对偶Orlicz空间上的凸函数

另一方面，（ζsn）n（及其任何子序列）是范数有界的不相交序列，因此推论3.2表明，对于任何子序列（k（i））i，supNNXi公司≤Nζnk（i）≤ supN公司NXi公司≤Nζrnk（i）+ supN公司NXi公司≤Nζsnk（i）≤ η+supNNXi公司≤Nζnk（i）∈ LΦ*.辛森皮≤Nζnk（i）→ 通过构造，我们得到了定理3.6。接下来，如果（ζn）在P中不为null，我们就不能再期望正则部分（ζrn）n有一个“普适界”。然而，一旦选择了子序列（nk）kis，我们就得到了？ζn：=NXk≤Nζnk=NXk≤Nζrnk+NXk≤Nζsnk=：\'ζrN+\'ζsN→ P中的0，通过（ζn）n的构造。同样通过推论3.2，（(R)ζsN）Nis阶有界且normnull。特别是，’ζrN=’ζN-(R)ζsN→ P中的0，和（Φ*（(R)ζrN））Nis自Φ起一致可积*是凸面的。因此，通过引理3.8，我们发现一个子序列（N（i））是（(R)ζrN（i））i，因此（(R)N（i））i=（(R)ζrN（i）+ζsN（i））itoo是有序的。因为最后一段中的（(R)ζrN）在P和（Φ）中为空*（(R)ζrN））Nis一致可积，在τ（LΦ）中为空*, LΦ）通过引理3.8的最后部分。因此，我们还有：推论3.9。任意范数有界序列（ξn）nin LΦ*具有子序列（ξnk）和ξ∈ LΦ*对于任何进一步的子序列（nk（i））i，NPi≤Nξnk（i）→ ξinτ（LΦ*, LΦ）。目前，尚不清楚是否可以放弃定理3.6中P的收敛假设，或者是否可以等效地放弃定理3.7中的Cesáro平均数是阶有界的，而不需要传递到另一个子序列。这个问题留待将来解决。然而，在不适用的情况下，这一点并不重要；由于LΦ中的任意范数有界序列*（a fortiori有界于L）根据通常的Komlós定理有一个a.s.收敛的前向凸组合序列，并且凸组合的凸组合是凸组合（参见Cesáro均值的Cesáro均值不是Cesáro均值），我们得到定理3.6的以下效用级版本。推论3.10。

任意范数有界序列（ξn）nin LΦ*允许一系列前凸组合\'ξn∈ conv（ξk；k≥ n） 以及ξ∈ LΦ*使得ξn→ ξ按顺序排列，即supn |ξn |∈ LΦ*和ξn→ ξa.s.关于[5]的性质（C），我们可以确认这对于有界网络是正确的，而正如引言中所指出的那样，不能放弃有界性。的确，如果（ξα）α是LΦ中的有界网*收敛于σ（LΦ*, LΦ）至ξ∈ LΦ*, 然后，如[5，引理6]所述，我们可以找到指数序列（αn）以及ηn∈ conv（ξαk；k≥ n） 例如ηn→ ξa.s.（该部分正确）。然后推论3.10得出ζn∈ conv（ηk；k≥n） conv（ξαk；k≥ n） 带supnζn∈ LΦ*.最后，当(Ohm, F，P）是无原子的，这些Komlós型结果表征了Orlicz空间；在这种情况下，Φ∈ 当（且仅当）limnkξ1{|ξ|>n}k（Φ）=0时，每ξ∈ LΦ（即k·k（Φ））在LΦ上是顺序连续的；见【21，第133.4条】）。8 F.Delbaen和K.OwariTheorem 3.11。假设(Ohm, F，P）是无原子的，设Φ为（有限强制）Youngfunction（非先验假设). 则以下为等效值：（1）Φ∈ ;（2） LΦ中的每个范数有界序列*具有τ（LΦ）的子序列*, LΦ）-平均收敛；（3） LΦ中的每个范数有界序列*有σ（LΦ*, LΦ）-向前凸组合的收敛序列；（4） LΦ中的每个范数有界序列*具有前向凸组合的顺序有界序列。证据（1）=> （4） 是推论3.10，（1）=> （2） 是推论3.9和（2）=> （3） 和（4）=>（3） 都很清楚。有待证明（3）=> （1） 。自(Ohm, F，P）无原子，Φ<yieldssome 0≤ ζ∈ BΦ带limnsupη∈BΦ*E[ζη1{ζ>n}]=limnkζ{ζ>n}k（Φ）>0，soζBΦ*不是一致可积的，因此有0≤ ηn∈ BΦ*, 不相交集∈ F，n≥ ε>0，使得E[ζηnAn]≥ ε(n） 。

然后有界序列（ηnAn）nhasnoσ（LΦ*, LΦ）-收敛的前向凸组合：ifξn∈ conv（ηkAk；k≥ n） ，n≥ 1，然后ξn→ P中的0，因为Anare不相交，所以唯一可能的σ（LΦ*, LΦ）-根据推论2.3，极限为0，这是不可能的，因为E[ζξn]≥ infkE[ζηkAk]≥ ε。4凸集的闭性现在我们从推论3.10中推导出定理4.1。凸子集C LΦ*isσ（LΦ*, LΦ）-闭合当且仅当对于每个ζ∈ LΦ*, 交叉点C∩ [-ζ、 ζ]在L中关闭（即订单关闭）。证据必要性显而易见，因为[-ζ、 ζ]在陆面τ（LΦ）中闭合*, LΦ）|[-ζ、 ζ]=τL|[-ζ、 ζ]。为了提高效率，需要C∩ λBΦ*, λ>0，在L中闭合（命题2.5）。在C中选择一个序列（ξn）∩ λBΦ*带ξn→ P.推论3.10 yieldsa序列ξn∈ conv（ξk；k≥ n） C（通过凸性），其中ζ：=supn |(R)ξn |∈ LΦ*, 和ξn→ ξa.s.但λBΦ*和C∩ [-ζ、 ζ]是τL-闭合的，因此ξ∈ C∩ [-ζ、 ζ]∩ λBΦ*.据我们所知，弱*-闭的这个标准只适用于实数集（即A LΦ*带ζ∈ A和ξ≤ |ζ|=> ξ∈ A） ；见【2，第4.20条】。但具有实下层集的凸函数是对称的，因此排除了所有非平凡单调凸函数，尤其是凸风险测度。此外，由于σ（LΦ*, LΦ）|[-ζ、 ζ] τL|[-ζ、 ζ]=τ（LΦ*, LΦ）|[-ζ、 ζ]，ζ∈ LΦ*（根据（2.1）和（2.2）），条件也等效于：C∩ [-ζ、 ζ]，ζ∈ LΦ*, 为σ（LΦ*, LΦ）-关闭。备注4.2。2016年9月12日至14日，我们的结果在维也纳数学金融大会上发表后(https://fam.tuwien.ac.at/events/vcmf2016/)，在与牛山高讨论之后，他和他的合作者[9]提出了定理4.1的自己的证明。他们使用了一种不同的技术，我们认为这不会产生Komlós型定理。Hans F"ollmer在上述维也纳会议上提出了获得Komlós型定理的问题。

虽然Banach空间对偶中的Mackey和弱*闭凸集是相同的，但序列Mackey闭凸集不必是对偶Orlicz空间9closed上的（序列）弱*凸函数。例如，A={（αn）n∈ `: α=Pn≥2αn}在`=c中是范数闭的，但不是序列弱*闭的（见[4]），而由于τ（`，c）-收敛序列是范数收敛的，所以A是序列τ（`，c）-闭的。然而，在我们的情况下，由于τ（LΦ*, LΦ）|[-ζ、 ζ]=τL|[-ζ、 ζ]，ζ∈ LΦ*, 是可度量的，定理4.1暗示推论4.3。顺序τ（LΦ*, LΦ）-LΦ中的闭凸集*为σ（LΦ*, LΦ）关闭。LΦ上真凸函数的对偶表示*, 或等于σ（LΦ*, LΦ）-lsc(<=> τ（LΦ*, LΦ）-lsc），其特征如下。定理4.4。关于LΦ上的真凸函数f*, 以下是等效的：（1）f是σ（LΦ*, LΦ）-lsc，或等效f（ξ）=supη∈LΦ（E[ηξ]- f*（η） ），ξ∈ LΦ*;（2） f为顺序τ（LΦ*, LΦ）-lsc；（3） f是每阶区间上的τL-lsc[-ζ、 ζ]（ζ∈ LΦ*), 或等效顺序lsc:f（ξ）≤ lim infnf（ξn）每当ξn→ ξa.s.和（ξn）nis阶有界于LΦ*.对于τ（LΦ*, LΦ）-连续性，我们有定理4.5。对于任意凸函数f:LΦ*→ R、 以下是等效的：（1）f是τ（LΦ*, LΦ）-在LΦ上连续*;（2） f为顺序τ（LΦ*, LΦ）-在LΦ上连续*;（3） f为顺序τ（LΦ*, LΦ）-闭合球上的连续λBΦ*（λ>0）；（4） f为顺序τ（LΦ*, LΦ）-连续的订单间隔；（5） f在序区间上是τL-连续的，或等价的序连续的，即f（ξ）=limnf（ξn），只要ξn→ ξa.s.和（ξn）nis阶有界于LΦ*.证据（1）=> （2）=> （3）=> （4） 都是琐碎的；（4）<=> （5） 自τ（LΦ*, LΦ）与τL在序有界集上重合。假设（5）。然后，根据定理4.4，f=f**, 因此，根据Moreau定理【16】，每个∧c：={η∈ LΦ：f*（η）≤ c} ，c∈ R、 是σ（LΦ，LΦ*)-契约

根据杨氏不等式，对于任何λ>0，ξ∈ LΦ*和η∈ ∧c，（4.1）| E[ηξ1A]|=E[ηξ1A]∨ E[η(-ξ） 1A]≤λ（f（λξ1A）∨ f级(-λξ1A）+c），这意味着∧cξ，ξ∈ LΦ*, 一致可积，因此∧cisσ（LΦ，LΦ*)契约如果∧cξ不是一致可积的，则ε>0∈ 风扇ηn∈ ∧C取P（An）≤ 2.-nand | E[ηnξ1An]|≥ ε; 此处注意E[|ζ| 1A]≥ 2ε表示| E[ζ1A∩{ζ>0}]|≥ ε或| E[ζ1A∩{ζ<0}]|≥ ε和P（A∩ {ζ 0}）≤ P（A）。但由于|λξ1An |≤ λ|ξ|和λξ1An→ 对于每个λ>0，（5）和（4.1），P中的0以及径向变元表明| E[ηnξ1An]|→ 0，矛盾。f在每个闭球上（顺序）τL-连续的性质意味着（通过（5））f的Mackey连续性。当且仅当τ（LΦ）时，逆蕴涵适用于所有单位凸函数*, LΦ）| BΦ*= τL | BΦ*. 实际上，生成Mackey拓扑的半形式是有限值Mackey连续凸函数。如备注2.4所示，如果Φ（x）=x，则情况并非如此；更一般地说，每当Φ*∈ （那么LΦ是反作用力）。当τ（LΦ）精确时*, LΦ）与τLonBΦ重合*这是一个有待进一步调查的微妙问题。10 F.Delbaen和K.Owariermark 4.6。在（5）的证明中=> （1） ，我们只使用了f=f的事实**和f|[-ζ、 ζ]在0处是τL-连续的，由此我们得出f是τ（LΦ*, LΦ）-0时连续。因此，如果f是先验的，则假定为σ（LΦ*, LΦ）-LΦ上的lsc*（或定理4.4中的任何等价物）和f（ξ）<∞ （我们可以通过平移假设ξ=0），以下保持等效：（1）f是τ（LΦ*, LΦ）-在ξ处连续，（2）f依次τ（LΦ*, LΦ）-在ξ处连续，（3）f（ξ）=limnf（ξn），每当ξn→ ξinτ（LΦ*, LΦ）和supnkξnkΦ*< ∞, （4） 相同，但带有|ξn |≤ 对于某些ζ∈ L+Φ*, （5） ξn相同→ ξin P和ξn≤ 对于某些ζ∈ L+Φ*.

4.1货币效用函数的应用效用理论中的凹函数u:LΦ*→ R∪ {-∞} 满足以下属性的称为货币效用函数（参见[7，8]）：u（0）=0；ξ∈ LΦ*, ξ≥ 0=> u（ξ）≥ 0；（4.2）a∈ R、 ξ∈ LΦ*=> u（ξ+a）=u（ξ）+a.（4.3）自-u是一个凸函数，称为凸风险测度，定理4.4和4.5具有明显的符号变化，刻画了mackey拓扑τ（LΦ）u的基本规律*, LΦ）。（4.2）和（4.3）给出了更好的描述。定理4.7。一个货币效用函数u:LΦ*→ R∪ {-∞} isσ（LΦ*, LΦ）-上半连续（或相同的，τ（LΦ*, LΦ）-上半连续）当且仅当ifit从上方连续：ξn↓ ξ=> u（ξ）=limnu（ξn）。（4.4）在这种情况下，u的对偶表示可以写成（4.5）u（ξ）=inf{EQ[ξ]+c（Q）：c（Q）<∞},其中Q通过概率绝对连续w.r.t.P和dQ/dP运行∈ LΦ，c（Q）=(-u）*(-dQ/dP）和等式[ξ]=E[ξdQ/dP]。证据从定理4.4中可以清楚地看出，由于ξn↓ ξ表示ξn→ ξ有序。对于效率，我们首先表明（4.2）–（4.4）意味着u是单调的，即（4.6）ξ，η∈ LΦ*, ξ≤ η=> u（ξ）≤ 由于（4.3），我们可以假设u（ξ）=0。对于每个ε∈ （0，1），设αε=（1- ε） /ε，因此ζε：=η+εξ-+αε（η+εξ--ξ）≥ 0、输入λε：=αε/（1+αε）∈ （0，1），我们有η+εξ-=λεξ+（1- λε）ζε，因此由凹度u（η+εξ-) ≥ λεu（ξ）+（1- λε）u（ζε）≥ 然后（4.4）表示u（η）=limnu（η+n-1ξ-) ≥ 0=u（ξ）。现在通过定理4.4应用于凸函数-u、 σ（LΦ*, LΦ）-u的上半连续性等价于u（ξ）的性质≥ lim supnu（ξn）每当ξn→ ξa.s.和（ξn）nis阶界为LΦ*; 考虑到u的单调性（4.6），这相当于（4.4）。

f的对偶表示=-u加上（4.2）和（4.3）产率（4.5）是标准的。对偶Orlicz空间11上的凸函数注意，如果u是有限值（R值），（4.2）和（4.3）仍然暗示（4.6），而不假设（4.4）。对于ε7→ u（η+εξ）-) 作为R上的有限值凸函数是连续的。我们可以很容易地看到，任何货币效用函数都是τ（LΦ*, LΦ）连续0为有限值。对于这样的u，定理4.5得出定理4.8。一个货币效用函数u:LΦ*→ R为τ（LΦ*, LΦ）-连续如果（且仅当）它从下方连续，即ξn↑ ξ=> u（ξ）=limnu（ξn）。证据考虑到u是有限的、单调的和变换的，下面的连续性意味着上面的连续性。对于ifξn↓ ξ、 然后u（ξ）≥u（ξn）+u（2ξ- ξn），因此从下到下的连续性和单调性意味着0≤ u（ξn）-u（ξ）≤u（ξ）- u（2ξ- ξn）↓ 自2ξ起为0- ξn↑ ξ。特别地，u是σ（LΦ*, LΦ）-usc。另一方面，同样通过单调性，u从下面开始的连续性等价于当ξn时u（ξ）=limnu（ξn）的性质→ ξa.s.和（ξn）nis阶有界inLΦ*. 现在的结果来自定理4.5。附录命题1.2的证明。仅（3）=> （1） 值得一个证明。（3） 根据命题1.1，意味着f=f**, 和| E[η1A]|≤n（f（n1A）∨ f级(-n1A）+c）表示A∈ F和η∈ L带f*（η）≤ c.杨氏不平等；因此（3）意味着{η∈ 五十： f级*（η）≤ c} 一致可积，因此σ（L，L∞)-由Dunford-Pettis定理压缩。NowMoreau定理[16]表明f是τ（L∞, 五十） -连续。引理2.1的证明。对于每个ξ∈ LΦ*, η7→ ηξ连续映射（LΦ，σ（LΦ，LΦ*))into（L，σ）（L，L∞)) 自ξζ起∈ Lζ∈ L∞. 因此，如果A相对σ（LΦ，LΦ*)紧致，其像Aξ在L中相对弱紧致，即。

一致可积。相反，如果Aξ，ξ∈ LΦ*, 一致可积，则cξ：=supη∈AE[|ηξ|]<∞对于每个ξ∈ LΦ*, 所以A在代数对偶L#Φ中是逐点有界的*LΦ的*, andA相对σ（L，L∞)-L中的紧致。因此，如果（ηα）α是a中的一个网，其逐点极限f（ξ）=limαE[ηαξ]在L#Φ中*, 存在唯一η∈ 也就是f | L∞（ξ） =E[ηξ]表示ξ∈ L∞. 然后对于每个ξ∈ LΦ*, E[|ηξ|]=上[ηξ1{|ξ|≤n} sgn（ηξ）]=supnf（ξ1{|ξ|≤n} sgn（ηξ））≤ cξ，因此η∈ LΦ，而| f（ξ）- f（ξ1{|ξ|≤n} ）|=| f（ξ1{|ξ|>n}）|≤supη∈AE[|ηξ| 1{|ξ|>n}]→ 0，因为Aξ是一致可积的；因此f（ξ）=E[ηξ]。因此A是逐点有界的，其σ（L#Φ*, LΦ*)-L#Φ闭合*位于LΦ；henceA相对σ（LΦ，LΦ*)-契约参考文献[1]Albiac，F.和N.J.Kalton（2006）：Banach空间理论中的主题，《数学研究生课程》，第233卷。斯普林格，纽约。[2] Aliprantis，C.D.和O.Burkinshaw（2003）：局部实心Riesz空间及其在经济学、数学调查和专著中的应用，第105卷。美国数学学会，普罗维登斯，RI，第二版[3]和^o，T.（1960）：Orlicz空间上的线性泛函。Nieuw Arch。一线生机。（3） 8，1–16.12 F.Delbaen和K.Owari【4】Banach，S.（1932年）：TheOrie des opérations linéaires，Monogo fie Matematyczne，第1卷。瓦萨瓦Matematyczny Polskiej Akademi Nauk研究所。切尔西出版公司1955年再版。[5] Biagini，S.和M.Frittelli（2009）：关于Namioka-Klee定理的推广和风险度量的Fatou性质。《金融经济学中的最优与风险现代趋势》，柏林斯普林格出版社，第1-28页。[6] Delbaen，F.（2009）：效用函数的可微性。《数学金融中的最优与风险现代趋势》，柏林斯普林格出版社，第39-48页。[7] Delbaen，F.（2012）：货币效用函数，大阪大学CSFI讲座笔记系列，第3卷。大阪大学出版社。[8] F"ollmer，H.和A。

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