模型不确定性下的Fatou贴近度

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《The Fatou Closedness under Model Uncertainty》
---
作者：
Marco Maggis, Thilo Meyer-Brandis and Gregor Svindland
---
最新提交年份：
2018
---
英文摘要：
  We provide a characterization in terms of Fatou closedness for weakly closed monotone convex sets in the space of $\\mathcal{P}$-quasisure bounded random variables, where $\\mathcal{P}$ is a (possibly non-dominated) class of probability measures. Applications of our results lie within robust versions the Fundamental Theorem of Asset Pricing or dual representation of convex risk measures.
---
中文摘要：
我们给出了$\\ mathcal{P}$-拟有界随机变量空间中弱闭单调凸集的Fatou闭性的一个刻画，其中$\\ mathcal{P}$是一类（可能是非支配的）概率测度。我们的结果应用于稳健版本的资产定价基本定理或凸风险度量的对偶表示。
---
分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Functional Analysis        功能分析
分类描述：Banach spaces, function spaces, real functions, integral transforms, theory of distributions, measure theory
Banach空间，函数空间，实函数，积分变换，分布理论，测度理论
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--

---
PDF下载：
--> The_Fatou_Closedness_under_Model_Uncertainty.pdf (233.24 KB)

2022-5-27 14:23:13 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：不确定性 fat 不确定 确定性 Applications

模型不确定性下的Fatou封闭性Marco-Maggis*,米兰大学数学系，ItalyThilo Meyer Brandis+，Gregor Svindland数学研究所，德国慕尼黑大学2018年2月28日摘要我们提供了一个关于P-拟序有界随机变量空间中弱闭单调凸集的Fatou闭性的特征，其中P是一类概率测度（可能是非支配的）。我们的结果应用于资产定价的基本定理或凸风险度量的对偶表示。关键词：容量、Fatou封闭性/性质、顺序封闭性、模型不确定性下的凸性、资产定价基本定理。MSC（2010）：31A15，46A20，46E30，60A99，91B30.1简介一个归因于Grothendieck（[Gr54，p321，练习1]）的新结果，基于Krein-Smulian定理，刻画了L∞P： =L∞(Ohm, F、 P），其中(Ohm, F、 P）是一个概率空间，通过一个称为Fatouclosedness的属性，如下所示：定理1.1。让A L∞Pbe凸面。等价物为：（i）A为弱*-闭合（即σ（L）中闭合∞P、 LP））。*电子邮件：marco。maggis@unimi.it+电子邮件：meyerbra@math.lmu.de电子邮件：svindla@math.lmu.de（ii）A是Fatou关闭的，即如果（Xn）n∈N A是一个有界序列，它几乎肯定会将P收敛到X，然后收敛到X∈ A、 请注意，L∞从这个角度来看，定理1.1中的性质（ii）等于a的序列序闭度，这实际上意味着自L∞Phas可数上确界，即每一个具有上确界的非空子集都包含一个具有相同上确界的可数子集。定理1.1非常有用，经常应用于数学金融文献中，例如资产定价基本定理的分类，参见。

[DS94]或[DS06]，或在凸风险函数的双重表示中，参见例如[FS04]。在所有情况下，问题是L的范数对偶∞Pc包含所需的奇异元素，而在弱*-对偶（L∞P、 σ（L∞P、 LP））对偶空间的元素用σ-加性测度来识别。然而，由于弱*-拓扑通常不是第一个可数的，因此验证某些集合是弱*-闭的通常是相当具有挑战性的。这就是定理1.1证明有用的地方。本文的目的是研究当概率测度P被上的一类概率测度P代替时，定理1.1的存在性(Ohm, F） 。一般来说，P d类不允许存在支配概率。例如，该结果的应用领域是数学金融领域，目前有很多精力推导资产定价基本定理的版本，以及研究[Be13、BK12、BN15、BFM15、Nu14、Vo14]中所谓稳健框架中凸风险函数的表示形式。这种框架越来越流行，用来描述决策者必须处理模型模糊性带来的不确定性。这里，决策者考虑的概率模型P类代表了她对正确概率模型的模糊程度。如果P={P}，则没有歧义。在许多解释模型模糊度P的研究中，事实上证明它是一类非支配的概率度量，请参见[BK12、BN15、BFM15、Nu14]及其参考文献。我们将在鲁棒概率框架中展示定理1.1的一个版本(Ohm, F、 P），见定理3.9。Letc（A）：=su pP∈PP（A），A∈ F、 表示P产生的容量。

关于凸集A和onL的若干条件∞cwe获得（WC）A之间的等效性 L∞cisσ（L∞c、 cac）-关闭，（FC）A L∞cis Fatou闭包：对于任何有界序列{Xn} A和X∈ L∞csuchthat Xn→ X P-准肯定有X∈ A、 其中L∞cand和CAC是L∞Pand lp分别由容量c给出，P拟纯收敛意味着eachQ下的Q-几乎肯定收敛∈ P、 我们在A上需要的条件是单调性（A=A+（L∞c） +）和一种称为P敏感性的属性。单调性在经济应用中通常是令人满意的，我们表明P敏感性确实是一个必要条件（WC）<=> （FC），请参阅位置3.8。如果P占主导地位，则P敏感性总是充满。另一项对我们证明（WC）至关重要的要求<=> （FC）是指CAC的对偶空间可以用L表示∞c、 这个条件暗示了Banach格L的序完备性∞c、 即L的任何有界子集存在上确界∞c、 seeProposition 3.10，因此它对应于[Co12，STZ11]中的聚集类型结果。如果L∞cis顺序完成，则属性（FC）等于顺序闭合度A。然而，订单完整性并不意味着L∞Cpossses the countable supperty，see Example 3.11，因此即使在这种情况下（FC）通常也不会实现A的闭度。我们还提供了一个反例，表明对于非支配P，没有（WC）的证明<=> （FC）无进一步要求，如P-灵敏度，参见示例3.4。此外，我们还说明了许多条件，尤其是在P上，人们会首先想到确保（WC）<=> （FC），确实意味着P是占优的，所以我们回到定理1.1。

因此，本文的另一个贡献是对人们在试图将定理1.1推广到robustcase时可能遇到的谬误提供了更深入的见解。本文的结构如下：第2节提供了一系列有用的注释，这些注释将贯穿全文。第3节包含了本文的主要结果，尤其是定理3.9是定理1.1的健壮版本。最后，第4节收集了第3.9条在数学金融领域的应用。在这里，我们并不假设领导者熟悉数学金融。然而，我们尽量保持陈述的简洁，参考相关文献了解更多背景信息。2注释为了清晰起见，我们在这里提出了一份我们将在本文中使用的基本注释和定义列表。让(Ohm, F） 是任何可测量的空间。（i） ba：={u：F→ R |u是完全相加的}和ca：={u：F→ R |u是σ-添加剂}。这两个都是Banach格，一旦赋予总变化范数T V和|u|=u++u-其中u=u+- u-是Jordan分解（有关更多详细信息，请参见[AB06]）。（ii）ba+（分别为ca+）是所有正加性（分别为。

σ-加法）设置函数(Ohm, F） 。（iii）在没有任何参考概率度量的情况下，我们有以下随机变量集SL：={f：Ohm → R | f是f-measure ab le}，L+：={f∈ L | f（ω）≥ 0， ω∈ Ohm},L∞:= {f∈ L | f是边界}。特别是L∞是（逐点）上确界范数k·k下的Banach空间∞带双空格ba。（四）M ca+是上所有概率度量的集合(Ohm, F） 。（v） 在本文中，我们确定了一组概率测度P M、 （vi）我们引入了次线性期望c（f）：=supQ∈PEQ【f】，f∈ L+，通过滥用符号，我们定义了A的容量c（A）：=c（1A）∈ F、 （vii）LetbP，eP M、 bP支配EP，用EP表示<<bP，如果全部为A∈ F： 支持∈bPP（A）=0=> 支持∈ePP（A）=0。我们说两类BP和EP是等价的，用BP表示≈eP，ifeP<<bP和bP<<eP。（viii）如果声明对任何q持有q-几乎肯定（A.s.），则声明持有P-准肯定（q.s.）∈ P、 （ix）由c支配的完全可加（或可数可加）集函数的空间由bac={u给出∈ ba |u<< c} （相应的cac={u∈ ca |u<< c} ）。此处u<< cmeans：对于某些A，c（A）=0∈ F表示u（A）=0。当P={Q}时，为了简单起见，我们将写baQor-caqf。（x） 我们考虑商空间Lc：=L/~其中，等效性由f给出~ g级<=> P∈ P:P（f=g）=1。我们将使用大写字母来区分随机变量的等价类x∈ LCF代表∈ 十、 带f∈ 五十、 如果P={Q}，我们将写Qin而不是Lc。Radon-Nikodym定理（[AB06，Th eorem 13.18]）的一个众所周知的结果是，Caqm可以与LQ识别。（xi）对于任何f，g∈ L和P∈ M、 我们写f≤ g P-a.s.当且仅当P（f≤ g） =1。类似f≤ g P-q.s.当且仅当f≤ g P-所有P的a.s∈ P、 这个关系是L上的偏序，它也包括LCX上的偏序≤ Y forX，Y∈ Lcif且仅当f≤ g P-q.s。

对于任何f∈ X和g∈ Y（xii）我们定义∞c： =L∞/~并赋予这个空间normkXkc，∞:= inf{m |P∈ P:P（| X |）≤ m） =1}。（L）∞c、 k·kc，∞) 是具有相同偏序的Banach格≤ 与信用证相同。其标准为bac。如果P={Q}，我们写L∞Q和k·kQ，∞为了简单起见。注意k·kc，∞对于P的任何选择，都不能是顺序连续的。为了简单起见，如果没有混淆的风险，我们将遵循通常的惯例，用L中的随机变量所诱导的等价类来识别L中的随机变量（在Lc中，L∞c、 LQor L公司∞Q） 反之亦然。3为了得到定理1.1的稳健版本，我们首先回顾非平凡蕴涵（ii）的p屋顶=> （i） 定理1.1的思想是应用Krein-Smulian定理，这意味着我们只需要证明集合：=A∩ {X∈ L∞P | kXkP，∞≤ K} 对于任何常数K>0，都是弱*-闭合的。现在我们可以调用L的可数sup属性∞Pto发现（ii）意味着（i），请参见【AB03，定义1.43和后续讨论】。但是，在我们设想的强健环境中∞C通常不具有此属性（参见示例3.11），我们通过包含以下内容的方法提供了一个替代参数：i：（L）∞P、 σ（L∞P、 LP））→ （LP，σ（LP，L∞P） ）（3.1）注意i是连续的。现在，由于A是Fatou闭的，即在有界P-A.s.收敛下是闭的，因此i（CK）是Banach空间的闭子集（LP，EP[|·|]），因此i（CK）也是弱的（即σ（LP，L∞P） ）由凸性封闭，因此最终CKmustbe弱*-由i的连续性封闭。证明定理1.1稳健版本的自然方法是“稳健”空间，并尝试重复上述论点。这有两个自然的候选者：LetHc：={X∈ L | c（| X |）<∞}, 标准kXkc：=c（| X |）。然后很容易证明（Hc，k·kc）是一个Banach晶格。

但在稳健的情况下，还有另一个候选者，即Mc：=L∞它也是一个范数为k·kc的Banach格。这些空间最近在文献中进行了研究，参见[DHP11]和[Nu14]，它们似乎是不确定性下emb ed财务建模的自然环境。很明显，我∞c Mc公司 Hc公司 信用证。请注意，包含的技巧（3.1）要求Lp的n或mdual可以用L来识别∞P、 特别是对于LPS的子集，在后一种情况下，LPS被视为caP的表示。因此，读者可以很容易地检查，如果范数对偶M，我们可以保存上述论点*坎德H*cof MCA和Hc分别满足M*c ca或H*c 下面的g定理3.1表明，只有当P是占优的时，才是这种情况。为此，用z表示：={（An）n∈N F |安↓  和c（An）6→ 0}，（3.2），其中↓  意味着 An+1，An6=, n∈ N、 和TN∈NAn=, c不连续的集合的递减序列。定理3.1。考虑以下条件：（i）Z=.（ii）M*c 约（iii）H*c ca.然后（i）<==> （二）<== （iii）。特别是，如果Z=, 然后存在一个可数子步骤 P使EP≈ P、 因此有一个概率测度Q∈ Msuch that{Q}≈ P、 证明。（一）=> （ii）：根据命题A.2，对于任何l∈ M*C此处为u∈ 对于所有简单随机变量X，l（X）=RX du。此外，u∈ cac，因为c（A）=0意味着L（1A）=0，A∈ F、 任意X的起始值∈ L∞cand任意n∈ N根据积分理论中常用的近似方法，有一个简单的随机变量Xnsuch | X-Xn |<1/n P-q.s.，so kX- Xnkc<1/n，l的连续性和支配收敛定理M（X）=limn→∞l（Xn）=limn→∞ZXndu=所有X的ZX du∈ L∞c

我们记得在[DHP11]命题18中，以下关系是shownmc={X∈ Hc | limn→∞kX1{| X|≥n} kc=0}。因此，对于X∈ （Mc）+我们通过单调收敛得到l（X）=limn→∞l（X1{| X|≤n} ）=limn→∞ZX1{| X|≤n} du=ZX du。最后，分解X∈ Mcinto X+- 十、-带X+，X-∈ （Mc）+和l的线性，积分显示（ii）。（二）=> （i） 和（iii）=> （i） 直接从命题A.2开始，这个定理的最后一个陈述是命题A.1。备注3.2。请注意，Z= 等价于k·kc的顺序连续性。根据定理3.1，如果P不是占优的，那么Z 6= 因此，范数k·kcon Mcor hc不是顺序连续的。还要注意的是，定理3.1的最后一条陈述的反方向不是真的，即Z 6=并不意味着P不占优势。要看到这一点，让我们↓  并选取概率度量Pn的序列，使得Pn（An）=1表示所有n∈ N、 设P={Pn | N∈ N} 。那么，很明显，对于每个n，k1Ankc=1。因此，k·kc不是顺序连续的，Z 6= 安图斯M*c6类 然而，我们有{Q}≈ P表示Q=P∞n=1nPn。调用条件（WC）A L∞cisσ（L∞c、 cac）-关闭。（FC）A L∞cis Fatou closed：对于任何有界序列Xn A和X∈ L∞csuch thatXn→ X P-q.s.我们有X∈ A、 很容易验证始终（WC）==> （FC）由于任何有界P-q.s.收敛序列也在σ（L）中收敛∞c、 cac）至相同限值。然而，通常没有（FC）的限制==> （WC）即使A是凸的，也需要A的单调性，即A+（L∞c） +=A，此外，不充分：定理3.3。让A L∞cbe凸和单调。如果没有关于P或A的进一步假设，则不存在（FC）的证据=> （WC）。下面的例子3.4给出了定理3.3的证明，其中我们给出了（FC）的反例==> （WC）假设连续统假设。所以在连续体假设（FC）下==> （WC）确实是错误的。

请注意，由于连续体假设与人们所认为的标准数学公理没有冲突，因此当然没有办法超越（FC）==> （WC）即使我们不相信连续统假设。示例3.4。考虑度量空间(Ohm, F） =（[0，1]，P（[0，1]），其中P（[0，1]）表示[0，1]的幂集。假设连续统假设。Banach和Kuratowski已经证明，对于与R具有相同基数的任何集合I，在（I，P（I））上没有度量u，因此对于所有ω，u（I）=1，u（{ω}）=0∈ 我例如参见[Du02，定理m C.1]。因此，任何概率度量u超过(Ohm, F） 必须是加权狄拉克测度的可数和，即u=P∞i=1aiδωiwhere ai≥ 0，Pni=1ai=1，ωi∈ Ohm,我∈ N、 （回想一下ω∈ Ohm 和A∈ F： Δω（A）=1当且仅当ω∈ A和Δω（A）=0，否则。）事实上，让u∈ M、 让：={ω∈ Ohm | u（{ω}）>0}。那么S最多可以是可数的（考虑集合Sn：={ω∈ Ohm | u（{ω}）>1/n}，n∈ N、 注意S=Sn∈NSn）。现在假设u（[0，1]\\S）>0，则as[0，1]\\S具有与[0，1]相同的基数，这意味着存在一个原子，用于度量u限制为[0，1]\\S，即存在^ω∈ [0，1]\\S使得u（[0，1]\\S）u（{ω}）>0。这显然与S的定义相矛盾。设P：={Δω|ω∈ [0，1]}是所有Dirac测度的集合。Thenc（| X |）=supω∈[0,1]| X（ω）|，所以结果是∞c=Mc=Hc=L∞. 因此，（L∞c）*= M*c=H*c=ba，asc（A）=0等于A=, 我们还有cac=ca。考虑setC：={1A | 6=A [0，1]是可数}，设A是序列有界P-q.s.收敛下C的凸闭包。然后1 6∈ A： 实际上，任何X=Pni=1aiAi，ai≥ 0，Pni=1ai=1，1ai∈ C、 在凸面hullof C Saties 0中≤ 十、≤ 1AX其中AX：=Sni=1AII可计数。