具有固定和比例的最优消费和投资

（4.4）定理4.3适用于u*和v*分别为u和v。因此，u*（η）≤ lim supα→0伏*（η+α）≤ （五）*)*（η） ，Altarovici，Reppen&Soner 22可选择η∈ D、 类似地，对于η∈D，v*（η）≥ lim infα→0件*（η）- α）≥ （u）*)*（η） 。交换上面的u和v，我们得到了语句的另一半。雇佣（4.3）两次yieldsu*≤ （五）*)*≤ v*≤ （u）*)*≤ u*,暗示u*= v*D.此外，通过（4.4），v*≥ （u）*)*≥ u*≥ （五）*)*≥ v*,暗示v*= u*在D中，最后，根据假设2.1和以下备注2.2，条件（4.2）满足vλ。现在选择任意α>0。那么，对于任何η∈ D Kλ，vλ（η+α）≥ vλ（α）≥U（rα）β>-∞,这源于kλ的定义，并通过选择消费量作为利息rα。因此，（4.1）也令人满意。请注意，ifuis是一个满足（4.1）和（4.2）的粘度解，但不一定所有α>0，与证明yieldsu中的参数类型相同*（η）≤ （vλ）*（η） ，则，η∈ 丹杜*（η）≤ （vλ）*（η） ，则，η∈D.该定理还证明了OREM 4.3中稍微非正统的比较陈述。事实上，传统的比较公式总是暗示约束粘度解是唯一的，因此是连续的。因此，vλ是真正不连续的，因此传统的比较公式无法区分粘度解的半连续包络。定理4.3的证明。第1步。我们只证明了纯固定成本情况下的比较定理（λf>，λp=0）。在λf和λp均大于0的情况下，对于所有固定财富水平sz，溶解度区域都是紧致的。当λp=0时，这种紧性很低，而在纯固定成本的情况下，证明事实上更为复杂（并且可以很容易地进行更一般的交易成本分析，如有必要）。我们将滥用符号并写出λ：=λf。步骤2。

通过矛盾的方式假设u（η）- v（η+α）>0在某点η∈ D、 注意，如果η∈ D、 thenu（η）>-∞.取任意γ<min{γ，1} >uη- vηα-zηα1-γ> 其中z（η）：=η·1d+1。设置ψι（η，ξ；γ）：=u（η）- v（ξ+α）- （z（ξ+α））1-γ-ι|η- ξ|。23固定成本和比例成本考虑到增长限制（4.2）onu和完整性假设onv，我们有ψ（η，ξ；γ）→ -∞在η中均匀分布为|ξ|→ ∞.因此，存在SL：=L（γ）>0，这样无论何时^ξ∈ Dsatis fiesz（^ξ+α）>L，然后所有η的ψ（η，^ξ；γ）<0∈ D、 这种构造在财富方向上解决了问题，然而，由于条带{η，ψ，ξ；γ）的最大化子可能不存在∈ D： z（η+α）≤ 五十} 在没有比例成本（即λp=0）的情况下不紧凑。第3步。满足η，ξ的条件∈Dψι（η，ξ；, γ） <∞.ηj，ξj∈ D×Dwhichψι（ηj，ξj；γ）→ supη，ξ∈Dψι（η，ξ；γ）asj→ ∞.让我们介绍一个smoothbump函数j:D→ r使得其峰值满足度j（ξj+α）=1，并且其支撑包含在相对开放的球inDof radiusr<min{α，λ}中。然后，凹凸函数hj满足一个简单的估计值|βh- L h |≤ ckhjkC（D），对于一些通用常量，根据市场参数和R>0。定义δj：=supη，ξ∈Dψι（η，ξ；γ）- ψι（ηj，ξj；γ）.显然，δj>0和δj→ 0作为j→ ∞. 最后，让我们观察到ψι，δj（η，ξ；γ）：=ψι（η，ξ；γ）+δjhj（ξ+α）有一个最大化子，即（ηj，ξj），它靠近（ηj，ξj）。我们将放弃附加符号，只假设最大值为（ηj，ξj）。第4步。我们现在在域α，L（γ）：={ξ上构造了一个严格的超解∈ D： α≤ z（ξ）<L（γ）}。我们声称提供了0<γ- γ是su ficientlysmall，那么对于所有 >0和JSU很大，函数V,δj（ξ）：=v（ξ）+（z（ξ））1-γ- δjhj（ξ）是动态规划方程dα，L（γ）的严格超解∩D.让Д成为一个平滑的测试函数，在某个点^ξ从下方接触vf。让我们写出eg（ξ）：=（z（ξ））1-γ。

我们从假设2.1中给出的statingvalue函数开始，对于γ充分闭合的tomin{γ，1}，存在ρ：=ρ（α，L（γ））>0，使得βg（ξ）- L g（ξ）>ρ，ξ∈ Dα，L（γ）。我们为其余的证明加上这样一个γ，并很快将其从旋转中消除。接下来，也很明显x个(g（ξ）- δjhj（ξ））>0，适用于所有ξ∈ Dα，L（γ）Altarovici，Reppen&Soner 24，前提是j足够大（即δjsu足够小）。然后是β（Д+g级- δjhj）- L（Д+g级- δjhj）-U（Дx+x个(g级- δjhj））=βД- L^1-U（Дx）+（βg- L g）- δj（βhj- L hj）+U（Дx）-U（Дx+x个(g级- δjhj））≥ （βg- L g）- δjckhkC≥ρ、 对于足够大的j。最后，我们证明了存在ρ：=ρ（α，L（γ））>0，使得v,δj-中压,δj≥ρ在Dα，L（γ）上。的确，v,δj- 中压,δj=v+g级- δjhj- M（v+g级- δjhj）≥ v- 中压+（g）- 毫克）- δjhj- M级(-δjhj）≥  infξ∈Dα，L（γ）（g- Mg）（ξ）- δjhj≥ ρ- δjckhjkC≥ρ、 对于足够大的j。设置ρ：=min{ρ，ρ}完成这一证明步骤。第5步。现在，我们对ψι，δj（η，ξ）：=ψι，δj（η，ξ；γ）的行为及其含义进行了一些观察。从现在起，我们必须足够大，所以δ：=δ（ι）∈ o（ι-1） 。调用函数ψι（η，ξ）=u（η）- v,δ（ξ+α）-ι|η- ξ|达到最大mιat（η，ξ）∈ D×D.标准参数Slimι→∞ι|ηι- ξι|→ 0andmι&m：=supη∈D{u（η）- v,0（η+α）}>0。第6步。WriteF（x，y，w，p，x）：=βw- rxp-dXi=1uiyipi+1-Tr[σ（y）σ（y）>X]-U（p），σyσy>σσ>dyyy在计算中更明确。因为它是一个子解决方案,δ是一个单独的解，Crandall-Ishii引理产生（ηι，u（ηι），pι，Xι）∈ J2，+u（ηι）注意到，虽然γ增加到γ，但γ可能增加到单位。

然而，在每种情况下（γ）都是有限的，对于选择的任何足够大的γ，所有的不等式仍然成立。25固定成本和比例成本（ξι+α，v,δ（ξι+α），pι，Yι）∈ J2，-v,δ（ξι+α）。自然，对应一个测试函数Дι≥ uto（ηι，u（ηι），pι，Xι）∈J2，+u（ηι），与ηι接触，位于ηι附近。我们主张（Дι）- Mι）*（ηι）≤0 asι→ ∞.如果不是这样，那么我们使用u是子解v这一事实,δ是一个超解，ξι+α∈D获得0≥ F（ηι，u（ηι），pι，Xι）- F（ξι+α，v,δ（ξι+α），pι，Yι）=βu（ηι）- rx（ηι）pι-dXi=1uiyi（ηι）pi+1ι-Tr[σ（y（ηι））σ（y（ηι））>Xι]-U（pι）- βv,δ（ξ＋α）+rx（ξ＋α）p＋dXi=1uiyi（ξ＋α）pi＋1＋Tr〔σ（y（ξ＋α））〕σ（y（ξ＋α））＞y＋U（p＋）≥ β（u（ηι）- v,δ（ξι+α））-Tr[σ（y（ηι））σ（y（ηι））>Xι- σ（y（ξι））σ（y（ξι））>yι]≥ β（u（ηι）- v,δ（ξι+α））- 3ι|ηι- ξιLσ≥β（u（ηι）- v,δ（ξ+α））>0，对于所有足够大的，这产生了矛盾。因此，（Дι）- Mι）*（ηι）≤ 0 asι→ ∞.第7步。我们再次考虑上一步中的测试函数Дι。在这一步中，我们的目标是修改测试函数Дι，以获得有利的不等式involvingu。首先，注意存在一个网{ηι，k（ι）}ι D如此|ηι- ηι，k（ι）|=o（ι-1） 和Дι（ηι）- Mι（ηι，k（ι））≤ o（ι-1） 。因此，I（ηι，k（ι））=.我们可以按以下方式修改Дι。设ιr>0足够小，以使ι在球bιr（ηι）中，其中ιr<max{λ，|ηι}。设R▄R（ηι）：={η∈ Br（ηι）：I（η）6=}.考虑setI（RR（ηι））：={ζ+ν：ζ∈ RR（ηι），ν∈ I（ζ）}。请注意，通过构造，nr（ηι）和i（r（ηι））之间的hausdorff距离是正的。设{ζt}t∈R RR（ηι）是点的任何连续统，使得z（ζs）<z（ζt），对于s<t和I（{ζt}t∈R） =I（RR（ηι））。

定义函数^ι（ζ）=（ιon D\\I（RR（ηι））（Mu）*（ζt）在I（ζt）上，t型∈ R、 重新定义Дι，以便Дι=^*ι在ηι处保持其局部性质，在全局上保持超半连续性，并确保Mι（ηι，k（ι））=（Mι）*（ηι，k（ι））=阿尔塔罗维奇、雷彭和索纳26（亩）*（ηι，k（ι））。第一个等式的后面是mι是上半连续的（因为ι是上半连续的），第二个等式的定义是ι。这就是定义3.4中需要放松测试功能的地方。因此0≥（Дι（ηι）- MИι（ηι））*=u（ηι）-（亩）*（ηι，k（ι））。我们已经知道了,δ（ξι+α）-中压,δ（ξι+α）≥ρ。将这些事实与我们之前的观察结果相结合，yieldsu（ηι）- v,δ（ξι+α）<（μ）*（ηι，k（ι））- Mv（ξι+α）-ρ。我们甚至可以传递到一个最大化序列{ηι，k（ι），l（ι）}这样i（η，k（ι），l（ι））= Mu（ηι，k（ι），l（ι））=（Mu）*（ηι，k（ι））+o（ι-1） ηι，k（ι），l（ι）=ηι+o（ι-1） 。注意|ηι- ξι|→0表示对于非常大的η，k（ι），l（ι）≤ ξι+α。因此，I（ξι+α）6=. 因此，Mv（ξι+α）>-∞.第8步。所有成分现在都存在，以推导出所需的矛盾。正如我们已经看到的（ηι）≤ Mu（ηι，k（ι），l（ι））+o（ι-1） 安德夫,δ（ξι+α）- 中压,δ（ξι+α）≥ρ。我们继续写emι=u（ηι）- v,δ（ξι+α）-ι|ηι- ξι|≤ Mu（ηι，k（ι），l（ι））- 中压,δ（ξι+α）-ρ-ι|ηι- ξι|+o（ι-（1）≤ supν∈I（ηι，k（ι），l（ι））{u（ηι，k（ι），l（ι）+ν）- v,δ（ξι+α+ν）}-ι|ηι- ξι|-ρ+o（ι-1） =supν∈I（ηkι）{u（η，k，l）+ν）- v,δ（ξι+αν）-ιη，k（ι），l（ι）- ξι|}-ρ+ι|ηι，k（ι），l（ι）- ξι|-ι|ηι- ξι|+o（ι-（1）≤ mι+ι（|ηι，k（ι），l（ι）- ξι|- |ηι- ξι|）+o（ι-（1）-ρ≤ mι-ρ+o（1），产生矛盾。5数值结果在这一部分中，我们构造并实现了确定无交易区域的算法和领先顺序下的最优策略。通过均匀化得到近似解λf，λp→该技术已成功地应用于研究各种摩擦下的默顿问题。

27固定成本和比例成本法需要将摩擦值函数扩展为λf中的一系列，λf无摩擦值函数是有限的（这是一个长期假设）。从降维的角度来看，无贸易区被限定在每个iso财富平面内。因此，如果此区域包含在计算域中，则控件将在边界处处于活动状态，从而使边界条件变得无关紧要。5.1无摩擦问题我们首先考虑在没有交易成本的环境中投资和消费的问题。由于交易是无成本的，因此相应的价值函数不单独取决于头寸x、yin、安全资产和风险资产，而只取决于总财富z=x+y·1d。众所周知（参见，例如，[，第十章]），无摩擦值函数求解动态编程方程0=eUvz（z）- βv（z）+Lv（z），（5.1），其中Lv（z）=vz（z）zr+vz（z）（u- r1d）·θ（z）+vzz（z）|σ>θ（z）|，（5.2），相应的最优消费率和最优风险头寸由κ（z）=（U）给出-1.vz（z）（5.3）和θ（z）：=-vz（z）vzz（z）（σσ>）-1（u- r1d）。（5.4）5.2均匀化在开始完整的渐近分析之前，在此阶段重写λf将很方便=λp=νp.我们选择这个参数化，以便所有即将展开的展开式只包含. 我们还将使用符号并写出v:= vλ。将展开式中的快速变量定义为ξ=y- θ（z）,ξ非贸易区的宽度。标准启发式参数可应用于λ1/4f∝ λ1/3产生ansatzv（x，y）=v（z）- u（z）- w（z，ξ）+o().Altarovici、Reppen&Soner 28将ansatz正式替换为DPE，由此产生了所谓的UANDW修正公式。

DPE由两部分组成，椭圆部分和非局部部分，它们需要单独展开。5.2.1非贸易区的扩展在许多论文中，椭圆表达式已经近似于领先顺序，例如[1]。同样的计算得出βv（x，y）-欧盟vx（x，y）- L v（x，y）=-βu（z）- Lu（z）+κ（z）uz（z）+σ>ξ| vzz（z）-Tr[α（z）α（z）>wξξ（z，ξ）]+ o(),对于微分算子Lfrom（5.2）和α（z）=（Id- θz（z）1>d）diag[θ（z）]σ。满足方程式（2.4）的椭圆部分，大宗交易以领先顺序O()—因此等于0=βu（z）-Lu（z）+κ（z）uz（z）+σ>ξ| vzz（z）-Tr[α（z）α（z）>wξξ（z，ξ）]。（5.5）5.2.2贸易区域的扩展V≥ 中压该读数Sv（z）- u（z）- w（z，ξ）+o() ≥ sup^ξnv（^z）- u（^z）- w（^z，^ξ）o，其中^z=z- - νpk^y- yk=z- （1+νpk^ξ）- ξk）且当上确界被接管时，允许的投资组合头寸^ξ与财富^z。如果平滑，则w（^z，^ξ）=w（z，^ξ）+o(). 正式开始时，我们观察到0≥ sup^ξnv（^z）- v（z）- （u（^z）- u（z））- （w（^z，^ξ）- w（z，ξ））o=sup^ξ{-vz（z）（1+νpk^ξ- ξk）+w（z，ξ）- w（z，^ξ）}+o()= w（z，ξ）- vz（z）- inf^ξ{vz（z）νpk^ξ- ξk+w（z，^ξ）}+ o().29固定成本和比例成本在前一级，w应满足w（z，ξ）≤ vz（z）+infξ{vz（z）νpkξ- ξk+w（z，ξ）}（5.6），在贸易区内保持平等。备注5.1。条件（5.6）的解释很有吸引力。先前的研究表明，该函数可以被视为遍历ξ^ξνpk^ξ中的潜在函数- ξk交易isv（z）导致的领先订单效用损失- v（^z）≈ vz（z）（z- z） =vz（z）（1+νpk^ξ- ξk）.因此，（5.6）意味着当效用损失可以由潜在w（z，ξ）的变化产生时，交易应该准确发生- w（z，ξ）。5.2.3校正方程使用形式展开结果编写DPE（2.4），得到一对称为校正方程的耦合方程。

如果任意z>0，我们希望找到未知对（a（z），w（z，·））∈ R+×C（Rd），满足第一个校正方程最大值|σ> ξ| vzz（z）-Tr公司α（z）α（z）>wξξ（z，ξ）+ a（z），（5.7）w（z，ξ）- vz（z）- inf^ξ∈Rdnvz（z）νpk^ξ- ξk+w（z，^ξ）o= 0。（5.8）然后通过求解everyz>从第一个校正方程中获得函数（z）。v展开式中的前序项通过求解第二修正方程βu（z）中的u（z）得到- Lu（z）+κ（z）u（z）=a（z），z∈ R+。5.3数值方法如前所述，第一个校正方程（5.7）源自遍历控制问题。更准确地说，问题定义如下。Finda（z）由a（z）给出：=infm，τJ（z，m，τ），其中成本函数J由J（z，m，τ）定义：=lim supT→∞TE公司ZT公司-vzz（z）|σ>ξs | ds+vz（z）∞Xk=1（1+νpkmk）1{τk≤T},Altarovici，Reppen&Soner 30和状态过程ξ=（ξt）t∈[0，∞)根据ξt=ξ+α（z）Bt演变+∞Xk=1mk{τk≤t} 对于标准的d维布朗运动B，在控制不是脉冲类型的环境中，可以用对时间绝对连续的控制来近似。然后可以将问题离散化，使标准策略迭代技术发挥作用。事实上，如果操作得当，离散HJB方程将是奇异控制对应物的最终版本。这是以一种隐含的方式完成的，即策略迭代为第一个修正方程的惩罚版本提供解决方案。该问题将在FIXEDZ中解决，作为起点，该问题将在[]中所述的剩余空间变量中解决。此处未明确说明的任何离散化将遵循该方案。如下文所述，脉冲控制被单独分解，由此产生的受控过程是一个连续时间马尔可夫链，可以对其实施策略迭代方案。Lmξmm。

，mdmidinance to move in directioni，即移动lmξ、ξ从ξ移动到ξ的网格点的数量。LetLm=L+LmK，其中，lis操作符对应于方程的椭圆部分，LmK包含控件激活时产生的附加项。为了说明脉冲控制跳跃，我们设置lmk（ξ，ξ）=-K和LmK（ξ，ξ+m）=上述kk问题，但控制方向上的跳跃不一定发生。相反，以发生跳跃为条件，状态会移动墨迹→ ∞此外，在给定时间间隔内跳转的概率也倾向于1 asK→ ∞如果控件处于活动状态。从这个意义上说，它们近似于控制的奇异性。最后，通过对运行成本进行离散化，重新制定了适用的技术（参见，例如，[40]）。也就是说，computea（z）：=infmJ（z，m），31固定和比例成本，其中J是J（z，m）给出的成本函数：=lim supT→∞TE公司ZT公司-vzz（z）|σ>ξs |+Kvz（z）（1+νpkmk）1{m6=0}ds,以ξt=ξ+^Bαt+Xs为准≤tm（ξs）NsNK^Bαtof过程α（z）bt对应的toL。该遍历控制问题的DPE正是第一个修正函数椭圆部分的离散化。对于固定财富Z，使用有限网格onRd，其中D表示风险资产的数量。用N表示D和setfm中的网格点数（ξ）：=-vzz（z）|σ>ξ|+Kvz（z）（1+νpkmk）1{m6=0}，ξ∈ D、 当然，由于计算领域是有限的，我们还必须指定边界条件。如果受控过程到达边界的概率足够小，边界条件对最终结果的影响可以忽略不计。事实上，如上所述，如果该领域内包含无贸易区，因此边界控制活跃，边界条件的影响甚至会进一步减弱。

为此，数据应足够大，以使连续区域完全包含在内部。也就是说，在D、 投资者应希望交易到被解释为转移率矩阵（例如齐次纽曼条件）的DLM中。算法如下所示。初始化启动策略M∈ Rd×Nand选择一个大于0的足够大的起始值。然后选择公差水平τ≥ 0和迭代：我们甚至可以取τ=0，因为最终ai=ai+1。Altarovici，Reppen&Soner 32策略迭代算法（i）计算（w，ai+1）∈ RN×R+使xξ∈DLmi（ξ，ξ）w（ξ）+fmi（ξ）=ai+1，ξ∈ D、 如果| ai停止- ai+1 |≤ τ。（ii）对于每个ξ∈ D、 计算mi+1（ξ），其中mi+1（ξ）∈ arg最小ξ+^m∈DXξ∈DL^m（ξ，ξ）w（ξ）+f^m（ξ）.（iii）返回步骤（i）。5.4结果解释此后，资产数量将为1或2。在下面的结果中，除非另有说明，否则我们将使用以下符号。资产回报率由u和u表示，即u=uu.协方差矩阵通过方差σ、σ和相关ρσσ>=σρσσρσσ.rβ率，γ是CRRA效用函数的弹性u（c）=（c1-γ1-γ、 γ6=0，ln c，γ=0。对于fixedz，渐近问题在ξ-空间中求解。为了对结果做出有意义的解释，我们将其视为ξ-空间中某个非零水平 >根据这种解释，交易成本精确为λf=λp=νp. 的价值仅进入解释，选择仅影响两者之间的关系。边界条件的选择应确保pξ∈DLm（ξ，ξ）=0表示所有ξ∈ D、 由于系统是欠定的，可以对wjc进行归一化，使w（0）=0，而无需修改方程。33固定成本和比例成本交易成本和财富水平。为了简化解释，选择λf=1和λp=νp。