有限体积交替方向隐式方法

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英文标题：
《A Finite Volume - Alternating Direction Implicit Approach for the
  Calibration of Stochastic Local Volatility Models》
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作者：
Maarten Wyns and Jacques Du Toit
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Calibration of stochastic local volatility (SLV) models to their underlying local volatility model is often performed by numerically solving a two-dimensional non-linear forward Kolmogorov equation. We propose a novel finite volume (FV) discretization in the numerical solution of general 1D and 2D forward Kolmogorov equations. The FV method does not require a transformation of the PDE. This constitutes a main advantage in the calibration of SLV models as the pertinent PDE coefficients are often nonsmooth. Moreover, the FV discretization has the crucial property that the total numerical mass is conserved. Applying the FV discretization in the calibration of SLV models yields a non-linear system of ODEs. Numerical time stepping is performed by the Hundsdorfer-Verwer ADI scheme to increase the computational efficiency. The non-linearity in the system of ODEs is handled by introducing an inner iteration. Ample numerical experiments are presented that illustrate the effectiveness of the calibration procedure.
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中文摘要：
随机局部波动率（SLV）模型与其基础局部波动率模型的校准通常通过数值求解二维非线性前向Kolmogorov方程来完成。我们提出了一种新的有限体积（FV）离散方法，用于一般一维和二维正演Kolmogorov方程的数值解。FV方法不需要转换PDE。这构成了SLV模型校准的主要优势，因为相关PDE系数通常是非光滑的。此外，FV离散化的关键特性是数值总质量守恒。将FV离散化应用于SLV模型的标定，得到一个非线性常微分方程组。为了提高计算效率，采用Hundsdorfer-Verwer-ADI格式进行了数值时间步进。常微分方程系统中的非线性通过引入内部迭代来处理。文中给出了大量的数值实验，验证了标定方法的有效性。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> A_Finite_Volume_-_Alternating_Direction_Implicit_Approach_for_the_Calibration_of.pdf (1.55 MB)

2022-5-26 23:22:23 上传

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关键词：coefficients Applications Quantitative calibration Computation

随机局部波动模型校正的有限体积交替方向隐式方法* 1和Jacques Du ToitDepartment of Mathematics and Computer Science，University of Antwerp，Middelheimlaan 1，B-2020 Antwerp，Belgium。电子邮件：maarten。wyns@uantwerpen.be；英国曼彻斯特牛津街Peter House数字算法集团，M1 5AN。电子邮件：jacques@nag.co.uk.August7，2018AbstractCalibration随机局部波动率（SLV）模型到其基础局部波动率模型通常通过数值求解二维非线性前向Kolmogorovequation来执行。我们提出了一种新的有限体积（FV）离散方法，用于一般一维和二维正演Kolmogorov方程的数值解。FV方法不需要转换PDE。这构成了SLV模型校准的主要优势，因为相关PDE系数通常是非光滑的。此外，FV离散化的关键特性是数值总质量守恒。将FV离散化应用于SLV模型的标定，得到一个非线性常微分方程组。数值时间步进由Hundsdorfer–Verwer ADI格式执行，以提高计算效率。常微分方程系统中的非线性通过引入内部迭代来处理。给出了大量的数值实验，说明了校准程序的有效性。关键词：随机局部波动；正演Kolmogorov方程；有限体积离散化；ADImethods；标定2010年AMS主题分类：35K5597m30.1简介在当代金融数学中，随机局部波动率（SLV）模型构成了最先进的模型，用于描述资产价格过程，尤其是外汇（FX）汇率，参见示例【21，28】。

设Sτ表示时间τ的汇率≥ 0，并给定点值Sbe。对于汇率建模，我们考虑转换Xτ=log（Sτ/S），因为转换变量Xτ更好地反映了汇率Sτ和1/Sτ之间的二元性，其中后一个是本币和外币角色互换时的汇率。在本文中，我们考虑这种类型的SLV模型dXτ=（rd- 射频-σSLV（Xτ，τ）ψ（Vτ））dτ+σSLV（Xτ，τ）ψ（Vτ）dW（1）τ，dVτ=κ（η- Vτ）dτ+ξVατdW（2）τ，（1.1）*通讯作者。ψ是R+上的非负函数，ψ（0）=0，α，κ，η，ξ严格正参数，dW（1）τ·dW（2）τ=ρdτ，-1.≤ ρ≤ 1和给定的即期值X=0，V。非负函数σSLV（X，τ）称为杠杆函数，常数rd，rf，分别表示本币和外币的无风险利率。很容易看出，过程Vτ总是非负的。文献[1]表明，当0<α<1/2时，可获得边界Vτ=0，当2κη<ξ时，可获得边界Vτ=0。对于α>1/2，它认为Vτ=0是一个不可达到的边界。此外，Vτ=∞ 是所有α>0的值都无法达到的边界。选择ψ（v）=√v、 α=1/2对应于基于赫斯顿的SLV模型，选择ψ（v）=v，α=1对应于[28]中描述的SLV模型。SLV模型是局部波动率（LV）模型和随机波动率（SV）模型的自然组合，[21，28]。前一类模型可用随机微分方程（SDE）dXLV描述，τ=（rd- 射频-σLV（XLV，τ，τ））dτ+σLV（XLV，τ，τ）dWτ。（1.2）函数σLV（x，τ）称为局部波动率函数，可通过Dupireformula【4】确定，以便LV模型再现欧洲看跌期权的已知市场价格。

由于LV模型完全由欧洲看涨期权和看跌期权的市场价格决定，因此它在匹配市场动态方面没有灵活性。与（1.1）相对应的基本pureSV模型由SDEs系统给出dXSV，τ=（rd- 射频-ψ（VSV，τ））dτ+ψ（VSV，τ）dW（1）τ，dVSV，τ=κ（η- VSV，τ）dτ+ξVαSV，τdW（2）τ，（1.3），其中函数ψ和参数需要满足上述相同的限制条件。SV模型通常非常适合反映远期波动率，但它们通常无法准确捕捉波动率微笑，参见示例【30】。通过将LV模型的特征与SV模型的特征相结合，SLV模型能够匹配市场动态并再现欧洲看涨期权和看跌期权的市场价格。如果杠杆函数等于1，则SLV模型将简化为SV模型（1.3）。如果参数ξ等于零，则SLV模型简化为纯LV模型。在金融实践中，参见[2，28]，首先确定SV参数κ、η、ξ、ρ，从而使基础SV模型与当前市场动态相匹配。然后，对杠杆函数σSLV（x，τ）进行校准，以使SLV模型和基础LV模型确定非路径依赖欧洲期权的相同公允价值。然后，由于LV模型被精确校准为普通期权的已知市场价格，因此SLV模型也复制了欧洲看涨期权和看跌期权的已知市场价格。设p（x，v，τ；x，v）表示SLV模型（1.1）下（xτ，vτ）的节理密度，设pLV（x，τ；x）表示（1.2）下XLV，τ的密度。众所周知，参见[9，27]，SLV模型（1.1）和LV模型（1.2）都定义了Sτ的相同边缘分布，即pLV（x，τ；x）=Z∞p（x，v，τ；x，v）dv，（1.4）对于τ>0，如果σLV（x，τ）=E[σSLV（xτ，τ）ψ（vτ）| xτ=x]=σSLV（x，τ）E[ψ（vτ）| xτ=x]。

（1.5）如果可以确定上述条件预期，并且如果杠杆函数由（1.5）定义，则两个模型对非路径依赖型欧洲期权产生相同的公允价值，因此SLV模型被精确校准为普通期权的市场价格。然而，这非常重要，因为条件期望本身取决于杠杆函数。在过去的几年中，为了近似（1.5）中的条件期望和近似适当的杠杆函数，已经提出了各种数值技术，例如[2，5，11，24，30]。[11，30]中的作者使用了蒙特卡罗技术，而[2，5，24]中使用了偏微分方程（PDE）方法。本文考虑PDE方法。对于有效校准，条件检验通常重写为，cf[2，5，24]，e[ψ（Vτ）| Xτ=X]=R∞ψ（v）p（x，v，τ；x，v）dvR∞p（x，v，τ；x，v）dv。（1.6）可以看出，如[25]，节理密度函数满足前向Kolmogorovequationτp=x个σSLVψ（v）p+x个v（ρξσSLVψ（v）vαp）+vξv2αp-x个（rd- 射频-σSLVψ（v））p-v（κ（η- v） p），（1.7）表示x∈ R、 v>0，τ>0，初始条件p（x，v，0；x，v）=δ（x）δ（v- 五） 其中δ表示狄拉克δ函数。一旦已知节理密度p，就可以通过计算（1.6）中的积分轻松确定平均函数，并且SLV模型将精确校准为LV模型。通过组合（1.5）、（1.6）和（1.7），可以很容易地看出，为了执行校准，必须求解高度非线性PDE。在金融数学中，类型（1.7）的对流扩散方程通常通过有限差分方法进行离散，参见示例[2，24]。然而，如果参数α小于或等于1/2，则认为Vτ=0是可以实现的，并且在V=0时确定适当的边界条件是一项非常重要的任务。

此外，有限差分方法通常不是质量守恒方法，其中质量守恒是正向Kolmogorov方程的一个关键特性。[5]中提出的有限体积法解决了上述问题。然而，后一种方法利用了原始PDE（1.7）的变换，其中包含杠杆函数的导数。由于杠杆函数通常是非光滑的，并且只在有限的点上已知，这可能会导致不良（不稳定）行为。在本文中，我们将介绍一种有限体积交替方向隐式离散方法，用于（1.7）类型的一般、非转换的前向Kolmogorov方程的数值解。离散化使用线的一般方法（MOL），参见【20】。PDEI首先在空间变量中离散，产生了大型的标准差分方程（ODE）系统。这些所谓的半离散系统随后通过应用合适的隐式时间步进法进行求解。空间离散采用有限体积法，以保持总数值质量等于1，并以自然方式处理边界条件。由于PDE（1.7）是多维的，时间离散化由交替方向隐式（ADI）格式执行，更准确地说是Hundsdorfer–Verwer（HV）格式。与标准（非分裂）隐式时间步进方法相比，这可以产生很大的计算优势。最后，为了将SLV模型校准为LV模型，引入了一个内迭代，以处理从（1.6）插入（1.7）的非线性。本文其余部分概述如下。第2节介绍了有限体积离散化，用于一般1D和2D正演Kolmogorov方程的空间离散化。

有限体积离散化的性能通过大量的数值实验得到证明。空间离散化产生了一个大型常微分方程组。在第3节中，采用了ADI时间离散格式，以提高该ODE系统数值解的计算效率。在第4节中，有限体积离散化用于SLV模型的校准，从而产生一个大型非线性常微分方程系统。ADI格式用于该常微分方程组的数值解，并描述了处理非线性的迭代过程。第5节介绍了数值实验，以说明所获得校准程序的性能，最后第6节得出结论。2正向Kolmogorov方程的空间离散在一般MOL方法中，PDE首先通过有限差分（FD）或有限体积（FV）方法在空间变量中进行离散。在这一节中，对一个一般的二维前向Kolmogorov方程进行了空间离散化τp+x（up）+y（up）=x个σp+x个y（ρσσp）+yσp, （2.1）x，y∈ R、 τ>0，其中σ、σ、u、u是x、y、τ的实系数函数。此外，函数σ，σ必须是非负的，并且假设存在值sx，Ysuch，初始函数由p（x，y，0）=δ（x）给出-十） δ（y- Y） 。由于系数的形式，空间域可能受到自然限制。例如，如果u（x，y，τ）=κ（η- y） σ（x，y，τ）=ξyα，具有κ，η，ξ，α严格正常数，那么y方向上的域自然限制为y≥ 0，参见PDE（1.7）。由于正向Kolmogorov方程的解代表了一个潜在随机过程的密度，质量守恒是一个基本性质，使用FV模式是合适的。

虽然金融衍生工具方法在金融领域广为人知，但金融衍生工具方法在金融领域的应用并不常见，我们很快就能回忆起其基本思想。2.1有限体积离散化简介有限体积法最初用于求解守恒定律，或更一般地用于求解保守形式的偏微分方程。例如，考虑一维保守PDEτp+x（a（p，x，τ）p）=x个b（p，x，τ）xp系统, （2.2）对于x∈ Ohm, τ>0，其中Ohm 是R中的一个区间。方程（2.2）的两侧可以在一个区间（更一般地说，是一个单元格）上积分为xO，以便得到τZxuxlpdx=f（p，xl，τ）- f（p，xu，τ），（2.3），其中f（p，x，τ）是由f（p，x，τ）=a（p，x，τ）p给出的函数- b（p，x，τ）xp。函数f通常称为p的flux，f（p，x，τ）| x=xl，f（p，x，τ）| x=xu表示单元格左右边界的flux【xl，xu】。关系式（2.3）表明，p的总积分（通常表示质量、动量或一些类似的量）会随着单元上的流量差异而变化。如果在有界域[xmin，xmax]上考虑方程（2.2），并且我们假设所有τ的f（p，xmin，τ）=f（p，xmax，τ），即左边界处的flux与右边界处的flux精确匹配，则pover[xmin，xmax]的空间积分在时间上是常数。这意味着总质量或动量守恒。如果空间域Ohm 如果区间[xmin，xmax]足够宽，那么通常会有f（p，xmin，τ）≈ f（p，xmax，τ）≈ 0表示所有τ>0。为了构造数值FV格式，我们从空间域的离散化开始。如果空间域是无界的，则需要将其截断为一个宽的、有限的区间[xmin，xmax]。然后，考虑感兴趣域的离散化xmin=x<x<···<xm=xmax，并表示xi=xi- xi-1，用于2≤ 我≤ m、 以及x=xm+1=0。

确定中点xi-0.5=xi-xi=xi-1+XI代表2≤ 我≤ m、 然后让Ohmi=【xi】-0.5，xi+0.5]be单元格，对于i=1，2，m其中，我们定义x0.5：=X和xm+0.5：=xm。这将生成一个以顶点为中心的网格，其中包含单元顶点xi-0.5。我们现在可以考虑由pi（τ）=xi+0.5定义的细胞平均pi（τ）- xi-0.5ZOhmip（x，τ）dx，这通常是FV方案近似的数量。如果我们假设网格是光滑的xi+1-xi=O(x） 在哪里x表示最大网格宽度，则单元平均pi（τ）是p（xi，τ）的二阶近似值。区分τ中的pi（τ）并使用（2.3）给出spi（τ）=f（p，xi-0.5，τ）- f（p，xi+0.5，τ）xi+0.5- xi-0.5（2.4），这只是说明守恒性质的另一种方式，因为如果我们对所有单元格求和并及时提取导数，我们会发现τmXi=1pi（τ）（xi+0.5- xi-0.5）=0，前提是f（p，xmin，τ）=f（p，xmax，τ）。方程（2.4）通常作为数值离散化的起点。用pi（τ）表示≈ pi（τ），对于1≤ 我≤ m、 单元格的数值近似值取平均值，并设P为包含这些近似值的向量。然后用pi（τ）=fi定义数值离散化-0.5（P，τ）-fi+0.5（P，τ）xi+0.5- xi-0.5=[fi-0.5（P，τ）-fi+0.5（P，τ）]xi+xi+1，（2.5），其中fi±0.5是近似于精确fluxes f（p，xi±0.5，τ）的数值fluxes。通过对类型（2.5）进行离散化，很容易得出总数值积分（质量）mXi=1Pi（τ）（xi+0.5- xi-如果f0.5（P，τ）=fm+0.5（P，τ），则0.5（2.6）在时间上保持不变。很明显，（2.4）中的确切fluxes涉及细胞边界xi±0.5处的未知函数p。因此，我们用fi±0.5（P，τ）=a（Pi±0.5，xi±0.5，τ）Pi±0.5定义数值流量- b（Pi±0.5，xi±0.5，τ）Px，i±0.5，（2.7），其中Pi±0.5（τ）近似于精确值p（xi±0.5，τ），Px，i±0.5（τ）近似于xp（x，τ）| x=xi±0.5。

由于单元平均值是p的二阶近似值，因此可以使用近似值pica确定Pi±0.5和Px，i±0.5。从周围管道在单元边界处计算后特值的方式在很大程度上决定了数值格式的特征。最后，在（2.5）中插入（2.7）得到一个（可能是非线性的）常微分方程系统，该系统通过适当的时间积分程序进行求解。回想一下，质量守恒是前向Kolmogorov方程的一个基本性质，使用FV格式是合适的。然而，类型（2.1）的正向Kolmogorov方程不是保守形式，因此不可能直接应用标准FV模式。此外，以保守形式重写PDE（2.1）将涉及系数函数的导数，这在一般实际应用中是未知的。在本节剩余部分中，引入了基于FV的非变换PDE（2.1）中空间导数的离散化，以确保总质量守恒。我们首先解释了一般一维正向Kolmogorov方程的解，然后将其推广到二维情形。2.2一维前向Kolmogorov方程标准的一维前向Kolmogorov方程也不是以保守形式编写的，其解代表潜在随机过程的密度函数。本小节介绍了基于FV的一般一维方程离散化τp+x（up）=x个σp, （2.8）对于x∈ R、 τ>0，其中σ，u是x和τ的实函数，σ非负且初始函数由p（x，0）=δ（x）给出- 十） 对于某些实际X，通常在有限网格上应用FD或FV方法进行空间离散。