线性信用风险模型

其形式为bz（t，tM）={τ>t}a>YtψZ（t，tM）>YtXt公司（6） 其中向量ψZ（t，tM）∈ Rn+mis由ψZ（t，tM）>=e给出-r（tM-t）a> >米eA（tM-t） 其中，m维向量0M仅包含零。下一个结果表明，在违约时支付固定回收率的可违约债券的价格也可以以封闭形式获得。命题2.5到期时间为t且回收率为δ的可违约零息票债券的时间t价格∈ [0，1]默认值为isBD（t，tM）=Ehe-r（tM-t） {τ>tM}+δe-r（τ-t） {t<τ≤tM}Gti=BZ（t，tM）+δCD（t，tM），其中CD（t，tM）=E[E-r（τ-t） {t<τ≤tM}| Gt]表示如果发生在t和tM之间，则在违约情况下支付的或有索赔的时间t价格。其形式为cd（t，tM）={τ>t}a>YtψD（t，tM）>YtXt公司（7） 其中向量ψD（t，tM）∈ 由ψD（t，tM）>=-a>cγZtMteA公司*（s）-t） ds（8），其中A*= A.- r Id.只有现金流与违约时间成比例的证券的价格在以下推论中给出。它用于计算某些或有证券（如CDS）的预期违约应计利息。推论2.6如果发生在formCD的日期t和tMis之间，则在违约时支付τ的或有权益的时间t价格*（t，tM）=Ehτe-r（τ-t） {τ≤tM}Gti={τ>t}a>YtψD*（t，tM）>YtXt公司（9） 其中向量ψD*（t，tM）∈ Rn+mis由ψD给出*（t，tM）>=-a>cγZtMts eA*（s）-t） ds。

（10） 注意（10）右侧的被积函数中存在因子s，这在（8）中是不存在的。备注2.7通过在（9）中设置r=0，我们得到了E[τ{τ]的闭合形式表达式≤tM}| Gt]。该表达式可用于对可违约债券进行定价，该债券到期时的回收价值*****ependson违约时间τ呈线性关系，BD（t，t，tM）=BZ（t，tM）+e-r（tM-t） 呃Δτ- ttM公司- t+δ{τ≤tM}G某些参数δ，δ≥ 0，使得δ+δ≤ 1，一段时间内t≤ t、 下面的引理表明，定价公式（7）–（10）可以通过附加条件进一步简化。引理2.8假设矩阵A*是可逆的，那么我们有以下闭式表达式ψD（t，tM）>=-a>cγA.-1.*eA公司*（tM）-t）- Id号ψD*（t，tM）>=-a>cγ（tM）- t） A-1.*eA公司*（tM）-t） +A-1.*（Id t- A.-1.*)（eA）*（tM）-t）- Id）其中，Id是（n+m）维单位矩阵。这是一个显著的结果，因为或有现金流的价格成为由基本矩阵运算组成的封闭式表达式，因此易于计算。与通常需要使用额外数值方法的标准违约强度模型相比，默认证券的封闭式公式使得线性框架适合大规模应用，例如大量公司和合同。为了举例说明，假设生存过程仍然是绝对连续的，因此它允许标记2.2中的默认强度λtas。然后可以重写CD（t，tM）asCD（t，tM）={τ>t}ZtMte-r（u-t） Ehλue-车辙λsdsFtidu。对于一个单一的默认强度模型，要集成的期望值需要求解Riccati方程，只有当默认强度由一个独立的单变量CIR过程之和驱动时，Riccati方程才具有封闭形式的解。通常使用有限差分等数值方法来计算u的时间-现金流期望值∈ [t，tM]。

然后，只能通过另一种数值方法（如求积）来近似积分，该方法需要在许多不同点u处求解相应的普通微分方程。有关一个默认强度模型的更多详细信息，我们参考（？），（Filipovi\'c 2009）和（Lando 2009）。2.3信用违约掉期我们推导出单个企业和多个企业信用违约掉期（CDS）的封闭式表达式。我们在本节结束时讨论了债券和CDS价格未受影响的因素。单名CDS是一种保险合同，在违约时以参考债券（即保护条款）支付已实现的损失，以交换违约后停止的定期付款（即优先条款）。我们考虑以下离散的期限结构t≤ t<t<··<t以及从date到date提供违约保护的合同。当t<t时，该合同通常被称为敲定远期CDS，只有当公司在t之前没有违约时，才会产生现金流。我们认为名义金额等于1的CDS合同。带价差k的Premium段的时间t值由k Vprem（t，t，tM）给出，其中Vprem（t，t，tM）=Vcoup（t，t，tM）+Vai（t，t，tM）是默认Vcoup（t，t，tM）=MXj=1之前息票付款的值之和-r（tj-t） （tj- tj公司-1） {tj<τ}gTian和违约时应计息票付款的价值Vai（t，t，tM）=MXj=1He-r（τ-t） （τ）- tj公司-1） {tj-1<τ≤tj}Gti。保护段的时间t值为vprot（t，t，tM）=（1- δ） Ehe公司-r（τ-t） {t<τ≤tM}Gti，其中δ∈ [0，1]表示默认情况下的恒定恢复率。该付款规范与ISDA模型一致，见（？）。（远期）CDS价差CDS（t，t，tM）是价差k，它使特优支腿和保护支腿在时间t时的价值相等。

也就是说，CDS（t，t，tM）=Vprot（t，t，tM）Vprem（t，t，tM）。命题2.9保护和特优支腿的值由Vprot（t，t，tM）={τ>t}Stψprot（t，t，tM）>YtXt公司（11） Vprem（t，t，tM）={τ>t}Stψprem（t，t，tM）>YtXt公司（12） 其中向量ψprot（t，t，tM），ψprem（t，t，tM）∈ Rn+mare由ψprot（t，t，tM）=（1）给出- δ） （ψD（t，tM）- ψD（t，t）），ψprem（t，t，tM）=MXj=1（tj- tj公司-1） ψZ（t，tj）+ψD*（t，tM）- ψD*（t，t）+tM-1ψD（t，tM）-M-1Xj=1（tj- tj公司-1） ψD（t，tj）- tψD（t，t）。根据命题2.9，CDS价差由一个现成的线性有理表达式给出，CDS（t，t，tM）={τ>t}ψprot（t，t，tM）>YtXt公司ψprem（t，t，tM）>YtXt公司. （13） 这是一个非常简单的表达式，可以让我们看到因子（Y，X）如何影响CDS通过向量ψprot（t，t，tM）和ψprem（t，t，tM）传播。为了进行比较，在a ffine defaultintensity模型中，两个支腿Vprot（t，t，tM）和Vprem（t，t，tM）是指数线性项的总和，无法进一步简化。在下文中，我们将VCD（t，t，tM，k）表示从到期时间t开始的CDS合同的时间-时间价格t和价差k，VCD（t，t，tM，k）={τ>t}ψprot（t，t，tM）- ψprem（t，t，tM）>YtXt公司. （14） 多名称CDS或信用违约指数掉期（CDIS）是一种对参考投资组合的保险，我们假设其权重为1/N，以便投资组合的总名义金额等于1。保护买方支付与CDI当前名义金额成比例的定期保费。Letδ∈ [0，1]是初始确定的回收率。保护卖方支付1- δ对保护买方而言，CDI的名义金额减少了1/N。这些步骤重复进行，直到到期或referenceportfolio中的所有公司违约为止，以先到者为准。用Sit=a>i表示（1）中定义的企业i的生存过程。

CDIS扩展简化为双线性有理表达式，CDIS（t，t，tM）=PNi=1{τi>t}（1/a>iYt）ψiprot（t，t，tM）>YtXt公司PNi=1{τi>t}（1/a>iYt）ψiprem（t，t，tM）>YtXt公司其中，ψiprot（t，t，tM）和ψiprem（t，t，tM）的定义如命题2.9中针对每一家公司i所述。备注2.10（未退火因子），鞅My和Mx的特征并未明确出现在债券、CDS和CDI定价公式中。这样就可以自由地指定输入My和MX的外部因素。如（Filipovi\'c、Larsson和Trolle 2017）所述，这些因素将不受可违约债券和CDS的期限结构的影响，并导致不受影响的随机波动性。它们为债券价格和CDS利差的融资时间序列提供了额外的灵活性。这些未经规划的随机波动性因素影响生存和因素过程的分布，因此可以从下文讨论的信贷衍生品价格中恢复。2.4 CDIS批款CDIS批款是对参考投资组合损失的部分保险，其意义是仅小于所保险的附着点Ka和分离点Kd。我们假设与CDIS合同相同的期限结构和参考投资组合，protectionbuyer支付与当前部分名义金额成比例的定期溢价，Tt=（Kd- Ka公司- （Nt（1- δ） /不适用- Ka）++（15），其中Nt=PNi=1{τi≤t} 是在参考portfolioat time t中默认的公司总数。

时间t时保护段和高级段的值分别由Vprot（t，tM，Ka，Kd）=ZtMte给出-ruE[dTu | Gt]，和Vprem（t，tM，Ka，Kd）=MXj=1e-rtjZtjtj-1.杜兰特- Ka公司- E[图| Gt]杜。（16） 然后，通过现金流量值的差异，VT（t，tM，Ka，Kd，k）=Vprot（t，tM，Ka，Kd），简单地给出该部分的价值- k Vprem（t、tM、Ka、Kd）（17），其中k是部分价差。以下命题表明（F∞∨ Gt）-通过应用离散傅立叶变换（Ackerer和Vatter 2017）可以精确地以闭合形式检索时间u>t的违约数量的条件分布。提案2.11（F∞∨Gt）-默认数量Nu的条件分布由Q给出[Nu=n | F∞∨ Gt]=N+1NXj=0ζnjNYi=1ζj+（1-ζj）{τi>t}a>iYua>iYt（18） 对于u>t，对于任何n=0，N、 式中，ζ=exp（2iπ/（N+1））和虚数i。从（15）可以立即得出，Tu的条件期望可以表示为Nu的条件分布的函数。为简单起见，假设Ka=na（1- δ） /N和KD=nd（1- δ） /N对于某些整数0≤ na<nd≤ N、 然后Tu的条件期望由[Tu | F]给出∞∨ Gt]=N-naXj=1（1- δ） 最小值（j，nd- na）NQ[Nu=na+j | F∞∨ Gt]（19）对于u>t。因此，只要条件概率Q[Nu=j | Gt]在所有t的封闭形式中可用，份额价格（17）就具有封闭形式的表达式≤ u≤ t和j=0，N第4.4节给出了多项式模型的示例。2.5 CDS期权和CDIS期权带有履约价差k的CDS期权是一种欧洲CDS合同看涨期权，只有在期权到期日t之前未违约的情况下才可行使。其在时间上的支付由（VCD（t，t，tM））+={τ>t}a>Yt给出ψcds（t，t，tM，k）>YtXt公司+ψcds（t，t，tM，k）=ψprot（t，t，tM）- kψprem（t，t，tM）。

（20） 用VCDSO（t，t，tM，k）表示时间t时CDS期权的价格，VCDSO（t，t，tM，k）=Ehe-r（t-t） {τ>t}a>Ytψcds（t，t，tM，k）>YtXt公司+Gti={τ>t}e-r（t-t） a>字节ψcds（t，t，tM，k）>YtXt公司+其中第二个等式直接来自引理A.1。CDIS期权在当时有权与未违约的参考投资组合中的公司签订履约价差k和到期日t的CDIS合同，同时有权接收行权日t之前实现的损失。用VCDISO（t，t，tM，k）表示CDIS期权在时间t的价格≤ t、 VCDISO（t，t，tM，k）=e-r（t-t） 内赫NXi=1ViCDS（t，t，tM，k）+（1- δ） {τi≤t}+Gti，其中ViCDS（t，t，tM，k）的定义如（14）中所述。提案2.12 CDIS期权的价格由VCDISO（t，t，tM，k）=Xα给出∈{0,1}Ne-r（t-t） 东北（五）*（α，t，tM，k））+q（α，t，t）英尺有条件支付sV*（α，t，tM，k）=NXi=1αia>iYtψicds（t，t，tM，k）>YtXt公司+ （1）-δ） （1）- αi）和条件概率q（α，t，t）=NYi=1（a>iYt）αi（a>i（Yt- Yt）1-αia>iYt{τi>t}+（{τi≤t} ）1-αi其中α=（α，…，αN），且约定为0=0。因此，CDS期权或CDIS期权的时间t价格由（Yt，Xt）中非光滑连续函数的期望值给出，其中t<t。

第3.2.2.6节“信用估值调整”中介绍了此类合同的定价方法。双边合同头寸的单边信用估值调整（UCVA）是指交易对手违约时取消该头寸所造成损失的现值。命题2.13对于某些连续函数f（u，y，x），具有到期时间t和时间u净正敞口f（u，Yu，Xu）的UCVA的时间t价格，isUCVA（t，tM）=Ehe-r（τ-t） {t<τ≤tM}f（τ，Yτ，Xτ）Gti={τ>t}a>YtZtMte-r（u-t） 流行性出血热（u、Yu、Xu）a>（c Yu+γXu）Ftidu。式中，τ是交易对手违约时间。因此，计算UCVA归结为欧洲式期权价格的数值积分。与CDS和CDIS期权一样，这些期权价格可以统一近似为第3.2节所述的价格。我们参考（Brigo、Capponi和Pallavicini，2014），以在双重随机违约框架下对双边交易对手风险估值进行全面分析。3线性超立方体模型线性超立方体（LHC）模型是一个单名称模型，即n=1，因此S=Y。生存过程是绝对连续的，如备注2.2所示，因子过程X是不同的，并且取一个超立方体中的值，其边的长度由Yt给出，对于所有t≥ （Y，X）的状态空间由=（y，x）∈ R1+m：y∈ （0、1）和x∈ [0，y]m.（Y，X）的动力学isdYt=-γ> 对于某些γ，XtdtdXt=（bYt+βXt）dt+∑（Yt，Xt）dWt（21）∈ Rm+和一些m维布朗运动W，其中波动矩阵∑（y，x）由∑（y，x）=diag给出σpx（y- x） ，σmpxm（y- xm）（22）波动率参数σ，σm≥ 设（Y，X）是（21）的E值解。很容易验证Y是非递增的，参数γ控制其递减的速度，0≤ γ> Xt公司≤ γ> 1 Yt，意味着0≤ λt≤ γ> 1和Yt≥ Ye公司-γ> 1 t>0，对于任何t≥ 0

（23）注意，默认强度上限γ>1取决于γ，γ是根据数据估计的。因此，模型验证程序中的一个关键步骤是验证可能的故障强度范围是否足够宽。以下定理给出了LHC模型（21）定义良好的参数条件。定理3.1假设，对于所有i=1，m、 bi公司-Xj6=iβ-ij公司≥ 0，（24）γi+βii+bi+Xj6=i（γj+βij）+≤ 0。（25）那么对于（Y，X）的任何初始定律，在E中有一个唯一的E值解（Y，X）（21）。对于任何i=1，…，它满足了未达到的边界，m、 （i）对于所有t，Xit>0≥ 如果Xi0>0且BI为0，则为0-Xj6=iβ-ij公司≥σi，（26）（ii）Xit<所有t的yt≥ 如果Xi0<且γi+βii+bi+Xj6=i（γj+βij），则为0+≤ -σi.（27）状态空间E是正则（m+1）维超金字塔。图1显示了E whenm=1，并说明了E边界处的漂移向内指向条件（24）–（25）。在B节中，我们描述了风险规格的所有可能市场价格，在此情况下，（Y，X）的漂移函数保持线性。备注3.2当Xi=Y/2时，Xi的波动性在其支撑中心处最大，在Xi的边界处降至零→ 0和Xi→ Y因此，一些因素可能会交替访问其支架的下部和上部，因此可能会模仿架构转移行为。备注3.3确定归一化过程Z=X/Y，然后（Z，λ）的动力学由DZT给出=b+（β+诊断（γ>Zt））Ztdt+∑（1，Zt）dWt，（28）dλt=γ>dZt。

（29）在第3.1节和第4.1节中，我们推导了（Z，λ）漂移固定点的闭合表达式，在示例2.3.3.1中，单因素LHC模型的默认强度m=1，具有以下形式的自治动力学：dλt=（λt+βλt+bγ）dt+σpλt（γ- λt）dWt。λ的扩散函数与雅可比过程的扩散函数相同，它取紧区间[0，γ]中的值。然而，λ的漂移包括一个二次项，它既不存在于Jacobi过程中，也不存在于a ffne过程中。定理3.1重写B中的条件（24）–（25）≥ 0和（γ+b+β）≤ 也就是说，λ的漂移在λ=0时为非负，在λ=γ时为非正。我们可以将漂移分解如下，λt+βλt+bγ=（λt- `)（λt- `),对于某些根0≤ `≤ γ≤ `. 因此，只要λt=`=γ，λ就会向`漂移。相应的原始参数由β=-（`+`）和bγ=``，因此因子X的漂移读取βYt+BXt=（`+`）``γ（`+`）Yt- Xt公司. （30）作为健全性检查，我们验证了所有t的恒定默认强度情况λt=γ≥ 0，作为特例嵌套。这相当于X=Y，可以通过指定动力学dXt=-因子过程和初始条件X=1的γXtdt。这对应于驻点`=0和`=γ。R+isdλt=`(`- λt）dt+σpλtdWt，其中`是平均逆转速度和`λ的平均逆转水平。图2显示了单因子LHC和a ffne模型的默认强度的提取和扩散函数。（Delbaen和Shirakawa 2002）中使用了雅可比过程来模拟短期利率，在这种情况下，无风险债券价格由短期利率值中的雅可比多项式的加权序列给出。漂移函数在a ffene模型中为a ffene，而在LHC模型中为二次函数。