具有瞬时价格冲击和随机性的最优交易执行

通过稍微滥用符号，我们在此证明中通过线性二次ansatz（2.3）定义了随机场Vt（x，y）和Zt（x，y），并验证这给出了控制问题的值函数。目前我们只知道（V，Z）是HJB方程（2.2）的一个经典解。让我们确定初始状态（t，x，y）∈ [0，T）×R×R与容许控制ξ∈ A（t，x）。对于n∈ Nwe定义停止时间τn：=inf{t≤ s≤ T：| Xs |∨ |Ys |≥ n} 。因为（V，Z）解HJB方程，所以所有t的it^o-Kunita公式【18，定理I.8.1】都成立≤ s<T，Vt（x，y）=Vs∧τn（Xs∧τn，Ys∧τn）+Zs∧τnt{ξrxVr（Xr，Yr）- (-ρrYr+γξr）yVr（Xr，Yr）}dr+Zs∧τntifξ∈R{-ξxVr（Xr，Yr）- （ρtYr- γξ）yVr（Xr，Yr）+ηξ+ξy+λtx}dr-Zs公司∧τntZr（Xr，Yr）dWr。（5.5）上述随机积分在τnis为真鞅时停止。因此，Vt（x，y）≤ E[Vs∧τn（Xs∧τn，Ys∧τn）| Ft]+EZs公司∧τnt{ηξr+ξrYr+λrXr}dr英尺. （5.6）由于随机场Vr（x，y）的系数A、B、C基本上在[t，s]上有界，因此x，y∈ LF公司(Ohm; C（[t，t]；R）），因为ξ∈ LF（t，t；R）和λ∈ L∞F（0，T；R+），它遵循H¨older不等式thatAX，BXY，CY∈ LF公司(Ohm; C（[t，s]；R））和ξ，ξY，λX∈ LF（t，t；R）。因此，当n→ ∞ 在（5.6）中，产生Vt（x，y）≤ E【Vs（Xs，Ys）| Ft】+EZst{ηξr+ξrYr+λrXr}dr英尺. （5.7）因此，通过引理5.3和再次支配收敛定理→ T产量，Vt（x，y）≤ EZTt{ηξr+ξrYr+λrXr}dr英尺.

（5.8）最后注意，由于反馈控制ξ*达到（5.5）中的最大值，如果ξ=ξ，则在（5.6）–（5.8）中保持相等*.6结论在本文中，我们分析了一个新的随机最优控制问题，该问题出现在具有瞬时和持续价格影响和随机弹性的最优贸易执行模型中。假设瞬时影响因子为常数，但考虑到随机弹性和市场风险，我们根据第一个分量中具有奇异终端条件的三维随机Riccati方程的唯一解来描述价值函数。我们的解的存在性结果使用了在[11]中引入的渐近展开方法的扩展到多维环境。仍然存在一些悬而未决的问题。首先，我们不能保证交易利率的非负性。直观地说，如果y=0，价格触发的圆三位数不应该是有利的。不过，根据我们的分析，不能排除这种可能性。其次，η和γ为常数的假设对于建立a先验估计值很重要。如【8】所示，扩展到更一般的影响因子，尤其是随机影响因子γ，是非常可取的。第三，对确定性基准模型的数值分析表明，如果η→ 虽然在一般非马尔可夫框架中对该极限进行正式证明肯定是可取的，但这显然超出了本文的范围。Hu和Peng首先给出了一个附录A，在该附录中，多维BSDE的比较定理成立[14]。下面的等效准单调条件（iv）可在[24，定理3.1]中找到。

[14，24]中的比较结果是在我们的模型中不满意的驱动因素的附加连续性条件下进行的。然而，连续性条件只需要证明如果比较原理成立，那么系统必然是拟单调的。相反的含义不需要连续性。因此，他们的结果实际上适用于我们的框架。尽管如此，为了方便读者阅读，我们参考了Wu和Xiao[23]的多维反射BSDE的比较结果，该结果是在下面给出的较弱正则性假设（i）下明确表述的。命题A.1（【23，定理3.1】）。Let（一，子）∈ LF公司(Ohm; C（[0，T]；Rd））×LF（0，T；Rd×m），i=1，2，BSDE的be解-dYit=fi（t，Yit，Zit）dt- ZitdWt，0≤ t型≤ T、 使用驱动程序fi：Ohm ×[0，T]×Rd×Rd×m→ Rd，i=1，2，满足（i）fi（·，y，z）∈ 所有y的LF（0，T；Rd）∈ R和z∈ Rd×m，（ii）存在L>0，因此对于所有y，y∈ Rd和z，z∈ Rd×m，| fi（t，y，z）- fi（t，y，z）|≤ L（| y- y |+| z- z |），dP×dt-a.e.，另外假设，（iii）YT≤ YT，（iv）对于每k=1，d它适用于所有y，y∈ Rd和z，z∈ Rd×msuch，即yk=yk，zk=zk，yl≤ yl，l 6=k:fk（t，y，z）≤ fk（t，y，z），dP×dt-a.e.然后是Yt≤ Yt，t∈ [0，T]。下面我们陈述一个本地L∞-具有不依赖于Z的局部Lipschitz驱动的BSDE的存在性结果。该结果似乎是众所周知的；我们给出它是为了完整性。具体而言，我们考虑BSDEYt=ζ+ZTtf（s，Ys）ds-ZTtZsdWs，0≤ t型≤ T、 （A.1）其中，我们假设终值oζ∈ L∞FT（Rd）基本上是有界的，并且驱动程序f：Ohm ×【0，T】×Rd→ RDSatiesof（·，0）∈ L∞F（0，T；Rd），o对于每一个R>0，存在L>0，使得对于所有| y |，| y |≤ R、 | f（t，y）- f（t，y）|≤ L | y- y |。（A.2）引理A.2。

在上述假设下，存在δ>0，因此存在于[T- δ、 短期解决方案（Y，Z）∈ L∞F级(Ohm; C（[T- δ、 T]；Rd））×LF（T- δ、 T；Rd×m）至（A.1）。证据我们将表明，可以选择δ=1/（2L），其中L是关于R=2（kζkL）的Lipschitz常数givenin（A.2∞+ T kf（·，0）kL∞).H=L时∞F级(Ohm; C（[0，T]；Rd））我们定义了运算符Γ：H→ H乘以Γ（Y）t=Eζ+ZTtf（s，Ys）ds英尺.那么Γ是BH（R）上的收缩：对于所有Y，Y∈ BH（R）保持dP×dt-a.e.，|Γ（Y）t- Γ（Yt）|≤ EZTt | f（s，Ys）- f（s，Ys）| ds英尺≤ LE公司ZTt | Ys- Ys | ds英尺≤ L（T- t） 肯塔基州- YkL公司∞≤ LδkY- YkL公司∞=肯塔基州- YkL公司∞.此外，Γ将BH（R）映射到自身：对于所有Y∈ BH（R）保持dP×dt-a.e.，|Γ（Y）t |≤ |Γ（Y）t- Γ（0）t |+|Γ（0）t|≤ kΓ（Y）- Γ（0）kL∞+ kζkL∞+ （T- t） kf（·，0）kL∞≤吉隆坡肯塔基州∞+ kζkL∞+ T kf（·，0）kL∞≤ R、 因此，Γ在BH（R）中有一个独特的固定点。根据鞅表示定理，该不动点给出了所需的解。参考文献[1]R.Almgren和N.Chriss，《投资组合交易的最佳执行》，J.Risk，3（2001），第5-39页。[2] S.Ankirchner、M.Jeanblanc和T.Kruse，具有奇异终端条件的BSDE和具有约束的控制问题，SIAM J.control Optim。，52（2014），第893-913页。[3] S.Ankirchner和T.Kruse，《具有随机线性二次成本的最优位置定位》，巴纳赫中心出版社。，104（2015），第9-24页。[4] D.Bainov和P.Simeonov，《积分不等式和应用》，第57卷《数学及其应用：东欧系列》，Kluwer，1992年。[5] D.Becherer、T.Bilarev和P.Frentrup，《随机流动性下的最优清算》。arXiv:1603.064982017年4月。[6] D.Bertsimas和A.W.Lo，《执行成本的最优控制》，J.Financ。《市场》，1（1998），第1-50页。[7] A.Fruth、T.Schoneborn和M.Urusov，《具有时变流动性的订单中的最优交易执行和价格操纵》，数学。

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