时间非齐次制度转换市场中衍生产品的定价

如果标准（2.4），则对于任何v>0，t≥ 0，（i）PSlt+vSlt≤ ll=1，。。。，nSt=s，Xt=x，Yt=y，l（t） =m，τm（t）=v=RQnl=1（0，l）θ（r；t，s，x，v）dr，（ii）条件期望由Slt+vSltSt=s，Xt=x，Yt=y，l（t） =m，τm（t）=v= eRt+vtul（u，x）du，（iii）条件协方差由COVSLT+vSlt，Sl′t+vSl′t给出St=s，Xt=x，Yt=y，l（t） =m，τm（t）=v！=eRt+vtul（u，x）+ul′（u，x）杜邦eRt+vtall′（u，x）du- 1..引理2.3。设{Slt}t≥0be如（2.4）和{FXt}t中所示≥0是X.（i）生成的过滤，然后对于每个l=1，n、 和t≥ 0，ESlt公司FXt公司≤ sleRtul（u，Xu）du。（ii）对于每个l，ESlt公司FXt公司< ∞ 对于所有t.Proof。（i） 让Tlibe如第2.1节E所示SltSl公司FXt公司= E∞Yi=1升∧tSlTli公司-1.∧t型FXt公司= E画→∞NYi=1升∧tSlTli公司-1.∧t型FXt公司≤ 画→∞ENYi=1升∧tSlTli公司-1.∧t型FXt公司,用法头引理。现在，因为对于每个i=1，n、 SlTli公司∧tSlTli公司-1.∧皮重在给定时间t条件下相互独立，使用引理（2.2）（ii），上述极限可以重写为limN→∞QNi=1eRTli∧tTli公司-1.∧tul（u，Xu）du，与eRtr（Xu）du相同。（ii）在类似的证明（i）中，使用引理（2.2）（iii），证明如下。我们用^St表示接缝过程（^St，…，^Snt），其中^Sltis由（St）表示-1 LTAND代表LTH股票的贴现价格。对于每个l，d^Slt=^SltnXj=1σlj（t，Xt）dWjt+ul（t，Xt）- r（Xt）dt公司, （2.9）对于^Sl=Sl。为了证明市场在可接受的策略下是无套利的，我们寻求存在一个等价的鞅测度（[15]，第7.1条）。考虑γl（t，x）：=Pnj=1（σ-1（t，x））ljuj（t，x）- r（x）对于每个l=1，n、 在（A1）（v）和参数连续性假设下，Novikov条件（[13]，第5.3条）成立，即对于e very t∈ [0，T]，EexpnXl=1Ztγl（u，Xu）du！< ∞.HenceZt：=经验值-nXl=1Ztγl（u，Xu）dWju-nXl=1Ztγl（u，Xu）du！，是平方可积鞅，且EZT=1。

考虑一个等价度量P*dP定义*= ZTdP。很容易检查P*是一种概率度量。因此，根据Girsanov定理（[15]，Th.5.5），在概率测度P下的过程是Aviener过程*, 式中，Wlt=Wlt+Rtγl（u，Xu）du。因此（2.4）变为Slt=Sltr（Xt）dt+nXj=1σlj（t，Xt）d'Wjt.因此在P下*, 贴现股票价格^slis是鞅，因此P*是一个等价鞅测度。这证明了在可接受策略下市场不存在套利。下一节将介绍可采策略的类别。3定价方法如果ξlt表示在时间t投资于长期股票的单位数量，εt表示无风险资产的单位数量，则π={πt=（ξt，εt）}t∈[0，T]被称为投资组合策略。对于t∈ [0，T]，Vt（π）：=Pnl=1ξltSlt+εtStis被称为por tfolio的价值过程，而碟计价值过程由^Vt（π）=ξT^St+εT定义3.1给出。投资组合策略π={πt=（ξt，εt），0≤ t型≤ 如果满足以下条件（i）ξT=（ξT，…，ξnt）是一个n维可预测过程，并且对于每个l=1，…，则T}是可容许的，n、 Xll′ZTξltslall′（t，Xt）Sl′tξl′tdt<∞.（ii）ε被调整，E（εt）<∞  t型∈ [0，T]。（iii）P（^Vt（π）≥ -一 t） =1，对于某些正a。如果VT（π）=H，则可接受的策略π称为FTM可测量索赔H的对冲策略。例如，该索赔与欧洲Sis H上的看涨期权相关（ST- K） +，其中K是履约价格，T是到期时间。为了对期权进行定价和对冲，投资者更喜欢一种可接受的对冲策略，该策略需要最小的额外现金流。在[6]中，“最优策略”的概念就是基于这一思想发展起来的。在那里，初始资本被称为局部风险最小化期权价格。

文献[6]表明，如果市场是无套利的，则对索赔H进行套期保值的最优策略的存在性等价于贴现索赔H的F¨ollmer-Schweizer分解的存在性：=ST-1H形式为^H=H+nXl=1ZTξ^Ht（l）d^Slt+l^Ht，（3.1），其中H∈ L(Ohm, F、 P），L^H={L^Ht}0≤t型≤这是一个平方可积函数，从零开始，与St的鞅部分正交，ξ^Ht（l）=（ξ^Ht（1），ξ^Ht（n））满足A2（i）。此外，分解中出现的ξ^H（l）构成了最优策略。实际上，最优策略π=（ξt，εt）由ξt：=ξ^Ht，^Vt：=H+nXl=1Ztξlud^Slu+l^Ht给出，（3.2）εt：=^Vt-nXl=1ξlt^Slt，St^vt表示索赔H时间t的局部风险最小化价格。因此，F¨ollmer-Schweizer分解是解决定价和套期保值问题的关键。有关更多详细信息，请参阅[18]。在本文中，我们有兴趣对一类特殊的未定权益定价，其形式为h=K（ST），其中我们对K作出以下假设：Rn+→ R+。假设（A2）：（i）K（s）是Lipschitz连续函数。（ii）重新存在c∈ Rn和c>0，这样的话，That | K（s）- c*所有的∈ Rn+。该类别包括所有类型的篮子期权，包括所有普通期权。例如，一个典型的篮子看涨期权有一个索赔（Pnl=1clSlt-\'K）+，其中\'K是执行价格。本文的主要目的是得到局部风险最小化价格过程的表达式和对应于索赔K（ST）的最优策略。为此，我们研究了柯西问题（1.3）-（1.4），并利用（1.3）-（1.4）的解得到了价格和套期保值的表达式。我们在本节末尾将此结果表述为定理。但在此之前，我们将介绍一些符号和定义。

我们定义了一个线性算子dt，yν（t，s，x，y）：=limε→0ε{Д（t+ε，s，x，y+ε1）- ν（t，s，x，y）}，其中dom（Dt，y）是Dt，y的域，包含D上的所有可测函数，因此每个（t，s，x，y）都存在上述极限∈ D、 我们使用上述符号dt重写（1.3），yИ（t，s，x，y）+r（x）nXl=1sl^1sl（t，s，x，y）+nXl=1nXl′=1all′（t，x）slsl′^1sl公司sl′（t，s，x，y）+nXl=0Xj6=xlλlxlj（yl）^1（t、s、Rljx、Rly）- ^1（t、s、x、y）= r（x）Д（t，s，x，y）。（3.3）现在我们定义了偏微分方程经典解的含义。定义3.1。我们说，Д：D→ R是（3.3）-（1.4）的经典解∈ dom（Dt，y），相对于s和对于所有（t，s，x，y）可二次微分∈ D、 （3.3）-（1.4）满足定理3.2。在假设（A1）（i）-（v）下，初值问题（3.3）-（1.4）在最多线性增长的函数类中具有唯一的经典解。我们在第5节末尾确定了这一点。我们根据PDE（3.3）-（1.4）的解提出了局部风险最小化策略。以下定理的证明推迟到第6节。定理3。3、设Д为（3.3）-（1.4）在具有最大线性增长的函数类中的唯一经典解，且（ξ，ε）由ξlt给出：=^1sl（t、St、Xt-, 年初至今-)  l=1，n、 εt：=e-Rtr（Xu）duД（t、St、Xt、Yt）-nXl=1ξltSlt！。（3.4）然后1。（ξ，ε）是最优容许策略，2。ν（t，St，Xt，Yt）是索赔K（St）在时间t的局部风险最小化价格。为了研究PDE（3.3）-（1.4）解的适定性，我们研究了第二类Volterra积分方程。

在下一节中，我们将展示积分方程解的存在性和唯一性，为自己做好准备。4 Volterra积分方程对于e ach x，考虑以下Cauchy问题，称为B-S-M PDEρx（t，s）t+r（x）nXl=1slρx（t，s）sl+nXl=1nXl′=1all′（t，x）slsl′ρx（t，s）sl公司（t，s）的sl′=r（x）ρx（t，s）（4.1）∈ （0，T）×（0，∞)nandρi（T，s）=K（s），对于所有s≥ 这有一个经典解，最大线性增长（s e e[15]），前提是K最大线性增长。我们想提及的是，ρxis在很多时候与s不同。对于ζ∈ Rn，设kζkdenote为normPnl=1 |ζl |。LetB：={Д：(R)D→ R、 可测量的| k|kL：=辅助|Д（t，s，x，y）| 1+ksk<∞}. （4.2）设Cs（D）：=C0,2,0（D）是D上所有可测函数的集合，这些函数对于s也是两次可微的。设∑是一个n×n矩阵，其元素如（2.7）所示。我们进一步使用符号∑、∑、∑和∑-1如（2.8）。通过用（2.6）中的r（x）替换ul（u，x），我们定义了一个函数α：（0，∞)n×（0，∞) ×（0，∞)n×Xn+1×（0，∞) → R乘以α（t，s，x，v）=p（2π）n |∑|。nexp-Xll′∑-1ll′（zl- \'\'zl）（zl\'- ‘zl’！，（4.3）式中，zl=ln（lsl），且'zl：=Rt+vt（r（x））-s的所有（u，x））du∈ （0，∞)n、 t型≥ 0，x∈ Xn+1，v>0和∑-1ll′是∑的第个元素-1对于l=1，n、 从（4.3）中可以清楚地看出，α（t，s，x，v）是对数正态密度，对于固定的（t，s，x，v）变量为t到。对应对数正态分布iseRt+vtr（x）du=er（x）v的平均值。考虑以下积分方程Д（t，s，x，y）=nXl=0Pt，x，y(l（t） =l）ρx（t，s）1.- Fτl | l（T- t | x，y）+ZT公司-te公司-r（x）vfτl | l（v | x，y）×Xj6=xlplxlj（yl+v）ZRn+Дt+v、、Rljx、Rl（y+v1）α（t，s，x，v）ddv！。（4.4）引理4.1。积分方程（4.4）在B中有唯一的解（如（4.2））。证据

我们首先注意到，（4.4）的解是运算符a的固定点，反之亦然，其中（t，s，x，y）：=nXl=0Pt，x，y(l（t） =l）ρx（t，s）1.- Fτl | l（T- t | x，y）+ZT公司-te公司-r（x）vfτl | l（v | x，y）×Xj6=xlplxlj（yl+v）ZRn+Дt+v、、Rljx、Rl（y+v1）α（t，s，x，v）ddv！。很容易验证∈ B、 AИ：(R)D→ R是可测量的。为了证明A是B中的收缩，我们需要证明∈ B、 kA^1- A^1kL≤ JkИ- ^1kl，其中J<1。为了显示规定类别中的存在性和唯一性，有必要显示A是B中的收缩。然后，巴拿赫不动点定理确保B中不动点的存在性和唯一性。为了显示Д，Д的that∈ B、 kA^1- A^1kL≤ JkИ- ^1klj其中J<1，我们计算- AхkL=supDA^1- Aх1+ksk= supD公司nXl=0Pt，x，y(l（t） =l）ZT-te公司-r（x）vfτl | l（v | x，y）Xjl6=xlplxljl（yl+v）×ZRn+（ψ）- ^1）（t+v，，Rljx，Rl（y+v1））α（；t，s，x，v）1+kskddv≤ supD公司nXl=0Pt，x，y(l（t） =l）ZT-te公司-r（x）vfτl | l（v | x，y）Xjl6=xlplxljl（yl+v）×ZRn+（1+kk）sup（t′，′，x′，y′）∈D（^1）- ^1）（t′，′，x′，y′）1+k′kα（t，s，x，v）1+kskddv= supD公司nXl=0Pt，x，y(l（t） =l）ZT-te公司-r（x）vfτl | l（v | x，y）kД- ^1kL'α（t，s，x，v）1+kskdv,式中，α（t，s，x，v）：=RRn+（1+kk）α（t，s，x，v）d。将引理2.3（i）中的ul（u，x）替换为r（x），我们得到‘（t，s，x，v）=1+ksker（x）v。因此，kA- A^1kL≤ JkИ- ^1kL，其中j=supDnXl=0Pt，x，y(l（t） =l）ZT-te公司-r（x）vfτl | l（v | x，y）1+ksker（x）v1+kskdv≤ supD公司nXl=0Pt，x，y(l（t） =l）ZT-tfτl | l（v | x，y）dv= supD公司nXl=0Pt，x，y(l（t） =l）Fτl | l（v | x，y）< supD公司nXl=0Pt，x，y(l（t） =l）= 1，使用r（x）≥ 0和Fl（y | i）<1的事实。因此A是B中的收缩。这是一个完整的证明。备注4.1。通过（4.4）中的直接替换t=t，我们得到了Д（t，s，x，y）=K（s）。

有趣的是，我们不必为（4.4）解的存在性和唯一性强加任何其他边界条件。通过在积分方程中代入边界，我们可以直接获得其他边界值。接下来，我们在下面的引理中陈述了系数（4.4）的一些不同结果。这个引理的证明在附录中给出。引理4.2。设Fτl | l（T- t | x，y）和Pt，x，y(l（t） =l）如引理2.1所示，α（t，s，x，v）如（4.3）所示。然后（i）Fτl | l（T- t | x，y）和Pt，x，y(l（t） =l）在dom（Dt，y）中，和Dt，yPt，x，y中(l（t） =l）=nXr=0fτr（0 | xr，yr）Pt，x，y(l（t） =l）- fτl（0 | xl，yl）Dt，yFτl | l（T- t | x，y）=fτl | l（0 | x，y）（fτl | l（t- t | x，y）- 1） 。（ii）fτl | l（t | x，y）在dom（Dt，y）中。（iii）α（t，s，x，v）在s.引理4.3中为Cin t，v，且在有限时间内可区分。Let^1∈ B是积分方程（4.4）的解。然后（i）Д∈ dom（Dt，y）∩ Cs（D）和（ii）Д（t，s，x，y）为非负。证据（i） 使用每个x的ρxf的平滑度，（4.4）右侧的第一项是indom（Dt，y）∩ Cs（D）。因此，检查βl（t，s，x，y）=ZT的所需平滑度就足够了-te公司-r（x）vfτl | l（v | x，y）Xj6=xlplxlj（yl+v）ZRn+Дt+v、、Rljx、Rl（y+v1）α（t，s，x，v）ddv。首先，我们检查Dt，y的适用性。

很容易看出，Dt，yβl（t，s，x，y）是以下表达式εhZT的极限-t型-εe-r（x）vfτl | l（v | x，y+ε1）Xj6=xlplxlj（yl+v+ε）ZRn+Дt+v+ε，，Rljx，Rl（y+（v+ε）1）×α（；t+ε，s，x，v）ddv-ZT公司-te公司-r（x）vfτl | l（v | x，y）Xj6=xlplxlj（yl+v）ZRn+Дt+v、、Rljx、Rl（y+v1）×α（t，s，x，v）ddvi。经过适当的替换后，上述表达式变为-tεe-r（x）vXj6=xlplxlj（yl+v）ZRn+~nt+v、、Rljx、Rl（y+v1）βε（v，；t，s，x，y）ddv-εZεe-r（x）vfτl | l（v | x，y）Xj6=xlplxlj（yl+v）ZRn+Дt+v、、Rljx、Rl（y+v1）α（；t，s，x，v）ddv，（4.5），其中'βε（v，；t，s，x，y）：=εer（x）εfτl | l（v- ε| x，y+ε1）α（；t+ε，s，x，v- ε）- fτl | l（v | x，y）α（t，s，x，v）.现在，上述定义的βε可以重写为εher（x）ε- 1+1fτl | l（v- ε| x，y+ε1）- fτl | l（v | x，y+ε1）+fτl | l（v | x，y+ε1）- fτl | l（v | x，y）+fτl | l（v | x，y）×α（；t+ε，s，x，v- ε）- α（；t，s，x，v- ε） +α（；t，s，x，v- ε）- α（；t，s，x，v）+α（；t，s，x，v）-fτl | l（v | x，y）α（t，s，x，v）i.（4.6）由于引理2.1（ii）和引理4.2（ii）、（iii）中的连续可微性结果，我们可以使用均值定理重写（4.6）ashεr（x）er（x）ε+1-f′τl | l（v- ε| x，y+ε1）+nXi=1yifτl | l（v | x，y+ε1）+εfτl | l（v | x，y）！×εαt（；t+ε，s，x，v- ε）- εαv（；t，s，x，v- ε） +α（；t，s，x，v）-εfτl | l（v | x，y）α（t，s，x，v）i，对于某些ε，ε，ε，ε，ε，ε<ε。

在对上述表达式中的项进行一些r变换后，我们得到了βε（v，；t，s，x，y）=α（；t，s，x，v）r（x）er（x）εfτl（v | x，y）- f′τl | l（v- ε| x，y+ε1）+nXi=1yifτl | l（v | x，y+ε1）！+fτl | l（v | x，y）αt（；t+ε，s，x，v- ε）- αv（；t，s，x，v- ε）+ εGε（v，；t，s，x，y），其中Gε（v，；t，s，x，y）：=r（x）er（x）ε-f′τl | l（v- ε| x，y+ε1）+nXi=1yifτl | l（v | x，y+ε1）！×（εαt（；t+ε，s，x，v- ε）- εαv（；t，s，x，v- ε） +α（t，s，x，v））+r（x）er（x）εfτl | l（v | x，y）- f′τl | l（v- ε| x，y+ε1）+nXi=1yifτl | l（v | x，y+ε1）！×（αt（；t+ε，s，x，v- ε）- αv（；t，s，x，v- ε） ）。我们还从（8.17）和（8.18）中得出，αt（t，s，x，v）=α（t，s，x，v）O（log | i |）和αv（t，s，x，v）=α（t，s，x，v））O（log |，其中：=maxi i |。（4.5）中的表达式有两个相加项。为了显示第一项的共收敛性，我们打算使用上述表达式应用支配和Vitali的收敛定理。为此，作为∈ B、 如果我们有以下三个结果，（a）v 7→RRn+（c*+c）log ||α（t，s，x，v）d有界且左连续，（b）t 7→RRn+（c*+c）log（|）α（；t，s，x，v）d相对于v是一致连续的，（c）kkα（；t+ε，s，x，v+ε）是一致可积的，且对于ε，ε<< 为了证明结果（a），我们引入了一个函数B（v）：=RRn+（c*+c）对数（||）α（；t，s，x，v）d。现在，对于ε>0，使用中值定理，存在一个0<ε′<ε，使得ε（B（v）- B（v）- ε） ）=ZRn+（c*+c）对数（||）αv（；t，s，x，v- ε′）d≤ZRn公司+ckk+cα（；t，s，x，v- ε′）d，对于一些正常数c，c。现在引理2.2（iii）表明右侧以von[ε，T]为界。这意味着B是连续的。利用类似的推理，从引理2.2（iii）得到了B-alsofollows的有界性。同样，可以证明结果（b）。

为了证明（c），我们首先重新定义了均值和方差有界的正态随机变量族是一致可积且紧的。因此（c）如下所示，出现多项式和对数正态密度函数的乘积。现在我们讨论（4.5）第二项的收敛性。很明显，结果（a）暗示了v 7的边界→RRn+Дt+v、、Rljx、Rl（y+v1）α（t，s，x，v）d，确保所需的收敛。因此βl∈dom（Dt，y），因此∈ dom（Dt，y）。现在我们讨论关于s的平滑度。首先我们观察到αsl′（t，s，x，v）=sl′O（log（| s |）））α（t，s，x，v）。自^1起∈ B、 利用l′+εkkα（t，s+ε，x，v）的一致可积性和紧度以及v 7的一致有界性→RRn+sl′+εkkα（t，s+ε，x，v）d表示ε<< 1，我们得出βl（t，x，y）与sl的不同之处。同样，我们可以依次建立任何高阶偏导数的存在性。因此，我们可以获得βl的两次连续微分。（ii）我们已经证明A:B→ B是收缩。根据方程（4.1）的形式和K的非负性，很明显（4.1）允许非负解。由于方程式（4.4）中的所有系数均为非负，因此A≥ ^1为0≥ 此外，我们发现A在B中有一个固定点。可以很容易地说，这个固定点实际上是非负的。因此，Д是非负的。5偏微分方程在本节中，我们建立了定理3.2，即（3.3）-（1.4）的唯一性和存在性。在解决这一问题之前，重要的是澄清有关边界条件的几个问题。在s=0时，关于s消失r的偏导数。由于域的性质是三角形的，可以使用特征线法显示，初始条件将导致（3.3）-（1.4）的解。