对偶Orlicz空间上的凸函数

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英文标题：
《Convex functions on dual Orlicz spaces》
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作者：
Freddy Delbaen, Keita Owari
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In the dual $L_{\\Phi^*}$ of a $\\Delta_2$-Orlicz space $L_\\Phi$, that we call a dual Orlicz space, we show that a proper (resp. finite) convex function is lower semicontinuous (resp. continuous) for the Mackey topology $\\tau(L_{\\Phi^*},L_\\Phi)$ if and only if on each order interval $[-\\zeta,\\zeta]=\\{\\xi: -\\zeta\\leq \\xi\\leq\\zeta\\}$ ($\\zeta\\in L_{\\Phi^*}$), it is lower semicontinuous (resp. continuous) for the topology of convergence in probability. For this purpose, we provide the following Koml\\\'os type result: every norm bounded sequence $(\\xi_n)_n$ in $L_{\\Phi^*}$ admits a sequence of forward convex combinations $\\bar\\xi_n\\in\\mathrm{conv}(\\xi_n,\\xi_{n+1},...)$ such that $\\sup_n|\\bar\\xi_n|\\in L_{\\Phi^*}$ and $\\bar\\xi_n$ converges a.s.
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中文摘要：
在$\\ Delta\\u 2$-Orlicz空间$\\ L\\Phi ^ ^*}的对偶$\\ L\\uPhi ^ ^}中，我们称之为对偶Orlicz空间，我们证明了对于Mackey拓扑$\\ tau（L\\uPhi ^*}，L\\uPhi）$，适当（有限）凸函数是下半连续的（连续的），当且仅当在每个序区间$[-\\zeta，\\zeta]=\\\\ xi：-\\zeta\\leq\\xi\\leq\\zeta}$（$\\zeta\\In L\\u{\\ Phi ^*}$），对于概率收敛的拓扑，它是下半连续的（分别是连续的）。为此，我们提供了以下Koml类型的结果：$L{\\Phi ^*}$中的每个范数有界序列$（\\xi\\n）允许一个前凸组合序列$\\bar\\xi\\n\\in\\mathrm{conv}（\\xi\\n，\\xi\\u{n+1}，…）$这样$\\ sup\\u n | \\ bar\\xi\\u n | \\ in L\\Phi ^*}$和$\\ bar\\xi\\u n$收敛于a.s。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Functional Analysis        功能分析
分类描述：Banach spaces, function spaces, real functions, integral transforms, theory of distributions, measure theory
Banach空间，函数空间，实函数，积分变换，分布理论，测度理论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：凸函数 Mathematical Combinations Quantitative Applications

对偶Orlicz空间上的凸函数freddy DelbaenDepartment of Mathematics，ETH Zürich&Zü大学数学研究所richdelbaen@math.ethz.chKeita立命馆奥瓦里数学科学系Universityowari@fc.ritsumei.ac.jpArticleInfoMSC 2010:46E30、46A55、52A41、46B09、91G80、46B10、91B30arXiv:1611.06218AbstractIn双LΦ*的-Orlicz空间LΦ，我们称之为对偶Orlicz空间，我们证明了对于Mackey拓扑τ（LΦ），一个适当的（对应的）凸函数是下半连续的（对应的）凸函数*, LΦ）当且仅当在每个订单间隔上[-ζ、 ζ]={ξ：-ζ≤ ξ≤ ζ} （ζ）∈ LΦ*), 对于概率收敛的拓扑，它是下半连续的（分别是连续的）。为此，我们提供了以下Komlós型结果：每个范数有界序列（ξn）nin LΦ*允许一系列前向凸组合\'ξn∈ conv（ξn，ξn+1，…）使supn |(R)ξn |∈ LΦ*和“ξnconverges a.s.关键词：Orlicz空间、Mackey拓扑、Komlós定理、凸函数、序闭集、风险度量1介绍符号。我们使用通常的概率表示法。(Ohm, F，P）是概率空间，L：=L(Ohm, F，P）表示（类的模等式P-a.s.）有限可测函数的空间，具有P（概率）中的完全可度量向量拓扑τLof收敛。像往常一样，我们用它生成的类来识别一个可测量的函数。我们写E[ξ]：=ROhmξdP只要有意义，和Lp：=Lp(Ohm, F，P），P∈ [1，∞], 表示标准Lebesgue空间。金融数学中的问题通常涉及Banach空间E的对偶Eof上的凸函数（参见第4.1节中的激励示例）。

在处理suchf时，Mackey拓扑τ（E，E）的下半连续性（lsc）和连续性是基本的；前者(<=> σ（E，E）-lsc）对于对偶表示f（x）=supx是必要且有效的（根据哈恩-巴拿赫定理）∈E（hx，xi- f*（x） ），x∈ E其中f*（x） =supx∈E（hx，xi- f（x））一般来说，τ（E，E）不容易处理，但它对有界集的限制通常有很好的描述。最著名的案例是L∞= 五十： 在有界集上，τ（L∞, 五十） 与L的拓扑结构一致，这是一个更大的可度量值（这一结果归因于Rothendieck；参见[11]，第222-223页）。因此，根据Krein-Smulian定理，我们在第一位作者访问东京都会大学期间完成了部分工作。部分由JSP授权号JP17K14210.2 F.Delbaen和K.Owariposition 1.1支持。关于L上的真凸函数f∞, 以下是等效的：（1）f是σ（L∞, 五十） -lsc，等效τ（L∞, 五十） -lsc；（2） f为顺序τ（L∞, 五十） -lsc；（3） f是有界集上概率收敛拓扑的lsc。τ（L）的以下结果∞, 五十） -对于凸风险度量（例如[12，6]），连续性也是已知的，对于有限凸函数也是如此；但我们无法找到相关参考文献，因此我们在附录中提供了一个简短的证明。提案1.2。对于任何凸函数f:L∞→ R、 以下是等效的：（1）f是τ（L∞, 五十） -连续；（2） f为顺序τ（L∞, 五十） -连续；（3） 对于有界集上概率收敛的拓扑，f是连续的。LetΦ：R→ R是（有限强制）Young函数，即Φ（0）=0且limx的偶数凸函数→+∞Φ（x）x=+∞.

那么BΦ：={ξ∈ 五十： E[Φ（ξ）]≤ 1} 当L的闭凸实数子集包含一个非零常数时，thusit生成一个具有闭单位球BΦ的Banach格，称为Orlicz空间：LΦ：=Sλ>0λBΦ={ξ∈ L：λ>0，E[Φ（λξ）]<∞},给定范数kξkΦ：=inf{λ>0：ξ∈ λBΦ}和a.s.逐点顺序。一般来说，L∞ LΦ l连续注射。共轭Φ*（y） ：=supx（xy- Φ（x））是一个（有限强制）杨函数，所以Orlicz空间LΦ*定义类似。一个年轻的函数Φ可以满足-条件，用Φ表示∈ , iflim supx→∞Φ（2x）/Φ（x）<∞, 或等效ypΦ：=infx≥0pΦ（x）：=infx≥0supy>xyΦ（y）Φ（y）！<∞,（1.1）其中Φ是Φ的左导数（见[20]，第II.2.3条）。如果Φ∈ , LΦ的对偶LΦ通过hξ，ηi=E[ξη]与LΦ识别*给定一个等价范数kξk（Φ*):=supη∈BΦE[ηξ]；更精确的kξkΦ*≤ kξk（Φ*)≤ 2kξkΦ*, 和E[ηξ]≤ kηkΦkξk（Φ*).特别是，如果Φ和Φ都是*∈ ; 如果出现以下情况，该条件也是必要的(Ohm, F，P）是无原子的。在续集中，我们假设Φ∈ 除非另有说明。我们的基本兴趣是了解τ（LΦ*, 通过概率有界集上的序列收敛，证明了凸函数的下半连续性和连续性。在这一点上，我们注意到“有界集”有两种可能的解释；范数有界集和序有界集，即 LΦ*包含在订单间隔中[-ζ、 ζ]：={ξ：-ζ≤ ξ≤ ζ} ，0≤ ζ∈ LΦ*, i、 e.以LΦ为主*. 自[-ζ、 ζ] kζkΦ*BΦ*, 序有界集是范数有界的，在L∞, 有界性的两个概念是相同的。本文的核心是对偶LΦ中Komlós定理的几个变体*ofa公司-Orlicz空间LΦ。经典的Komlós定理[13]指出，lha中的任何有界序列（ξn）都是一个子序列（nk）kas以及ξ∈ 对于任何进一步的子序列（nk（i））i，Cesáro意味着snpi≤Nξnk（i）收敛于a.s。

至ξ。我们变体的基本形式（定理3.6）断言，在LΦ有界的更强假设下*在P中收敛，可以选择一个子序列，使对偶或licz空间3Cesáro平均上的凸函数在LΦ中有序有界*也其实际有用的结果（推论3.10）是LΦ中的任何范数有界序列*, 不必在P中收敛，具有阶有界（且a.s.收敛）的前向凸组合序列ζn∈ conv（ξk；k≥ n） ，n≥ 1、此外，如果(Ohm, F，P）是无原子的，Komlós定理的这个版本的特征是-Orlicz空间（定理3.11）。根据Krein-Smulian定理，这种形式的Komlós定理产生一个凸集C LΦ*isσ（LΦ*, LΦ）-当（且仅当）订单关闭时关闭：ζ∈ LΦ*, C∩ [-ζ、 就函数而言，ζ]在L.（1.2）中是闭合的，这表示为：LΦ上的适当凸函数f*是σ（LΦ）*, LΦ）lsc当（且仅当）f是LΦ中Lon阶区间拓扑的lsc*, 或显式yf（ξ）≤ lim infnf（ξn）每当ξn→ ξin P和supnξn∈ LΦ*（定理4.4）。τ（LΦ）的相似特征*, 也给出了LΦ）-连续性（定理4.5）。LΦ中序闭凸集的弱闭性问题*是由[5]在凸风险度量表示的背景下提出的。他们在[5，引理6]中声称，这是因为σ（LΦ*, LΦ）具有以下性质：（C）如果ξα→ ξinσ（LΦ*, LΦ），存在一系列指数（αn）和ζn∈ conv（ξαk；k≥ n） ，n≥ 1，使得ζn→ ξa.s.和supn |ζn |∈ LΦ*.不幸的是，这是不正确的；（C） 仅当LΦ为反函数（[10]）时成立（当且）。

对于（ζn），nin（C）收敛于σ（LΦ*, LΦ），因此（C）意味着对于任何凸集C LΦ*, 它的弱*闭包与序列弱*闭包C（1）：={ξ：ξ=w一致*- limnξnw与（ξn）n C} ，而任何非反射Banach空间在对偶中都有一个凸集C，这样C（1）就不是弱*闭的（[19，Th.2]；关于序列弱*闭问题的历史，请参见[18]，可追溯到Banach[4]）。另一方面，推论3.10表明（C）性质适用于有界网（回想一下，收敛网不需要有界）。2 Orlicz空间上的Mackey拓扑σ（LΦ，LΦ）的下列准则*)-已知紧集（例如[20]，第IV.5.1条），但我们在附录中提供了一个简短的证明。这里是-不需要条件。引理2.1。（不考虑Φ∈ ,) a组a LΦ是相对σ（LΦ，LΦ*)-紧当且仅当对于每个ξ∈ LΦ*, Aξ：={ηξ：η∈ A} 是一致可积的。引理2.2。τ（LΦ*, LΦ）小于τLto LΦ的限制*, 和（2.1）ζ∈ LΦ*, τ（LΦ*, LΦ）|[-ζ、 ζ]=τL|[-ζ、 ζ]。特别是τ（LΦ*, LΦ）在序有界集上是可度量的。如果Φ∈ , 我们有（2.2）σ（LΦ*, LΦ）| BΦ* τL | BΦ* τ（LΦ*, LΦ）| BΦ*.不考虑Φ∈ 和凸度σ（LΦ*, LΦ）-关闭=> 订单已关闭=> 范数闭合，因为LΦ与LΦ的阶连续对偶一致*范数收敛序列具有阶收敛子序列；有关详细信息和无法解释的术语，请参见例[21，Ch.14]。4 F.Delbaen和K.Owarifroof。BL的（LΦ中的图像）∞是σ（LΦ，LΦ*)-紧凑，因此定义了Mackey连续半形式ξ7→ supη∈基本法∞|E[ξη]|=E[|ξ|]≥ E[|ξ|∧ 1] ，soτ（LΦ*, LΦ）小于τL的限制。另一方面，对于任何σ（LΦ，LΦ*)-压缩集A LΦ和ζ∈ LΦ*, 一个具有limNsupη∈AP（|η|∨ |ζ|>N）=0，pA（ξ）：=supη∈A | E[ηξ]|≤supη∈AE[|ηζ| 1{|η|∨|ζ|>N}]+NE[|ξ|∧ 1] ，则，N∈ N、 在上[-ζ、 ζ]。

然后，一个标准对角化过程显示pAisτL-连续[-ζ、 ζ]，我们看到τ（LΦ*, LΦ）|[-ζ、 ζ] τL|[-ζ、 ζ]。最后，如果Φ∈ , so LΦ*= LΦ，BΦ*isσ（LΦ*, LΦ）紧凑，因此ηBΦ*, η∈ LΦ一致可积。因此ξn∈ BΦ*和ξn→ ξinP表示E[ηξn]→ E[ηξ](η∈ LΦ），即ξn→ ξinσ（LΦ*, LΦ），这证明了（2.2）。最后一部分，假设Φ∈ 仅用于确保有界序列相对σ（LΦ*, LΦ）-紧凑型。因此，同样的论点表明：推论2.3。（不考虑Φ∈ ,) 如果序列（ξn）nin LΦ*在P中为null，在σ（LΦ）中收敛*, LΦ）至ξ，然后ξ=0。备注2.4。在BΦ上*, τ（LΦ*, LΦ）通常与L的拓扑不同。例如，如果∈ F与P（An）>0不相交，ξn=P（An）-1/2形成序列inBL，在P中为null，但kξnk≡ 1，而τ（L，L）是范数拓扑。提案2.5。如果Φ∈ , 以下是所有凸C的等价条件 LΦ*:（1） C为σ（LΦ*, LΦ）-关闭；（2） C依次为σ（LΦ*, LΦ）-关闭；（3） 对于每个λ>0，C∩ λBΦ*在L中闭合，或等效于ξn∈ C类(n） ，ξn→ ξin Pand supnkξnkΦ*< ∞ 隐含ξ∈ C、 证明。根据Krein-Smulian定理，（1）<=> C∩ λBΦ*, λ>0，为σ（LΦ*, LΦ）-闭，C的三种闭度相同∩ λBΦ*根据（2.2）。3 Komlós型结果在续集中，我们假设Φ∈ 所以LΦ*= LΦ，除非另有说明。回想一下Φ∈ 当且仅当pΦ=infx≥0pΦ（x）<∞ 式中，pΦ（x）=supy>xyΦ（y）Φ（y）（见（1.1））。设qΦ：=limx→∞pΦ（x）pΦ（x）-1=pΦpΦ-1> 1与约定1/0=∞.引理3.1（参见[14]，第2.b.5条）。对于任何1≤ q<qΦ，LΦ*具有较高的q估计，即存在常数Cq，Φ*> 0，因此对于任何n∈ N和不联合支撑ξ。。。，ξn∈ LΦ*（即ξk=ξkak和Ak∈ F成对不相交），Xk公司≤nξk（Φ*)≤ Cq，Φ*Xk公司≤nkξkkq（Φ*)!1/q.（3.1）证明。

q=1的情况很简单（我们可以取Cq，Φ*= 1） ，注意1<q<pΦpΦ-1仅当q=pp时为Fand-1对于某些p∈ （pΦ（x），∞) x>0。固定q、p和x。然后ψ（x）：=Φ（x）xx1[0，x]（x）+Φ（x）1（x，∞)（x） 是一个-ψ（x）=Φ（x）forx的Young函数≥ x、 因此，Lψ=LΦ，具有等效规范（因为(Ohm, F，P）是一个概率空间，见[20]，Th。五、 1.3）；因此，存在一个C>0，使得（3.2）C-1k·k（ψ*)≤ k·k（Φ*)≤ Ck·k（ψ*).对偶Orlicz空间5上的凸函数，当x＞0且pψ（0）=1时，ψ（x）＞0∨ pΦ（x）=pΦ（x）<p<∞; 特别是对于任何λ≥ 1和x>0，logψ（λx）ψ（x）=Rλtxψ（tx）ψ（tx）dtt≤ p logλ，因此（3.3）ψ（λx）≤ λpψ（x）对于x>0，λ≥ 因此1=E[ψ（η/kηkψ）]≤ kηk-pψE[ψ（η）]，0<kηkψ≤ 1，其中FirsteQuality是Φ的另一个结果∈ . 因此我们有（3.4）kηkψ≤ E[ψ（η）]1/p对于所有η∈ Bψ。现在如果ξk=ξkAk∈ LΦ*= Lψ*使用Ak∈ F不相交，则对于任何η∈ Bψ，E“Xk≤nξk！η#≤Xk公司≤nkξkk（ψ*)kη1Akkψ（3.4）≤Xk公司≤nkξkk（ψ*)E[ψ（η）1Ak]1/p≤Xk公司≤nkξkkq（ψ*)!1/qXk≤nE[ψ（η）1Ak]！1/p≤Xk公司≤nkξkkq（ψ*)!1/q，sincePk≤nE[ψ（η）1Ak]≤ E[ψ（η）]≤ 1、取η的上确界∈ Bψ，CXk公司≤nξk（Φ*)（3.2）≤Xk公司≤nξk（ψ）*)≤Xk公司≤nkξkkq（ψ*)!q（3.2）≤ CXk公司≤nkξkkq（Φ*)!q、 推论3.2。如果（ξn）nis是LΦ中的范数有界不相交支撑序列*, 然后支持ξ+···+ξnn∈ LΦ*和ξ+···+ξnnΦ*→ 0.证明。设ξn=ξnan，其中∈ F不相交，a：=supnkξnk（Φ*)< ∞, 1<q<qΦ，C=Cq，Φ*如引理3.1所示。输入ξn：=ξ+···+ξnn。然后k′ξnk（Φ*)≤ aC（nn-q） 1/q=aCnq-1.→ 0.接下来，观察k supn |ξn | k（Φ*)= 超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级超级≤N |ξN | k（Φ*)安徒生≤N |ξN |=Xk≤Nsupn公司≤N |ξN |！Ak=Xk≤Nsupk公司≤n≤Nn |ξk |！Ak=Xk≤Nk |ξk |，而主键≤Nkξn（Φ*)≤ 空调主键≤Nkq公司1/季度≤ 空调P∞k=1kq1/q<∞, so supn |ξn |∈ LΦ*.注意到“ξn=ξn+1+····+ξ2nn=2ξ+···+ξ2nn”-ξ+···+ξnn∈ conv（ξn，ξn+1，…），我们得到：推论3.3。

任意范数有界不交序列（ξn）nin LΦ*具有前向凸组合的序有界和范数空序列\'ξn∈ conv（ξk；k≥ n） 。由于范数有界不相交序列的任何子序列都是有界和不相交的，所以对于任何子序列都是相同的结论；ThusCollary 3.4。LΦ中的任意范数有界不交序列*isσ（LΦ*, LΦ*)-无效的6 F.Delbaen和K.Owariermark 3.5。最后两个推论也可以从Banach格E的对偶具有阶连续范数的事实中得出，因为E中的每个范数有界不相交序列都是弱空的（[21，Th.116.1]或[15，Th.2.4.14]）。In LΦ*, （ξn）晶格意义上的nisdisjoint，如果它是不相交支撑的，而LΦ*= LΦ⊕ L∞, 其中∞是L的极坐标∞ LΦ*in LΦ*. LΦ的投影*在LΦ和L上∞A有序连续（例如[3]）。但是我∞是AL空间，因此具有顺序连续范数（无论; e、 g.[21，Th.133.6]），因此Φ∈ 意味着（k·k（Φ）=k·kLΦ*|LΦ，因此）k·kLΦ*是顺序连续的，所以有界不相交序列是弱空的。现在我们可以陈述Komlós型结果的基本版本。定理3.6。如果（ξn）是LΦ中的范数有界序列*, 在P中收敛到某个ξ∈ LΦ*, 然后存在一个子序列（ξnk）ksuch，对于任何进一步的子序列（ξnk（i））i，Cesáro意味着snpk≤Nξnk（i）收敛于ξ，即supNNXi公司≤Nξnk（i）∈ LΦ*安德西≤Nξnk（i）N→ ξa.s.（3.5）这里，原始有界序列（ξn）应在P中收敛，这是为了确保Cesáro意味着任何子序列本身按顺序收敛。如果没有这一先验假设，我们仍然有一个稍弱的结论。定理3.7。任意范数有界序列（ξn）nin LΦ*允许子序列（ξnk）kas以及ξ∈ LΦ*这样，对于任何子序列（ξnk（i））i，CesáromeansNPk的序列≤Nξnk（i）具有收敛于ξ的子序列阶，即。

有一个序列（Nl）lwith suplNlPi≤Nlξnk（i）∈ LΦ*andNlPi≤Nlξnk（i）→ ξa.s.引理3.8（参见[17]）。如果ξn→ P和if中的0（Φ*（ξn））nis一致可积，存在一个子序列（ξnk）ksuch∈ LΦ*; 尤其是ξn→ 0英寸τ（LΦ*, LΦ）。证据该假设意味着E[Φ*（ξn）]→ 0，因此有一个子序列（ξnk）ksuchthatPkE[Φ*（ξnk）]<∞. 注意Φ*（|η|∨ |η|）=Φ*（η） 1{|η|>|η|}+Φ*（η） 1{|η|≤|η|}≤Φ*（η） +Φ*（η） ，一个简单的归纳和单调收敛定理表明Φ*SUP|ξnk|≤ 利姆Φ*高级大床房≤m |ξnk|≤ limmXk公司≤mE[Φ*（ξnk）]≤∞Xk=1E[Φ*（ξnk）]∞.因此supkξnk∈ LΦ*. 特别是ξnk→ 0英寸τ（LΦ*, LΦ）乘以（2.1）。由于（ξn）nar的假设继承到任何子序列，我们推断每个子序列都有τ（LΦ*, LΦ）-空子序列；因此，（ξn）nitself为τ（LΦ*, LΦ）-空。定理3.6和3.7的证明。设（ξn）nbe为LΦ中的范数有界序列*, L.Komlós定理中的fortiori有界产生一个子序列，仍然用（ξn）n表示，和一个ξ∈ 任何进一步子序列的Cesáro均值收敛于ξ；然后ξ∈ LΦ*用法头引理。我们可以归一化（ξn）nso，ξ=0，kξnkΦ*≤ 1个(<=> E[Φ*（ξn）]≤ 1） 。然后将Kadec–Pelczy'nski定理（例如[1，引理5.2.8]）应用于有界序列（Φ*（ξn））nyields a subsequence（ζn）nof（ξn）以及不相交序列（An）nin F，使得（Φ*（ζnAcn））nis一致可积。设ζrn：=ζnAcnandζsn：=ζnAnso，即ζn=ζrn+ζsn。对偶Orlicz空间7上的凸函数现在，如果原始序列（ξn）在P上收敛（通过上述约化为0），则（ζn）n （ξn）nas以及（ζr）nare null in P.自（Φ*（ζrn））nis一致可积，引理3.8产生一个正整数的子序列（nk），使得η：=supk |ζrnk |∈LΦ*.