美国选项的校准：对

t“0处期权的价值由支付函数rhcall{putp¨q，Pcall{putp0q“P”3.2定价P（I）DErHcall{putwithrHcallpSq:“pS'Kq'rhputpsq:”pK'Sq'在CEV模型中，以及rhcallpxq:”pKex'Kq'，”（rHputpxq:“pK'Kexq'）在Heston和Merton模型中给出。然后，为了确定欧洲期权的价值，支付Pcall{认沽putpSq（Pcall{putt“0处的“rHcall{putpxq）导致解决以下初始边界值问题bpeucall{putBt'LsPEucall{put”0，PEucall{putp0q”Pcall{put，（4）其中空间部分（积分）微分算子Ls，s“tCEV，H，Mu由用于定价期权的模型确定。对于CEV、Heston和Merton，分别由（5a）、（5b）和（5c）给出。LCEVPAm{Eucall put：“σSζ'1tSBPAm{Eucall{putBS'rSBPAm{Eucall{putBS'rPAm{Eucall{put，（5a）LHPAm{Eucall{putBx'ξvρBPAm{Eucall{putbbx'ξvBPAm{EucallγputBv'κp'vqBPAm{Eucall putBv'r'v'729BPAM{Eucall ALL{putBx'rPAm{Eucall{put，（5b）LMPAm{Eucall{putBx'σBPAm{Eucall{putBxPAm{Eucall{put'RpPAm{Eucall{putpx'zq'PAm{Eucall{putpxq'PAm{Eucall{putpxqBxzqF pdzq'rPAm{Eucall{put，（5c），其中，对于默顿模型，跳跃测度F由F pdzq“λa2πβexp^'pz'αq2β˙dz（6）给出，漂移b P R设置为b：“R'σ'λ^eα'β'1˙由于无套利条件。由于其早期行权的可能性，为美式期权定价（例如，看跌期权）结果在附加不等式约束下，我们解决了以下不等式系统：BPAmcall{putBt'LsPAmcall{put'0，PAmcall{put'Pcall{put'0，（7a）~BPAmcall{putBt'LsPAmcall{put'''''PAmcall{put'Pcall{put'0。

（7b）3.3变分公式我们用u：“pξ，ρ，γ，κ，rq p rf表示Heston模型的参数向量，u：”pσ，ζq p rf表示CEV模型的参数向量，u：”pσ，α，β，λq p rf表示Merton模型的参数向量。然后，问题（4），（7）是up p p的参数化问题，其中pARdis是参数空间。解可以写成p“P Puq。在某些情况下，为了便于说明，我们将省略P和相关量的参数依赖性。3.3变分公式3.3.1边界条件我们通过提升函数uLptq处理非齐次截断Dirichlet边界条件“gptq进入域。对于所有模型，我们只考虑Dirichletor-Neumann型边界条件。对于Heston模型中的欧式调用，我们根据Winkler et al.（2001）、Γ：v”vminPEucallpt、vmin、xq“KexΦpdq'Ke'rtΦpdq、（8a）Γ：v”vmaxPEucallpt、vmax、xq“Kex、（8b）对边界进行线性插值“tx”xmaxu。累积分布函数Φp¨q在（10）和d1,2“x`prσqtσ？twithσ”？v中定义。根据Clarke和Parrott（1999）以及Düring和Fournié（2012），Heston模型中美式看跌期权的边界条件如下所示，PAmputpt，v，xq“rHputpxq，onΓYΓ，BPAmputBvpt，vmin，xq”0，onΓ，BPAmputBvpt，vmax，xq“0，onΓ。对于CEV模型，继Seydel（2012）之后，我们将边界条件SPAM{Eucallpt，Sminq”0，PAm{Eucallpt，Smaxq“Smax'e'rtK，用于看涨期权，PEuputpt，Sminq“e'rtK'Smin，PEuputpt，Smaxq”0，用于欧洲看跌期权，PAmputpt，Sminq“K'Smin，PAmputpt，Smaxq”“0，对于美式看跌期权。在默顿模型中，我们从原始定价PIDE中减去一个函数ψ，该函数与pmertons的行为近似匹配，例如，对于所有的t P r0，t s，我们有默顿”PMertonpt，xq'ψpt，xq尼0表示x8。我们选择ψAm/Eu。callpt，xq“pKex'Ke'rtqΦpxq，ψAm。

putpt公司，xq“pK'Kexqp1'Φpxqq，（9）4分别对欧洲看涨期权和看跌期权去美化影响的数值研究，其中Φ是正态分布（10）的累积分布函数，Φpxq”？2πzx'8e'zdz。（10）通过减去（9）中引入的适当选择函数ψ获得的默顿模型变换导致空间中的零边界条件，upt，xminq“upt，xmaxq“0对于所有t P r0，t s.4非美国化影响的数值研究我们的主要目标是研究与第2页上先前所述问题1-4相关的非美国化方法。但在我们详细研究这些问题和校准结果之前，我们先描述有限元价格的离散化，然后再研究非美国化的影响定价的埃里克森化。然后我们切换到校准合成数据，最终校准到市场数据。4.1离散化我们在所有三个模型中设置网格尺寸和时间离散化，以便与基准解决方案相比误差大致相同。在我们的测试环境中，我们将“1，r”0.07，T”t0.5，0.875，1.25，1.625，2u和K设置为21个等效分布值，分别为r0.5，1.5s。对于离散化，我们为CEVmodel选择rSmin，Smaxs“r0.01，2s，rvmin，vmaxs“r10\'5，3s和rxmin，xmaxs”r\'5，5s，为Heston模型设置rxmin，xmaxs“r\'5，5s”。我们为CEVmodel设置N“1000，N”49\\710；97H eston模型为“4753”，Merton模型为“192”，以及t“0.008适用于所有模型。对于CEV模型，我们选择σ“0.15和ζ”0.75，作为基准解决方案，我们实现了欧洲看跌期权价格的CEV模型的半封闭形式解决方案，如Schroeder（1989）所示。我们使用Janek et al。

（2011）对于赫斯顿模型作为基准和模型参数，我们使用ξ“0.1，ρ”'0.5，γ“0.05，κ”1.2和v“0.05。在默顿模型中，使用傅立叶定价作为基准。通过设置σ“0.2，α”'0.1，β”0.1和λ对模型进行参数化“3.总结结果，我们观察到，对于所有模型，通过引入离散化，基准和FEM解决方案之间的绝对误差在10'3到10'4之间，因此，所有三种模型的价格都具有可比的准确性。4.2非美国化对价格的影响4.2非美国化对价格的影响首先，我们关注价格差异的原因反美化教育。因此，我们通过以下方式将非美国化的美国价格与衍生的欧洲期权价格进行比较。从一组模型参数开始，我们为美式和欧式期权定价。然后，应用二叉树将美国期权价格转换为非美国化的伪欧洲价格。随后，我们比较了欧洲和伪欧洲所谓的非美国化价格，以确定非美国化方法的影响。这种方法的优点是，我们可以完全专注于非美国化，与校准问题脱钩。为此，我们为所调查的一系列选项定义了以下测试集。在这里，我们将重点放在看跌期权上，因为美国和欧洲的看涨期权都是针对无股息支付的基础债券。S“1K”0.80、0.85、0.90、0.95、1.00、1.05、1.10、1.15、1.20T“，，，，，，，，r“0、0.01、0.02、0.05、0.07（11）在每个模型中，调查了5个参数集，以涵盖参数范围。

表1总结了这些情况。CEV Heston Mertonσζξργκvσαβλp0.2 0.5 0.10-0.20 0.07 0.1 0.07 0.20-0.01 0.01 1p0.275 0.60.25-0.50 0.10 0.4 0.10 0.15-0.05 0.05 2p0.35 0.70.40-0.50 0.15 0.6 0.15 0.20-0.10 0.10 3p0.425 0.80.55-0.45 0.20 1.20 0.20 0.10-0.10 0.0.20 5p0.5 0.90.70-0.80 0.30 1.4 0.30 0.10-0.15 0.20 7表1用于CEV的参数集概述，Heston和Merton模型CEV模型所选参数的激活CEV模型的主要特征是方差弹性参数ζ，它与基础水平相结合，以获得局部波动率，即σpS，tq公司“σSζ'1，反映杠杆效应。在我们的示例中，我们调查了美国看跌期权和期权持有人因资产价格下降而产生的收益。一般来说，波动性增加导致期权价格上涨，但与经典的Black-Scholes模型相比，我们更感兴趣的是合并杠杆效应对看跌期权价格和二叉树是否可以捕捉到美国和欧洲看跌期权之间的差异。因此，我们在pis 0.5中选择了ζ，这强烈影响了Black-Scholes模型中的非美国化对价格的影响，然后在这些场景中，ζ进一步增加到0.9。此外，我们增加了σ的值。赫斯顿模型的参数选择动机与CEV模型相似，（美国）看跌期权价格随波动性增加而增加。我们试图通过增加波动性参数的波动性以及两个随机过程之间的相关性来覆盖这一影响。一般而言，对于股票而言，波动性与基础价值之间的相关性为负。因此，在非美国化研究中，我们关注负相关值ρ。

从波动性相对较低且有轻微负相关ρ的pw开始，在pto pwe中，增加波动性参数ξ、平均回复水平γ和平均回复速度κ的波动性，并研究相关性ρ的高负值。在所有情况下，初始波动率设置为与均值回复水平相匹配，即：。，v“γ.默顿模型参数选择的动机默顿模型是一种跳跃-差异模型。由于美式期权的早期行使特征，跳跃的存在对美式期权价格有着显著的影响。例如，考虑美式看跌期权。在这里，期权持有人受益于资产价格的下降。因此，当负跳跃的可能性增加时，期权价格也会上涨。因此，跳跃强度参数λ在这项非美国化研究中起着决定性的作用。类似的推理适用于预期的跳跃大小参数α。在即将进行的数值研究中，我们尝试将这些影响纳入其中。表1中所示的默顿模型所考虑的场景是通过这种推理选择的。情景Pd描述了一个类似布莱克-斯科尔斯的市场，其出现率相当低。在pand p中，跳跃功能更为明显。场景最终由跳跃占主导地位的参数集进行编码，这些参数集平均每年有7次跳跃，预期的负跳跃量较大，波动性较大。备注4.1我们对表1所示参数集的（11）中的看跌期权进行定价。对于某些参数，尤其是高利率和低波动性的组合，美式看跌期权的价格可能正好等于基价，因此这种美式看跌期权将立即行使。

在以下分析中，我们排除了这些情况，因为唯一的欧式期权价格无法通过应用二叉树来确定。如图2中的以下玩具示例所示，如果美国期权的价格是通过立即行使来确定的，那么u有几种可能的价值来复制美国期权价格。在本例中，定价为带删除线“120”的看跌期权。这里，u“1.04和u”1.11是可能的解决方案。为了避免这一情况，我们在分析中只考虑当PAmputapK'''''''''¨p1'''δq时的美式看跌期权。因此，美式看跌期权价格超过直接行权价格的f因数δ。我们设置δ“1%.4.2反美化对价格的影响107.33、12.67、12.67103.6、15.80、16.40100.00、18.81、20.00 100.00、20.00、20.0096.53、22.88、23.4793.17、26.83、26.83u<<1.036123.63、0.00、0.00111.19、10.01、10.01、19.69、20.00 100.00、20.00、20.00、20.0089.94、29.46、30.06U 80.89、39.11、39.11u<<1.112图2给出了美国看跌期权价格为20，S“100，K”120，r“0.01，即行使区域中的美式看跌期权，无法找到唯一的树来复制该期权。在本例中，我们展示了u<<1.036（顶部）和u<<1.112（底部）的两个二叉树。在每个树中，我们显示每个节点的基础（黑色）、欧洲看跌价格（蓝色）和美式看跌价格（红色）的值。

这两种树都复制了20.00的美式期权价格，但导致了不同的欧洲看跌期权价格：18.81和19.69.4.2价格上的非美式化影响0.8 0.85 0.9 0.95 1 1 1.05 1.1 1 1.15 1.2 1.25-20246x 10-4罢工绝对定价差异不同罢工的影响，CEV，情景5 r=0%r=1%r=2%r=5%r=7%0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-8.-6.-4.-2024x 10-4成熟度绝对定价差异对不同到期日、CEV的影响，情景5 r=0%r=1%r=2%r=5%r=7%图3去美国化对CEV模型中看跌期权定价的影响。作为一个例子，结果显示了每次执行（左）和每次到期（右）的非美国化价格和欧洲价格之间的平均误差。0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.2500.511.5x 10-3罢工绝对定价差异对不同罢工的影响，赫斯顿，情景5 r=0%r=1%r=2%r=5%r=7%0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-202468x 10-3成熟度绝对定价差异对不同到期日的影响，Heston，情景5 r=0%r=1%r=2%r=5%r=7%图4非美国化对Heston模型中看跌期权定价的影响。作为一个例子，显示了pfor的结果，即每次执行（左）和每次到期（右）的非美国化价格和欧洲价格之间的平均误差。在附录中的表7-9（CEV模型）、表10-12（赫斯顿模型）和表13-15（默顿模型）中，我们在附录中显示了（11）中合成价格的定价影响。对于每个方案pi，我“1，…，5，我们给出了每个到期日和每个删除日的非美国化价格和欧洲价格之间的平均差异，并相应地显示了该到期日的最大欧洲价格，以反映R标记4.1中所述的发行。已经对每个触发和到期日的最大误差进行了类似的研究，并根据中所示的平均误差确认了结果以下内容。

在图3中，我们重点介绍了情景pin CEV模型的结果，以说明不同到期日或不同罢工的几种利率环境中非美国化的影响。对于pin Heston模型和pin Mertonmodel，结果如图4和图5所示。所有这些图都清楚地突出了案例r“0几乎没有任何去美国化影响（赫斯顿和默顿），或者至少没有多少这种影响（CEV）。总的来说，对于CEV模型，我们观察到，对于短期债券，非美国化债券似乎对欧洲价格定价过高，而对于长期债券，它们似乎对欧洲期权定价过低。我们看到，随着σ和ζ参数的增加，4.2非美国化对价格的影响0.8 0.85 0.9 0.95 1 1 1.05 1.1 1 1.15 1.2 1.25-101234x 10-3罢工绝对定价差异对不同罢工的影响，默顿，情景5 r=0%r=1%r=2%r=5%r=7%0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-6.-5.-4.-3.-2.-101x 10-3成熟度绝对定价差异对不同到期日的影响，默顿，情景5 r=0%r=1%r=2%r=5%r=7%图5非美国化对默顿模型中看跌期权定价的影响。作为一个例子，显示了pfor的结果，即每次执行（左）和每次到期（右）的非美国化价格和欧洲价格之间的平均误差。最大误差增加，总体而言，所有参数集的行为相似。关注利率，我们观察到，对于更高的利率（r“5%和r”7%），平均误差更高，或者至少在一个可比较的地区。

特别是对于较高的利率，必须考虑最大价格，因为利率越高，根据备注4.1，我们没有考虑一些货币期权的可能性就越高，并且在这种情况下忽略了价格较高的期权。因此，我们推断误差随着利率的增加而增加，并且在高到期日，对于波动性较高的情景，误差会增加。对于方案p、pand p，我们清楚地观察到，非美国化的影响随着罢工的增加而增加。这意味着，对于现金期权而言，去美国化效应往往比现金期权更强。这与Carr和Wu（2010）的声明一致。然而，对于更高的利率，平均误差似乎会随着罢工次数的增加而减少。这是由于第4.1小节中提到的问题。这种影响在货币区的深处尤其强烈。这种影响发生了，受影响的案例被忽视了。对于赫斯顿模型，我们通常观察到，在每个参数设置内，反美化误差随着利率的增加而增加。此外，我们发现0%的利率几乎没有任何影响。通过关注波动率参数波动率较高的情景（pand p），我们观察到短期和长期（Tand T）的去美国化效应更强。对于短期债券，在所有情况下，非美国化价格始终低于相应的欧洲价格，而对于高到期债券，非美国化价格高于相应的欧洲价格。为了突出图4中的货币内和货币外问题，请注意，在赫斯顿模型中，货币外误差远小于货币内误差。