具有固定和比例的最优消费和投资

贸易之间——在政策的“非贸易区”中——这意味着绝对持续的漂移应该是（2.2）部分整合，并取消公因数e-βt，这导致0=supc>0n- βvλ（x，y）+U（c）+（rx- c） vλx（x，y）（2.3）+u·Dyvλ（x，y）+Tr[σ>Dyy]vλ（x，y）o。通过定义，值函数在任何时候都只能通过允许的批量交易减少：0≥ 卸荷点法∈Rd{vλ（x- m·1d- kmkλp- λf，y+m）- vλ（x，y）}，（2.3）切换符号得到动态规划方程：0=min{βvλ-eU（vλx）- L vλ，vλ- Mvλ}，（2.4），其中Eu（≈c）=supc>0（U（c）- cc）是效用函数u的凸对偶，微分算子L定义为L=rxx+u·Dy+Tr[σ>Dyy]，Altarovici，Reppen&Soner 10和M表示非局部干预运算符ψ（x，y）=supm∈Rd{ψ（x，y）：（x，y）=（x- m·1d- kmkλp- λf，y+m）∈ Kλ}。（2.5）如果存在nom∈ Rd，其中（x，y）=（x- m·1d- kmkλp-λf，y+m）∈ Kλ，则Mψ（x，y）=-∞.3定理2.3的证明在本节中，我们证明值函数vλ是相应动态规划方程（2.4）在其有效域上的约束粘性解。我们给出了弱动态规划原理的直接证明。有关更一般的方法，请参阅[]。然后，我们用它来证明vλ确实是（2.4）的粘度解。3.1 vλFix（x，y）的弱动态规划原理∈ D和M：=2（x+y·1d）。SetOλ：=Oλ（x，y；M）={（x，y）∈ D:x+y·1d<M}。定义δ（x，y） Rd+1为（相对）开放球（墨水λ），半径δ以（x，y）为中心。选择δ>0足够小，以便δ<λ，Bδ（x，y） Oλ和（0,0）/∈ Bδ（x，y）。对于任何投资消费政策ν和初始捐赠（x，y）∈ Bδ（x，y），定义θ：=θν为状态过程的退出时间（x，y）ν，x，yBδx，yshowθ对ν的依赖关系。

很明显（Xθ-, Yθ-) ∈ Bδ（x，y）和（xθ，yθ）∈ Oλ。νOλCat（x，y）和satifiesvλ≤ 在Oλ上。δ>Д∈ C（Bδ（x，y））。那么，我们有vλ（x，y）≤ supν∈Θλ（x，y）E“ZθE-βtU（ct）dt+e-βθДXθ，Yθ#. （3.1）相反，设ν是Oλ上的光滑函数，满足Vλ≥ 在Oλ上。我们可以采用有界测试函数，因为vλ从上到下是有界的。11固定成本和比例成本然后，我们有vλ（x，y）≥ supν∈Θλ（x，y）E“ZθE-βtU（ct）dt+e-βθДXθ，Yθ#. （3.2）在不丧失一般性的情况下Ohm =C（[0，∞), Rd）是从零开始的连续函数空间，配备了维纳测度、标准布朗运动和完成{Ft}t≥byW生成的过滤的0。给定控制ν∈Θλ（x，y）和退出时间θ：=θν，从上面看，fixω∈Ohm定义νθ，ω（ω，t）：=νωθ⊕ ω、 t+θ（ω）, ω∈ Ohm, t型≥ 0，其中（ωθ⊕ ω） t型=ωtif t∈ [0，θ（ω））ωt-θ（ω）+ωθ（ω）如果t≥ θ（ω）。我们从（3.1）的证明开始。通过构造，νθ，ω∈ Θλ（（Xθ（ω），Yθ（ω））ν，X，Y）；特别是，νθ，ω是一个定义良好的脉冲控制。因此，EZ∞e-βtU（cνt）dtFθ（ω） =Zθ（ω）e-βtUcνt（ω）dt+e-βθ（ω）ZOhmZ∞e-βtUcνθ，ωt（ω）dtdP（ω）≤Zθ（ω）e-βtUcνt（ω）dt+e-βθ（ω）vλ（（Xθ（ω），Yθ（ω））ν，X，Y）≤Zθ（ω）e-βtU（cνt（ω））dt+e-βθ（ω）Д（（Xθ（ω），Yθ（ω））ν，X，Y）。因此，对于任何ν∈ λ（x，y）：EZ∞e-βtU（cνt）dt≤ E“ZθE-βtU（cνt）dt+e-βθν（（Xθ，Yθ）ν，X，Y）#。通过对所有政策取上确界，我们得出（3.1）。为了证明（3.2），将V设为（3.2）的右侧：V：=supν∈Θλ（x，y）E“ZθE-βtU（cνt）dt+e-βθν（（Xθ，Yθ）ν，X，Y）#。对于任何η>0，我们可以选择νη∈ Θλ（x，y）满足V≤ η+E“ZθE-βtU（cνηt）dt+e-βθν（（Xθ，Yθ）ν，X，Y）#。

（3.3）Altarovici、Reppen和Soner 12我们首先介绍内部，Oλ。对于Oλ中的每个点ζ=（￠x，y），setR（ζ）：=Rη（￠x，y）={（x，y）∈Oλ：x>~x，y>~y，Д（x，y）<Д（￠x，y）+η}。由于Д是光滑的，每个R（ζ）是开放的，且Oλ[ζ∈^OλR（ζ）。因此，通过Lindel"of覆盖引理，我们可以提取出一个可数次覆盖Oλ[n∈NR（ζn）。只有边界，Kλ，仍需覆盖。写起来很方便Kλ=S∪ C、 和^Oλ：=Oλ\\S其中={v=（v，…vd）∈ Kλ：i、 vi<0}（3.4）和cis是sin的相对补码Kλ。注意，这意味着C是由坐标轴和{v]限定的（d+1）-单纯形的边界∈ Rd+1vPdi=1- λpviλf}已删除。C中每个k-单纯形的内部，对于0<k≤ d、 可写入asCk（Ik）=（v，…，vd）∈ Rd+1≥0：vi>0<=> 我∈ Ik，Xi∈Ik（1- λp{i6=0}）vi<λf对于一组不同的指示符，k={ij：j=1，…，k}。对于每个suchk单纯形，我们使用formR（ζ）={ζ的集合覆盖其内部∈ Ck（i，…，ik）：^ζ>ζ，Д（^ζ）<Д（ζ）+η}。很明显，每个（i，…，ik）[ζ∈Ck（i，…，ik）R（ζ），我们可以再次提取一个可数子覆盖。我们注意到ifU（0+）=-∞,不需要创建任何单纯形的覆盖，除了具有非平凡第一坐标分量的覆盖（因为任何其他单纯形不包含在vλ的有效域中）。如果相反，U（0）>-∞, 然后我们需要覆盖η非常小，η-最优策略νη将强制（Xθ，Yθ）νη，X，Y/∈ S、 13固定成本和比例成本到目前为止，我们已经创建了一个可数覆盖{R（ζn）}∞n=^Oλ\\{λfe，λf1的d+2（直到重新索引）-λpe。λf1-λped，0d+1}，其中eIDENOTES表示索引从0开始的第个元素单位向量inRd+1。对于eachi=1，d、 设置ζi：=λf1-λpei。然后设置ζ=λfe和ζd+1=d+1。最后，定义（ζi）：={ζi}表示0≤ 我≤ d+1。

因此我们有一个可数覆盖{R（ζn）}∞n=0of^O。现在，定义映射I：^Oλ→ N： I（x，y）：=最小值{N：（x，y）∈ R（ζn）}，（x，y）∈^Oλ和setζ（x，y）：=ζI（x，y），根据定义，这些结构意味着Д（x，y）≤ ^1ζ（x，y）+ η， （x，y）∈^Oλ。（3.5）每n∈ N、 我们选择一个控制νN∈ λ（ζn），因此Vλ（ζn）≤ EZ∞e-βtU（cνnt）dt+ η. （3.6）n≥νn∈λx，yx，y∈ Rζn.定义复合策略ν*, 它遵循满足（3.3）的策略νη，直到θ=θνη时相应的状态过程（X，Y）νη，X，Yδ（X，Y）。我们已经讨论过（Xθ，Yθ）νη，X，Y∈^Oλ。此后的策略是νn与映射i指定状态进程的索引n相对应：ν*（ωθ）⊕ ω、 t）：=νη（ω，t），如果t∈ [0，θ（ω）]，νN（ω）（ω，t- θ（ω）），如果t>θ（ω），则n（ω）=I（（Xθ（ω），Yθ（ω））νη，X，Y）。这种结构确保我们有ν*∈λx，yν*,（3.6）andvλ≥ Д（定义为Д），以及（3.5）和（3.3）thatvλ（x，y）≥ EZ∞e-βtUcν*t型dt公司= E“ZθE-βtU（cηt）dt+e-βθZ∞e-βtUcNt公司dt公司#≥ E“ZθE-βtU（cηt）dt+e-βθ（Д（ζ（（Xθ，Yθ）νη，X，Y））- η）#≥ E“ZθE-βtU（cηt）dt+e-βθ（Д（（Xθ，Yθ）νη，X，Y）- 2η）#≥ 五、- 3η。由于η是任意的，因此建立了（3.2），从而完成了证明。Altarovici，Reppen&Soner 143.2 vλ是（2.4）的粘度解，我们首先陈述并证明了（2.5）中关于干预运算符的一些事实，这是后续证明中需要的。贯穿，ψ*和ψ*将分别表示局部有界函数ψ的下半连续包络和上半连续包络。引理3.1。假设λf，λp>0。式中：Kλ→ R、 然后（i）如果И是上半连续的，那么MИ是上半连续的。（ii）如果Д是连续的，则MД是连续的。证据证据见【37】备注3.2。λp参数分解考虑由h（x，y）定义的R+上的平滑函数h=h（x- y） ，x+y>2htan（π（2-x个-y） ）（x- y） ，1<x+y≤ 20，x+y≤ 其中hζ：R→[0,1]是以ζ为中心的标准平滑凹凸函数，即。

峰值ζ（ζ）=1。假设λf=1。考虑序列ζn：=（1+n，1+n）→（1,1）。然后，lim supn→∞Mh（ζn）=1>0=Mh（1,1），这表明M不保持上半连续性。当λf>0且λp=0时，需要下列引理的紧性。当λf>0和λp>0时，在固定财富水平下可实现的投资组合集合不再紧凑，因此在纯固定成本情况下会出现基础困难。引理3.3。假设：Kλ→ Rsatis fiessupz公司∈KkИ（z，·）k∞< ∞对于任意非空紧集K R+。（i） 如果Д是下半连续的，则mД是下半连续的。特别是，如果≥ Mх，然后*≥ M^1*.（ii）出租∈ C（Kλ）。If（z，ξ）7→对于任何紧集C，DξИ（z，ξ）在C×Rd上是紧支撑的 R+，则MИ是上半连续的。证据有关证明，请参见[1]。以下定义适用于[，]中给出的定义，以解决当前问题。经典粘度溶液之间的主要差异延伸至闭合域D.15固定成本和比例成本定义3.4。我们说，对于每个ζ，这是一个粘度下的解onDif∈ d对于每个上半连续函数Д，使得Д为locallyCatζ且0=（u*- ^1）（ζ）=最大ζ∈D（u*- ^1）（ζ）保持不变βД（ζ）-~U（φx（ζ））- LИ（ζ），°- M^1）*（ζ）≤ 我们说它是每个ζ在Dif上的粘度上解∈d everysmoothД，使0=（u*- ^1）（ζ）=最小ζ∈D（u*- ^1）（ζ）保持不变βД（ζ）-U（Дx（ζ））- LИ（ζ），°- MИ）（ζ）≥ 0.uDD和D中的上解。备注3.5。在给定的粘度亚解定义中，我们选择了测试函数的松弛条件，使其仅在某些邻域外是上半连续的。由于运算符M的全局行为，在第4.3条的证明中需要这样做。备注3.6。当λf、λp均大于0时，则方程是连续的，即不需要粘度亚解方程的下包络。

原因是运算符mpreserves上半连续，换句话说，方程中的量已经是下半连续的。我们现在准备好处理定理2.3的证明，我们将其分为两个引理：引理3.7。值函数vλ是动态编程方程（2.4）在D证明下的粘度上解。Let（x，y）∈D.设Д为光滑函数onOλ：=Oλ（x，y；2（x+y·1d））满足0=（vλ）*- Д）（x，y）=最小{（vλ）*- ^1）（x，y）：（x，y）∈ Oλ}。利用引理3.3和不等式vλ*≥ 在Oλ上，我们得到ν（x，y）=vλ*（x，y）≥ Mvλ*（x，y）≥ MИ（x，y）。因此，仍需证明βД-eU（Дx）- L^1（x，y）≥ 0、假设相反：βД- U（c*) + c*^1x- L^1（x，y）<0，Altarovici，Reppen&Soner 16c*>,φx，yхx，y- |x个- x | ky- yk。 > 0且r>0足够小，连续性产生βφ- U（c*) + c*φx- Lφ（x，y）<0，（x，y）∈ Br（x，y） Oλ。xn，yn，vλxn，yn→x、 y，vλ*x、 yand表示为（Xnt，Ynt）：=（Xt，Yt）xn，在仅消费策略ct下从（xn，yn）开始的综合投资组合过程≡ c*. 定义：=inf{t≥ 0：（Xnt，Ynt）/∈ Br（x，y）}，注意lim infn→∞E【Hn】>0。因此，存在δ>0，使得e[e-βHn]>δ，对于所有n足够大。它的公式给出φ（xn，yn）=E“E-βHnφ（XnHn，YnHn）+ZHne-βs（βφ+c*φx- Lφ）（Xns，Yns）ds#≤ E“E-βHnφ（XnHn，YnHn）+ZHne-βsU（c*)ds#。通过φ的构造，存在η>0，因此我们有≥ φ+ηonOλ\\Br（x，y）。因此：φ（xn，yn）≤ E“E-βHnИ（XnHn，YnHn）+ZHne-βsU（c*)ds公司#- Δη。考虑（vλ- φ） （xn，yn）→ 0，我们注意到对于n大的enoughvλ（xn，yn）≤ E“E-βHnИ（XnHn，YnHn）+ZHne-βsU（c*)ds公司#-Δη。（3.2）vλ完成证明。仅在附加假设下，上半连续下任意光滑函数的图像（比较3.3（ii））。

正如粘度溶液理论中的惯例（参见[]第9节），因此，以下引理中的粘度亚粘度特性是根据DPE的低连续包络线来表示的：引理3.8。值函数vλ是minnβvλ的粘度亚解-eU（vλx）- L vλ，（vλ- Mvλ）*o=0，D.证明。第1步。在整个证明过程中，C>0表示一个通用常量，该常量可能会因行而异。我们用矛盾来争论。Let（x，y）∈ d设φ17固定比例成本为上半连续有界函数onOλ（x，y；2（x+y·1d）），局部为Cat（x，y），满足0=（（vλ）*- Д）（x，y）=最大{（（vλ）*- ^1）（x，y）：（x，y）∈ Oλ}。假设对于某些η>0，我们有min{βν- L^1-U（Дx），（Д- M^1）*}（x，y）>η。通过下半连续性，有一个小的矩形邻域N=N（x，y，ρ）：=（x，y）∈ Oλ：最大值=1，。。。，d{| x- x |，| yi- yi |}<ρ其中Д是Cand satis fiesmin{βД- LД+cДx- U（c），Д- 对于所有c>0，（x，y）的情况，MИ}（x，y）>η，（3.7）∈ N、 第2步。选择序列n 3（xn，yn）→（x，y），其中vλ（xn，yn）vλ*x、 ynνn∈λ（xn，yn）。我们分别用Cntandτn表示消耗过程和νn的Firstimpulse time，并对相应的受控过程写入（Xnt，Ynt）：=（Xt，Yt）νn，xn，yn。用（int）表示∈ R相同的过程，但不进行交易，即从（xn，yn）开始并使用消费cn的过程。定义停止时间Hn：=inf{t≥ 0：Ξnt/∈ N}∧ 1，θn：=Hn∧ τn。我们可以进一步分解Hn=Hn∧ Hn公司∧ 1，其中hn：=inf{t≥ 0：Ξnt∈ N∩ {x- ρ} ×Rd}，andHn：=inf{t≥ 0：Ξnt∈ N∩ {x:x>x- ρ} ×Rd}。停车时间Hn表示通过分流退出，Hn表示通过消耗退出。第3步。Writeh（c，x，y）：=I（c，x，y）- sup^c>0I（^c，x，y），其中i（c，x，y）：=-βД（x，y）+LД（x，y）- cхx（x，y）+U（c）。请注意，对于所有c，i（c，x，y）<0∈ R+和（x，y）∈ Nby（3.7）。

设置C*（x，y）=（U）-1（Дx（x，y）），则h（c，x，y）=I（c，x，y）- 我c*（x，y），x，y≤ 0.Altarovici、Reppen和Soner 18的平滑度为Д和C*和紧致度为n时，存在ρ>0且| I（c*（x，y），x，y）|≤ Lρ，对于所有（x，y）∈ N、 另一方面，存在α>0这样的I（c，x，y）≤ -αc，对于所有c>0。这将导致上界（c、x、y）≤ (-αc+Lρ）∧ 0，对于所有c>0，（x，y）∈ N、 （3.8）由于我们只考虑θN的时间组，我们可以在不失去普遍性的情况下假设cnt=c*（Xnt，Ynt）用于t∈ （θn，Hn）.与（3.8）一起，我们得到“Zθn”-e-βth（cnt，Xt，Yt）dt#=E“ZHn-e-βth（cnt，Xt，Yt）dt#≥ CαE“ZHne-rtcntdt公司#- LρE【Hn】。≥ CαE“Zθne-rtcnt{θn=Hn}dt#-LρE【Hn】，（3.9），其中第一个不等式使用（3.8）并改变贴现系数。第4步。设置ζnt：=（Xnt，Ynt）。弱动态规划（3.1）隐含vλ（xn，yn）≤n+E“Zθne-βtU（cnt）dt+e-βθnД（ζnθn）#≤n+Д（xn，yn）+E“Zθne-βtI（cnt，ζnt）dt#+Ehe-βθn（Д（ζnθn）- Д（ζnθn-))1{θn=τn}i≤n+Д（xn，yn）+E“Zθne-βtI（c*t（ζnt），ζnt）dt#+E“Zθne-βth（cnt，ζnt）dt#- CηP[θn=τn]≤n+Д（xn，yn）- CLρηE[θn]- CηP[θn=τn]+E“Zθne-βth（cnt，ζnt）dt#。Sincevλ（xn，yn）- ^1（xn，yn）-n→0 asn→ ∞由于右侧的其他项为负，它们必须随着n趋于完整而消失。第5步。我们用thatlimn推导出一个矛盾→∞max（E[θn]，P[θn=τn]，E“Zθn-e-βth（cnt，ζnt）dt#）=0。（3.10）19固定成本和比例成本将有助于haveE【Hn】→0和p[θn=Hn]→.为了证明这些说法，首先观察1=P[θn=Hn]+P[θn=τn]- E[1{θn=Hn}{θn=τn}]其中E[{θn=Hn}{θn=τn}]→.这意味着p[θn=Hn]→.此外，E[θn]=Z{θn=Hn}HndP+Z{θn6=Hn}θndP，其中r{θn=Hn}θndP→ 0

这意味着-Z{θn6=Hn}HndP→ 0、自| Hn |≤1通过定义和sinceP[θn=Hn]→0根据上述观察，我们得出→.p[θn=Hn]→遵循Hn=Hn的事实∧ Hn公司∧→0和Hn是NOFA扩散过程的退出时间，开始于（xn，yn）→ （x，y）。x、 yDρ足够小，E“Zθne-rtcnt{θn=Hn}dt#→ ρ、 这源于一个简单的观察结果，即对于任何一家公司，预期中的术语代表银行账户中现金从x减少到x所需的贴现消费量- ρ。然而，通过（3.10）和（3.9），我们必须有0=limn→∞E“Zθn-e-βth（ct，Xt，Yt）dt#≥ Cαρ- Lρlimn→∞E[Hn]=Cαρ>0，这是一个矛盾。第7步。在情况u（0）>-∞,我们需要在边界处讨论解决方案。注意如果（x，y）∈ Kλ\\S=Kλ∩ Rd+1≥0（回忆（3.4）），则动态规划立即得出βД（x，y）-U（Дx）（x，y）- LИ（x，y）=0。假设（x，y）∈ S、 我们要求取φ，以便引理3.3（ii）适用。请注意，前面的证明步骤与此要求无关。If（vλ）*（x，y）=vλ（x，y），然后（Д）- MИ）（x，y）≤ ^1（x，y）- Mvλ（x，y）=vλ（x，y）- vλ（0d+1）=0，因为（x，y）处唯一允许的控制是清算。另一方面，Altarovici、Reppen和Soner 20，如果（vλ）*（x，y）=vλ（x，y），然后通过对比假设min{βν- L^1-U（Дx），（Д- M^1）*}（x，y）>η，对于某些η>。用非常小的ρ重复步骤1-5，停止时间Hn和Hn定义为beHn=inf{t≥ 0：Ξnt∈ N∩ S} andHn=inf{t≥ 0：Ξnt∈ N\\S}。重复这些步骤是可能的，因为vλ在每个参数中都是非递减的，因此步骤2中的序列可以包含在ofD内部。注意，在timeHn，流程是inS，其中唯一允许的控制是交易到源站。因此，τn≤ Hn，也就是集{θn=Hn}上的τn=θ。在步骤5中，这意味着0=limn→∞P[θn=τn]=limn→∞P[θn=Hn]=1，这显然是一个矛盾。

因此，min{βν- L^1-U（Дx），（Д- M^1）*}（x，y）≤ 0，这是所需的不等式。4比较λf>λp≥更通用的实用功能。提案4.1。R+上的警告。然后其Legendre-Fenchel变换，由▄U（▄c）定义：=supc>0{U（c）- c▄c}，▄c∈ R、 正在减少。证据一个简单的微积分参数显示dd▄c▄U（▄c）=-（U）-1（￠c）<0，其中负性由对U.Mas的假设所遵循，以代数方式操纵策略。对于每个ζ∈ D、 我们定义了集合i（ζ）：={ν=（m-d+1Xi=2λp | mi |- λf，m，md+1）：d+1Xi=1mi=0，ζ+ν∈ D} 。21固定成本和比例成本。然后，干预算子满足mψ（ζ）=supν∈I（ζ）{ψ（ζ+ν）}。按照惯例，如果I（ζ）=, 那么Mψ（ζ）=-∞.引理4.2。如果ζ≤^ζ，然后I（ζ） I（^ζ）。证据IfI（ζ）=, 那么这个断言就非常正确了。否则，如果存在ν∈ I（ζ）。自0起≤（ζ+ν）·1d+1<（ζ+ν）·1d+1，由此得出∈ D、 因此ν∈ I（^ζ）定理4.3。uDva下半连续超解在D集α：=（α，，…，0）∈ Rd+1对于某些α>0。假设变量（x，y，…，yd）中的uandvare不递减。Ifinfη∈D \\Dv（η+α）>-∞ （4.1）如果存在一些^γ≤ γ足够大，也可以满足假设2.1以及C>0，使得u（x，y）≤ C（1+| x+y·1d | 1-^γ），（x，y）∈D，（4.2）然后u（η）≤ v（η+α），对于所有η∈ D、 在给出证明之前，让我们先说明描述vλ相关性的定理，以及它与比较的关系：定理4.4。Letuandvbe两个约束粘度解，对于所有α>0，都满足（4.1）和（4.2）。然后（i）u*（η） =v*（η） 对于所有η∈ D、 （ii）u*（η） =v*（η） 对于所有η∈D.尤其是，当效用函数U的合意弹性小于1时，值函数Vλ满足这些条件。证据我们首先证明以下内容：u*（η）≤ （五）*)*（η） 和v*（η）≤ （u）*)*（η）η∈ D（4.3）和（u*)*（η）≤ v*（η） 和（v）*)*（η）≤ u*（η）η∈D。