模型不确定性下的Fatou贴近度

此外，根据（4.5），对于任何y∈ Rhat X- y∈ C当且仅当0≥ supQ公司∈CEQ【X】- y] =-y+supQ∈CEQ[X]证明了（4.6）。定理3.1的辅助结果调用（3.2）中定义的集合Z。提案A.1。如果Z=, 然后存在一个可数子步骤 P使EP≈ P、 后者意味着有一个概率测度Q∈ Msuch that{Q}≈ P、 证明。我们认为，对于每一个ε>0，都存在P，Pn编号∈ P和δ>0，使得pi（A）<δ，对于所有i=1，n意味着对于所有P∈ 我们有P（A）<ε。假设情况并非如此。然后存在ε>0，使得对于任何P∈ P有一个∈ F和P∈ P满足P（A）<1/2和P（A）≥ ε。那么还有一个∈ F和P∈ P使得P（A）<1/4，P（A）<1/4 while P（A）≥ ε。继续此过程，我们会发现序列（An）n∈N F和d（Pn）n∈N∈ P使得pi（An）<n，i=1，n、 和Pn+1（An）≥ ε。考虑N：=Tn∈NSk公司≥纳克。然后，对于每个i，Pi（N）=0∈ N、 因为对于所有N>（i- 1） Pi（N）≤∞Xk=nPi（Ak）≤n-1、因此，将上述序列ANBn替换为：=An，N∈ N、 我们还有π（Bn）<N，i=1，n、 Pn+1（十亿）≥ ε。现在让En：=Sk≥nBk，n∈ N、 因此，En↓ . 但是，对于每个n∈ Nc（英语）≥ Pn+1（En）≥ Pn+1（十亿）≥ ε与Z相矛盾=.现在让δn>0，让P（n），P（n）m（n）∈ 对于所有的P∈ 对于所有i=1，…，当P（n）i（A）<δ时，它保持P（A）<1/n，m（n）。定义u：=∞Xn=1m（n）Xi=1niP（n）i.然后u∈ ca+，且u（A）=0意味着对于所有i=1，…，P（n）i（A）=0，m（n）和n∈ N、 最终，这意味着对于所有P∈ 对于所有n，我们有P（A）<1/n∈ N、 henceP（A）=0。星期四：={P（n）i | i∈ {1，…，m（n）}，n∈ N} 和Q：=u(Ohm)u满足断言。提案A.2。设（B，k·k）为随机变量的（等价类）Banach格(Ohm, F） 包含所有简单随机变量，以便≤ 关于Bsatis fies 0≤ 1A级≤ 1A′每当A A’代表A，A’∈ F

如果B* ca，在某种意义上，everyl∈ B*类型L（X）=ZX du，X∈ B、 对于某些u∈ ca，然后是k1Ank→ 0（n→ ∞) 适用于所有（An）n∈N F使得↓ .相反，如果k1Ank→ 0（n→ ∞) 适用于所有（An）n∈N F使得↓ , 然后是everyl∈ B*有一个u∈ 对于所有简单随机变量Y，l（Y）=RY du。证据假设B* ca和let（An）n∈N F使得↓ . 然后1An→ 0关于σ（B，B*) 因为B中的每个元素*对应于σ-相加度量。因此，0∈co{1An | n∈ N} 其中σ（B，B）中取闭包*)-拓扑结构。作为σ（B，B）中的闭凸集*)-在范数拓扑重合的情况下，我们得到了一个凸组合序列sck：=m（k）Xi=1ai（k）1Ani（k），k∈ N、 其中ai（k）∈ R和n（k）≤ n（k）≤ . . . ≤ nm（k）（k）表示所有k∈ N这样kckk→ 0代表k→ ∞. 此外，由于0∈co{1An | n≥ N}对于任意N∈ N、 我们可以假设N（k）≤ n（k+1）表示所有k∈ N、 然而，ck≥ 1此处Ak=Anm（k）（k），因为 An+1表示所有n∈ N、 因此，由于k·k是格范数，子序列1akconverge to 0 in norm，因此1akconverge to 0 in norm拓扑（同样由于 An+1表示所有n∈ N） 。最后，要反对k1Ank→ 0（n→ ∞) 适用于所有（An）n∈N F使得↓ . 然后对于任何l∈ B*, 设置函数u（A）：=l（1A），A∈ F、 是σ-相加。通过l的线性，我们推导出对于所有简单随机变量X，l（X）=RX du。B Penot–Volle对偶定理定理B.1。（参见[FM11，定理1.1]）设L为局部凸拓扑向量空间，L′为其对偶空间，f:L→ R：=R∪ {-∞} ∪ {∞} 拟凸且下半连续。Thenf（X）=supX′∈L′R（X′（X），X′）（B.7），其中R:R×L′→ R由R（t，X′）定义：=infξ∈Lf（ξ）| X′（ξ）≥ t型. （B.8）参考文献【AB06】Aliprantis C.D.，Border K.C.，有限维分析，柏林斯普林格，2006年。【AB03】Aliprantis C。

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