马科维茨分类

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英文标题：
《The Markowitz Category》
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作者：
John Armstrong
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We give an algebraic definition of a Markowitz market and classify markets up to isomorphism. Given this classification, the theory of portfolio optimization in Markowitz markets without short selling constraints becomes trivial. Conversely, this classification shows that, up to isomorphism, there is little that can be said about a Markowitz market that is not already detected by the theory of portfolio optimization. In particular, if one seeks to develop a simplified low-dimensional model of a large financial market using mean--variance analysis alone, the resulting model can be at most two-dimensional.
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中文摘要：
我们给出了Markowitz市场的代数定义，并将市场分类为同构市场。根据这种分类，没有卖空约束的马科维茨市场的投资组合优化理论变得微不足道。相反，这种分类表明，在同构之前，对于投资组合优化理论尚未发现的马科维茨市场，几乎没有什么可说的。特别是，如果一个人试图单独使用均值-方差分析来开发大型金融市场的简化低维模型，那么得到的模型最多可以是二维的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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关键词：马科维茨 科维茨 Optimization Quantitative Dimensional

Markowitz分类John ArmstrongKing\'s College LondonAbstract我们给出了Markowitz市场的代数定义，并将市场分类为同构。鉴于这种分类，没有卖空约束的马科维茨市场的投资组合优化理论变得微不足道。相反，这种分类表明，直到同构，对于投资组合优化理论尚未发现的马科维茨市场，几乎没有什么可说的。特别是，如果一个人试图单独使用均值-方差分析来开发大型金融市场的简化低维模型，那么得到的模型最多可以是二维的。引言在开发金融模型时，为了便于分析和避免过度拟合，既需要捕捉金融市场的复杂性，也需要简化。这导致人们考虑如何最好地生成高维金融模型的低维近似值的问题。作为这种降维的一个例子，请考虑经标定的一个和两个共同基金定理（Merton，1972）。这些建立在马科维茨（Markowitz，1952）的工作基础上，告诉我们，在没有卖空限制的马科维茨市场模型中，只对最优投资问题感兴趣的投资者可以安全地忽略投资组合空间的所有二维子空间。本文考虑的是，如果一个人的利益范围比马科维茨的经典最优投资问题更广泛，会发生什么。马科维茨市场模型是否还有其他低维子空间可能对其他市场参与者特别感兴趣？我们将证明，在明确的意义上，这个问题的答案是否定的。此外，在同样明确的意义上，两个共同基金定理说明了关于市场的一切。

当然，关键是要对我们所说的“明确定义的意义”给出一个严格的解释。这就是我们使用小类别理论的地方。范畴理论，于（Eilenberg&MacLane，1945年）引入，将数学家的常见实践形式化，以研究对象的类别，直到一些等价或同构的概念。例如，可以尝试将向量空间分类为双射线性变换，或将有限群分类为群同构。这种方法的优点是忽略了虚假的细节。例如，向量空间或组下的规范集与其同构之前的分类无关。遵循类似的模式，在第1节中，我们将定义一类称为Markowitz市场的对象，并定义市场之间Markowitz同构的概念。简而言之，马科维茨市场是一个可能投资组合的向量空间，配备有：一个线性函数，给出每个投资组合的成本；给出每个投资组合预期收益的线性函数；以及衡量两个投资组合协方差的对称线性形式。等深线是保存这些结构的地图。通过定义同构的概念，我们正式定义了我们认为是马科维茨市场具有财务意义的特征，以及我们认为是虚假信息的特征。有财务意义的财产应该通过同构来保存。例如，特定股票的名称在财务上没有意义，我们的同构概念反映了这一点。我们注意到，这种同构概念的前提是，风险可以用标准差来充分衡量。众所周知，有充分的理由考虑其他风险度量，在这种情况下，需要更多的数据来确定市场，并且需要有不同的同构概念。

注意，虽然我们的理论是基于使用标准差来衡量风险，但它并不依赖于回报的分布。特别是正态分布在我们的理论中不会起作用。在确定了同构的概念后，我们将所有无套利马科维茨市场分类为定理1.9中的马科维茨同构。这是本文的中心成果。证明只需要初等线性代数，可以在根本不考虑投资组合优化的情况下给出。在第2节中，我们将展示如何将马科维茨市场分类应用于投资组合优化研究。我们将看到，共同基金定理等经典结果是我们分类的直接明显推论。此外，我们将观察风险回报图与市场分类之间的密切关系。例如，我们将看到，两个维度相同且不包含零成本、零风险和零预期收益的虚假投资组合的市场是同构的，当且仅当它们具有相同的效率边界时。正如我们将看到的那样，范畴理论对这个问题的处理方法在许多方面比的经典方法（Merton，1972）更具普遍性和启发性。经典方法基于直接计算和拉格朗日乘子理论，而几何参数基于Gram–Schmidt过程。如果读者希望在收益率和投资组合权重方面将我们的演示文稿与更标准的演示文稿进行比较，请参考Tappendix A，我们在那里详细描述了如何在这两种方法之间进行转换，并给出了一个数字示例。我们将展示如何将我们的几何方法推广到马科维茨同构下的不变性被另一个合适的类别打破的情况。

例如，当考虑单个投资组合相对于市场的表现时，应该只考虑保持该投资组合的同构。要使用类别理论术语术语，人们对马科维茨市场的“定点类别”感兴趣，该类别具有成本1的标记投资组合。这一类别在定理2.6中进行了分类。这个定理解释了为什么风险回报图（如图1）是理解这个问题的有效工具。值得注意的是，当考虑最佳套期保值时，正如（Sharpe&Tint，1990）所做的那样，可以再次使用标记的投资组合对市场进行分类（这次被套期资产定义了标记的投资组合）。先验地，人们可能会认为，分析投资组合的表现与分析对冲投资组合是一个非常不同的问题，但这两个问题都可以使用相同的分类定理来理解。我们考虑的另一个推广是具有两个标记投资组合的市场。这一问题自然出现在资本资产定价模型（CAPM）中（如（Jensen，Black和Scholes，1972）所述，最初发展于（Treynor，1961；Sharpe，1964；Lintner，1965；Mossin，1966））。我们将展示如何通过适当的分类来理解该理论，在本例中为定理2.7。该方法可以进一步推广，以包括CAPM的许多经典推广或得出新的结果。例如，如果希望使用均值-方差分析研究不同套期保值组合的绩效，那么很自然会产生一个问题，即用更显著的组合对市场进行分类。因此，将资本资产定价模型（CAPM）进行一般化，以获得一个用于评估对冲组合相对绩效的模型，这将是很简单的。在第3节中，我们展示了我们的方法可用于得出新的财务分析结果。

我们正式陈述并证明了我们的主张的数学版本，即高维市场模型中不存在对特定市场参与者特别感兴趣的低维子空间，而不是由两个共同基金定理定义的子空间。我们提供这个结果的基本假设是，市场参与者只对Markowitz同构之前的市场感兴趣。然后，我们的主张将遵循我们的分类定理以及我们在第3.1节中总结的范畴理论的一些非常普遍的想法。作为一个具体且与财务相关的例子，考虑将主成分分析应用于相关矩阵的实践，以识别市场模型的有趣子空间。这允许我们识别金融模型的高维子空间，但代价是打破马科维茨同构的不变性。如果认为一只股票和一篮子股票的财务属性根本不同，则可以对相关矩阵进行主成分分析。例如，如果一个人试图找到尽可能准确反映市场的特定股票，马科维茨不变性就会被打破，主成分分析可能是一个有用的工具。另一方面，如果一个人试图选择尽可能准确地代表市场的少量个人股票，那么就不能超越两个共同基金定理。我们在第3节中给出了两个进一步的例子，说明我们的结果如何应用。具体而言，在第3.2节中，我们考虑了使用历史数据和由此产生的模型不确定性估计预期收益的重要问题。这一问题已被广泛研究（例如，（Black&Litterman，1992），（Garlappi，Uppal，&Wang，2006），（Jorion，1986），（Ceria&Stubbs，2006））。

在第3.3节中，我们考虑了设计共同基金以吸引现有负债投资者的问题。在已知潜在投资者责任的情况下，这一问题之前在（Sharpe&Tint，1990）中已经研究过，但我们将考虑潜在投资者责任未知的情况。对于模型不确定性问题和投资者现有但未知负债的问题，我们的结果表明，如果不提供额外数据，就无法识别出除两个互惠基金定理所识别的投资组合之外的有趣投资组合。最后，我们注意到，虽然我们选择用金融市场术语来表述我们的结果，但我们在备注1.12中观察到，我们的结果也得出了线性随机微分方程的分类。因此，人们应该期望类似于两个共同基金定理的定理普遍存在于线性随机微分方程的研究中，从而普遍存在于随机微分方程的短期行为研究中。1马科维茨类别我们首先对我们的市场类别进行正式定义。然后，我们将描述这些市场是如何在金融领域兴起的。然后，我们证明了这些市场的分类。定义1.1。Markowitz市场（V，r，c，p）由一个有限维实向量空间V和数据组成：（i）对称双线性映射r:V×V→ R满足R（v，v）≥ 0表示所有V∈ 五、（ii）两个线性泛函c:V→ R和p:V→ R、 定义1.2。两个Markowitz市场（V，r，c，p）和（V，r，c，p）之间的Markowitz态射是一个线性变换T:V→ v满足条件：r（T v，T v）=r（v，v）v∈ 五、 （1）p（T V）=p（V）v∈ 五、 （2）c（T V）=c（V）v∈ 五、

（3） 如果从一个市场到另一个市场存在双射Markowitz同构，则两个Markowitz市场被称为同构。我们对市场及其形态的定义共同定义了所谓的A类别。类别的其他示例包括：向量空间及其线性变换；拓扑空间及其连续映射；群及其同态。我们将在第3.1节回顾类别理论的一些基本定义，包括类别的定义。在此之前，我们不需要明确使用任何范畴理论。马科维茨市场自然产生于金融领域。考虑一个买卖金融资产的交易员。交易员有兴趣研究由这些资产组成的投资组合。通过了解包含每项资产持有量的RN向量来定义投资组合。我们对马科维茨市场的定义中的抽象向量空间V代表了可能投资组合的空间。投资组合可能包含特定资产的负数量，这在金融上的解释是，交易员可以选择购买资产（正数量）或借入资产（负数量）。在此财务设置中，线性函数c计算建立投资组合的初始成本。如果我们假设市场具有完全的流动性，并且每项资产都可以无限量买卖，那么我们可以合理地假设成本确实是线性的。交易员将金融资产建模为随机变量。线性函数p计算投资组合在未来某个时间T的预期收益。有限的流动性和有限的市场深度证明了p是线性的假设。对称双线性映射r计算两个投资组合在未来时间T的协方差。

请注意，这里我们假设所有资产都有有限的差异。应将quantitypr（v，v）（v的标准偏差）视为投资组合的风险v。有大量关于风险度量的文献，并提出了许多可用于测量投资组合风险的统计量。在这里，我们不会讨论不同度量方法的利弊，我们只是说，在马科维茨框架中，风险是用标准差来衡量的。为了证明Markowitz态射的定义，我们假设traderis只对可用的投资组合感兴趣，其成本、支付和风险使用标准差进行衡量。交易员认为所有其他市场数据都是无关的。交易者尤其不关心有多少资产被组合成一个投资组合的问题。我们现在的目标是将马科维茨市场分类为同构市场。这是线性代数的一个基本练习。为了减少分类中的案例数量，我们将只对无套利市场进行分类。这些定义如下。定义1.3。马科维茨套利投资组合是投资组合v∈ V满足R（V，V）=0，c（V）=0，p（V）>0。如果马科维茨市场不包含任何马科维茨套利投资组合，那么它是无套利的。如果我们选择一个与p和r兼容的资产回报概率模型，那么我们将经典套利定义为零成本投资组合，几乎可以肯定，该投资组合具有非负回报和正回报的正概率。马科维茨套利通常是经典套利，但反之则不然。给定方差的预期payoff和rf的任何值P，我们总能找到一个具有平均值P和方差R的概率分布，该概率分布取正概率的正值和负值（例如正态分布）。

因此，如上所述，马科维茨市场是无套利的，当且仅当其不包含经典套利时，为支付分布选择了任何兼容的概率模型。这正好证明了在我们对无套利Markowitzmarket的定义中使用了“无套利”一词。定义1.4。A投资组合v∈ 如果r（V，V）=0，则称V为无风险。Aportfolio五∈ 如果c（V）=0，则称V为无成本。A投资组合v∈ 如果r（V，V）=0，c（V）=0，p（V）=0，则V称为无值。引理1.5。如果T是介于（V，r，c，p）和（V，r，c，p）之间的Markowitz态射，则r（T V，T V）=r（V，V）v、 五∈ 五、 证明。这直接来自对称线性贴图的偏振恒等式：r（v，v）=（r（v+v，v+v）- r（v- v、 五- v） ）。（4） 这表明，整个协方差结构r可以从已知的标准偏差r（v，v）中推导出来。引理1.6。确定线性映射r:V→ 五、*由▄r（v）（w）=r（v，w），则无风险投资组合的集合v等于k▄r.Proof。如果v∈ ker▄r然后r（v，v）=▄r（v）（v）=0。So kerr 五、 另一方面，如果r（V，V）=0，那么函数n（V）=r（V，V）在V处有一个局部最小值。因此n在任何方向上的导数w∈ V等于零。该导数等于2r（v，w）=2r（v）（w）。So V kerr.推论1.7。如果我们有一个分解V=V⊕ 当V上r的值由V证明上r的值决定时，对于某些向量子空间V。设v=v+v此处v∈ Vand v公司∈ 五、 然后r（V，V）=r（V，V）+2r（V，V）+r（V，V）=r（V，V）现在的结果来自引理1.5。如果投资组合满足r（v）=0、c（v）=0和p（v）6=0，则v或-vwill将是一个马科维茨套利投资组合。因此，只有当且仅当所有无成本、无风险的投资组合都没有价值时，马科维茨市场才是无套利的。这产生了以下结果：引理1.8（无套利无风险市场的分类）。