≤ j≤ m、 通过在两个空间维度上考虑第2.3小节中的空间网格来构建。图6中，对于S1,0=S1,0=100和m=m=50，该空间网格在区域[0，5S1,0]×[0，5S2,0]内显示。第2.4小节的FV离散化定义了FV模式的近似值1/m110-310-210-1总体混合空间误差10-710-610-510-4图7：2D Black-Scholes模型内的收敛结果。

参数值为r=0.03，σ1，BS=0.2，σ2，BS=0.25，ρ=-0.7，T=1。Pi，j（τ）到p（s1，i，s2，j，τ），我们计算总混合空间误差max1≤我≤m、 1个≤j≤m级i、 j（m），其中i、 j（米）=p（s1，i，s2，j，T）-Pi，j（T）p（s1，i，s2，j，T）如果p（s1，i，s2，j，T）>1，| p（s1，i，s2，j，T）- Pi，j（T）| else。通过应用Hundsdorfer–Verwer时间步进法（见第3节）和大量时间步进计算值Pi，j（T），从而使时间离散化误差可以忽略不计。图7显示了实际参数值Sr=0.03，σ1，BS=0.2，σ2，BS=0.25，ρ=-0.7，T=1，对于空间网格点的数量SM=m={50，100，…，500}。收敛图表明，对于当前的初边值问题，FV离散化是二阶收敛的。对于第二个例子，我们考虑了流行的赫斯顿模型[13]，即带有ψ（v）的SV模型（1.3）=√v和α=1/2。基本密度函数满足正向Kolmogorovequationτp=x个副总裁+x个v（ρξvp）+vξvp-x个（rd- 射频-v） p-v（κ（η- v） p），（2.28）表示x∈ R、 v>0，τ>0，初始条件p（x，v，0）=δ（x）δ（v- 五） 其中X=0，Vis给定。据我们所知，文献中没有密度函数p满足（2.28）的分析解。为了测试FV离散化的性能，我们使用[7]中描述的另一种离散化方法计算参考解。后一种方法基于重写p（x，v，τ）=p（x，τ| VSV，τ=v）p（v，τ），（2.29），其中p（v，τ）表示波动过程的一维密度，p（x，τ| VSV，τ=v）表示给定方差值VSV，τ=v的xτ的条件密度。

在[7]中，与p（x，τ| VSV，τ=v）对应的特征函数ψ（ω| VSV，τ=v）=E[exp（iωXSV，τ）| VSV，τ=v]以半解析形式给出，并指出p（v，τ）由（2.18）给出。通过使用COS方法[6]，我们近似条件密度函数p（x，τ| VSV，τ=v）和参考溶液前缀，然后通过（2.29）定义。x-2-1 0 1 2v00.050.10.150.2图8：赫斯顿示例中（x，V）周围非均匀网格的图示，以及实际值x=0，V=0.0625，m=2m=50。在数值实验中，我们选择将x方向的域截断为[x-对数（30），X+对数（30）]。与CIR示例类似，v方向的空域被截断为[0，15]。我们考虑空间网格-log（30）=x<x<···<xm=log（30），0=v<v<···<vm=15，m=2m，这与[10]中描述的相似，因此存在（xi，vj）=（x，v）的指示i，jsuch。在图8中，显示了X=0、V=0.0625和样本值m=2m=50的空间网格。然后应用FV离散化得到p（xi，vj，τ）的近似值Pi，j（τ）。根据方程式（2.29）和CIR示例，如果q=2κηξ-1<0，则密度函数可能趋于一致，因为v趋于零，并且在v=0时，没有定义精确的密度。与第2.3小节中的注释类似，可以很容易地看出，对p（xi，v，T）和Pi，2（T）之间的差异进行充分比较，然后很难增加m的值。因此，在类似的空间域上计算误差。如果v方向上的网格点总数为m=50，则让Vlow再次成为v方向上最小的非零网格点。

对于给定的m，让jbe为最小索引，使得vj≥ Vlow并用max1定义总混合空间误差≤我≤m、 j≤j≤m级i、 j（m），其中i、 j（米）=pref（xi、vj、T）-Pi，j（T）pref（xi，vj，T）如果pref（xi，vj，T）>1，| pref（xi，vj，T）- Pi，j（T）| else。通过应用Hundsdorfer–Verwer时间步长法（见第3节），以较小的时间步长再次近似值Pi、j（T），从而使时间离散化误差可以忽略不计。对于实际的数值实验，我们考虑第2.3小节中使用的两组参数的扩展。扩展也取自[7]，在[26]中使用，并由κηξρrdrfXVTSet C 5 0.16 0.9 0.1 0.1 0 0 0 0 0 0.0625 0.25集D 1.15 0.0348 0.39-0.64 0.04 0 0 0 0.0348 0.251/m1=1/（2m2）10-310-210-1总混合空间错误10-310-210-1100 FV模式的收敛210xNumerical density-1-200.10.2v0.30.4051015200.5NFigure 9：HEST内的收敛结果在模型上。参数由集合C.1/m1=1/（2m2）10-310-210-1 FV模式的总体混合空间误差10-210-1100101收敛0.50xNumerical density-0.500.10.2v0.30.420025010015000.5nfigure 10：Heston模型内的收敛结果给出。参数由集合D给出。回想一下，对于集合C，q=0.98，对于集合D，q=-0.47。在图9和图10的左图中，分别显示了SetC参数、集合D和空间网格点数量m=2m={50，100，…，500}的总混合空间误差。在右图中，显示了m=2m=200时的相应数值解。收敛图表明，对于当前的初边值问题，FV离散是收敛的。其他实验再次表明，如果满足Feller条件，FV离散化是二阶收敛的。如果q<0，收敛阶可以降到一阶。

请注意，对于不同的VLOW值，只要通过实验中考虑的最粗网格之一进行定义，数值实验的结论基本上不会改变。二维测试还证实，即使严重违反Feller条件，总数值质量确实始终保持为1。3 ADI方法的时间离散通常情况下，用FV方法对含时对流扩散方程的初边值问题进行空间离散会导致W（τ）=F（τ，W（τ））（0≤ τ≤ T），W（0）=W，给定向量值函数F：[0，T]×Rm→ Rmand给定向量W∈ rm其中m是卷数。当函数F源于多维偏微分方程的半离散化时，经典的隐式时间步进格式，如Crank-Nicolson格式，往往非常耗时。对于此类半离散系统的有效时间离散化，广泛考虑了交替方向隐式（ADI）类型的算子分裂格式。在过去几十年中，针对对流扩散方程中存在混合空间导数的情况，研究了几种ADI格式。特别是在金融数学领域，混合导数项无处不在。它们产生于潜在随机过程之间的相关性，参见一般SLV模型（1.1）。在本文中，我们考虑了最先进的Hundsdorfer–Verwer（HV）方案[19，31]，该方案属于ADI类型。

假设半离散算子F源于二维对流扩散方程的半离散化，并且假设F可以分解为F（τ，w）=F（τ，w）+F（τ，w）+F（τ，w）+F（τ，w）（0≤ τ≤ T、 w∈ Rm），其中Fre表示混合空间导数项，F分别表示第一个和第二个空间方向上的所有空间导数项。设θ>0为给定参数，N≥ 1时间步数和τn=nτ带τ=T/N。然后，HV方案将近似值Wnto W（τN）依次定义为N=1、2、3、，N到Y=Wn-1+τF（τn-1，Wn-1） ，Yl=Yl-1+θτ（Fl（τn，Yl）- Fl（τn-1，Wn-1） ），l=1，2，eY=Y+τ（F（τn，Y）- F（τn-1，Wn-1） ），eYl=eYl-1+θτ（Fl（τn，eYl）- Fl（τn，Y）），l=1，2，Wn=eY。（3.1）HV方案（3.1）从一个显式Euler预测器阶段开始，然后是两个隐式但单向的校正阶段。然后执行第二个显式阶段，然后再执行两个隐式单向校正器阶段。包含混合空间导数项的算子F总是以显式方式处理。隐式阶段仅处理一个空间维度中的空间导数。与经典的非分裂隐式时间步进方法相比，这可以带来一个主要的计算优势。最近，与具有混合导数项的多维对流扩散方程相关，已推导出HV格式的各种正稳定性结果，如[15、16、17]。随后，证明了[18]，在一些自然稳定性和光滑性假设下，HV格式无论何时应用于具有混合导数项的半离散二维对流扩散方程，都是关于时间步长的二阶收敛的。

[18]中的时间收敛结果的关键性质是它在空间网格宽度上保持一致。在本文中，向量P（0）源自一个非光滑的初始函数。众所周知，时间离散化方法的收敛性会受到严重影响，参见[22，32]。与非光滑数据相关的HV格式的收敛性分析在文献中仍然是开放的。为了防止数值解出现不良行为，将采用朗纳赫时步进法，即HV格式的前几个时间步被隐式Euler格式的两倍半时间步取代【23】。我们选择在这里用隐式Euler格式的四个半时间步替换前两个HV时间步。这一选择基于[32]中对Craig–Sneyd格式的修改结果，该格式形成了另一种适用于含混合导数项的多维对流扩散方程的流行ADI格式。请注意，如果使用精确解算器，将Rannacher时间步进应用于源自多维对流微分方程的常微分方程系统可能会非常耗时。为了限制这一缺点，使用合适的多重网格解算器执行隐式Euler时间步[12]。4 SLV模型到LV模型的校准如第1节所述，本文的目标是将最先进的SLV模型校准到其基础LV模型，以便重现欧洲看涨期权和看跌期权的已知价格。这是通过定义杠杆函数σSLVsuch来实现的，该函数满足关系（1.5）。通过组合方程（1.5）、（1.6）和（1.7），很容易看出需要解决高度非线性的PDE。