马科维茨分类

在无套利的马科维茨市场中，我们可以写V=VR⊕（（ker c）∩五） 其中Vr为零或一维。如果VRI是一维的，则由单个portfoliovRof成本1跨越。p=0开（ker c）∩ 五、 我们现在准备陈述并证明我们的主要数学结果，即给出所有无套利马科维茨市场的标准形式。标准形式将用向量空间Rn表示。我们将把双线性映射r写在Rnas上，一个n×n矩阵r，使得r（v，w）=vTrw。我们将把线性泛函c和p写成共向量。我们将以块对角形式编写矩阵r，并将使用符号1K表示k×kidentity矩阵，并将使用0表示零矩阵，其维数可以从上下文中导出。定理1.9。我们对马科维茨市场进行了以下分类。（a） 情况c 6=0。设n。给定四个参数（k、m、g、i）∈ {0，1，…n}×[0，∞) ×[0，∞) ×R不在集合中={（k，m，g，i）：（k=n，m=0）或（k=0，m 6=0）}（5）我们可以定义Markowitz市场的同构类，Mnk，m，s，q，如下所示：（i）如果m=0，Mnk，m，g，iis，市场的同构类，R=k0 0, c=（0，0，…，0，1），p=（g，0，…，0，i）。（ii）如果m∈ （0，∞), Mnk，m，g，iis市场Rnwithr的同构类=k0 0, c类=m、 0，0, 如果k=1（im，g，0，…，0），则p=（（im，0，…，0），否则。请注意，当k=1时，忽略参数g。我们选择坐标m和i作为同构类，以便这些变量具有简单的几何和财务解释。这恰恰说明了使用Manding公式显然不必要的复杂性。任何维数为n且c 6=0的无套利Markowitz市场都属于这些同构类之一。除了m之外，同构类Mnk，m，g，iaredistinct∈ （0，∞), 那么Mn1，m，g，i=Mn1，m，g，ig、 g。

（6） （b）情况c=0。任何维数为n且c为同零的无套利Markowitz市场都是Markowitz同构于Rnwithr市场=k0 0, c=（0，0，…，0），p=（g，0，…，0），其中k是0和n之间唯一确定的整数。如果k=0，g=0，否则，g是[0]的唯一确定元素，∞).证据我们首先假设c 6=0。案例（i）和（ii）可以以一种不同的方式进行区分，因为在案例（i）中存在无风险投资组合VRC（vR）6=0，但在案例（ii）中不存在。让我们证明，相反，如果存在这样的投资组合，则可以找到一个基础，使市场采用案例（i）的形式，如果没有，则采用案例（ii）的形式。（i） 我们假设存在一个非零成本的无风险投资组合vR。Takeen=vRc（vR），Takek=n- 尺寸V.取{ek+1，…en-1} 成为基础（ker c）∩ 五、 通过引理1.8，p等于0（ker c）∩ 五、 扩展{ek+1，…en-1} 以{v，…，vk，ek+1，…，en为基数-1} 对于ker c，让vk表示{v，…vk}的跨度。然后r限制为Vkgives内积，通过应用Gram–Schmidt过程，我们可以找到r限制为Vk的正交基{e，…ek}。VG上的内积从Vkto V导出了一个对偶同胚*k、 设Vp表示Vkt中的向量，该向量与函数p是对偶的Vkvia这个同构。通过应用必要的欧几里德空间Vkif的等距，我们可以假设Vpki是e的非负倍数。当一个人写r、c和p时，我们从推论1.7中看到，它们是所需的形式。鉴于市场是这种形式，我可以不变地定义为成本1的无风险投资组合的预期收益。在相同的情况下，g可以不变地定义为无成本投资组合v与r（v，v）中p的最大值≤ 1.

因此，i和g是唯一确定的。（ii）我们假设所有无风险投资组合的成本为零。取k=n-dim V。设{ek+1，…，en}为V的基。对其进行扩展，得到V的基{V，…，vk，ek+1，…，en}。让Vkdenote表示vk的跨度。它是关于r的内积空间，所以通过应用Gram-Schmidtprocess，我们可以得到V的基{e，…，ek，ek+1，…，en}，与{e，…，ek}正交。通过应用必要的Vkif等距，我们可以假设通过Vkis上的内积与c对偶的向量是e的正倍数。通过进一步应用e所跨越空间的等距，ek，我们可以假设在EAN和e的范围内，通过Vklies上的内积，向量对偶到p。根据这个基础编写市场，现在将其转换为所需的形式。考虑到市场是这种形式的，m可以不变性地定义为任何投资组合v的最大成本的1，r（v，v）=1。定义IInvariantly为r（v，v）=1的投资组合的收益p（v），使成本最大化。现在我可以用i=im不变量地定义。g可以不变地定义为任何无成本投资组合v的最大预期收益，r（v，v）=1。c=0时的证明类似。为了避免在续集中考虑财务上无趣的特殊情况，我们做出以下定义。定义1.10。马科维茨市场是非退化的，如果：（i）市场是无套利的；（ii）不存在无价值的投资组合；（iii）c和p是线性独立的。根据我们的定理，所有维数为n的非退化Markowitz市场的形式都是Mn-1,0，g，ior Mn，m，g，I带m∈ （0，∞) 和g∈（0，∞).我们已经确定了一组同构的非退化Markowitz市场。

我们现在问这个空间的拓扑是什么？对于固定的底层向量空间，我们可以选择Rn的同构。然后，可以将V上的双线性形式空间视为RNA的子空间，并可以给出拓扑。然后我们可以给Markowitz marketson V的空间一个拓扑。这种拓扑不依赖于从V到Rn的同构选择。因此，马科维茨市场的空间具有自然的拓扑结构。根据Markowitz同构给出的等价关系，将Markowitz市场的模空间定义为Markowitz市场空间的商。有了这个术语，我们现在可以证明定理1.9的以下推论。推论1.11。n维非退化Markowitz市场的模空间≥ 3同胚于边界为[0，∞)×（0，∞)×R.特别是，由τ（m，g，i）=Mn给出的映射τ-δ（m），m，g，iis是同胚。这里，如果m=0，δ（m）等于1，否则等于0。证据从定理1.9可以看出，τ是一个双射。定义|τ（m，g，i）为矩阵形式中给出的市场=m0英寸-1., c=（1，0，0，…，0），p=（i，g，0，…，0，）。τ是连续的。市场τ（m，g，i）与τ（m，g，i）是马科维茨同构的。因此τ是连续的。我们可以通过定义^r（u，v）=r（u，v）+c（u）c（v），将非退化双线性形式^r与非退化Markowitz市场不变性地连续关联。对于有限维向量空间上的任何非退化双线性形式，向量空间与其对偶之间存在相关同构。这种同构是连续关联的。因此，我们可以连续不变地关联作用于V上的双线性形式*任何非退化的马科维茨市场。我们将写下*对于此表单。一个简短的计算表明，在定理1.9的（i）和（ii）两种情况下，wehave^r*（c，c）=1+m。

Thereforem=s^r*（c、c）- 因此，在非退化市场的模空间上定义的函数是连续的。我们同样计算出^r*（p，c）=i1+强制*（p，p）=i1+m+g。因此，m，i和g是非退化Markowitz市场模空间上的连续函数。因此τ-1连续。备注1.12。我们将我们的代数结构称为马科维茨市场，以强调其财务相关性。然而，同样的结构在线性随机微分方程的抽象设置中自然出现。设Xt为n维向量空间U中的一个离散过程，该过程由n维布朗运动驱动的线性随机微分方程确定，初始条件由X的已知值给出。在坐标系中，我们可以写出：dXit=（u）idt+nXi=1（σ）ijwjt，常数ui和σij。我们可以说，这两个过程∈ UandXt公司∈ 当T:U存在同构时，Uare等价→ 通常T Xt=Xtin分布。我们可以通过向量空间V=U将马科维茨市场与anSDE联系起来*定义形式a、b和r如下：c（α）=α（X）表示α∈ U*;p（α）=αEXtt公司对于α∈ U*;r（α，β）=[α（X），β（X）]t对于α，β∈ U*其中，[Y，Y]t表示两个过程Yt和Yt的二次协变量。请注意，b和a的定义与t>0的选择无关。从我们对a、b和r的无坐标定义中可以清楚看出，这些形式的定义与Rn基础的选择无关。很容易看出，我们已经在马科维茨市场和线性-托氏微分方程之间建立了一对一的对应关系。因此，我们的定理可以解释为线性随机微分方程的部分分类，直至线性变换。我们认为这是部分分类，因为在更一般的情况下，“无套利”假设可能不再是很自然的，我们应该考虑其他情况。

由于我们的重点是金融应用，因此本文不进一步探讨这一点。2投资组合优化利用我们的分类定理，马尔科维茨市场的投资组合优化研究变得微不足道。定义2.1。给定马科维茨市场，如果一个投资组合的风险r（v，v）等于所有投资组合中的最小风险v，且c（v）=c（v），且p（v）=p（v），则该投资组合称为风险最小化。定理2.2（两个共同基金定理）。在不存在无风险投资组合的非退化Markowitzmarket中，风险最小化投资组合集是维数为2的V的avector子空间。此外，对于任何可行的支付和成本，都有一个相关的风险最小化投资组合。这被称为两个共同基金定理，因为风险最小化投资组合的空间可以跨越两个投资组合，即“共同基金”。证据由于不存在非零风险的投资组合，因此我们采用了我们的分类案例（ii），定理1.9。在这种情况下，我们的向量空间是欧几里德空间，风险是通过距离来衡量的，这使得结果在几何上很明显。为了完整性，我们提供了一些正式的细节。只有当且仅当前两个组成部分相等时，两个投资组合v和v具有相同的成本和预期收益。风险等于各分量的平方和，因此，通过将前两个分量以外的所有分量取为零，可以将风险降至最低。因此，风险最小化投资组合的空间是由标准基向量{e，e}跨越的向量空间。定理2.3（一个共同基金定理）。在具有无风险投资组合的非退化Markowitzmarket中，风险最小化投资组合集是维数为2的V向量子空间，包含无风险投资组合。

对于任何可行的回报和成本，都有一个相关的风险最小化投资组合。这被称为一个共同基金定理，因为风险最小化投资组合的空间可以由一个任意投资组合和一个无风险投资组合跨越。证据定理1.9案例（i）的一个明显结果是，我们尚未使用投资组合回报的概念。在马科维茨理论的标准处理方法中，通常会根据投资组合的初始成本来重新衡量投资问题。该重缩放功能是非线性的，并且未针对零成本投资组合定义。这似乎常常不必要地使讨论复杂化。例如，我们在向量空间中阐述了共同基金定理，我们认为这比传统的表述更容易理解。然而，我们讨论的核心问题是，人们可能能够重新调整和改造市场，以简化市场；很简单，返回是“错误的”重新缩放。我们观察到，协方差结构定义了问题的自然长度尺度，并将我们的坐标转换为标准的欧几里德度量。这种变换具有线性的优点。通过概率理论，这一观察结果通常是有用的：协方差矩阵定义了自然长度尺度。定义2.4。具有非零成本的投资组合的预期收益v为givenbyER（v）：=p（v）- c（v）c（v）。（7） 此类投资组合的相对风险由R（v）：=pr（v，v）c（v）给出。让φ将集合V \\（ker c）映射到Rbyφ（V）=（RR（V），ER（V））。φ的图像称为可行集。风险最小化投资组合的形象被称为有效前沿。有效边界的形状在（Merton，1972）中确定。定理2.5。

在非退化的马科维茨市场中，明尼苏达州-δ（m），m，g，i带≥ 2，有效边界由点（x，y）和x组成≥ 0和G（x- m） =（y+1- i） 。（8） 当n=2时，可行集等于有效边界。当n>2时，可行集是有效边界上或其右侧所有点的集。证据当m>0时，我们考虑定理1.9的第一种情况（ii）。由于ER和RR定义中的成本比例，我们发现我们只需要考虑成本为1的投资组合的形象。对于某些λ，成本为1的有效投资组合的形式为v=（m，λ，0，…，0）。映射到：φ（v）=pm+λ，i+gλ- 1..我们可以从φ（v）的x坐标或y坐标计算gλ。将这些表达式等效为表达式（8）。由于g 6=0，我们看到φ（v）的坐标可以取任何实值，因此有效边界是满足（8）的双曲线的右臂。如果n=2，则所有投资组合均有效。如果n>2，组合（m，λ，u，0，…，0）由φ映射到pm+λ+u，i+gλ- 1..因此，有效边界右侧的y点是可行的。在定理1.9的情况（i）中，有效边界和可行集同样容易计算。可行集和有效边界是马科维茨理论的标志性图像。它们如图1所示。现在，我们看到了为马科维茨市场空间选择参数名称的合理性。参数m度量成本1组合的最小风险，参数g度量收益风险MI-1gradient=g时渐近线的梯度图1：有效边界（曲线）和可行集（阴影）。m>0或双曲线退化到的直线的斜率。

参数i-1对应于渐近线相交处y轴上的截距。从我们的观点来看，可行集和效率边界的重要性由以下结果解释。定理2.6。让Mand-Mbe两个维数为n的非退化Markowitz市场，让vand-vbe投资组合分别在Mand-mr中，每个投资组合的成本为1。只有当Mand-Mare的有效边界相等且φ（v）=φ（v）时，才存在Mand-Msending-vto-vif的Markowitz同构。证据假设我们处于定理1.9的情况（i）或情况（ii）。（ii）当且仅当有效边界是双曲线的一条臂时，Weare在情形（ii）中成立。在案例（ii）中，我们的有效边界显式公式表明，m、g和I可以从其形状恢复，如图1所示。在对跨越{e，e，…，ek}的内部产品空间进行旋转之后，Mof成本1中的任何投资组合都可以写成（m，λ，u，0，…，0）。u系数测量φ下的v图像到有效边界右侧的距离。λ项确定φ（v）左侧有效边界上的点。类似的论点可适用于案例（i）。定理2.6将具有显著成本1组合的非退化市场的定点类别分类。正如我们在导言中所讨论的，这是在比较单个投资组合与整个市场的性能时需要考虑的自然类别。作为我们的方法如何推广的另一个例子，考虑一下在一个市场中比较两个投资组合的绩效的问题。自然类别是马科维茨市场的类别，有两个成本为1的标记投资组合，我们将其命名为VMA和vi。我们认为VMA是市场投资组合，可能是一个股票指数，如标准普尔500指数，VIA是我们希望评估其表现的特殊投资组合。这种情况可以通过以下分类定理来理解。定理2.7。

设Mand-Mbe分别是两个具有标记组合vm和viin以及vm和viin的n维非退化Markowitz市场。所有标记的投资组合均为成本1。我们还假设这些投资组合中没有一个是无风险的。只有当Mand-Mare的有效边界相等时，才存在Mand-Msending-vmto-vm和vito-viif的Markowitz同构，φ（vm）=φ（vm），φ（vi）=φ（vi）和r（vm，vi）=r（vm，vi）。证据这是定理1.9的另一个几何上显而易见的推论。因此，在任何具有标记市场组合vm的固定市场M中，组合via的属性完全由φ（vi）和数量βi决定：=r（vm，vi）r（vm，vm）。因此，该定理给出了资本资产定价模型的几何解释，并解释了βii在该理论中的核心作用。风险回报图遗漏了市场的一个特征，即无成本投资组合。这些投资组合并不乏味。在我们的案例（ii）中，无成本投资组合提供了一种自然的共同基金选择，用于两个共同基金定理。将该基金的倍数添加到您的投资组合中，可以任意改变风险，并在不影响成本的情况下沿有效边界返回。该基金是一种特别有用且易于理解的金融工具。无成本投资组合也可能引起流氓商人和欺诈者的极大兴趣。他们想知道，在马科维茨市场上，可以以零成本实现任意大的预期回报！让我们根据无成本投资组合的收益对其进行分类。我们省略了证据。定理2.8。定义ψ：V→ Rbyψ（v）=（pr（v，v），p（v））。对于大于0的市场Mnk、m、g、i，ψ下的无成本、风险最小化投资组合的图像为集合（x，y）∈ R带x≥ 0 andy=±gx。我们称之为无成本投资组合的有效边界。