摆动期权定价的一阶BSPDE：经典解

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英文标题：
《A First-Order BSPDE for Swing Option Pricing: Classical Solutions》
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作者：
Christian Bender and Nikolai Dokuchaev
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In Bender and Dokuchaev (2013), we studied a control problem related to swing option pricing in a general non-Markovian setting. The main result there shows that the value process of this control problem can be uniquely characterized in terms of a first order backward SPDE and a pathwise differential inclusion. In the present paper we additionally assume that the cashflow process of the swing option is left-continuous in expectation (LCE). Under this assumption we show that the value process is continuously differentiable in the space variable that represents the volume which the holder of the option can still exercise until maturity. This gives rise to an existence and uniqueness result for the corresponding backward SPDE in a classical sense. We also explicitly represent the space derivative of the value process in terms of a nonstandard optimal stopping problem over a subset of predictable stopping times. This representation can be applied to derive a dual minimization problem in terms of martingales.
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中文摘要：
Bender和Dokuchaev（2013）研究了一般非马尔可夫环境下与摆动期权定价相关的控制问题。主要结果表明，该控制问题的值过程可以用一阶向后SPDE和路径微分包含唯一地刻画。在本文中，我们还假设摆动期权的现金流过程在预期中是连续的（LCE）。在此假设下，我们证明了价值过程在空间变量中是连续可微的，该空间变量表示期权持有人在到期前仍可以行使的数量。这在经典意义上给出了相应的后向SPDE的存在唯一性结果。我们还显式地表示了值过程在可预测停止时间子集上的非标准最优停止问题的空间导数。这种表示可以用来导出一个关于鞅的对偶极小化问题。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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关键词：期权定价 SPD PDE Differential Presentation

摆动期权定价的一阶BSPDE：经典解决方案Christian Bender，Nikolai Dokuchaev提交日期：2014年2月26日。修订日期：2014年11月20日Abstractin Bender和Dokuchaev（201 4）我们研究了基因ral非马尔可夫环境下与摆动期权定价相关的控制问题。那里的主要结果表明，该控制问题的价值过程可以用一阶后向速度和路径差异包含来唯一描述。在本文中，我们还假设摆动期权的现金流过程是预期连续的（LCE）。在此假设下，我们表明，价值过程在代表期权持有人在到期前仍可以行使的数量的空间变量中是连续可微的。这就给出了经典情形下相应的后向SPDE的存在唯一性结果。我们还显式地表示了值过程在可预测停止时间子集上的非标准最优停止问题的空间导数。该表示可用于导出鞅的对偶极小化问题。关键词：反向速度、最优停车、随机最优控制、切换选项。AMS分类：60H15；49L20；91G20.1引言受摆动期权定价问题的启发，我们考虑以下最优控制问题。投资者的目标是最大限度地实现实施适应现金流流程X的预期回报，即。

她希望最大化ZTu（s）X（s）ds（1.1）萨尔兰大学数学系，邮编：151150，D-66041，萨尔布尔肯，德国，bender@math.uni-某人。科廷大学数学与统计系，GPO Box U1987，Perth，6845 Western Australia，Australia，N。Dokuchaev@curtin.edu.auover所有符合条件RTU（s）ds的值在[0，L]中的自适应进程u≤ 1、这里有一个局部约束，它限制了期权持有人执行现金流过程X的最大速率。此外，全局约束（即有限燃料约束）规定持有人花费的总金额取决于e。我们参考Keppo（2004）将摆动期权建模为连续时间最优控制问题，并注意到Benth等人（2011）最近在马尔可夫扩散环境中调查了Ab-ove问题和相关问题；Dokuchaev（2013）；Basei等人（2014年）。在我们的配套论文（Bender和Dokuchaev，2014）中，我们还参考了摆动期权定价的进一步参考文献，在以下温和假设下，研究了一般非马尔可夫环境下的上述最优控制问题：（X（t），0≤ t型≤ T）是过滤概率空间上的非负、右连续、F-适应随机过程(Ohm, F、 F，P）满足通常条件such thatE[sup0≤t型≤TX（t）p]<∞ （1.2）对于某些p>1。我们将这些条件视为本文其余部分的长期假设。然后，（1.1）的动态公式如下：对于任何[0，T]值的停止时间τ和fτ-可测量(-∞, 1] -值随机变量Y表示为U（τ，Y）所有F-适应过程的集合，其值在[0，L]中，使得rtτU（s）ds≤ 1.- Y因此，投资者在时间τ签订合同，剩余总金额为1- Y至到期日T。

优化问题的对应值为'J（τ，Y）：=es ssupu∈U（τ，Y）EZTτu（s）X（s）dsFτ.Bender和Dokuchaev（2014）的主要结果表明（粗略地说），一个好的版本（J（t，y），t∈ [0，T]，y∈ (-∞, 1] 调整后的随机场（(R)J（t，y），t∈ [0，T]，y∈ (- ∞ , 1] ）的特征是一阶倒向随机偏微分方程（BSPDE）J（t，y）=e的唯一解LZTt（X（s）+D-yJ（s，y））+ds英尺,J（t，1）=0，这足够平滑，以确保差异包含u（s）∈{0}，X（s）+D-yJ（s，y+Rstu（r）dr）<0{L}，X（s）+D-yJ（s，y+Rstu（r）dr）>0[0，L]，X（s）+D-yJ（s，y+Rstu（r）dr）=0。有一个解决方案u∈ U（t，y）。这里，D-yde表示y变量的左侧导数，（·）+表示正部分。本论文的主要目的是研究y变量中值过程（良好版本J（t，y））的正则性，并用经典的可微性条件取代上述平滑条件中的中间包含条件。为此，我们将假设x在期望值（LCE）中额外保持连续，即对于每个[0，T]值停止时间σ和每个[0，T]值停止时间（σn）n的非递减序列∈n极限σ保持不变→∞E[X（σn）]=E[X（σ）]。（1.3）直觉上，这意味着X的跳跃s完全出乎意料，无法预测。在这个假设下，我们将证明以下定理：定理1.1。假设存在假设，并且X在期望中保持连续。每t∈ [0，T]表示t： =（1）- L（T- t） ，1），“”t： =[1- L（T- t） ，1）。然后，（i）有一个可测量的版本（J（t，y），t∈ [0，T]，y∈\'\'t） of（(R)J（t，y），t∈ [0，T]，y∈\'\'t） whichful fills：a）有一套Ohm ∈ F带P（“”Ohm) = 1使D-yJ（t，ω，y）对于每个t都存在∈ [0，T]，y∈\'\'t、 和ω∈\'\'Ohm 并且在y中保持连续。