识别非平稳微观结构噪声的无模型方法

特别是，假设微观结构噪声方差像It^o扩散一样演化，不仅可以得到替代假设下测试统计量的渐近分布，还可以得到“总流动性风险”的符号和具有相关中心极限定理的一致估计量。纽约证券交易所的一些高频财务数据通过测试进行了分析。正如2006年至2013年期间someDJIA组件所示，微观结构噪声的方差确实在每日和每日内发生变化，这与经验文献一致。此外，我们发现，2008年9月噪声方差突然增加的时间恰好与次贷危机引发的全球金融灾难开始的时间一致。我们的测试统计数据的时间序列揭示了一种模式，表明金融动荡期间每日和每周交易成本的增加。11附录所有计算均以F（0）为条件。假设命题1和引理4，5可以在Zhang等人【2005】中找到，Li和Mykland【2007】：命题1。假设E（| An | F（0））是Op（1）。然后是Anis Op（1）。引理4。根据模型（1）、（3）和（4）以及第2.3节中的假设，我们有：[Y，Y]G=[, ]G+Op（1）（45）[Y，Y]（平均，K）T=[Z，Z]（平均，K）T+[, ]（平均值，K）T+Op（1/√K） （46）此外，定义G（min）K+1为全网格G中最大G（min）的右近邻，定义负（max）为全网格G中最小G（max）的左近邻。为了描述边缘效应和以下一些测试统计的行为，我们需要引入一些随机变量：M（1）T≡√nPni=0ti公司- gti公司M（2）T≡√nPni=1ti公司ti公司-1米（3）吨≡√nPK公司-1k=0Pti∈G0（k）ti公司ti公司-K（47），表示ht（ω（0））≡ E类(t | F（0））（ω（0））。注意，M（1）T、M（2）和M（3）皮重是鞅关于过滤Fi=σ的端点(tj，j≤ i；Xt，t） 。根据Ait-Sahalia等人附录A.2中的论点。

[2005]，我们有引理5。M（1）T、M（2）和M（3）皮重是渐近条件独立的混合正态，它们具有条件方差trtht- 分别为gtdt、TRTgtdt、TRTgtdt。11.1噪声推理跳跃的稳健性在证明测试定理，即定理2、定理3、推论2和定理4时，我们可以假设Jt=0，只要噪声与连续部分和跳跃部分均不相关，则t>0 in（1），且不丧失一般性。在假设1、2下，已实现方差中有3个分量：（1）不连续It^o半鞅[X，X]T=hX，XiT+Pt的有限二次方差≤T型|Xt |，其中Xt=Xt- lims%tXs（随机微积分中的一个著名结果）；（2） 噪声引起的变化，其阶数为Op（n）；（3） 渐近可忽略项，即噪声、连续鞅和跳跃之间的交叉项。在假设5下，通过与Li和Mykland[2007]中引理1的证明中类似的论证，我们得到了与引理4相似的结果：[Y，Y]G=[, ]G+2nXi=1（Jti- Jti公司-（1）(ti公司- ti公司-1） +[X，X]T |{z}Op（1）+Op（1）（48），这表明最快时间尺度的归一化实现方差2n[Y，Y]Gis是E(|F（0）），假设噪声是静止的，即使存在跳跃，即引理4静止不动。因此，即使存在跳跃，检验统计量的渐近分布也保持不变。Lemma 1在Li和Mykland[2007]第606页。11.2引理1证明。根据我们的假设，我们可以写出[Y，Y]（avg，K）T=[Z，Z]（avg，K）T+√nK公司M（1）T- M（3）T+KKXk=1Xti∈G00（k）gti+KXti∈G（最小）gti+KXti∈G（最大）gti+Op√K通过条件Lyapunov条件和引理5M（1）T- M（3）TP-→ MN0，TZThtdt！因此（11）如下。11.3定理1的证明。

渐近地，Kalnina和Linton[2008]中实现方差的新版本可以写成如下：[Y，Y]{n}T=[Y，Y]G（min）+[Y，Y]SKk=1G00（k）+[Y，Y]G（min），因为对于任何网格H，[Y，Y]H=[Z，Z]H+2[Z，]H+[, ]H、 我们有[Y，Y]{n}T=[Z，]G（min）+2[Z，]SKk=1G00（k）+[Z，]G（最大值）+[, ]G（最小）+[, ]SKk=1G00（k）+[, ]G（max）+Op（1）注意[Z，]G（最小）+2[Z，]SKk=1G00（k）+[Z，]G（最大值）≤ 2[Z，]G、 定义Zti=Zti- Zti公司-1，thenE（[Z，]G） I{τl>T}| F（0）= I{τl>T}nXi=1nXj=1Zti公司ZtjEh公司ti公司- ti公司-1.tj公司- tj公司-1.|F（0）iBy假设，噪声在最新过程X，thusEh的整个路径上是相互独立的条件(ti公司- ti公司-（1）(tj公司- tj公司-1） | F（0）i=-gti公司∧j、 | i- j |=1gti-1+gti，j=i0，否则，如果τl>T，我们有nxi=1nXj=1Zti公司ZtjEh公司ti公司- ti公司-1.tj公司- tj公司-1.|F（0）i=n-1Xi=0Zti+1gti+nXi=1(Zti）gti- 2n个-1Xi=1Zti公司Zti+1gti≤ 4M（2，l）·[Z，Z]G=Op（1）警告为G和G（min）SSKk=1G00（k）SG（max）可能不相等，差异为tbn/Kc·K+1，···，tn. 然而，在适当选择K时，这种差异是渐近不可忽略的。通过命题1和P（0）{τl>T}-→ 1作为l-→ ∞, 我们知道，]G=Op（1）。

因此，以下关系成立：[Y，Y]{n}T=[, ]G-([, ]G（最小）+[, ]G（max））+Op（1）根据我们的假设，我们有以下结果：K[, ]（平均值，K）T=2√nM（1）T- M（3）T+ 2KXk=1Xti∈G0（k）gti+Xti∈G（最小）gti-Xti公司∈G（最大）gti+Op(√K） （49）[, ]G=2√nM（1）T- M（2）T+ 2nXi=0gti+Op（1）（50）确定以下数量：m（1）T≡√KPKi=1G（最小）i- gG（最小）im（2）T≡√KPKi=1G（最小）i+1G（最小）im（1）T≡√KPKi=1G（最大）i- gG（最大）im（2）T≡√KPKi=1G（最大）iG（最大）i-1（51）类似于（50）[, ]G（最小）=2√Km（1）T- m（2）T+ 2Xti∈G（最小）gti+Op（1）[, ]G（最大）=2√Km（1）T- m（2）T+ 2Xti∈G（max）gti+Op（1）结合引理4和这些结果，样本加权TSRV和理论过程Z的平均实现方差之间的差异为hX，Xi（W T SRV，K）T- [Z，Z]（平均，K）T=√nK公司M（2）T- M（3）T+√Km（1）T- m（2）T+m（1）T- m（2）T+ Op公司√K（52）因此√n\\hX，Xi（W T SRV，K）T- [Z，Z]（平均，K）T= 2.M（2）T- M（3）T+ op（1）L-s-→ MN0，TZTgtdt！讨论离散化引起的误差项的剩余参数[Z，Z]（avg）T- hZ，ZiTtowhich A same technology in Appendix A.3 in Zhang et al.（2005）application，which we get the claimof定理1.11.4 the Proof the定理2的证明。

回想一下原始TSRV的定义（51）、by（52）和渐近行为【AitSahalia et al.，2005，Li和Mykland，2007】，在空Hwe have，Xi（W T SRV，K）T-\\hX，Xi（T SRV，K）T=2（K- 1） K级√nM（2）T- M（1）T+√Km（1）T- m（2）T+m（1）T- m（2）T+ Op公司Ki、 当hh变大时，我们有N（Y，K）nT=m（1）T- m（2）T+m（1）T- m（2）T+ op（1）。为了证明极限分布是正态分布，我们将再次利用（51）中离散的可预测二次变化使用鞅极限中心。hm（1）T，m（1）TiT | F（0）=KKXi=0EG（最小）i | F（1）G（最小）i-1，F（0）- gG（最小）i=KKXi=0hhG（最小）i- gG（最小）ii-→ h类- 通过相同的计算，我们知道hm（1）T，m（1）TiT | F（0）=KPni=0hG（最大）i- gG（最大）i-→ hT公司- 燃气轮机。此外，hm（2），m（2）iT | F（0）=KKXi=1G（最小）iEG（最小）i+1 | F（1）G（最小）i，F（0）=KKXi=1G（最小）igG（最小）i+1=KKXi=1hG（最小）i- gG（最小）iigG（最小）i+1+KKXi=1gG（最小）igG（最小）i+1Since G（最小）-→ 0是收缩子网格，soKPKi=1gG（min）igG（min）i+1-→ g、 此外，EKKXi=1(G（最小）i- gG（min）i）gG（min）i+1{τl>T}|F（0）==KKXi=1EG（最小）i- gG（最小）i|F（0）gG（min）i+1{τl>T}≤KKXi=1M（4，l）·M（2，l）=OpK根据命题1和P（τl>T）P-→ 1作为l-→ ∞, 我们知道kpki=1(G（最小）i-gG（最小）i）gG（最小）i+1P-→ 0，因此hm（2），m（2）iT-→ g、 类似地，hm（2），m（2）iT-→ 燃气轮机。利用鞅中心极限定理，我们知道m（1）T，m（1）T，m（2）T，m（2）Tare渐近混合正态。

因为eg（min）和G（max）是不相交的观测时间集，所以m（2）和m（2）T，或者m（2）和m（2）T与F（0）无关，所以m（1）T+m（1）TL-s-→ 明尼苏达州0，小时- g+hT- 燃气轮机和m（2）T+m（2）TL-s-→明尼苏达州0，g+gT.此外，hm（1），m（2）iT | F（0）=KKXi=1EG（最小）i- gG（最小）i·G（最小）iG（最小）i+1|F（0），F（1）G（min）i=KKXi=1G（最小）i- gG（最小）iG（最小）i·EG（最小）i+1 | F（1）G（最小）i|F（0）= 0和hm（1），m（2）iT | F（0）=KPKi=1G（最大）i-1E级G（最大）i | F（0），F（1）G（最大）i-1..Ehm（1），m（2）iT· I{τl>T}| F（0）=KKXi=1gG（最大）i-1个·EE类(G（max）i |ω（0））| F（1）G（max）i-1.· I{τl>T}≤K·M（2，l）·M（3，l）·I{τl>T}通过命题1和P{τl>T}的事实-→ 1作为l-→ ∞, 我们知道hm（1），m（2）iT=Op√KP-→ 因此，m（1）T、m（2）T、m（1）和m（2）皮重是渐近独立的混合正态，而m（1）T- m（2）T+m（1）T- m（2）TL-s-→ MN（0，h+hT）11.5引理2的证明。自{Zt}t起≥0是一个It^o半鞅[Y；4]G=nXi=1(ti公司-ti公司-1） +4nXi=1(ti公司-ti公司-1） （Zti-Zti公司-1） +4nXi=1(ti公司-ti公司-1） （Zti-Zti公司-1） +Op（1）EnXi=1(ti公司- ti公司-1） （Zti- Zti公司-1） 哦！{τl>T}| F（0）=nXi=1Eh(ti公司- ti公司-1） （Zti- Zti公司-1） | F（0）i{τl>T}≤nXi=1Eh(ti公司- ti公司-1） | F（0）i1/2·Eh（Zti- Zti公司-1） | F（0）i1/2{τl>T}≤ （990）1/2最大值2≤k≤12M（k，l）∨ 1.{τl>T}nXi=1Eh（Zti- Zti公司-1） | F（0）i1/2=Op（1）EnXi=1(ti公司- ti公司-1） （Zti- Zti公司-1)!{τl>T}| F（0）=nXi=1Eh(ti公司- ti公司-1） （Zti- Zti公司-1） | F（0）i{τl>T}≤nXi=1Eh(ti公司- ti公司-1） | F（0）i1/2·Eh（Zti- Zti公司-1） | F（0）i1/2{τl>T}≤√最大值2≤k≤4M（k，l）∨ 1.{τl>T}·nXi=1Eh（Zti- Zti公司-1） | F（0）i1/2=op（1），因此，[Y；4]G=Pni=1(ti公司- ti公司-1） +Op（1）。注意Nxi=1(ti公司- ti公司-1） =2nXi=1hti+6nXi=1gti-1gti+√n2L（1）T+6L（2）T- 4L（3）吨- 4L（4）吨+ Op（1）（53），其中L（1）T=√nPni=1ti公司- hti公司L（2）T=√nPni=1hti公司-1.ti公司- E类(ti公司-1.ti | F（0））iL（3）T=√nPni=1ti公司-1.tiL（4）T=√nPni=1ti公司-1.我们可以证明L（1）T、L（2）T、L（3）和L（4）皮重是混合法线。

观察nnxi=1hti=TnXi=1htiTn-→TZThtdtnnXi=1gti-1gti=TnXi=1gti-1标题-→TZTgtdtthen（16）如下。对于每个i=1，2，···，rn，我们定义mi≡ m（1）i- m（2）i其中m（1）i≡√KnPKnk=1t（i-1） Kn+k- gt（i-1） Kn+km（2）i≡√KnPKnk=1t（i-1） Kn+kt（i-1） Kn+k-为了证明定理3，我们需要一个额外的引理：引理6。假设微观结构噪声是平稳的，并且在噪声过程的力矩假设下{t} t型≥0，我们为每个i∈ {1，2，···，rn}，E（mi | F（0））=E(|F（0））E（mi | F（0））=6hE(|F（0））- E类(|F（0））E(|F（0））+E(|F（0））i+OpK证据为了便于记法，让我们取消记法K=Kn，并表示（一）-1） Kn+kbyξi、k和g（i-1） Kn+kby gi，kfor各i∈ {1，2，···，rn}和k∈ {0，1，2，····，K}。请注意，根据我们的新注释M（1）i≡√KPKk=1ξi，k- gi，km（2）i≡√KPKk=1ξi，k-1ξi，kandEm（1）i|F（0）=KPKk=1Ehξi，k- gi，k | F（0）i=E(|F（0））- E类(|F（0））Em（2）i|F（0）=KPKk=1Ehξi，k-1ξi，k | F（0）i=E(|F（0））Ehm（1）im（2）i | F（0）i=KPKk=1PKj=1Ehξi，k- gi，k· ξi，j-1·ξi，j | F（0）i=0，hus E（mi | F（0））=E(|F（0））。

请注意，MI=m（1）i+m（2）i- 2m（1）im（2）imi=m（1）i- 4.m（1）im（2）i+6m（1）im（2）i- 4m（1）im（2）i+m（2）i一些计算产量m（1）i|F（0）=KKXk=1Eξi，k- gi，k+ 6KXk=1Xj6=kEξi，k- gi，kEξi，j- gi，j= 6hE(|F（0））- E类(|F（0））i+OpKEm（1）im（2）i | F（0）=KE公司KXk=1Xj6=k（ξi，k- gi，k）（ξi，j- gi，j）·KXj=1ξi，j-1ξi，j|F（0）=KKXk=2Eh（ξi，k-1.- gi，k-1） ξi，k-1·（ξi，k- gi，k）ξi，k | F（0）i=OpKEm（1）im（2）i|F（0）=KE公司KXk=1ξi，k- gi，k·KXj=1ξi，j-1ξi，j|F（0）| {z}（m21）+KEKXk=1Xj6=kξi，k- gi，kξi，j- gi，j·KXj=1ξi，j-1ξi，j|F（0）| {z}（m22）注意（m21）=KEKXk=1Xj6=k，k+1ξi，k- gi，k· ξi，j-1ξi，j | F（0）+KE“KXk=1ξi，k- gi，k· ξi，k-1ξi，k | F（0）#+KE“k-1Xk=1ξi，k- gi，k· ξi，kξi，k+1 | F（0）#=hE(|F（0））- E类(|F（0））iE(|F（0））+操作K和（m22）=KEKXk=1Xj6=kξi，k- gi，kξi，j- gi，j·KXj=1ξi，j-1ξi，j+K-1Xj=1ξi，j-1ξi，jξi，j+1|F（0）=KE“KXk=2ξi，k-1.- ξi，k-1gi，k-1.ξi，k- ξi，kgi，k|F（0）#+KE“K-1Xk=2ξi，k-1.- ξi，k-1gi，k-1.· ξi，k·ξi，k+1- ξi，k+1gi，k+1|F（0）#=OpK所以我们有m（1）im（2）i|F（0）=他(|F（0））- E类(|F（0））iE(|F（0））+操作KEm（1）im（2）i|F（0）=KKXk=2Ehξi，k-2ξi，k-1ξi，k | F（0）i+KK-2Xk=1Ehξi，kξi，k+1ξi，k+2 | F（0）i+KKXk=1Ehξi，k- ξi，kgi，k· ξi，k-1 | F（0）i+KK-1Xk=1Ehξi，k- ξi，kgi，k· ξi，k+1 | F（0）i=OpKEm（2）i|F（0）=KKXk=1Eξi，k-1ξi，k | F（0）+KKXk=1Xj6=kEξi，k-1ξi，kξi，j-1ξi，j | F（0）= 6E(|F（0））+操作K因此，根据上述计算，我们得到E（mi | F（0））=Em（1）i|F（0）+ 6Em（1）im（2）i|F（0）+ Em（2）i|F（0）+ Op公司K= 6hE(|F（0））- E类(|F（0））E(|F（0））+E(|F（0））i+OpK11.6定理3的证明。在这个定理的假设下，我们知道gt（ω（0））=E(|F（0））（ω（0））具有恒定值。通过定理2的证明，我们知道miL-s-→ 明尼苏达州0，E(|F（0））在无效假设下。利用连续映射定理-s-→ E类(|F（0））·χ，其中χ表示自由度为1且独立于F（1）的中心卡方分布。

注意U（Y，Kn，sn，2）nT=rn- 序号+1“rn-sn+1Xi=1mi+rn-序号+1Xi=1mi+序号-1+2rn-序号+1Xi=1mimi+序号-1#+OpKn\\U Knn我们可以写√注册护士- 序号+1U（Y，Kn，2）nT- 2E类(|F（0））= 2H（1）T+2H（2）T+RT+Op√rnKn_√注册护士（55）其中（1）T=√注册护士-序号+1PN-sn+1i=1（mi- E（mi | F（0）））H（2）T=√注册护士-序号+1PN-sn+1i=1mimi-序号+1RT=√注册护士-sn+1hPrni=rn-序号+2（mi- E类(|F（0）））-Psn公司-1i=1（mi- E类(|F（0）））如果更进一步，请注意，在更粗的过滤概率空间上Ohm（1） ，F（1），{F（1）t（i-1） Kn}i∈N、 P（1）, H（1）和H（2）是两个离散鞅，H（1）和H（2）t的增量，namelyn√注册护士-序号+1密歇根州- E（mi |ω（0）在…上∈N+，i∈N+≤注册护士-序号+1n√注册护士-序号+1（mimi+序号-1） 在上∈N+，i∈N+≤注册护士-sn+1是两个三角形序列，我们可以应用鞅中心极限定理。根据引理6hH（1）的结果，H（1）iT | F（0）=rn- 序号+1rn-序号+1Xi=1Emi | F（1）t（i-1） K级- Emi | F（0）∪ F（1）t（i-1） K级|F（0）=5E(|F（0））- 6E(|F（0））E(|F（0））+6E(|F（0））和hh（2），H（2）iT | F（0）=rn- 序号+1rn-sn+1Xi=1E（mi | F（0））·Emi+sn-1 | F（0）+注册护士- 序号+1rn-序号+1Xi=1密歇根州- E（mi | F（0））· Emi+sn-1 | F（0）因为P（τl>T）P（0）-→ 1作为l-→ ∞ 安第斯山脉注册护士- 序号+1rn-序号+1Xi=1密歇根州- E（mi | F（0））· Emi+sn-1 | F（0）{τl>T}|F（0）=（注册护士- 序号+1）rn-sn+1Xk=1V ar密歇根州- E（mi | F（0））Emi+sn-1 | F（0）{τl>T}≤（注册护士- 序号+1）rn-sn+1Xk=1M（4，l）·M（2，l）=Op注册护士- 序号+1根据命题1，我们知道-序号+1PN-序号+1i=1密歇根州- E（mi | F（0））· Emi+sn-1 | F（0）P-→ 0，thuswe havehH（2），H（2）iT | F（0）P-→ E类(|此外，hH（1），H（2）iT | F（0）=rn- 序号+1rn-sn+1Xi=1（mi- miE（mi | F（0））·Emi+sn-1 | F（0）= 因此，对于H（1）和H（2）T，我们有以下联合渐近分布：H（1）TH（2）T！L-s-→ MN！，ζ0 E(|F（0））！！（56）式中，ζ=5E(|F（0））-6E(|F（0））E(|F（0））+6E(|F（0））。

最后，注意RT=op（1），这是因为P（τl>T）P（0）-→ 1作为l→ ∞, andE（RT{τl>T}| F（0））=rn- 序号+1“序号-1Xi=1E（mi | F（0））+rnXi=rn-sn+2E（mi | F（0））- 2（序号- 1） E类(|F（0））#=Opsnrn公司- 序号+1= op（1）将这些结果插入（55），我们可以得到√注册护士- 序号+1U（Y，Kn，sn，2）nT- 2E类(|F（0））= 2.H（1）T+H（2）T+ op（1）L-s-→ 明尼苏达州0，η式中η=24[E(|F（0））- E类(|F（0））E(|F（0））+E(|F（0））]。根据注1关于E的一致估计(|F（0）），bη-η=Op（1/√n） 当噪声因（16）以及2N[Y，Y]G而静止时- E类(|F（0））=Op（1/√n） ，加上U（Y，Kn，sn，2）nT的稳定收敛（27）。11.7定理5和定理6的证明。在这个证明中，我们写K和r时不使用下标n，以避免使用聚集表示法。我们首先给出定理6的证明，并说明如何修改证明来证明定理5.11.7.1大数定律：极限量在定理6的假设下，从引理4，我们得到2K[Y，Y]Si=2K[, ]Si+OpK=KXtj公司∈（Ti-1，Ti]gtj+√Km（1）i- m（2）i+ Op公司K其中（54）中定义了m（1）和m（2），它们是渐近混合正态。因此，2K[Y，Y]Si+1-2K[Y，Y]Si=KKXj=1KXl=1gt（i-1） K+j+l- gt（i-1） K+j+l-1.| {z}（A）+√K（mi+1- mi）+OpK注意：（A）=KKXj=1（j-（1）gt（i-1） K+j+2KXj=K+1（K- （j）- 1） （）gt（i-1） K+j=KXj=1（j-1） K级(gt（i-1） K+j）+2KXj=K+1（K- （j）- 1） ）K(gt（i-1） K+j）+（I）+（II）+（III），其中（I）=PKj=1Pl6=j（j-1） （l）-1） K级gt（i-1） K+jgt（i-1） K+l（II）=PKj=1Pl6=j（K-（j）-1） ）（K-（l）-1） ）KgtiK+jgtiK+l（III）=PKj=1PKl=1（j-1） （K）-（l）-1） ）Kgt（i-1） K+jgtiK+l（57）是均值-0鞅。通过标准本地化程序，我们可以通过假设σ（g）t来加强条件≤ σ（g）+，t型∈ [0，T]，因此，E[（I）]≤T（σ（g）+）nKXj=1KXl=1（j）-1） （l）- 1） K级=T（σ（g）+）n·KXj=1（j-1） K·KXj=1（l- 1） K=操作千牛通过切比雪夫不等式，（I）=Op千牛. 类似地，（II），（III）=Op千牛. 此外，我们可以知道（A）=OpqKn.