体积在订单动态中的作用：一个多变量霍克斯过程

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英文标题：
《The role of volume in order book dynamics: a multivariate Hawkes process
  analysis》
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作者：
Marcello Rambaldi, Emmanuel Bacry, Fabrizio Lillo
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We show that multivariate Hawkes processes coupled with the nonparametric estimation procedure first proposed in Bacry and Muzy (2015) can be successfully used to study complex interactions between the time of arrival of orders and their size, observed in a limit order book market. We apply this methodology to high-frequency order book data of futures traded at EUREX. Specifically, we demonstrate how this approach is amenable not only to analyze interplay between different order types (market orders, limit orders, cancellations) but also to include other relevant quantities, such as the order size, into the analysis, showing also that simple models assuming the independence between volume and time are not suitable to describe the data.
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中文摘要：
我们表明，多元Hawkes过程与Bacry和Muzy（2015）首次提出的非参数估计方法相结合，可以成功地用于研究订单到达时间与其规模之间的复杂相互作用，这是在限额订单簿市场中观察到的。我们将此方法应用于在欧洲期货交易所交易的期货的高频订单数据。具体而言，我们证明了这种方法不仅适用于分析不同订单类型（市场订单、限价订单、取消）之间的相互作用，而且还适用于将其他相关数量（如订单规模）纳入分析，还表明假设数量和时间独立的简单模型不适合描述数据。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> The_role_of_volume_in_order_book_dynamics:_a_multivariate_Hawkes_process_analysis.pdf (3.59 MB)

2022-5-30 11:46:05 上传

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关键词：多变量 Quantitative Multivariate Econophysics Successfully

数量在订单动态中的作用：多变量霍克斯过程分析Marcello Rambaldi、Emmanuel Bacry和Fabrizio Lilloscoola Normale Superiore，Piazza de Cavalieri 7，Pisa 56126，ItalyCentre de Math’ematiques Applique’ees，CNRS，Ecole Polytechnique，UMR 7641，91128 Palaiseau，FranceAbstractWe表明，多元Hawkes过程与Bacry和Muzy（2015）首次提出的非参数估计程序相结合，可以成功地用于研究订单到达时间与其规模之间的复杂相互作用，这是在限额订单簿市场中观察到的。我们将此方法应用于在欧洲交易所交易的期货的高频订单数据。具体而言，我们证明了这种方法不仅可以分析不同订单类型（市场订单、限价订单、取消）之间的相互作用，还可以将其他相关数量（如订单规模）纳入分析，还表明假设数量和时间独立的简单模型不适合描述数据。1简介订单建模是一项复杂的任务。事实上，即使在最简单的设置中，多种类型的订单（限价订单、市场订单、取消）也会在一个月内到达市场，并且每种订单都有一个标签，指定要协商的数量（称为数量）和价格。对这个系统的数学描述有几个挑战。首先，泊松过程不能很好地描述订单的到达时间（例如，参见（Chakraborti et al.，2011）和其中的参考文献）。事实上，事件之间的持续时间不是独立的，而是显示出很强的相关性。此外，体积序列也呈现出非平凡的相关性（Gould et al.，2013）。此外，它们之间的相互作用是相关的，需要加以考虑，以便深入了解该系统。

最后，可能相互影响的不同类型事件的存在进一步增加了问题的复杂性。在本文中，我们有兴趣探索订单规模对订单账面动态的影响。为了解决问题，让我们首先考虑一种类型的事件，比如交易的发生。从统计学角度来看，交易和相应交易量的观察代表了标记点流程的实现（ti，vi）。由于我们对订单规模对动态的影响感兴趣，反之亦然，因此我们无法将交易量建模为一个独立的标记过程，而是需要考虑它们的独立性。标记和基础点过程之间的这种双向反馈机制对建模人员来说是一个挑战。自回归条件持续时间框架中提出了该系统的一些模型（Engle和Russell，1998；Bauwens等人，2004；Pacurar，2008）。这些模型使用持续时间表示来描述点流程。点过程的第i个持续时间定义为di=ti-ti公司-1、ACD模型可总结如下：di=ψi我，我~ i、 内径（1，σ)ψi≡ E[di | Fi；θd]（1），其中θdis是要估计的一组参数。必须为ψ指定参数形式。当标记进入图片时，用dit表示第i个持续时间，用xitherelative标记表示，可以写入数据生成过程（dt，xi）~ f（di，xi | Fi）（2），其中f是第i个持续时间的联合分布，标记以所有可用信息Fi为条件。正如Engle（2000）所指出的，这种节理密度可以写成（di，xi）~ f（di，xi | Fi）=g（di | Fi）·h（xi | di，Fi）（3）因此，构建模型的可能方法是指定f或g和h以及误差项的分布。例如，Manganelli（2005年）采用了这种方法。

在这一系列文献中，使用Engle和Russels的ACD模型描述了事件过程。然后，必须为每个标记的条件分布指定一个模型。这些模型具有很大的灵活性，但也存在一些明显的局限性。事实上，参数没有明确的解释，因此激振结构不容易恢复。更重要的是，这些模型具有很强的参数性，误差分布的选择会对模型性能产生很大影响（Allen等人，2009）。更一般地说，在选择g和h的函数形式时，一个强大的结构是先验的。最后，ACD模型的一个严重限制是基于持续时间的方法不容易推广到多维度。因此，很难扩展这些模型来描述整个订单图书动态。相反，基于强度的方法更易于扩展到多个维度。在基于强度的模型中，霍克斯自激过程（Hawkes，1971）已成功地应用于金融领域，以模拟大量事件类型（交易、报价等）的不规则到达时间，例如Bowsher（2007）；Bacry等人（2013年）；菲利莫诺夫和索内特（2015）；Bormetti等人（2015年）；Hardiman等人（2013年）；Bauwens和Hautsch（2009）；Rambaldi et al.（2015）和Bacry et al.（2015）进行了重新审查。Hawkes过程是一类双随机点过程，其中事件到达时间λt是一个随机函数。

特别是，在时间t，λtis由λt=u+Zt给出-∞φ（t- s） dNs=u+Xti<tφ（t- ti）（4）式中，u是一个恒定的基线强度，函数φ（称为过程的核心）是一个非负函数，它是因果函数（从其支持度在于R+）的意义上，它决定了过去事件对事件率现值的影响。该过程可以很容易地推广到多变量设置。用D表示组分数量，组分i的强度读数为λit=ui+Zt-∞DXj=1φij（t- s） dNjs（5），其中φij（t）确定了过去j型事件对I型事件强度的影响。让我们注意到，在下面，我们将不同地使用符号φijorφ（j→ i） （虽然较重，但最后一个符号的优点是可以清楚地指示因果关系的方向）。10-410-310-2t（s）0.00.20.40.60.81.01.2Kernel值×103φ（2→2） φ（4→1） φ（3→6） φ（6→1） 图1:DAX未来的内核估计。交易量分为六组，1（6）标记包含交易量最小（最大）的组。图中绘制了四个核φij=φ（j→ i） ，测量有多少交易与仓位j中的交易量触发了仓位i中的交易量。对于应用程序，模型（5）的一个非常有用的特殊情况是跳跃的时间到达过程是平稳的。已经证明（Hawkes，1971），如果矩阵的光谱半径| |φ||=kφijk1.≤i、 j≤Dis严格小于1（我们使用符号| |φij | |=Rφij（t）dt）。然后，强度过程λtis显示为平稳过程，且∧=E[λt]=（I- kφk）-1u。（6） 到目前为止，Hawkes过程主要用于金融建模事件时间序列（例如中间价的变化），而忽略了相应的标记序列，即相应数量的变化程度（交易量、价格等）。

在本文中，我们展示了如何使用多元霍克斯过程来研究和建模考虑订单规模的不同订单之间的相互关系。将体积v纳入动力学的一个简单方法是假设它们独立于基本点过程，并且对体积的依赖系数λt=u+Zt-∞f（vs）φ（t- s） dNs，（7）如（Bacry et al.，2015）所示，该模型的估计不存在特殊困难。然而，该模型的预测与经验数据不一致。为了说明这一事实并预测本文的一些分析，图1显示了DAX未来的一些估计内核。我们将交易量分为六组，1（6）将包含交易量最小（最大）的交易的组标记为一组。四个核φ（j）的曲线图→ i） ，测量有多少交易与仓位j中的交易量触发了仓位i中的交易量。注意，在等式7的朴素模型下，所有的核φ（j→ i） 将具有相同的形状，而经验数据显示它们之间存在巨大差异。因此，幼稚的模型无法完全捕捉贸易动态中的数量作用。这一证据推动了我们的工作和模型的开发，该模型考虑了时间和体积之间的复杂依赖关系。在单变量情况下，最一般的霍克斯模型规格为λt=u+Zt-∞φ（t- svs）dNs（8），其中内核φ取决于到以前事件的时间距离以及它们的标记。时间t和核的标记过程vt的相互依赖结构很难直接估计。一个简单的解决方法是将体积过程V视为D个未标记点过程的叠加，每个点过程对应一个可能的D值{Vi}1≤我≤VT可以接受的数据。

然后可以考虑（5）定义的D多元霍克斯过程，其中λi表示与值Vi相关的事件的强度过程。这样得到的模型是原始过程的等效表示。这种方法很方便，因为它允许使用为多变量点过程开发的现成工具来处理依赖标记的情况。对于可以取有限个值的标记变量，为了将标记过程映射到多变量过程，需要某种类型的组合。在本文中，我们遵循这种方法，使用巴奇和穆齐（2015）的非参数估计方法，从经验数据估计核和基线强度。我们首先将此模型应用于未签署的交易，然后通过增加模型的总维度，我们将研究扩展到签署的交易（即买方发起的交易和卖方发起的交易之间的区别），并最终扩展到订单的整个一级。在下一节中，我们将介绍我们使用的估计方法，并讨论如何处理抑制效应。在第3节中，我们描述了我们的数据集及其一些经验属性。第4节包含了考虑交易量时的交易实证结果。第5节将我们基于霍克斯的分析工具扩展到订单手册的第一级，包括限制订单和取消，以及订单规模的核算。最后，在第6节中，我们给出了我们的结论。2核估计程序和抑制效应在本文中，我们将使用Bacry和Muzy（2015）提出的非参数方法以及Bacry等人（2015）提出的方差来估计多元Hawkes过程的核。

研究表明，当大量数据可用且内核未本地化时，该方法效果良好，这在高频金融应用中是典型的情况。该方法利用了一个事实，即静态多变量霍克斯过程完全由其一阶和二阶特性规定。事实上，平均强度向量∧=E[λ（t）]和条件定律gij（t）gij（t）dt=EhdNit | dNj=1i的知识- ijδ（t）- ∧idt（10）注意，对于体积，我们进一步要求φ（t，v+v）=limt型→0φ（t，v）+φ（t+t、 v）。（9） 这是在两个事件在时间上无法区分的限度内，它们的影响必须与组合事件的影响相同。让我们指出，在有限多个箱子的限制下，这两种方法是严格等效的。哪里ij=1表示i=j，否则为0，由于以下结果（在Bacry和Muzy（2015）中得到证实），ij=1有助于恢复核矩阵φ和基线强度向量u：命题2.1。设g（t）是Hawkes过程的条件律矩阵，则核矩阵φ是Wiener-Hopf系统g（t）=φ（t）+g的唯一因果解* φ（t）， t>0。（11） 在哪里* 表示通常的矩阵积，其中乘法被卷积代替。我们注意到，即使g（t）不是由Hawkesprocess生成的，（11）至多有一个解。更准确地说，以下结果适用于定理1（参见Jaisson（2015）第142页）。

如果g∈ Lis点过程的条件定律，那么方程（11）在L中只有一个解。因此，当g（t）在经验数据上估计时，寻找（11）的解是合理的，这里就是我们感兴趣的情况。线性霍克斯过程（5）允许自我和交叉激发，但不允许抑制。事实上，核的非负性意味着事件的发生不会导致强度的降低。然而，在实际系统中，如订单簿，我们可以预期，除了令人兴奋的影响外，还存在抑制作用。霍克斯过程框架中抑制作用的正确解释要求放弃线性规范（5），转而采用非线性公式，以确保强度的正性，同时允许存在负值核，从而产生抑制作用（Br’emaud和Massouli’e（1996）；Sornette和Ouillon（2005）；Bowsher（2007）；Zheng等人（2014年））。然而，这是以数学可伸缩性为代价的。一个有趣的实际应用案例，在Br’emaud和Massouli’e（1996）中讨论；Reynaud Bouret和Schbath（2010）；Hansen等人（2015）isλ（t）=u+Zt-∞φ（t- s） dNs+（12） 其中（x）+=x如果x≥ 否则为0和（x）+=0。这种情况是相关的，因为ifPhu+Rt-∞φ（t- s） dNs<0可以忽略不计，那么它几乎等同于线性情况。如果满足这一要求，则已证明inBacry和Muzy（2015）以及Reynaud Bouret和Schbath（2010）开发的非参数估计程序即使在存在中度抑制的情况下也能获得可靠的结果。

相反，Lewis和Mohler（2011）开发的非参数方法利用了核的概率解释，因此总是得出排除抑制的非负估计。当我们考虑方程11的非参数估计方法时，重要的是要强调上述方程的解φ不能保证为正。此外，可以证明条件律g的负性意味着核φ的负性。更准确地说，命题2.2。设g（t）和φ（t）是满足g（t）=φ（t）+φ的两个函数矩阵* g（t） t>0元素。此外，让以下假设成立：这也意味着在线性霍克斯过程框架中，事件之间不可能存在最小时间间隔，因为新事件到达的概率始终为正。1、g（t）有界；2、矩阵的谱半径| |φ| |={kφij（t）k}小于1；3、φij（t）是因果函数，即φij（t）=0 t<0，i、 j；然后，如果g的每一列或每一行中至少有一个条目在somet>0时取负值，那么φ的一些元素也取负值。证据见附录A。假设1-3基本上要求φ（t）具有平稳霍克斯过程的核心特征，g（t）具有条件律的特征。特别值得注意的是，Br'emaud和Massouli'e（1996）表明，即使λ（t）是φ的非线性正Lipschitz函数，条件2仍然是不稳定条件*dN和其中内核可以取负值。只要存在某种抑制作用，条件法则（10）就会产生负面价值。事实上，如果事件j已经发生，我们会发现i型事件的预期到达率低于无条件到达率∧i。