时间非齐次制度转换市场中衍生产品的定价

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英文标题：
《Pricing Derivatives in a Regime Switching Market with Time Inhomogeneous
  Volatility》
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作者：
Milan Kumar Das, Anindya Goswami and Tanmay S. Patankar
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  This paper studies pricing derivatives in an age-dependent semi-Markov modulated market. We consider a financial market where the asset price dynamics follow a regime switching geometric Brownian motion model in which the coefficients depend on finitely many age-dependent semi-Markov processes. We further allow the volatility coefficient to depend on time explicitly. Under these market assumptions, we study locally risk minimizing pricing of a class of European options. It is shown that the price function can be obtained by solving a non-local B-S-M type PDE. We establish existence and uniqueness of a classical solution of the Cauchy problem. We also find another characterization of price function via a system of Volterra integral equation of second kind. This alternative representation leads to computationally efficient methods for finding price and hedging. Finally, we analyze the PDE to establish continuous dependence of the solution on the instantaneous transition rates of semi-Markov processes. An explicit expression of quadratic residual risk is also obtained.
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中文摘要：
本文研究了年龄相关的半马尔可夫调制市场中衍生产品的定价问题。我们考虑一个金融市场，其中资产价格动态遵循一个制度转换几何布朗运动模型，其中系数依赖于有限多个年龄相关的半马尔可夫过程。我们进一步允许波动系数明确地依赖于时间。在这些市场假设下，我们研究了一类欧式期权的局部风险最小化定价。结果表明，通过求解非局部B-S-M型偏微分方程可以得到价格函数。我们建立了柯西问题经典解的存在唯一性。通过第二类Volterra积分方程组，我们还发现了价格函数的另一个特征。这种替代的表示方法导致了寻找价格和对冲的计算效率高的方法。最后，我们分析了偏微分方程，以建立解对半马尔可夫过程瞬时转移率的连续依赖关系。得到了二次剩余风险的显式表达式。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Pricing_Derivatives_in_a_Regime_Switching_Market_with_Time_Inhomogeneous_Volatility.pdf (320 KB)

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关键词：衍生产品 生产品 Quantitative Mathematical coefficients

具有时间非均匀波动率的制度转换市场中衍生产品的定价*Milan Kumar Das+Anindya GoswamiTanmay S.Patankar§摘要：本文研究了年龄相关的半马尔可夫调制市场中衍生品的定价问题。我们考虑一个金融市场，其中资产价格动态遵循一个制度转换几何布朗运动模型，其中系数依赖于许多年龄相关的半马尔可夫过程。我们进一步明确允许波动系数依赖于时间。在这些市场假设下，我们研究了一类欧洲期权的局部风险最小化定价。结果表明，通过求解非局部B-S-M型偏微分方程可以得到价格函数。我们建立了柯西问题经典解的存在唯一性。我们还通过第二类Volterra积分方程的s系统发现了价格函数的另一个特征。这种替代表示法可以为确定价格和套期保值提供高效的计算方法。最后，我们分析了偏微分方程，以建立解对半马尔科夫过程惯性矩转移率的连续依赖关系。还得到了二次剩余风险的显式表达式。关键词：半马尔可夫过程、Volterra积分方程、非局部抛物线偏微分方程、局部风险最小化定价、最优HedgingClassification No:60K15、91B30、91G20、91G60.1简介1971年，Black、Scholes和Merton考虑了资产价格动态的数学模型，以发现标的资产上欧式期权的价格表达式。在他们的模型中，股票价格过程是用几何布朗运动建模的。价格的dr ift和波动系数被视为常数。从那时起，他们对理论模型进行了许多不同的改进。

Regimeswitching模型是Black-Scholes-Merton（B-S-M）模型的一种扩展。在制度转换模型中，假设市场有许多假设的、可观察的、可能的经济状态，这些状态是在一定的随机时间间隔内实现的。假设关键市场参数依赖于这些制度或状态，状态转换由纯跳跃过程建模。已经进行了广泛的研究，以研究具有马尔可夫调制机制切换的市场[1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[11]、[12]、[14]、[16]。还有一些作者通过在资产动态中引入跳跃不连续性以及马尔可夫机制进行了进一步的推广。在所有这些工作中，切换状态的可能性仅限于有限状态马尔可夫链类。与马尔可夫切换相比，半马尔可夫调制区域切换的研究相对较少。在这类模型中，人们有机会获得一些市场记忆效应。特别是，可以将过去停滞期的知识输入期权价格公式，以获得价格值。因此，就适用性而言，这类模型比马尔可夫切换模型具有更大的适用性。[7]中首次正确解决了半马尔科夫制度的定价问题。值得注意的是，制度转换模型导致了不完全市场。由于单个期权可能有多个无套利价格，因此需要确定适当的概念，以获得可接受的*第一作者的研究得到了UGC奖学金的支持。+印度浦那411008 IISER；电子邮件：milankumar。das@students.iiserpune.ac.in.IISER，浦那411008，印度；电子邮件：anindya@iiserpune.ac.in.§IISER，浦那411008印度；电子邮件：tanmaysp1004@gmail.com.price.

[7]利用F¨ollmer-Schweizerdecomposition[6]研究了一种特殊类型的半马尔可夫状态下的期权定价。结果表明，价格函数满足非局部系统的去生成概率偏微分方程。在最近的一篇论文【10】中，研究了一类更普遍的年龄相关过程的相同问题。一个年龄相关的过程{Xt}t≥0在X上：={1，…，k} R由其ins tantananeoutransition rate函数λ：{（i，j）规定∈ X | i 6=j}×[0，∞) → （0，∞) 并由以下随机积分方程组的Strong解来定义：X t=X+Z（0，t）ZRhλ（Xu-, 于-, z）（du，dz）（1.1）Yt=t-Z（0，t）ZRgλ（Xu-, 于-, z）（du，dz），（1.2）其中（du，dz）是强度为dudz的泊松随机测度，与Xandhλ（i，y，z）无关：=Xj∈X \\{i}（j- i） 1∧ij（y）（z），gλ（i，y，z）：=Xj∈X \\{i}y1∧ij（y）（z），其中每个y≥ 0，且i 6=j，∧ij（y）是实线的连续（相对于字典序onX×X）左闭区间和右开区间，每个区间的长度为λij（y）。我们澄清了如果{（Xt，Yt）}t≥0是（1.1）-（1.2）的解，则Xtis称为年龄相关过程，YIS称为年龄过程。如（Th.2.1.3，[17]）所示，与年龄相关的过程是一个半马尔可夫过程。在文献[7]和[10]中，所有市场参数，即即期利率r、漂移系数u和波动系数σ都依赖于一个半马尔可夫过程。我们记得，虽然两个独立马尔可夫过程的连接过程是马尔科夫过程，但同样的现象对于半马尔科夫过程是无效的。由于这个原因，用一个半马尔可夫过程来推导bo th r和σ的假设是相当严格的。为了克服这一限制，本文考虑了一类c分量半马尔可夫过程（CSM），它是一类比[7]和[10]中的纯跳跃过程更广泛的纯跳跃过程。

如果存在双射：s，则有限状态空间s上的纯跳跃过程s X称为CSM→ Xn+1对于一些非空有限集X和一些非负整数n，使得Γ（X）的每个分量都是相互独立的半马尔可夫过程。为了模拟市场的制度，我们考虑CSM{Xt}t≥0在Xn+1上，其中x的lth分量Xl是一个与年龄相关的过程，对于每l=0，…，具有瞬时r速度函数λl，n、 我们表示Xlas Yland的年龄过程定义为（Y，…，Yn）是X的年龄过程。在许多资产价格动态的制度转换模型中，波动系数不具有明确的时间依赖性（见[1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[7]、[11]、[12]、[14]、[16]）。在这种时间同质模型中，波动率σ只能从有限集合中取值。这种模型未能捕捉到许多其他类型化的事实，包括σ的周期性特征。在预先发送的模型中，我们允许σ是时间不均匀的。在本文中，我们考虑一个市场，其中一个本地无风险资产的价格为S，n个风险资产的价格为{Sl}l=1，。。。，n、 并解决了未定权益K（ST）的局部风险最小化定价问题。这里我们考虑范围广泛的函数K:Rn+→ R+，包括香草篮选项。我们证明，当（Slt，Xlt，Ylt）为（sl，xl，yl）时，对于每个l，索赔的价格是（t，s=（s，s，…，sn），x=（x，x，…，xn），y=（y，y，…，yn）的函数，这满足C auchy问题。为了写出方程，我们使用符号Rljv表示向量v∈ Rn+1表示向量v+（j- vl）el，其中v的LTH分量替换为j。

PDE系统如下所示：^1t（t，s，x，y）+nXl=0^1yl（t，s，x，y）+r（x）nXl=1sl^1sl（t，s，x，y）+nXl=1nXl′=1all′（t，x）slsl′^1sl公司sl′（t，s，x，y）+nXl=0Xj6=xlλlxlj（yl）^1（t、s、Rljx、Rly）- ^1（t、s、x、y）= r（x）Д（t，s，x，y），（1.3）定义：={（t，s，x，y）∈ （0，T）×（0，∞)n×Xn+1×（0，T）n+1 | y∈ （0，t）n+1}，且条件为ns（t，s，x，y）=K（s）；s∈ [0，∞)n0≤ yl公司≤ Txl码∈ X，l=0，1，n、 （1.4）其中扩散系数a：=（all′）n×nis在t中连续。我们注意到（1.3）是线性、抛物线、退化和非局部偏微分方程。非定域性是由于术语Д（t，s，Rljx，Rly）的出现，其中Rly通常不需要与y相同。本文证明了经典解的存在唯一性。我们还发现了第二类Volterra积分方程，它与偏微分方程等价。利用巴拿赫不动点定理，我们证明了积分方程有唯一解。因此，我们表明，通过求解积分方程可以找到价格函数，这在计算上比求解价格微分方程更方便。我们还得到了涉及价格函数积分的最优套期保值表达式。这一观察结果本质上导致了最优he dging的稳健计算。最后，我们进行了灵敏度分析，以确定PDE（1.3）-（1.4）的解对转移率函数的连续依赖性。当瞬时利率由[9]中的一致估计量近似时，该结果确保了价格的近似。本文的其余部分按以下方式安排。我们在第2节中介绍了模型描述。在本节中，我们首先研究一类成分半马尔可夫过程，然后描述资产价格动态。我们还表明，在可接受的策略下，市场是无套利的。第3节介绍了期权定价的方法。

在本节中，我们陈述了pa per的主要结果。在第4节中，我们建立了Volterra积分方程解的存在性、唯一性和正则性，该方程在下一节中被证明与偏微分方程等价。第5节讨论了偏微分方程的适定性。在这一节中，我们还导出了解及其导数的某些性质。利用前面几节的结果，第6节得到了未定权益的F-S分解。在第7节中，我们对PDE的溶液进行了灵敏度分析。在第8节中，我们通过计算二次剩余风险来结束本文。附录中给出了一些引理的证明。2型号说明本节包括两个小节。在第一小节中，我们研究了一类CSM过程。在接下来的小节中，我们考虑一个价格受CSM控制的市场。最后，通过构造等价鞅测度证明了市场是无套利的。2.1成分半马尔可夫过程X={1，…，k} R、 对于每l=0，1，n、 考虑一个C函数λl:X×X×[0，∞) → （0，∞)满足以下假设（A1）（i）λlii（(R)y）=-Pj6=iλlij（\'y），（ii）\'y 7→ λlij（\'y）是连续可微的，（iii）如果∧li（\'y）：=\'yZXj6=iλlij（v）dv，则lim\'y→∞∧li（(R)y）=∞.对于e ach l=0，n、 让我们通过替换 通过l、 λ乘以λlin（1.1）和（1.2），其中在完全概率空间上定义的强度为dtdz的大独立泊松随机测度(Ohm, F、 P）。也就是说，Xlt=Xl+Z（0，t）ZRhl（Xls-, Yls公司-, z）l（ds，dz）（2.1）Ylt=t-Z（0，t]ZRgl（Xls）-, Yls公司-, z）l（ds，dz），（2.2），其中hl=hλl，gl=gλl。[17]利用[13]的结果表明，方程（2.1）-（2.2）存在a.s唯一的强解，过程Zlt：=（Xlt，Ylt）是一个时间齐次的强Markov过程。

我们将Xn+1值过程表示为XT，其lth成分为Xlt。类似地，我们表示Yt=（Yt，…，Ynt）。因此，XT是一个CSM过程。考虑每个l=0，n佛罗里达州：[0，∞) → [0，1]一个可微分函数，定义为Fl（\'y | i）：=1- e-∧li（(R)y），其中∧li如（A1）（iii）所示。设fl（\'y | i）：=dd | yFl（\'y | i），对于每个j 6=i，plij（\'y）：=λlij（\'y）|λlii（\'y）|，对于所有i和y，plii（\'y）=0。设置plij：=∞Zplij（\'y）dFl（\'y | i）。在对（A1）（i）-（iii）的补充中，我们假设（A1）（iv）矩阵（^plij）k×kis不可约。根据法兰假设（A1）（ii）-（iii）的定义，我们观察到0<Fl（\'y | i）<1y>0和Fl（\'y | i）↑ 1年→ ∞. 可以很容易地验证λlij（\'y）=plij（\'y）fl（\'y | i）1-Fl（\'y | i）保持i 6=j。让tlndnote表示xl的n次跃迁时间，nl（t）表示Xlti的时间t之前的跃迁总数。e、 nl（t）：=最大值{n:Tln≤t} 。因此Tlnl（t）≤ t型≤ Tlnl（t）+1和（2.2）Ylt=t- Tlnl（t）。如[8]所示，Fl（.| i）是条件ALC。d、 保持时间o f Xland plij（(R)y）的f是条件转移概率矩阵。设τl（t）为Xltwould发生转变后的持续时间。注意，τl（t）与x的每个分量无关，而与lth-one无关。设Fτl（·| i，(R)y）为给定Xlt=i和Ylt=(R)y的τl（t）的条件c.d.F。我们不认为该c.d.F不依赖于t，因为（Xt，Yt）是时间齐次的。因此，τl（t）+ylt是两个跃迁之间xltat存在状态的持续时间。允许l（t） 是XT的组件，后续跳转发生在该组件中。设Fτl | l（·| x，y）为给定Xt=x，Yt=y和l（t） =l和fτl | l（·| x，y）是给定Xt=x，Yt=y和l（t） =l。从现在起，我们用Pt，x，y（·）表示P（·| Xt=x，Yt=y），相应的条件期望为Et，x，y（·）。我们希望计算Pt，x，y(l（t） =l）即。

观察下一次跳跃发生在给定的lth分量的条件概率，Xt=x，YT=y。我们在下面的引理中计算该概率和其他一些条件分布和密度函数。引理2.1。设Pt，x，y(l（t） =l），Fτl | l（v | x，y），Fτl | l（v | x，y）如上所述。然后保持（i）Pt，x，y(l（t） =l）=∞ZYm6=l1- Fm（s+ym | xm）1- Fm（ym | xm）fl（s+yl | xl）1- Fl（yl | xl）ds，（ii）Fτl | l（v | x，y）=vZYm6=l（1- Fm（s+ym | xm）fl（s+yl | xl）ds∞ZYm6=l（1- Fm（s+ym | xm））fl（s+yl | xl）ds，and fτl | l（v | x，y）=Qm6=l（1-Fm（v+ym | xm））fl（v+yl | xl）∞ZYm6=l（1- Fm（s+ym | xm））fl（s+yl | xl）ds。此外，fτl | l（v | x，y）相对于v是可微分的，我们用f′τl | l（v | x，y）和（iii）fτl | l（0 | x，y）Pt，x，y表示导数(l（t） =l）=fl（yl | xl）1-Fl（yl | xl）=fτl（0 | xl，yl）。证据可在附录中找到。2.2资产价格动态我们假设r:Xn+1→ [0，∞), ul：[0，T]×Xn+1→ R、 σl:[0，T]×Xn+1→ R每个l=1，…，都有连续函数，n、 我们认为一个无摩擦市场由一个本地无风险资产和n个风险资产组成，这些资产可以称为股票。设Stbe为货币市场账户的价格，时间t的浮动利率为r（Xt）。因此，其在时间t的值由dst=r（Xt）Stdt，S=1给出。（2.3）XTI管理的lthstock的价格由以下随机微分方程DSLT=Slt给出ul（t，Xt）dt+nXj=1σlj（t，Xt）dWjt（2.4）Sl=Sl，Sl≥ 0，其中{Wjt}t≥0n是否定义了独立的标准维纳过程(Ohm, F、 P）独立于{l} nl=0。这里，ulandσl=（σl，…，σln）分别表示长期资产的增长率和波动系数。我们确定波动率矩阵σ（t，x）：=（σll′（t，x））ll′及其第l行向量，并用St表示（St，…，Snt）。

设{Ft}t≥0是St生成的过滤的完成，X满足通常的假设。设a（t，x）：=σ（t，x）σ（t，x）*=Pni=1σli（t，x）σl′i（t，x）ll′表示扩散矩阵，其中* 表示传输操作n。那么a（t，x）在[0，t]上是连续的。假设（A1）（v）我们假设σ（t，x）对于每个（t，x）都是可逆的∈ [0，T]×Xn+1。SDE（2.4）具有唯一的正连续路径强解，由LT=slexp给出tZ公司ul（u，Xu）-全部（u、Xu）du+Xnj=1tZσlj（u，Xu）dWju, 对于l≥ 1.（2.5）然后从（2.5）开始，lnSlt+vSlt=Zt+vt（ul（u，Xu）-所有（u，Xu））du+Zt+vtnXj=1σlj（t，Xt）dWjt。我们定义Z：=（Z，…，Zn），当每个l=1，n、 Zl：=lnSlt+vSlt。显然Z的条件分布给定St=s，Xt=x，Yt=y，l（t） =m，τm（t）=v是条件正态分布，平均值为'z：=（'z，…，'zn），其中'zl：=Zt+vt（ul（u，x）-所有（u，x））du，（2.6）和c卵巢矩阵∑，其中∑ll′：=covZl，Zl′. i、 e∑ll′=eZt+vtσl（u，Xu）dWu×Zt+vtσl′（u，Xu）dWuSt=s，Xt=x，Yt=y，l（t） =m，τm（t）=v=Zt+vtall′（u，x）du。（2.7）在（2.6）和（2.7）中，我们使用了过程s X在[t，t+v]上保持不变的事实，前提是l（t） =m，τm（t）=v对某些m保持不变。我们在下面的引理中总结上述推导，其中，我们使用函数θ：（0，∞)n×（0，∞) ×（0，∞)n×Xn+1×（0，∞) → R由θ（t，s，x，v）给出：=p（2π）n |∑|。nexp-Xll′∑-1ll′（zl- \'\'zl）（zl\'- ‘zl’！，（2.8）其中∑∑是∑的行列式，zl=ln（lsl）和s∈ （0，∞)n、 t型≥ 0，x∈ Xn+1，v>0和∑-1ll′是∑的ll′t元素-1对于l=1，n、 引理2.2。