具有瞬时价格冲击和随机性的最优交易执行

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英文标题：
《Optimal Trade Execution with Instantaneous Price Impact and Stochastic
  Resilience》
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作者：
Paulwin Graewe, Ulrich Horst
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We study an optimal execution problem in illiquid markets with both instantaneous and persistent price impact and stochastic resilience when only absolutely continuous trading strategies are admissible. In our model the value function can be described by a three-dimensional system of backward stochastic differential equations (BSDE) with a singular terminal condition in one component. We prove existence and uniqueness of a solution to the BSDE system and characterize both the value function and the optimal strategy in terms of the unique solution to the BSDE system. Our existence proof is based on an asymptotic expansion of the BSDE system at the terminal time that allows us to express the system in terms of a equivalent system with finite terminal value but singular driver.
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中文摘要：
我们研究了非流动市场中的一个最优执行问题，当仅允许绝对连续的交易策略时，该问题具有瞬时和持续的价格影响以及随机弹性。在我们的模型中，值函数可以用一个具有奇异终端条件的三维倒向随机微分方程（BSDE）系统来描述。我们证明了BSDE系统解的存在性和唯一性，并根据BSDE系统的唯一解刻画了值函数和最优策略。我们的存在性证明基于BSDE系统在终端时间的渐近展开，该展开允许我们将系统表示为具有有限终端值但奇异驱动的等效系统。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Optimal_Trade_Execution_with_Instantaneous_Price_Impact_and_Stochastic_Resilience.pdf (586.7 KB)

2022-5-26 23:29:54 上传

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关键词：随机性 Differential Optimization Quantitative Applications

具有瞬时价格冲击和随机弹性的最优交易执行*Paulwin Graewe+Ulrich Horst2017年7月10日摘要我们研究了非流动市场中的最优执行问题，当只有绝对连续的交易策略是允许的时，该市场具有瞬时和持久的价格影响以及随机弹性。在我们的模型中，值函数可以用一个具有奇异终端条件的倒向随机微分方程（BSDE）三维系统来描述。我们证明了BSDE系统解的存在性和唯一性，并根据BSDE系统的唯一解刻画了值函数和最优策略。我们的存在性证明基于BSDE系统在终端时间的渐近展开，这使得我们可以用一个终端值有限但驱动力奇异的等效系统来表示系统。关键词：随机控制、多维倒向随机微分方程、投资组合清算、奇异终值AMS主题分类：93E20、60H15、91G801简介和概述∈ （0，∞). 让(Ohm, F、 （Ft）t∈[0，T]，P）带有m维标准布朗运动W=（Wt）T的过滤概率空间∈[0，T]。我们假设整个（Ft）t∈[0，T]是由所有空集完成的W生成的过滤，F=FT。我们用L表示∞F（0，T；Rd）和L∞F级(Ohm; C（[0，T]；Rd）），分别是本质上有界的逐步可测的rdvalue连续过程集。LF（0，T；Rd）表示逐步可测的Rd值过程集（Yt）T∈[0，T]使得E[RT | Yt | dt]<∞,和LF(Ohm; C（[0，T]；Rd））表示具有连续样本路径的所有此类过程的子集∈[0，T]| Yt |]<∞. 所有方程式和不等式均应在P-a.s.中理解。

感觉*感谢CRC 649经济风险和d-fine GmbH提供的财务支持。Wethank Peter Bank、R¨udiger Frey、Nizar Touzi和各机构的研讨会参与者，以获得宝贵的意见和反馈。+德国柏林洪堡大学数学系，地址：德国柏林大学林登分校，邮编：10099，graewe@math.hu-柏林。德国洪堡大学数学系和商业与经济学院，地址：德国柏林，乌特登林登6号，邮编：10099，horst@math.hu-柏林。本文研究了线性二次型非马尔可夫随机控制问题infξ∈LF（0，T；R）EZT{ηξs+ξsYs+λsXs}ds（1.1）根据Xt=x-Ztξsds，t∈ [0，T]，XT=0，Yt=y+Zt{-ρsYs+γξs}ds，t∈ [0，T]。这里，η和γ是正常数，ρ和λ是渐进可测、非负且本质上有界的随机过程：η>0，γ∈ R+；ρ、 λ∈ L∞F（0，T；R+）。过程（Xt，Yt）t∈[0，T]称为状态进程。它由控制ξ=（ξt）t控制∈[0，T]。过程λ=（λt）t∈[0，T]和ρ=（ρT）T∈[0，T]不受控制。上述形式的控制问题出现在具有随机弹性的市场冲击下的最优投资组合清算模型中。在此类车型中，Xt≥ 0表示投资者需要出售的股份数量∈ [0，T]，ξT表示股票在时间T的交易率∈ [0，T]，终端状态约束XT=0是清算约束。流程Y描述了在一个区块形状的限价订单市场中，过去的交易所造成的持续价格影响，订单深度为1/γ>0，如Obizhaeva和Wang所述[19]。一种解释是，交易率ξ增加了基本鞅价格过程的漂移。这导致执行价格过程的形式为▄St=St- ηξt- 其中St表示基本鞅价格过程。

过程ρ∈L∞F（0，T；R+）描述订单簿从过去交易中恢复的速率。常数η>0描述了一个额外的瞬时冲击系数，如Almgren和Chriss[1]中所述。（1.1）中运行成本术语的前两个术语分别反映了瞬时和持续影响产生的预期流动性成本。第三个术语可以解释为与未平仓头寸相关的市场风险的度量。它会惩罚缓慢液化。我们允许风险因素λ是随机的。大多数最优交易执行文献只考虑了两种可能的价格影响中的一种。第一种方法由Bertsimas和Lo【6】以及Almgren和Chris【1】提出，将价格影响描述为一种纯粹的暂时影响，仅取决于当前交易，不影响未来价格。通常假设该影响在交易率中是线性的，从而产生形式为ηξt的二次成本项。在我们的框架中，特例ρ≡ 0、γ=0、y=0和λ≡ const对应于Almgren和Chris的tomodel【1】。许多作者对他们的模型进行了扩展。与我们的工作最接近的是Ankirchner et al.（2）、Graewe et al.（10）、Horst et al.（13）和Kruse and Popier（17）的论文。他们都考虑了具有纯暂时价格影响的非马尔可夫清算问题，其中成本函数由一般的适应因子过程驱动，HJB方程可以根据因子过程的动态，用一维BSDE或具有奇异终值的BSDE来求解。Schied【22】中通过Dawson–Watanabesuperprocess解决了一类一般的马尔可夫清算问题。

这种方法避免使用HJB方程，而是使用基于超过程对数拉普拉斯泛函的概率验证参数。Obizhaeva和Wang[19]提出的第二种方法假设价格影响持续存在，过去交易对当前价格的影响会随着时间的推移而衰减。当影响持续时，TONE通常允许采用绝对连续和单一的交易策略。在[19]中，作者假设了持续的弹性和市场深度。Fruth等人[7]将该模型推广到确定性时变市场深度和弹性，并通过变分法技术获得了一个封闭形式的解。在后续工作中，作者考虑了随机流动性参数。他们展示了状态空间分为贸易区和非贸易区，但没有获得边界的明确描述。最优策略的表征Horst和Naujokat【12】获得了关于耦合BSDE系统的结果，用于双边极限订单中的最优曲线模型。Becherer等人最近给出了具有有限时间范围和乘性价格影响的模型中相关自由边界问题的显式解。在本文中，我们分析了一个随机控制问题，该问题产生于同时具有瞬时和持续价格影响的最优交易执行模型中，其中只有绝对连续的交易策略是允许的。经济上，对绝对连续策略的限制意味着瞬时影响是主导因素。从数学上讲，它允许我们在一个经典的而非奇异的随机控制框架中描述由此产生的控制问题，并获得价值函数和最优交易策略的闭合形式解。

如果允许使用奇异控制，则很难描述值函数的特征。事实上，当绝对连续控制和奇异控制都可以作为ine。g、 [12]，通常只能使用maximumprinciples获得最优控制的表征结果。在我们的建模框架内，价值函数可以表示为完全耦合的三维随机Riccati方程（BSDE系统）的解。对于常数模型参数的基准情况，随机系统简化为确定性模式系统。在这种情况下，我们说明了如何使用我们的模型来近似大宗交易的清算模型，因此，我们可以将其视为单一方法的第一步，以解决具有奇异终值的奇异和正则随机控制问题。虽然非耦合ODE系统分别出现在Atheral和Schied[9]或Kratz[16]的交易执行模型中，Ankirchner和Kruse[3]，但我们的模型似乎是第一个需要分析多维BSDE系统的模型。在证明描述价值函数的BSDE系统存在唯一解决方案时，需要克服两个挑战。首先，清算约束对BSDE系统的第一个组件施加了单一终端条件。其次，我们的BSDE系统不满足[14]中多维比较原则所需的准单调性条件。在一维环境中，具有奇异终值的BS（P）DEs得到了很好的理解，文献中也得到了一系列解的存在性结果和比较原则。大多数现有结果包括[2、10、13、17]与奇异终值的有限近似值。

然后通过单调极限变元得到具有奇异终值的（最小）解。我们将Graewe等人[11]引入的渐近展开方法推广到BSDE系统。其思想是通过找到适当的先验估计来确定BSD系统在最终时间的潜在解的精确渐近行为。终端时间的解的渐近性使我们能够将具有奇异终端值的BSDE系统的解描述为具有有限终端值但具有奇异驱动的BSDE，对于该BSDE，可以使用标准的定点参数证明解在适当空间中的存在性。最后，我们建立了验证结果，从中我们推导出BSDE系统解的唯一性以及最优交易策略的闭合形式表示。建立BSDE系统的先验估计是证明解存在性和验证定理的关键。如上所述，表征该值的BSDE系统不满足Hu和Peng的拟单调条件[14]。为了解决这个问题，我们考虑了描述价值函数的BSDE和描述候选最优交易策略的另外两个BSDE的联合动力学。使用【14】中BSDE系统的比较原则，我们首先确定所有这些过程的范围，然后根据这些范围推导出值函数系数所需的确定性上界。本文的其余部分结构如下。第2节阐述了随机控制问题。第3节建立了解的先验估计和渐近行为。第4节证明了HJB方程的存在性。验证论证在第5节中进行。

在附录A中，我们回顾了BSDE的多维比较原则，并制定了一个局部L∞-具有局部Lipschitz驱动的BSDE的存在性结果。符号约定。每当符号T-似乎我们的意思是，当T-替换为T，例如LF（0，T-; Rd×m）=TT<TLF（0，T；Rd×m）。此外，对于Y∈ L∞F级(Ohm, C（[0，T-]; R） ）我们指的是L∞-限制→TYt=∞ 对于每一个C>0，存在T<T，使得Yt≥ C代表所有t∈ [T，T），P-a.s.2任何初始状态（T，x，y）的主要结果∈ [0，T）×R×R我们定义为vt（x，y）：=ess infξ∈A（t，x）EZTt{ηξs+ξsYs+λsXs}ds英尺（2.1）随机控制问题（1.1）关于状态动力学的值函数（dXs=-ξsds，s∈ [t，t]，Xt=x，dYs={-ρsYs+γξs}ds，s∈ [t，t]，Yt=y，其中只有那些控制或（交易）策略ξ∈ LF（t，t；R）属于满足终端状态约束TXT=0 A.s.Assumption 2.1的容许控件的A类（t，x）。我们始终假设控制问题的系数满足η>0，γ∈ R+；ρ、 λ∈ L∞F（0，T；R+）。备注2.2。注意X，Y∈ LF公司(Ohm; C（[t，t]；R）），对于任何（容许）控制，如ξ∈ LF（t，t；R）和ρ∈ L∞F（0，T；R+）。我们通过求解相应的随机Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程来解决控制问题。Peng首先介绍了非马尔可夫控制问题的随机HJB方程[21]。在我们的模型中，随机HJB方程由一阶随机偏微分方程给出，-dVt（x，y）=infξ∈R{-ξxVt（x，y）-（ρty-γξ）yVt（x，y）+ηξ+ξy+λtx}dt-Zt（x，y）载重吨。（2.2）定义2.3。

一对随机场（V，Z）：Ohm ×[0，T）×R×R→ 如果满足以下条件，R×Rmis称为上述方程的经典解：o对于每个t∈ [0，T），Vt（x，y）在x和y中是连续可分的，对于每个（x，y）∈ R、 （Vt（x，y），xVt（x，y），yVt（x，y））t∈[0，T）∈ L∞F级(Ohm; C（[0，T-]; R） ），o对于每个（x，y）∈ R、 （Zt（x，y））t∈[0，T）∈ LF（0，T-; Rm），o对于所有0≤ t型≤ s<T和x，y∈ R它认为vt（x，y）=Vs（x，y）+Zstinfξ∈R{-ξxVr（x，y）- （ρry- γξ）yVr（x，y）+ηξ+ξy+λrx}dr-ZstZr（x，y）dWr。我们证明了方程（2.2）的唯一经典解的存在性，并表明值函数由随机场V给出。控制问题的线性二次结构表明，对于HJB方程的解（V，Z），ansatzVt（x，y）=Atx+Btxy+CtyZt（x，y）=ZAtx+ZBtxy+ZCty（2.3）。以下引理表明，ansatz将我们的HJB方程简化为以下三维随机Riccati方程：-dAt公司=λt- η-1（在- γBt）dt公司- ZAtdWt公司-dBt公司=-ρtBt+η-1（γCt- Bt+1）（At- γBt）dt公司- ZBtdWt-dCt公司=-2ρtCt- η-1（γCt- Bt+1）dt公司- ZCtdWt。（2.4）引理2.4。如果向量（A、B、C），（ZA、ZB、ZC）∈ L∞F级(Ohm; C（[0，T-]; R） ）×LF（0，T-; R3×m）求解BSDE系统（2.4），然后由线性二次ansatz（2.3）给出的随机场（V，Z）是HJB方程（2.2）的经典解，因此通过ξ*t（x，y）=η-1（在- γBt）x- η-1（γCt- Bt+1）y.（2.5）证明。让我们fix（t，x，y）∈ [0，T）×R×R。

哈密顿量（ξ）=-ξxVt（x，y）- （ρty- γξ）yVt（t，x）+ηξ+ξy+λtx=η-1（ηξ- xVt（x，y）+γyVt（t，x）+y）-η-1个(xVt（x，y）- γyVt（x，y）- y）- ρtyyVt（x，y）+λtxis在ξ处最小化*= η-1个(xVt（x，y）- γyVt（t，x）- y） 。根据线性二次ansatz（2.3），我们得到（2.5）和h（ξ*) = -η-1（（在- γBt）x- （γCt- Bt+1）y）- ρty（Btx+Cty）+λtx=（λt- η-1（在- γBt））x+(-ρtBt+η-1（在- γBt）（γCt- Bt+1））xy+(-2ρtCt- η-1（γCt- 为了保证HJB方程解的唯一性，我们需要施加一个合适的终端条件。由于终端状态约束XT=0，我们预计tradingrateξ对于任何非平凡的初始位置都趋于一致，如t→ T我们进一步预计，由此产生的交易成本将主导任何弹性效应。因此，我们预计vt（x，y）~ Vρ=0t（x，y）作为t→ t其中Vρ=0t（x，y）表示与ρ控制问题相对应的值函数≡ 0、如果ρ≡ 0，则Yρ=0=Y+γ（x- 十） andZTtξsYρ=0sds=xy+γX，与策略ξ无关∈ A（t，x）。因此，Vρ=0t（x，y）=ess infξ∈A（t，x）EZTt{ηξs+λsXs}ds英尺+ xy+γx=（￠At+γ）x+xy，其中￠A在[2，11]中被描述为具有奇异终端值的BSDE的唯一解-d▄At={λt- η-1▄At}dt- Z▄AtdWt，limt→T▄At=∞ 在L中∞.因此，我们期望线性二次ansatz（2.3）的系数满足（At、Bt、Ct）-→ (∞, 1，0）英寸L∞作为t→ T（2.6）下一个定理建立了BSDE系统（2.4）在奇异终端条件（2.6）下解的存在性结果。第4节给出了证明。它基于[11]中介绍的渐近展开的多维推广。定理2.5。