时间非齐次制度转换市场中衍生产品的定价

也可以证明，如果我们施加一个不是从初始条件得到的边界条件，则偏微分方程将没有解。更多详情，请参阅（【17】，第32页）。设W是概率s空间上的标准n维布朗运动Ohm,F，▄P）。对于e ach l=1，2，n、 设▄Sltsatis fiesd▄Slt=▄Sltr（Xt）dt+nXj=1σlj（t，Xt）dWjt,S>0，（5.1），其中xT是由等式（2.1）和（2.2）给出的年龄相关过程Ohm,~F，~P）和σlis是σ的第l行。我们注意到▄St：=（▄St，▄Snt）。提案5.1。（i） Cauchy问题（3.3）-（1.4）有一个广义解，ν。（ii）在假设（A1）（i）-（iv）下，Д求解积分方程（4.4）。（iii）Д∈ B、 证明。（i） L e t▄是SDE（5.1）的长期解决方案。让▄Ft成为▄StandXt生成的过滤，它满足了通常的假设。因为（t，Xt，Yt）是马尔可夫过程，所以过程（t，~St，Xt，Yt）是马尔可夫过程。设A为（t，St，Xt，Yt）的最小生成元，其中（t，s，x，y）=Dt，y（t，s，x，y）+r（x）nXl=1sl^1sl（t，s，x，y）+nXl=1nXl′=1all′（t，xl）slsl′^1sl公司sl′（t，s，x，y）+nXl=0Xj6=xlλlxlj（yl）^1（t、s、Rljx、Rly）- ^1（t、s、x、y）, （5.2）对于每个紧密支撑Cin s和Cin y的函数Д。LetNt：=E[E-RTtr（Xu）duK（▄ST）▄ST=s，Xt=x，Yt=y]。（5.3）由于（A2）（ii）和引理2.3，上述预期是有限的。因此（5.3）表明NTI是一个ft鞅。由于K（s）最多呈线性增长，且| s有明确的预测，（5.3）表明E | Nt |<∞ 对于每个。因此，使用（t，St，Xt，Yt）的马尔可夫半群，偏微分方程有一个广义解ν：D→ Rmeasurable由Д（t，s，x，y）给出：=E[E-RTtr（Xu）duK（▄ST）▄ST=s，Xt=x，Yt=y]。

（5.4）（ii）通过对过渡时间进行调节（5.4），我们得到了Д（t，~St，Xt，Yt）=EhEhe-RTtr（Xu）duK（▄ST）▄ST，Xt，Yt，l（t）=li▄ST，Xt，Yt=nXl=0Pt，x，y(l（t） =l）Ehe-RTtr（Xu）duK（▄ST）▄ST，Xt，Yt，l（t）=li=nXl=0Pt，x，y(l（t） =l）EhEhe-RTtr（Xu）duK（▄ST）▄ST，Xt，Yt，l（t）=l，τl（t）i▄ST，Xt，Yt，l（t）=li。现在，EhEhe-RTtr（Xu）duK（～ST）～ST，Xt，Yt，l（t）=l，τl（t）i～ST，Xt，Yt，l（t）=li=P[τl（t）>t- t] ρx（t，~St）+ZT-特赫-RTtr（Xu）duK（| ST）| ST，Xt，Yt，l（t）=l，τl（t）=vifτl | l（v | Xt，Yt）dv。我们注意到-RTtr（Xu）duK（▄ST）▄ST，Xt，Yt，l（t）=l，τl（t）=vi=e-r（Xt）vXjl6=XlplXljl（Yl+v）ZRn+Ehe-RTt+vr（Xu）duK（| ST）| ST+v=，Xt+v=Rljx，Yt+v=Rly，l（t）=l，τl（t）=vα（t，s，x，v）d。因此，Д（t，St，Xt，Yt）=nXl=0Pt，x，y(l（t） =l）ρx（t，~St）1.- Fτl | l（T- t | Xt，Yt）+ZT公司-te公司-r（Xt）vfτl | l（v | Xt，Yt）×Xj6=xlplxlj（yl+v）ZRn+Дt+v、Rlls、Rljx、Rlyα（；t，s，x，v）ddv.使用（A1）（iv），由于i 6=j时λlij（y）>0，我们可以用上述关系中的泛型变量（s，x，y）替换（~St，Xt，Yt）。综上所述，Д是（4.4）的解决方案。（iii）为了显示Д是最t的线性g长，有必要显示所有（t、s、x、y）∈ D |Д（t、s、x、y）-c*s |≤ c、 式中，c，cis如（A2）（ii）所示。我们注意到，如果▄sti是（5.1）的解，e-Rtr（Xu）du▄Stis a▄ft鞅。因此，通过使用▄St，Xt，Yt的马尔可夫性质和事实e-Rtr（Xu）duisFt可测量，我们得到-RTtr（徐）都街St，Xt，Yti=Ehe-RTtr（Xu）duSTFti=e-Rtr（徐）duEhe-RTr（Xu）duST~Fti=~St。利用这个等式，（5.4）和（A2）（ii），我们得到了|Д（t，s，x，y）- c*s|=Ehe公司-RTtr（Xu）duK（▄ST）▄ST=s，Xt=x，Yt=yi- c*Ehe公司-RTtr（Xu）duSTST=s，Xt=x，Yt=yi≤ Eh[e-RTtr（Xu）du | K（~ST）- c*ST | | ST=s，Xt=x，Yt=yi≤ c、 这就完成了证明。定理3.2的证明：命题5.1意味着PDE（3.3）-（1.4）有一个在B中的广义解，并且也解积分方程。

引理4.1表明积分方程在B中只有一个解。最后引理4.3断言积分方程的唯一解在dom（Dt，y）中∩Cs。因此，利用上述结果，我们得出结论，（3.3）-（1.4）在（3.3）中的算子域中有一个广义解。因此，广义解（5.4）经典地解（3.3）-（1.4）。为了证明唯一性，首先假设Д和Д是规定类别函数中（3.3）-（1.4）的两个经典解。然后使用命题5.1，可以得出两者都可以解（4.4）。根据引理4.1，在规定的类中只有一个这样的解。因此，Д=Д。引理5.2。设ν（t，s，x，y）为柯西问题（3.3）-（1.4）的经典解。根据假设（A2）（i），^1sm（t，s，x，y）是有界的。证据由于Д（t，s，x，y）是（3.3）-（1.4）的经典解，因此它位于dom（Dt，y）中∩ Cs。事实上，Д比Cs具有更大的正则性，这在L emma 4.3的证明中很明显。确实是由于引理4.2（iii）和∞ρ的平滑度，Д为C∞在s.Letψm（t，s，x，y）中：=^1sm（t，s，x，y），对于m=1，n、 现在微分方程（3.3）关于Sm，利用a（t，x）对称的事实，我们得到dt，yψm（t，s，x，y）+nXl=1slr（x）+aml（t，x）ψmsl（t，s，x，y）+nXl=1nXl′=1all′（t，x）slsl′ψmsl公司sl′（t，s，x，y）+nXl=0Xj6=xlλlxlj（yl）ψm（t，s，Rljx，Rly）- ψm（t，s，x，y）= 0。（5.5）很容易检查^Aψm（t，s，x，y）=Dt，yψm（t，s，x，y）+nXl=1slr（x）+aml（t，x）ψmsl（t，s，x，y）+nXl=1nXl′=1all′（t，x）slsl′ψmsl公司sl′（t，s，x，y）+nXl=0Xj6=xlλlxlj（yl）ψm（t，s，Rljx，Rly）- ψm（t，s，x，y）,是马尔可夫过程（t，\'St，Xt，Yt）的最小生成元，其中\'St=（\'St。

、Snt）和Sltsatis测试以下SDEd？Slt=？Sltr（Xt）I+诊断（al（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt, （5.6）其中，Diag（al（t，Xt）是包含a（t，x）的lthrow的对角矩阵，（Xt，Yt）如（2.1）-（2.2）所示。因此，PDE（5.5）的解具有以下形式的随机r e表示ψm（t，s，x，y）=eK′（\'SmT）\'Smt=s，Xt=x，Yt=y, （5.7）式中K′：Rn+→ 对于每个s，R几乎处处由K（s）=RsmK′（Rmrs）dr定义∈ Rn+由于K在大多数情况下呈线性增长，并且是Lipschitz连续的，所以K′在L∞. 因此（5.7）表明ψm（t，s，x，y）是有界的。6定理3.3的定价和hedging证明：使用引理5.2，我们可以证明（3.4）中给出的π=（ξ，ε）是可容许的投资组合策略。事实上，ξltis是连续的，因此是可预测的。因此（A2）（i）和（ii）适用于这对π=（ξ，ε）。因此，使用（3.4）的这对策略的贴现值函数由^Vt（π）=nXl=1ξlt^Slt+εt=e给出-Rtr（Xu）duД（t，St，Xt，Yt），其中Д是（3.3）-（1.4）的唯一经典解。现在我们将找到^Vt（π）的分解。在测度P下，我们应用它的o公式-Rtr（Xu）duД（t、St、Xt、Yt）。使用（2.9），（3.3）和（1.1），在适当地重新排列术语后，对于所有t<t，我们得到，e-Rtr（Xu）duД（t，St，Xt，Yt）=Д（0，S，X，Y）+nXl=1Zt^1sl（u、Su、Xu-, 于-)d^Slu+中兴通讯-Rur（Xv）dvZR[Д（u，Su，Xu-+ h（Xu-, 于-, z） ，于-- g（Xu-, 于-, z） （）-^1（u、Su、Xu-, 于-)] ^（du，dz），（6.1）式中 是的补偿器, i、 e.^（dt，dz）=（dt，dz）- dtdz。因此，从（6.1）中，我们有≤ TStД（t、St、Xt-, 年初至今-) = H+nXl=1Ztξlud^Slu+Lt，（6.2），其中H=Д（0，S，X，Y），Lt：=Zte-Rur（Xv）dvZR[Д（u，Su，Xu-+ h（Xu-, 于-, z） ，于-- g（Xu-, 于-, z） （）-^1（u、Su、Xu-, 于-)] ^（du，dz）。（6.3）明确上述选择的Fmeasurable和LTis FTmeasured。

我们知道，关于补偿泊松随机测度的积分是局部鞅。因此LTI是一个局部鞅。命题5.1（iii）的前提表明，对LTI上限的期望。因此它是一个鞅。从Wtand开始 是独立的，Ltis正交侵权σl（t，Xt）^StdWt。因此，我们通过让t↑ T英寸（6.2），ST-1K（ST）=Д（0，S，X，Y）+nXl=1ZTξltd^Slt+LT.（6.4），这就完成了证明。定理6.1。设Д为（4.4）的唯一解决方案。设置η（t，s，x，y）：=nXl=0Pt，x，y(l（t） =l）ρx（t，s）sm1.- Fτl | l（T- t | x，y）+ZT公司-te公司-r（x）vfτl | l（v | x，y）×Xjl6=xlplxljl（yl+v）ZRn+Д（t+v，，Rljx，Rly）α（t，s，x，v）smddv, （6.5）式中（t，s，x，y）∈ D、 然后η（t，s，x，y）=^1sm（t，s，x，y），证明。我们可以证明ψ（6.5中的a s））等于^1sm事实上，我们可以通过区分（4.4）关于sm的右侧来获得（6.5）的RHS。因此，赞成。备注6.1。我们在定理3.3中已经证明^1sm（t，s，x，y）是为了找到最佳套期保值而需要计算的必要数量。正在尝试计算^1使用数值微分的sm（t、s、x、y）会增加^1sm（t、s、x、y）至小误差。方程式（6.5）给出了一种更好、更稳健的计算方法^1sm（t，s，x，y），使用数值积分。7关于瞬时速率函数的灵敏度在最近的一篇论文中，Goswami等人[9]提出了一个有趣的想法，即通过近似过渡速率来近似解。在上一节中，我们已经看到，对于一类连续可微分的跃迁率函数，存在一个独特的类解PDE（3.3）-（1.4）。设λ：=（λ，…，λn）为向量，其中λlis如第2节所示。我们陈述并证明以下重要结果。定理7.1。

设Д和是（3.3）-（1.4）的两个解，其参数分别为λ和λ。THNK^1- хksup≤ 2cT kλ-§λksup，其中cas在假设（A2）（ii）中。证据设ν为经典解，而为其TBA。我们考虑ψ（t，s，x，y）：=Д（t，s，x，y）- И（t、s、x、y）。（7.1）现在，很容易看出ψ满足以下初值问题，Dt，yψ（t，s，x，y）+r（x）nXl=1slψsl（t，s，x，y）+nXl=1nXl′=1all′（t，x）slsl′ψsl公司sl′（t，s，x，y）+nXl=0Xj6=xlλlxlj（yl）ψ（t，s，Rljx，Rly）- ψ（t，s，x，y）= r（x）ψ（t，s，x，y）-nXl=0Xj6=xlλlxlj（yl）-λlxlj（yl）И（t、s、Rljx、Rly）- И（t、s、x、y）, （7.2）定义onD：={（t，s，x，y）∈ （0，T）×Rn+×Xn+1×（0，T）n+1 | y∈ （0，t）n+1}，条件ψ（t，s，x，y）=0，s∈ Rn+；0≤ yl公司≤ Tx=1，2，··，k。我们用（7.1）asAψ（t，s，x，y）=r（x）ψ（t，s，x，y）重写（7.2）- f（t，s，x，y），（7.3），其中f（t，s，x，y）：=nXl=0Xj6=xlλlxlj（yl）-λlxlj（yl）И（t、s、Rljx、Rly）- И（t、s、x、y）.我们记得，A是（t、~St、Xt、Yt）的最小生成元。利用命题5.1（iii）的证明，可以证明对于所有（t，s，x，y）∈ D | f（t，s，x，y）|≤ 2cnXl=0Xj6=xlkλlxlj（y）-λlxlj（y）ksup。（7.4）由ψ（t，s，x，y）=E[ZTtexp]给出了偏微分方程（7.3）解的随机表示-Zvtr（徐）杜f（v、~Sv、Xv、Yv）dv |▄St=s，Xt=x，Yt=y]。（7.5）由于Д是参数∧的（3.3）-（1.4）的一个解，那么命题5.1（iii）的证明，| （t，s，Rljx，Rly）-И（t，s，x，y）|<2c。现在对所有t使用（7.4）和r>0≤ v≤ T，我们有kψ（T，s，x，y）ksup=sup'DE[ZTtexp-Zvtr（徐）杜f（v、~Sv、Xv、Yv）dv ~St=s，Xt=x，Yt=y]≤ 2c（T- t） nXl=0Xj6=xlkλlxlj（y）-λlxlj（y）ksup<2cTnXl=0Xj6=xlkλlxlj（y）-λlxlj（y）ksup。因此，证明已完成。备注7.1。有趣的是，如果放松假设（A2）（ii），也可以证明定理7.1的较弱变体。确实如果K∈ B在这种情况下，kД- ИkL≤ M kλ-λksup。

这一点很容易从以下事实中得出，即最多是线性增长，并且具有有限的预期。8二次剩余风险的计算在本节中，我们找到了二次剩余风险的表达式。设π：=（ξt，εt），其中ξt=（ξt，…，ξnt）为容许策略，vt为第3节中定义的值过程。此外，我们假设{Ct}t≥0是与或有索赔最优对冲相关的累计额外现金流过程，其中DCT=dVt-nXl=1ξltdSlt- εtdSt。可以显示stdct=d^Vt-nXl=1ξltd^Slt，（8.1），其中^vt是第3节中定义的贴现价值过程。现在到（3.2），我们得到了d^Vt=nXl=1ξltd^Slt+dL^Ht。（8.2）现在比较（8.1）和（8.2），我们得到了stdct=dL^Ht。t=0时，[0，t]期间累计现金流的贴现值为^CT-^C：=ZTStdCt=L^Ht。使用上述和（6.3），我们得到l^HT=ZTStZR（t，St，Xt-+ h（Xt-, 年初至今-, z） ，年至今-- g（Xt-, 年初至今-, z）- ^1（t、St、Xt-, 年初至今-)) ^（dt，dz）。ThusdCt=ZR（Д（t，St，Xt-+ h（Xt-, 年初至今-, z） ，年至今-- g（Xt-, 年初至今-, z）- ^1（t、St、Xt-, 年初至今-)) ^（dt，dz）。（8.3）综合上述表述，我们获得了与最佳对冲相关的外部现金流。因此，CT=C+ZTZR（Д（t，St，Xt-+ h（Xt-, 年初至今-, z） ，年至今-- g（Xt-, 年初至今-, z）- ^1（t、St、Xt-, 年初至今-)) ^（dt，dz）=C+Xt∈[0，T]（Д（T，St，Xt，Yt）- ^1（t、St、Xt-, 年初至今-)) -ZTnXl=0Xj6=Xlt-λlXlt-j（Ylt-)×^1（t、St、RljXt-, RlYt公司-) - ^1（t、St、Xt-, 年初至今-)dt，（8.4）给定策略π，我们可以确定t=0时的二次剩余风险，用R（π）表示，R（π）表示：=E[（^CT-^C）| F]。引理8.1。由[C]t=Xr给出的Ctis的二次变化过程∈[0，t]（Д（r，Sr，Xr，Yr）- ^1（r、Sr、Xr-, 年-)), （8.5）式中，Д是（3.3）-（1.4）的唯一经典解，最多为线性增长。证据很明显，（8.4）中的CTA是一个rcll过程。

现在，对于r∈ （0，T）和, wehave（Cr- Cr公司-)= （^1（r、Sr、Xr、Yr）- ^1（r、Sr、Xr-, 年-))- 2（^1（r、Sr、Xr、Yr）- ^1（r、Sr、Xr-, 年-)) ×nXl=0Xj6=Xlr-λlXlr-j（Ylr-)^1（r、Sr、RljXr-, RlYr公司-) - ^1（r、Sr、Xr-, 年-)+nXl=0Xj6=Xlr-λlXlr-j（Ylr-)^1（r、Sr、RljXr-, RlYr公司-- ^1（r、Sr、Xr-, 年-)+ O.因为CTI的二次变化是sumPr的极限∈[0，t]（Cr- Cr公司-)在具有 → 0，我们取两边的和。我们注意到第二项，即 有界且为ofO() 除了一组度量值为O的(), 因此，可以忽略上述表达式中第二项、第三项和第四项的总和。因此，[C]t=Xr∈[0，t][Д（r，Sr，Xr，Yr）- ^1（r、Sr、Xr-, 年-)]. （8.6）R（π）的表达式可以使用它的等距来找到。进一步使用引理8.1，我们得到r（π）=E[（^CT-^C）| F]=EZTStdCt！|F=E“ZTStd[C]t | F#=EXt公司∈[0，T]St（Д（T，St，Xt，Yt）- ^1（t、St、Xt-, 年初至今-))| F=E“St（^И）（t、St、Xt、Yt）- ^И（t、St、Xt-, 年初至今-))| F#=Em（T）Xm=1^И（Tm、STm、XTm、YTm）- ^И（Tm、STm、XTm-1，Tm- Tm公司-（1）| F（8.7）引理2.1的附录证明：（i）为了计算Pt，x，y(l（t） =l），我们首先推导出条件c.d.f fτl（·| i，y）。Fτl（s | i，(R)y）=P（0≤ τl（t）≤ s | Xlt=i，Ylt=(R)y）=P（τl（t）+Ylt≤ s+’y | Xlt=i，Ylt=’y）=P（YlTnl（t）+1-≤ s+’y | YlTnl（t）-≥ ‘y，Xlt=i，Ylt=’y）=Fl（s+’y | i）- 佛罗里达州（y | i）1- Fl（\'y | i）l=0，1，n、 （8.8）设Fτl（s | i，\'y）：=Fτl（s | i，\'y）。因此，τl（·| i，\'y）=fl（·+\'y | i）1- 佛罗里达州（\'y | i）。（8.9）设Fτ-l（·| x，y）表示τ的条件c.d.f-l（t）给定Xt=x，Yt=y，由1给出-Ym6=l1.-Fτm（·| xm，ym）, 其中τ-l（t）：=minm6=lτm（t）。因此，从定义l（t） 那个，Pt，x，y(l（t） =l）=Pt，x，y（τl（t）<τ-l（t））。我们使用τl（t）上的条件来计算这个概率。

因此，x，y(l（t） =l）=Et，x，y[Pt，x，y（τl（t）<τ-l（t）|τl（t））]=∞Z（1- Fτ-l（s | x，y））fτl（s | xl，yl）ds=∞ZYm6=l（1- Fτm（s | x，y））Fτl（s | xl，yl）ds。现在使用，（8.8）和（8.9），一个getPt，x，y(l（t） =l）=∞ZYm6=l1- Fm（s+ym | xm）1- Fm（ym | xm）fl（s+yl | xl）1- Fl（yl | xl）ds。（8.10）这就完成了（i）的证明。（ii）同样，根据Fτl | l（v | x，y）的定义，我们得到Fτl | l（v | x，y）=Pt，x，y（τl（t）≤ 五|l（t） =l）=Pt，x，y（τl（t）≤ vl（t） =l）Pt，x，y(l（t） =l）。再次计算Pt，x，y（τl（t）≤ vl（t） =l）我们在τl（t）上使用条件，因此，x，y（τl（t）≤ vl（t） =l）=Et，x，y[Pt，x，y（τ-l（t）>τl（t），τl（t）≤ v |τl（t））]=vZPt，x，y（τ）-l（t）>τl（t）|τl（t）=s）fτl（s | xl，yl）ds=vZ（1- Pt，x，y（τ-l（t）≤ s） ）fτl（s | xl，yl）ds=vZYm6=l（1- Fτm（s | x，y））Fτl（s | xl，yl）ds。（8.11）现在在（8.11）中替换（8.8），（8.10），我们得到，Fτl | l（v | x，y）=vZYm6=l（1- Fm（s+ym | xm）fl（s+yl | xl）ds∞ZYm6=l（1- Fm（s+ym | xm））fl（s+yl | xl）ds。（8.12）因为Ym6=l（1- Fm（s+ym | xm））fl（s+yl | xl）是所有s的C∈ [0，T]，根据Calculas的基本定理，我们可以得出结论，对于所有v.Fτl | l（v | x，y）=Ym6=l（1），Fτl | l（v | x，y）是二次可微的- Fm（v+ym | xm））fl（v+yl | xl）∞ZYm6=l（1- Fm（s+ym | xm））fl（s+yl | xl）ds，（8.13）对于v是不同的。对（iii）的证明很简单。引理4.2的证明：（i）我们将证明，Pt，x，y(l（t） =l）和Fτl | l（t- t | x，y）在dom（Dt，y）中。考虑函数lv（x，y）：=RvQm6=l（1-Fm（s+ym | xm）fl（s+yl | xl）ds和l∞（x，y）：=limv→∞lv（x，y）。然后是函数lv（x，y）在以下方面持续不同：lv（x，y），我们通过l′v（x，y）。因此l′v（x，y）：=Ym6=l（1- Fm（v+ym | xm））fl（v+yl | xl）。（8.14）自lv（x，y）不在t上，我们检查y中的差异。

为此，我们首先展示了以下极限ε的存在→0εhRvQm6=l（1- Fm（s+ym+ε| xm））fl（s+yl+ε| xl）ds-RvQm6=l（1- Fm（s+ym | xm））fl（s+yl | xl）dsi。通过适当的变量替换，上述限值中的表达式为εhRv+εvQm6=l（1- Fm（s+ym | xm））fl（s+yl+ε| xl）ds-RεQm6=l（1- Fm（s+ym | xm））fl（s+yl | xl）dsi。上述表达式收敛于l′v（x，y）- l′（x，y）为ε→ 0，极限在y中是连续的。T husDt，ylv（x，y）=l′v（x，y）- l′（x，y）。如果v是t的可微函数，则dt，ylv（x，y）=l′v（x，y）1个+vt型- l′（x，y）。亨塞特，ylv（x，y）=(l′v（x，y）1个+vt型- l′（x，y）0<v<∞-l′（x，y）v=∞.（8.15）自年月日起（1- Fm（v+ym | xm））=-Xrfr（yr | xr）Ym6=r（1- Fm（ym | xm）因此Pt，x，y(l（t） =l）=l∞（x，y）Qm（1-Fm（ym | xm））和Fτl | l（T- t | x，y）=lT公司-t（x，y）l∞（x，y）。因此，Pt，x，y(l（t） =l）和fτl | l（t- t | x，y）在Dt，y的域中。现在操作Dt，yon Pt，x，y(l（t） =l）并使用（8.9），（8.14）wehaveDt，yPt，x，y(l（t） =l）=Dt，y∞（x，y）Qm（1- Fm（v+ym | xm））+∞（x，y）×Prfr（yr | xr）Qm6=r（1- Fm（ym | xm））（Qm（1- Fm（v+ym | xm））=-′（x，y）Qm（1- Fm（v+ym | xm））+nXr=0fr（yr | xr）（1- Fr（v+yr | xr））Pt，x，y(l（t） =l）=nXr=0fτr（0 | xr，yr）Pt，x，y(l（t） =l）- fτl（0 | xl，yl）。运行Dt，yon Fτl | l（T- t | x，y）Dt，yFτl | l（t- t | x，y）=Dt，yT-t（x，y）∞（x，y）-T-t（x，y）Dt，y∞（x，y）∞（x，y）=-′（x，y）∞（x，y）+T-t（x，y）′（x，y）∞（x，y）=fτl | l（0 | x，y）（fτl | l（T- t | x，y）- 1） 。（ii）使用假设（A1）（ii），我们可以得出结论，fτl | l（t | x，y）在dom（Dt，y）中。（iii）从（2.7）中，我们得到∑-1所有v均大于0，且在t和v中可区分。因此（2.8）中定义的α（t，s，x，v）在t和v中可区分。取（2.8）两侧的对数，我们得到α（t，s，x，v）=- lnp（2π）n。n！-ln∑|-Xll′∑-1ll′（zl- \'\'zl）（zl\'- \'\'zl\'）。