多资产非流动的局部风险最小化

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英文标题：
《Local risk-minimization with multiple assets under illiquidity with
  applications in energy markets》
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作者：
Panagiotis Christodoulou, Nils Detering, Thilo Meyer-Brandis
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We propose a hedging approach for general contingent claims when liquidity is a concern and trading is subject to transaction cost. Multiple assets with different liquidity levels are available for hedging. Our risk criterion targets a tradeoff between minimizing the risk against fluctuations in the stock price and incurring low liquidity costs. Following \\c{C}etin U., Jarrow R.A., and Protter P. (2004) we work in an arbitrage-free setting assuming a supply curve for each asset. In discrete time, following the ideas in Schweizer M. (1998) and Lamberton D., Pham H., Schweizer M. (1998) we prove the existence of a locally risk-minimizing strategy under mild conditions on the price process. Under stochastic and time-dependent liquidity risk we give a closed-form solution for an optimal strategy in the case of a linear supply curve model. Finally we show how our hedging method can be applied in energy markets where futures with different maturities are available for trading. The futures closest to their delivery period are usually the most liquid but depending on the contingent claim not necessary optimal in terms of hedging. In a simulation study we investigate this tradeoff and compare the resulting hedge strategies with the classical ones.
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中文摘要：
当流动性受到关注且交易受制于交易成本时，我们提出了一种针对一般或有权益的对冲方法。具有不同流动性水平的多个资产可用于对冲。我们的风险标准的目标是在最小化股票价格波动风险和降低流动性成本之间进行权衡。继U.、Jarrow R.A.和Protter P.（2004）之后，我们在无套利的环境下工作，假设每种资产的供给曲线。在离散时间内，根据Schweizer M.（1998）和Lamberton D.、Pham H.、Schweizer M.（1998）的思想，我们证明了在温和条件下价格过程存在局部风险最小化策略。在随机和时间相关的流动性风险下，我们给出了线性供给曲线模型下最优策略的闭式解。最后，我们展示了我们的套期保值方法如何应用于能源市场，在能源市场中，不同期限的期货可供交易。最接近交割期的期货通常是最具流动性的，但取决于或有权益，在对冲方面不一定是最优的。在模拟研究中，我们研究了这种权衡，并将由此产生的对冲策略与经典对冲策略进行了比较。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Local_risk-minimization_with_multiple_assets_under_illiquidity_with_applications.pdf (620.64 KB)

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关键词：Mathematical Applications Fluctuations Quantitative Minimization

多资产流动性不足的局部风险最小化及其在能源市场中的应用*Nils Detering+Thilo Meyer Brandis2018年2月28日摘要当流动性令人担忧且交易受制于交易成本时，我们建议对一般或有债权进行套期保值。具有不同流动性水平的多个资产可用于对冲。我们的风险标准旨在将股票价格波动风险降至最低与产生低流动性成本之间进行权衡。继C,etin et al.（2004）之后，我们在无套利的环境下工作，假设每种资产的供给曲线。在离散时间内，根据Schweizer等人（Schweizer，1988；Lamberton等人，1998）的观点，我们证明了在价格过程的温和条件下存在局部风险最小化策略。在随机和时间相关的流动性风险下，我们给出了线性供应曲线模型下最优策略的闭式解。最后，我们展示了我们的套期保值方法如何应用于不同期限的期货可供交易的能源市场。接近交割期的期货通常是最具流动性的，但就对冲而言，以未定权益为底的期货并不一定是最优的。在模拟研究中，我们研究了这种交易效应，并将由此产生的对冲策略与经典对冲策略进行了比较。JEL分类：G11、G13、C61关键词：局部风险最小化、四元套期保值、流动性成本、能源市场、多重集1简介在本文中，我们处理非流动性下一般或有债权的套期保值问题。随机流动性成本是通过对可能具有不同流动性水平的多个资产进行套期保值而产生的。我们的主要动机来自能源市场。

例如，考虑代理以平均现货价格S=（Su）0为基础的亚洲式看涨期权≤u≤Tof能源。这样的选择具有以下好处：T- TZTTSudu- K+（1）*德国慕尼黑大学数学系，Theresienstrasse 39，80333慕尼黑。电子邮件：christo@math.lmu.de+美国加利福尼亚州圣巴巴拉加利福尼亚大学统计与应用概率系，邮编93106-3110。电子邮件：detering@pstat.ucsb.edu德国慕尼黑大学数学系，Theresienstrasse 39，80333慕尼黑。电子邮件：meyerbr@math.lmu.defor罢工K，所谓的交货期[T，T]。可用于对冲此类期权的工具是在相同或不同的时间段内进行期货交割。对冲是一个挑战，因为这些期货要么根本没有在交割期进行交易（Benth&Detering，2015年考虑了这种设置），要么流动性非常低，以至于对冲会产生巨大的交易成本。此外，期货通常对t<< T、 所以他们的流动性有一个微妙的时间结构。在市场上，具有不同交付期（周、月、季、年）和不同流动性水平的多个功能可用作hedginging工具。本文的结果可以通过考虑不同流动性水平，应用于具有多种未来的能源市场的对冲期权。亚洲风格的期权是一个特殊的例子，但其他支付，例如Quanto期权（见Benth et al.，2015），可以同等处理。流动性不足对套期保值和最优交易的影响是数学金融领域一个非常活跃的研究课题。然而，对于流动性风险，既没有一个统一的概念，也没有一个标准的方法来对冲流动性成本，流动性风险是由于交易的时间和规模而导致的额外风险的粗略峰值。

G¨okay等人（2011）对连续和离散时间内的现有流动性模型进行了很好的概述。基本上有两种不同的方法来建模流动性风险。第一类是一类包含反馈效应的模型，即交易量对资产价格有持续影响的模型（见Bank&Baum，2004），也称为永久价格冲击器持续影响。第二种方法考虑交易对基础价格没有持久影响的较小代理（参见C,etin等人，2004年，以及其中的参考文献）。在本文中，我们采用小代理方法，通过快速恢复的limitorder book交易，将流动性成本作为套期保值策略产生的交易成本。特别是，我们遵循C,etin et al.（2004）提出的无套利模型，他引入了所谓的供给曲线模型。在这里，资产价格是交易规模的函数，作者发展了一个扩展的套利定价理论。除了关于非流动性市场的绝大多数涉及最优执行的论文外，还有许多研究非流动性下套期保值的论文，其中大多数都考虑了超级复制（例如，见Bank&Baum，2004；C,etin et al.，2010；G¨okay&Soner，2012）。由于超级复制通常过于昂贵，我们使用二次风险标准。在没有交易成本的经典无摩擦理论中，有两种主要的二次套期保值方法（见Schweizer，2001年的调查）。首先，在F¨ollmer&Sondermann（1986）中引入的均值-方差方法依赖于自我融资策略，这些策略产生最终结果，即一些初始资本的投资组合VT：=c+RTxudsuf∈ R和a交易策略Xin风险y资产S=（Su）0≤u≤T

该方法的目标是通过最终投资组合值VT寻找未定权益H的最佳近似值，即最小化二次边误差。”H-c+ZTXudSu#（2） 在现实世界的概率测度下，在一组适当约束的策略上。这也称为全球风险最小化。在离散时间内，这一问题在Schweizer（1995）的一般背景下得到了解决，并放宽了Sch¨al（1994）早些时候提出的假设。后来，在Motoczy'nski（2000）和Beutn er（2007）中，这被扩展到具有比例转移成本的多维情况，作者证明了最优策略的存在。Rogers&Singh（2010）、Agliardi&Gen,cay（2014）和d Bank等人（2017）的论文可被视为均值-方差对冲标准流动性不足下的扩展，该标准基于最小化股票价格随机波动导致低流动性成本的全球风险。不完全市场中套期保值的第二个二次方法是局部风险最小化，首先在Schweizer（1988）中引入，然后在Lamberton et al.（1998）中通过考虑离散时间情况下的比例交易成本进行扩展。对于离散时间k=0，这种方法并不坚持自我融资的条件，而是要找到一种策略（X，Y）=（Xk+1，Yk）k=0，。。。，t账面价值Vk=Xk+1Sk+Yk（假设无风险资产持续等于1），因此H=VT，成本过程Ck=Vk-Pkm=1Xm（Sm- sm-1） 是鞅，增量成本的方差最小。这里，战略Xk+1表示在时间间隔（k，k+1）内风险资产中持有的股份数和银行账户中持有的单位数。在本文中，我们通过考虑离散时间内的多维资产定价过程来扩展Schweizer（1988）的工作。

其次，我们按照Rogers&Singh（2010）和Agliardi&Gen,cay（2014）的精神，将局部风险最小化二次标准扩展到非流动市场。与现有文献相比，我们的方法和设置旨在解决上述能源市场问题。为此，我们需要一个多维度的设置，以允许使用多个期货进行套期保值。其次，资产价格动态必须是一般性的，以便捕捉能源市场的特征，我们需要一个依赖时间的流动性结构。选择我们的风险标准时，它允许比现有方法更明确的最优策略公式。此外，如案例研究所示，它们在计算上也很容易处理。我们的主要结果是，在流动性不足的情况下，资产价格只需要温和的条件，就存在一种局部风险最小化策略。这些条件是相当技术性的，但它们可以简化为价格过程协方差矩阵上的条件，对于实践中的大多数相关过程，可以很容易地检查协方差矩阵。此外，可以使用最小二乘蒙特卡罗算法向后计算策略。我们的设置允许我们探索可用边缘工具的流动性和对冲质量之间的权衡。例如，在一个具有不同交付期和不同流动性水平的不同未来可用于对冲的市场中，考虑亚洲风格选项（1）。在这种情况下，交割期与期权支付的交割期很好地匹配，从而导致未来与对冲期权之间具有很强的相关性。然而，在某些时间段内，这些对冲最优期货的流动性非常低，相关性较低但流动性较高的期货可能更适合对冲。

我们的框架使我们能够探索这一交易，并为做市商提供更深刻的风险管理工具。本文的结构如下。第2节解释了模型框架并描述了基本问题。在第三节中，我们关注线性供给曲线，并对价格过程进行必要的假设，以证明我们的主要存在定理3.10。还提供了检查假设的充分条件。第4节考虑了能源市场的应用。利用最小二乘蒙特卡罗方法模拟了非流动性条件下的最优策略。这使我们能够探索可用于对冲的期货的流动性和对冲绩效之间的交易。2模型给出了一个过滤的概率空间(Ohm, F、 F，P）考虑由d+1资产组成的金融市场。我们用P表示客观概率测度，用F表示过滤F=（Fk）k=0,1，。。。，T、 其中d描述了信息流。我们都使用指数k=0，1，T指时间点为T<T<···<T的混凝土时间网格，有时两者互换使用。一个F适应的非负d维随机过程S=（Sk）k=0,1，。。。，t说明风险资产（通常是期货或股票）的贴现价格。我们使用SJKT参考时间tk时资产j的价格。此外，存在一种无风险资产（通常是债券），其贴现价格始终为1。与C,etin et al.（2004）中的情况类似，我们假设套期保值者观察到外源性给定的非负d维供给曲线Sk（x），其中Sk（x）j：=Sjk（xj）代表在时间k购买（如果xj>0）或出售（如果xj<0）的| xj |股份时每股的第j个股票价格。我们称S（0）=S为边际价格。供给曲线确定了市场参与者在时间k时为规模为x的交易分别支付或收取的实际价格。

该曲线也被认为独立于参与者过去的行为，这意味着交易策略对供给曲线没有持久的影响。唯一的假设是，我们需要供给曲线的动量可测量性w.r.t.过滤系数F，并且它在s股x的数量中不递减，即对于每个k和j，Sk（x）j≤ Sk（y）j，P- a、 xj的s≤ yj。这将确保流动性成本为非负。在C,etin et al.（2004）中，作者开发了这种供应流模型的连续时间版本和扩展的套利定价理论。他们表明，边际价格过程的等价局部鞅测度Q的存在排除了套利。由于流动性成本始终为正，我们很容易看到类似的结果。然而，即使是一个唯一的鞅测度（以及离散环境中的状态空间限制），如果包含非流动性，也不一定能确保完备性。由于我们无法完美对冲，因此我们希望根据定义2.3中引入的非优性标准，将非流动性下的局部对冲风险降至最低。在下文中，我们将考虑旨在对冲英国《金融时报》可计量索赔的投资者。对于x∈ Rd，设| x |表示欧几里得范数，x*x的转置。此外，hx，yi表示x，y的内积∈ Rd.Adaptive Schweizer（1988）我们定义了投资者可能的交易策略。为此，我们用LpT（Rd）（简称Lp，dT）表示所有可测随机变量Z的空间：Ohm → Rd满足kZkp=E（| Z | p）<∞. 我们缩写Sk：=Sk- Sk公司-此外，我们用Θd（S）表示所有Rd值p可预测策略X=（Xk）k=1,2，。。。，T+1，因此X*kSk公司∈ L2,1和 十、*k+1[Sk(Xk+1）- Sk（0）]∈ L1,1T对于k=1，2，T定义2.1。

如果：（i）Y=（Yk）k=0,1，…，则一对φ=（X，Y）称为交易策略，。。。，这是一个实值F-适应过程。（二）X∈ Θd（S）。（iii）Vk（Д）：=X*k+1Sk+Yk∈ L2,1T对于k=0，1，T我们将Vk（Д）称为按市值计价或投资组合的账面价值（Xk+1，Yk）等于k。我们将Xjk+1解释为在时间间隔内风险资产中持有的股份数量，以及无风险资产（银行账户）中持有的单位数量（k，k+1）。请注意，对于非流动供给曲线，投资组合没有唯一的价值，因为可以实现的价值取决于清算策略。2.1成本和风险流程考虑H=(R)X形式的L2,1T-或有权益*T+1+YT，其中X*T+1∈ L2,1T，(R)XT+1∈ L2、DT和th这对组合的组成部分（\'XT+1，\'YT）是FT可测量的随机变量，分别描述期权卖方在金融合同H到期日T委托给买方的风险资产和债券的数量。例如，在一维情况下，可以设置\'XT+1=0，YT=（ST- K） +适用于无实物交割的带TRIKE K的看涨期权。假设在时间k∈ {1，2，…，T}的阶数Yk：=Yk- Yk公司-1债券和Xk+1：=Xk+1- Xkshares是m ad e，那么总支出（在流动性成本下）是Yk+十、*k+1Sk(Xk+1）= Yk+十、*k+1Sk+十、*k+1[Sk(Xk+1）- Sk（0）]。（3） 请注意，Sk（0）=跳过边际价格，因此最后一项可以被视为市场流动性不足导致的交易成本。此外，使用账面价值的定义，前一个等式可以写成Yk+十、*k+1Sk(Xk+1）=Vk（Д）- 十、*kSk+十、*k+1[Sk(Xk+1）- Sk（0）]（4）对于自融资交易策略，k时的总支出为零。现在，通过确定初始成本^C（Д）：=V（Д），我们可以确定非流动性^C（Д）=（^Ck（Д））k=0,1，。。。，Tas^Ck（Д）：=kXm=1Ym+kXm=1十、*米+1米(Xm+1）+V（Д）。

（5） 它量化了策略的累积成本Д=（X，Y）。使用Vk（Д）定义的简单计算表明，^Ck（Д）=Vk（Д）-kXm=1X*m级Sm+kXm=1十、*m+1[Sm(Xm+1）- Sm（0）]，（6），稍后需要。如果我们能够确保成本过程是平方可积的，那么我们可以在非流动性^R（Д）=（^Rk（Д））k=0,1，…，下定义二次风险过程，。。。，Tby^Rk（Д）：=E[（^CT（Д）-^Ck（Д））| Fk]。（7） 在这一点上，我们想提及的是，经典的局部风险最小化方法旨在找到一种局部风险最小化策略Д=（X，Y）s，其中VT（Д）=H，XT+1=(R)XT+1和YT=(R)YT（更多详情请参见第2.2节）。我们用C（Д）=（Ck（Д））k=0,1，。。。，t无流动性成本的经典成本过程（即S（x）=S（0）），即isCk（Д）：=Vk（Д）-kXm=1X*m级Sm，（8）并获得关系式^CT（Д）-^Ck（Д）=CT（Д）- Ck（Д）+TXm=k+1十、*m+1[Sm(Xm+1）- Sm（0）]。（9） 此外，我们用R（Д）=（Rk（Д））k=0,1，。。。，t经典风险流程，如（7）所定义，但用C代替了^C。还可以定义非流动性条件下的线性风险流程Rk（ν）：=E[| CT（Д）-^Ck（Д）| | Fk]（10）为简单起见，我们不考虑为建立初始投资组合而支付的任何流动性成本。科尔曼等人（2003）对此进行了研究。备注2.1。从财务角度来看，线性局部风险最小化标准可能比平方酮更自然。L-范数过分强调大值，即使这些值以很小的概率出现。然而，通过最小化L-范数，可以得到明确的结果。这两者的结合意味着衡量经典成本过程的二次差异和线性流动性成本，产生非流动性下的二次线性风险过程。Tk（Д）：=E[（CT（Д）- Ck（Д））| Fk]+E[TXm=k+1十、*m+1[Sm(Xm+1）- Sm（0）]| Fk]。