具有瞬时价格冲击和随机性的最优交易执行

施加奇异终端条件（2.6）的BSDE系统（2.4）至少允许一个解（（A，B，C），（ZA，ZB，ZC））∈ L∞F级(Ohm; C（[0，T-]; R） ）×LF（0，T-; R3×m）。下一个定理验证了前面的启发式；其证明见第5节。特别是，它指出值函数的形式确实是（2.3）。因此，mostone的BSDE系统解决方案（2.4）满足（2.6）。定理2.6。Let（（A，B，C），（ZA，ZB，ZC））∈ L∞F级(Ohm; C（[0，T-]; R） ）×LF（0，T-; R3×m）是满足单一终端条件（2.6）的BSDE系统（2.4）的解决方案。然后，值函数为线性二次型（2.3），最优控制由反馈型（2.5）给出。特别是，该系统最多允许一个满足（2.6）要求的解决方案。示例2.7。在风险中性投资者的确定性基准模型中（λ≡ 0）和恒定确定性弹性（ρt≡ ρ>0）上述BSDE系统简化为以下ODE系统：-˙At=-η-1（在- γBt），0≤ t<t；限制→TAt=+∞;-˙Bt=-ρBt+η-1（γCt- Bt+1）（At- γBt），0≤ t<t；限制→TBt=1；-˙Ct=-2ρCt- η-1（γCt- Bt），0≤ t<t；限制→TCt=0。利用（4.1）中介绍的渐近展开，上述常微分方程组可以通过求解相应的常微分方程组（4.2）来求解。ODE系统具有有限的终值，即正则非线性。可以使用MATLAB软件包bvpsuite对其进行数值求解【15】。该软件包是为求解具有正则奇点的常微分方程系统而设计的。图1描述了Almgren和Chriss【1】以及Obizhaeva和Wang【19】提出的不同瞬时影响因子η选择的最优交易策略和基准模型的最优交易策略。

正如我们所看到的，对于大瞬时影响因素，最优交易策略类似于Almgre和Chriss模型，而对于小瞬时影响因素，最优交易策略类似于Obizhaeva和Wang模型，具有奇异控制。这表明，我们的模型可以被视为两种极端情况的混合体，分别只有瞬时和持续的市场影响。3先验估计在本节中，我们建立了BSDE系统的先验估计（2.4）。这些估计将同时适用于解决方案存在性的证明和验证定理。贯穿，let（（A，B，C），（ZA，ZB，ZC））∈ L∞F级(Ohm; C（[0，T-]; R） ）×LF（0，T-; R3×m）表示满足（2.6）的（2.4）的任何解。还可以方便地考虑以下过程：=η-1（A- γB）和E：=η-1（γC- B+1）0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 000.10.20.30.40.50.60.70.80.91Xt=10=0.5=0.01Almgren&ChrissObizhaeva&Wang图1：与Almgren和Chris[1]以及Obizhaevaand Wang[19]的模型相比，确定性基准模型中不同瞬时影响因子η的最佳交易策略，x=1，y=0，λ≡ 0、γ=100、T=1和ρ≡ 1.出现在候选最优控制反馈表（2.5）中。Dand E的方程式如下：-滴滴涕={η-1λt- Dt+η-1γρtBt- γEtDt}dt- ZDTDWT带-dEt={2η-1ρt- 2ρtEt- γEt+η-1ρtBt- EtDt}dt- ZEtdWt={η-1ρt（1- γCt）- ρtEt- γEt- EtDt}dt- 泽德沃特。为了建立先验估计，我们首先确定过程a、…、，E、 以下引理的证明使用了BSDE的多维比较原理，这是由于Hu和Peng【14】在附录中给出的。引理3.1。它认为A，D≥ 0和B，-γC，ηE∈ [0，1]，dP×dt-a.e.证明。

我们首先注意到B，C∈ L∞F级(Ohm; C（[0，T-]; R） ）与L∞-BTA和CTA t的收敛性→ T表示B，C∈ L∞F级(Ohm; C（[0，T]；R）），因此E∈ L∞F级(Ohm; C（[0，T]；R））。C的非正性源自具有基本边界系数的线性BSDE的解公式【20，命题5.31】。事实上，从(-dCt={-2ρtCt- ηEt}dt- ZCtdWt，0≤ t<t，CT=0，我们得到CT=-EZTtηEse-Rst2ρrdrds英尺≤ 0。（3.1）E的非负性来自类似的参数。事实上-dEt={-（ρt+γEt+Dt）Et+η-1ρt（1- γCt）}dt- ZEtdWt，0≤ t<t。尽管dt在t=t时是奇异的，但我们可以将解公式应用于所有τ<t的[0，τ]。这将产生Et=EEτE-Rτt（ρR+γEr+Dr）Dr+Zτtη-1ρs（1- ηCs）e-Rst（ρr+γEr+Dr）drds英尺. （3.2）L∞-Dtto的收敛性∞ 作为t→ T加上D∈ L∞F级(Ohm; C（[0，T-]; R） ）意味着D在[0，T]上本质上是有界的。由于ρ、C和E本质上是有界的，当τ→ T英寸（3.2）。因此，E≥ 0，因为C≤ 0和becauseEτ→ ET=η-1（γCT- BT+1）=0作为τ→ T、 为了证明B，D≥ 我们需要考虑他们的关节动力学。首先，由于（不当）L∞-BTA和DTA t的收敛性→ T存在一个确定的时间τ<T，即B，D≥ 0开[τ，T]。让我们考虑[0，τ]上B和D的BSDE系统：(-dBt={-ρtBt+ηEtDt}dt- ZBtdWt-滴滴涕=η-1λt- Dt+η-1γρtBt- γEtDtdt公司- ZDtdWt。由于ρ、E和D本质上有界于[0，τ]，我们可以通过D变量中的标准截断参数假设该系统在B和D中是dP×dt-a.E.uniformlyLipschitz连续的，而不丧失一般性。

此外，系统是拟单调的，因为E，ρ≥ 因此，我们可以将附录命题A.1中给出的多维BSDE的比较定理应用于f（t，B，D）=(-ρtB+ηEtD，-D+η-1γρtB- γEtD）f（t，B，D）=(-ρtB+ηEtD，η-1λt- D+η-1γρtB- γEtD）（直到D中截断）和终端条件Yτ=（0，0）和Yτ=（Bτ，Dτ）≥ 分别为Yτ。作为第一个BSDE系统的独特解决方案，满足了Yt≡ （0，0），我们看到（Bt，Dt）=Yt≥ （0，0）对于所有t∈ [0，τ]。因此过程（B，D）是非负的。最后，我们从B得出结论，-γC，ηE≥ 0且ηE=γC- B+1表示B，-γC，ηE≤ 1、我们现在准备建立先验估计。提案3.2。就κ而言：=p2η-1max{kλkL∞, γkρkL∞} 以下先验估计值适用于dP×dt-a.e.：dt：=η-1γeη-1γ（T-t）- 1.≤ Dt公司≤ κcoth（κ（T- t） ）=：Dt，Bt：=e-kρkL∞（T-t）≤ 英国电信≤ 1,0≤ Et公司≤ γ-1κtanh（κ（T- t） ）=：EtProof。自D起≥ 0我们可以用单调形式编写D的BSDE。也就是说，-滴滴涕=η-1λt- |Dt | Dt+η-1γρtBt- γEt | Dt|dt公司- ZDtdWt。D解的上下估计-滴滴涕={-|Dt | Dt- η-1γ| Dt |}Dt，和-滴滴涕={κ- |Dt | Dt}Dt，分别为。上述方程为时间齐次方程。因此，对于任何δ>0的过程，δt：=Dt-δ和Dδt：=Dt+δ仍然满足各自的方程，但具有奇点att=t+δ和t=t- δ、 分别为。因为D本质上是有界于[0，T- δ] andlimt公司→T-δDδt=∞ 在L中∞存在出口s∈ [0，T- δ] 使D≤ Dδ开[s，T- δ） 。因为B≤ 1和-教育部≤ 0，我们有所有（t，y）∈ [0，s]×R，η-1λt- |y | y+η-1γρtBt- γEtDt≤ κ- |因此，具有单调驱动的BSDE的经典一维比较定理[20，命题5.33]得出D≤ Dδ开[0，s]。最后，让δ→ 0收益率D≤ D在[0，T]上，通过D的连续性。为了建立D≤ 关于[0，T]，有人提出了类似的论点。

在这种情况下，比较论证由不平等性证明-|y | y- η-1γ| y |≤ λt- |y | y+η-1γρtBt- γEt | y |。接下来，我们建立E的上估计值≥ 我们可以再次假设E的bsde是单调的，即-dEt={2η-1ρt- 2ρtEt- γ| Et | Et- η-1ρtBt- EtDt}dr- 泽德沃特。自E、B、D起≥ 0我们所有人都有（t，y）∈ [0，T）×R that2η-1ρt- 2ρtEt- γ| y | y- η-1γρtBt- EtDt≤ γ-1κ- γ| y | y.（3.3）让我们考虑δ>0的确定性过程δt=γ-1κtanhκ（T- δ- t） +电弧tanh（γκ-1台ET-δkL∞), 0≤ t型≤ T- δ。然后-dEδt=γ-1κ- γ| Eδt | Eδt，0≤ t型≤ T- δEδT-δ=kET-δkL∞.因此，回顾（3.3），一维比较定理impliesEt≤ Eδt，t∈ [0，T- δ] 。自kETkL以来∞= 0，让δ→ 0完成证明。最后，为了确定B的较低估计值，我们注意到B解决了-dBt=-kρkL∞Btdt，0≤ t型≤ TBT=1，因此是B的BSDE的亚解。此时，我们已经知道B的BSDE中的潜在奇异项EtDt表现良好（以EtDt=γ为界-1κ）在整个区间[0，T]。因此，在这一步中，在终端时间不需要移位参数，我们通过比较直接得出结论，B≤ B、 根据先验估计，我们得到了BSDE系统在终端时间的渐近行为，如下推论所述。最后时刻的渐近性是我们存在结果的关键。推论3.3。以下渐近行为在L中成立∞作为t→ T：（T）- t） At=η+O（t- t） ，Bt=1+O（t- t） ，Ct=O（（t- t） ）。证据A=η（D+γB）和B的渐近行为直接遵循上述A先验估计。C的渐近阶遵循（3.1）和Et=O（Et）=O（T-t） 在L中∞作为t→ T4存在性在本节中，我们证明定理2.5，即满足奇异终端条件（2.6）的BSDE系统（2.4）解的存在性。

与[11]类似，我们的存在性证明基于推论3.3中建立的渐近行为。它表明以下渐近ansatz：At=ηT- t+Ht（t- t） ，Ht=O（（t- t） ）在L中∞作为t→ T，Bt=1+GtT- t、 Gt=O（t- t） ）在L中∞作为t→ T，Ct=Pt，Pt=O（（T- t） ）在L中∞作为t→ T，（4.1）其中，H和G的渐近阶是由于与[11，备注4.2]中类似的原因而人工提高的，以获得下面引理4.1（ii）中给出的局部Lipschitz型陈述，而P的降阶则是符号的唯一性，并允许我们在相同的加权L中求解所有三个过程∞-空间渐近ansatz（4.1）将原始系统（2.4）简化为-dHt=（（T- t） λt-ηHtT公司- t型- γ（T- t+Gt）+ 2γ（T- t+Gt）dt+ZHtdWt-dGt公司=-ρt（t-t+Gt）+ηγPt-GtT公司-t型HtT公司-t型-γ（T-t+Gt）+γPtdt+ZGtdWt-dPt公司=(-2ρtPt-ηγPt-GtT公司- t型)dt+ZPtdWt。（4.2）我们定义：Ohm ×[0，T）×R→ 我们有这么多-dYt=f（t，Yt）dt- ZtdWtas（4.2）的紧凑表示法，通过识别Y=（H，G，P）和Z=（ZH，ZG，ZP）。对于δ>0，我们将在空间h={Y中建立（4.2）的短时解的存在性∈ L∞F级(Ohm; C（[T- δ、 T]；R） ）：kY kH<+∞}被赋予标准kH=（T- ·)-2年·L∞F级(Ohm;C（[T-δ、 T]；R） ）。由于YT=0，这意味着我们正在寻找运算符Γ（Y）的H中的固定点：=EZTtf（s，Ys）ds英尺T-δ≤t型≤T、 引理4.1。以下是正确的：（i）H是完整的。（ii）对于每个R>0，存在一个常数L>0（与δ无关），使得kf（·，Y·）- f（·，X·）kH≤ LkY公司·- X·KH代表所有Y，X∈ BH（右）。证据空间L∞F级(Ohm; C（[T- δ、 T]；R） ）和H通过识别y等距同构∈ L∞F级(Ohm; C（[T- δ、 T]；R） ）的过程（（T- t） Yt）t-δ≤t型≤锡H。

因此H是完整的。为了建立Lipschitz连续性，将Ytyt设为连接Yt和Yt的线段。根据Y的中值定理，Y∈ BH（R），dP×dt-a.e.，| f（t，Yt）- f（t，Yt）|≤ 苏比∈YtYtk公司yf（t，y）kHom（R；R）| Yt- 年初至今|≤ （T- t） 辅助| y|≤（T-t） Rk公司yf（t，y）kHom（R；R）kY- Y kH，（4.3），其中使用的线YtYtis包含在BR（（T- t） R），dP×dt-a.e.但是，yf（t，y）=-2yη（T-t） +2γyη（t-t） +2γη2γyη（t-t）-2（y+T-t型-ηγ-1） ηγ-2.-yη（T-t） +γyη（t-t）-yη（T-t） +2γyη（t-t）-γy-1ηγ-1.- ρtγyη（t-t）-y+T-t型-1ηγ-2.-2yη（T-t） +2γyη（t-t） 2γyη（t-t）-2yηγ-2.- 2ρt,从中我们可以看出，（4.3）中的上确界在Ohm ×[T- δ、 T）]。适当选择前面引理中的R和δ，我们可以使用标准的fix-point参数来表明Γ具有唯一的fix-point。fix-point只是（4.2）的局部解决方案。提案4.2。对于δ>0系数，存在一个短时解（Y，Z）∈ H×LF（T- δ、 T；R3×m）至（4.2）。证据设f x R=4 max{T kλkL∞+ γT/η+2γ，kρkL∞} 选择L>0，如引理4.1所示。对于Y，Y∈ BH（R）然后保持dP×dt-a.e.，|Γ（Y）t- Γ（Y）t |≤ EZTt | f（s，Ys）- f（s，Ys）| ds英尺≤ L（T- t） 肯塔基州- YkHThis产量，只要0<δ≤ （2升）-1，kΓ（Y）- Γ（Y）kH≤肯塔基州- YkH。因此，Γ是BH（R）上的1/2收缩。此外，Γ将BH（R）映射到自身。的确，对于所有Y∈ BH（R）保持dP×dt-a.e.，|Γ（Y）t |≤ |Γ（Y）t- Γ（0）t |+|Γ（0）t|≤ （T- t） R+EZTt | f（s，0）| ds英尺≤ （T- t） R+EZTt2最大{（T- s） λs+γη（T- s） +2γ（T- s） ，ρs（T- s） }ds英尺≤ （T- t） R+2（t- t） 最大{t kλkL∞+γηT+2γ，kρkL∞} = （T- t） R.因此，Γ有一个唯一的固定点Y∈ BH（右）。

流程Y满意度Y=-ZtT公司-δf（s，Ys）ds+EZTT公司-δf（s，Ys）ds英尺.根据鞅表示定理，存在一个过程Z∈ LF（T- δ、 T；R3×m）等高=-ZtT公司-δf（s，Ys）ds+ZtT-δZsdWs。因此，（Y，Z）给出了（4.2）所需的短期解。我们现在准备证明定理2.5。定理2.5的证明。由命题4.2建立的（4.2）的短期解给出了ansatz（4.1）的一个短期解（a，B，C）∈ L∞F级(Ohm; （[T- δ、 T型-]; R） ）×LF（T- δ、 T型-; R3×m）至（2.4），满足奇异终端条件（2.6）。为了看到这种短时间解决方案扩展到L中的全局解决方案∞F级(Ohm; C（[0，T-]; R） ）×LF（0，T-; R3×m）注意，系统（2.4）满足本地∞-附录中给出了引理A.2的局部Lipschitz驱动BSDE的存在性结果。因此，系统（2.4）施加了本质上有界的终值（在-δ、 英国电信-δ、 CT-δ） 允许[T]上的本质有界局部扩张- δ- δ、 T型- δ] 。由于命题3.2中给出的先验估计，我们知道该局部扩张将保持（回顾a=η（D+γB））在有界区域[0，η（DT-δ+γ）]×【0，1】×[-1/γ，0]。因此，在迭代这个扩展过程时，我们可以为系统（2.4）一步一步地选择（参见引理A.2的证明）相同的局部Lipschitz常数L>0，这导致扩展间隔的恒定长度δ>0。因此，经过许多步骤后，我们得到了[0，T]的全局扩展。5验证这一节专门讨论定理2.6的验证声明。通篇，let（（A，B，C），（ZA，ZB，ZC））∈ L∞F（0，T-; R） ×LF（0，T-; R3×m）表示满足（2.6）的（2.4）的任何解，并回顾候选最优策略ξ*根据过程给出：=η-1（A- γB）和E：=η-1（γC- B+1），第3节中已对其进行了先验估计。

ξ可容许性的证明*使用以下Gronwall不等式的迭代积分版本。引理5.1（[4，推论11.1]）。设u（t）、a（t）和b（t）是[0，t]上的非负连续函数，其中a（t）和b（t）是非减函数，假设u（t）≤ a（t）+b（t）ZtZsk（s，r）u（r）dr ds，0≤ t型≤ T、 其中k（s，r）是{0上的非负连续函数≤ r≤ s≤ T}。Thenu（t）≤ a（t）膨胀b（t）ZtZsk（s，r）dr ds, 0≤ t型≤ T、 我们现在准备验证候选最优控制ξ*确实可以接受。引理5.2。反馈控制ξ*（2.5）中给出的是可接受的。证据让我们确定初始状态（t，x，y）∈ [0，T）×R×R.状态过程的动力学（X*, Y*) 在候选最优控制ξ下*由以下公式得出：（dX）*s={-DsX公司*s+EsY*s} dsdY公司*s={-（ρs+γEs）Y*s+γDsX*s} ds。（5.1）由于D在终端时间的奇异性，尚不清楚（5.1）的解是否在终端时间得到了很好的定义；先验地，我们只知道（X*, Y*) ∈ L∞F级(Ohm; C（[t，t-]; R） 。为了显示X*T=0我们首先应用T的常数变化公式≤ s<T toget:X*s=xe-RstDudu+Zste-RsrDuduErY公司*兰迪*s=ye-Rst（ρu+γEu）du+Zste-Rsr（ρu+γEu）duγDrX*rdr。

（5.2）因此，过程▄Xs：=X*Serstdrdrsaties，~Xs=x+zstertduduery*rdr=x+ZSTERRTDUERye公司-Rrt（ρu+γEu）du+Zrte-Rru（ρv+γEv）dvγ到期-RUTDDVV徐都自ρ，E以来的博士≥ 0，这就产生了|￠Xs |≤ |x |+ZSterrtduerZr | y | dr+ZSterrtduerZrTγ到期-Rutddvv | | Xu | du dr=| x |+| y | zstertduduerdr+ZstγErZrtDueRruDvdv | | Xu | du dr.通过Gronwall不等式的迭代积分版本（引理5.1），| | Xs |≤|x |+| y | ZSterrtduuerdr经验值ZstγErzrtduerrudvdu dr=|x |+| y | ZSterrtduuerdr经验值ZstγEreRrtDudu错误- 1.博士.（5.3）鉴于D和E的先验上界，因为coth（·）的反导数由ln（sinh（·））给出，并且因为cosh（·）≥ 1，ZstγERERRTDUDR≤Zstκtanh（κ（T- r） ）eRrtκcoth（κ（T-u） ）dudr=Zstκtanh（κ（T- r） ）sinh（κ（T- t） ）sinh（κ（t- r） ）dr≤ κ（s- t） sinh（κ（t- t） （）≤ κT信使（κT）。与（5.3）一起，这表明|Xs |以s为界→ T因此，这次使用D的先验下界，| X*s |=|  Xs | exp-ZstDrdr≤ |Xs | exp-Zstη-1γeη-1γ（T-r）- 1dr= |Xs | 1- e-η-1γ（T-s） 1个- e-η-1γ（T-t） s→T---→ 0。（5.4）这表明X*T=0。它还显示X*s=O（T- s） 在L中∞作为s→ T当Ds=O（（T- s）-1） 接下来是Dx*∈ L∞F级(Ohm; C（[t，t]；R））。DX的有界性*（5.2）再次暗示Y*∈ L∞F级(Ohm; C（[t，t]；R））。因此，我们得出结论*∈ L∞F级(Ohm; C（[t，t]；R））。这证明ξ*确实可以接受。引理5.3。对于每ξ∈ A（t，x）它容纳E[AsXs+BsXsYs+CsYs | Ft]s→T---→ 0.证明。召回B、C∈ L∞F级(Ohm; C（[0，T]；R）），X，Y∈ LF公司(Ohm; C（[t，t]；R）），且XT=CT=0，它遵循支配收敛定理，E[BsXsYs+CsYs | Ft]s→T---→ 此外，请注意，通过XT=0和Jensen不等式，Xs=ZTsξrdr≤ （T- s） ZTsξrdr。因此，根据推论3.3，E【AsXs | Ft】≤ E（T- s） AsZTsξrdr英尺s→T---→ 我们现在准备证明验证定理。定理2.6的证明。