马科维茨分类

ψ的图像等于无成本投资组合的有效边界，或等于无成本投资组合的有效边界右侧的点集。当且仅当一个无成本投资组合在ψ下具有相同的映像时，存在市场映射的自同构。备注2.9。让我们看看我们的结果如何应用到熟悉的portfoliooptimization之外。在备注1.12中，我们注意到，我们将“无套利”线性随机微分方程分类为弱等价。因此，在研究这类方程时，应该期望得到两个mutualfund定理。例如，当交易遵循多元Bachelier模型（即线性随机微分方程）的股票时，考虑优化预期效用的财务问题。从我们的不变性论证中可以看出，任何有意义的解决方案都将是两个共同基金的动态交易策略。我们可以选择任何“有意义的解决方案”，因为要对这个投资问题给出一个数学上严格的公式并不完全直接。我们的观点是，无论怎样做，马科维茨同构下的不变性应该保持，这将导致某种形式的两个共同基金定理。Markowitz marketsOur分类的三维缩减使得识别投资组合空间中有趣的不变子集变得容易。定理3.1。对于含有无新值投资组合的n维非退化市场，自同构群下市场的任何不变子流形的维数都小于或等于2或大于或等于n-2、如果n＞4，则维数小于或等于2的不变子流形都是风险最小化组合集合的子流形。此外，在市场中，任何不变的投资组合都是风险最小化投资组合集合的一个元素。证据

任何在市场的自同构群下闭的市场子流形都必须由自同构群actingon V的轨道组成。如我们所见，不包括无成本投资组合，这些轨道由φ点的预成像组成。有效边界的预映像的维数小于或等于2。可行集中任何其他点的预映像大于或等于n- 2、我们使用mapψ将类似的推理应用于无成本投资组合的情况。由此可知，不变子空间是维数为0、1、2、n的- 2，n- 1或n。如果n>4，n- 2>2。因此，在这种情况下，所有低维不变子流形都在有效前沿的预映像中。这意味着它们位于风险最小化投资组合中。最后的断言是显而易见的。这一结果可以被视为classicaltwo共同基金定理的重要推广。然而，如果读者不具备纯数学领域的背景，例如不变性参数普遍存在的几何学，那么对我们结果的这种解释可能会令人感到困惑。因此，我们将从第3.1节的理论角度解释我们的结果。然后，我们将给出一些具体的金融应用：在第3.2节中，我们展示了我们的定理如何应用于不确定性下的优化问题；在第3.3节中，我们展示了如何将我们的定理应用于选择最优对冲投资组合的问题。3.1不变性定义数学中有两个常用的不变性概念。其中一个注意事项是在群作用下的不变性：如果一个群作用于一个集，那么可以询问该集的哪些元素在群作用下保持不变。

第二个概念是表示的独立性，其中对象的数学属性仅取决于对象的同构类，而不取决于用于描述对象的任何其他细节。在本节中，我们将对后一个概念进行形式化，以了解这两个不变性概念之间的关系。我们首先回顾了范畴理论的一些基本定义。定义3.2。C类由以下数据组成：（i）对象的ob（C）类。（ii）态射的一类hom（C）。每个态射f都与一个源a相关联∈ ob（C）和目标b∈ ob（C）。我们写f:a→ b、 hom（a，b）是从a到b的所有态射的类别。（iii）对于所有a，b，c∈ ob C a二进制运算hom（a，b）×hom（b，C）→ 霍姆（a，c）称为合成。如果f：a→ b、 g:b→ c我们写gof代表组合的gf。成分满足度（i）关联性：如果f:a→ b、 g:b→ c、 h:c→ df公司o （g）o h） =（fo g）o h（ii）标识：适用于所有x∈ ob（C）存在态射1x:x→ x的性质为，如果f:a→ x、 1台o f=f，如果g:x→ a、 g级o 1x=g。例如，我们已经定义了马科维茨市场的类别，这些对象由四个马科维茨市场组成，其形态与马科维茨形态相关。与每个市场相关的基础集是向量集。我们将其称为M类。注意，在这种情况下，以及我们感兴趣的其他情况下，形态可以解释为函数，组成定律由普通函数组成。另一个这样的类别是集合所有“小”集合的类别。为了避免罗素悖论，我们必须避免谈论所有集合的集合。要解决此问题，请选择一个足够大的集合，其中包含您感兴趣的所有集合，并将一个小集合定义为此集合中包含的集合。

同样的技术手段也可以应用于其他类别，因此，我们将允许自己在应该说“所有小型市场”时谈论“所有市场”。定义3.3。从C类到D类的函子F是一个映射，它（i）与每个对象x相关联∈ ob（C）F（x）中的对象∈ ob（D）。（ii）关联到态射f:x→ y在hom（C）a态射F（F）：F（x）→F（y）单位：hom（D）。且满足（i）所有x∈ 如果F:a，则ob（C），F（1x）=1F（x）（ii）→ b和g:b→ c然后F（go f）=f（g）o F（F）。函子的一个明显例子是单位映射M→ M、 另一个例子是“健忘函子”，它通过映射对象（V，r，c，p）将M映射到集合的类别∈ ob（M）到V中的向量集。这个函子充当M的态射上的恒等式。作为函子的一个更有趣的例子，考虑类别Visoof有限维向量空间，这些向量空间之间的可逆线性变换给出了态射。然后我们可以定义一个函子Fby F（V）=V*, V和F（T）=（T）的对偶-（1）*对于态射T:V→ W我们将用（·）表示这个函子*.我们现在已经建立了定义“不变定义元素”的概念所需的所有概念。定义3.4。

设C为范畴，F为C到集合的函子。那么F的不变定义元素是一个映射φ：ob（C）→ 设置φ（c）∈ F（c）和φ（F c）=F（F）φ（c）（回想一下，在集合论中，集合的元素本身就是集合，这就是为什么φ的余域是集合的，尽管我们认为φ的值主要是元素而不是集合）。如果F是一个从C类到D类的函子，如果D是一个态射实际上是一个集合的变换的类别，我们将说φ是F的一个变量定义元素，如果它是U的一个不变定义元素o这里U是健忘函子。特别是如果M上的恒等函子的不变定义元素是从市场到该市场中的投资组合的映射φ。因此，我们将其称为固定资产组合。如果我们将两个市场之间的态射视为市场要素的重新标记，我们会发现，不变定义的投资组合是从任何在重新标记下行为正确的市场中选择投资组合的一种方式。因此，我们对不变定义元素的概念抓住了“表示的独立性”的概念。我们的类别理论方法的优势在于，我们可以定义的不仅仅是不变定义的投资组合。例如，函子（·）的不变定义元素*将被称为不变量定义的线性泛函。不难看出p和c是不变定义的线性泛函。我们现在可以解释群体行为下的不变性与呈现独立性之间的关系。引理3.5（不变性引理）。设C是一个范畴，其中每个态射都是可逆的。设F是C到集合的函子。对于每个c∈ C为源和目标与C相等的态射集编写Aut C。Aut C在合成下形成一个群。

它作用于集合F（c），作用由F（s）=F（F）（s）定义。对于f∈ Aut c和s∈ F（c）。如果φ是F的不变定义元素，那么φ（c）在aut c下是不变的。相反，设Ccbe是由与cand同构的对象及其同构组成的子类别，并设s∈ F（c）在Aut c下不变。对于任何F:c，由：φc，s（c）=F（F）（s）（9）给出的映射→ cis定义良好，并给出了f | ccs的不变定义元素，φc，s（c）=s证明。类别的定义确保Aut c是一个半集团。我们假设C中的每个态射都是可逆的，这确保了Aut C是一个群。给出的行动是一项集体行动，这源于afunctor的定义。如果f:c，则详细说明→ c和g:c→ c然后：（fg）（s）=F（fg）（s）=F（F）G（G）（s）=F（G（s）），F（1c）（s）=1SetF（c）（s）=s。如果φ是F和F的不变定义元素∈ Aut c thenfφ（c）=F（F）φ（c）=φ（F（c））=φ（c）。在这里，我们依次使用了群作用的定义、不变定义元素的定义以及f:c的事实→ c、 因此，φ（c）在Aut c的作用下是变化的。通过定义Cc，同构f:c→ 任何c的cexists∈ 抄送。假设：c→ 首席技术官。然后g-1f层∈ 我们看到f（f）（s）=f（gg-1f）（s）=F（g）F（g-1f）（s）=F（g）（s）。第一个等式是直接的，然后我们使用F的函数性，然后我们使用s在Aut c下的不变性。因此，（9）定义的映射φc，sde定义得很好。假设f:c→ cthen fg：gc→ gcsoφc，s（gc）=F（gf）（s）=F（g）F（F）（s）=F（g）φc，s.Soφc是如权利要求所述的不变定义元素。最后请注意，φc，s（c）=F（1c）（s）=1SetF（c）s=声称的sas。不变性引理3.5与定理3.1相结合的结果是，任何不变性定义的投资组合都必须位于给定的二维空间中。

由于我们认为，任何财务有趣的声明都必须独立于马科维茨市场中股票和共同基金的标签，这意味着可以通过一些财务有趣的问题唯一识别的投资组合都位于二维空间中。这为我们提供了两个共同基金定理的ClaimedGeneration，该定理用不变量定义元素的精确语言表述。然而，这似乎首先带来了一个新问题，我们如何判断给定φ的ifa是不变定义的？例如，如果我们固定常数C和P，则为φC，由φC表示，P（（V，r，C，P））=argminv∈五、 c（V）=c，p（V）=Pr（V，V）（10）不变定义？我们当然会这么想，因为这肯定是一个有财务意义的问题。但是，如果没有繁琐的计算，我们怎么能证明这一点呢？为了解决这个问题，我们注意到我们可以使用函子来反映集合论的大多数基本构造。我们将把注意力限制在C类中的每个态射都是可逆的情况。例如，给定两个函子F:C→ 数据G:C→ Dwe可以用明显的方式定义产品类别D×D。这允许我们定义一对不变定义的元素的名称。类似地，如果F:C→ 集合是函子，因为F（F）是F（c）的置换，我们可以定义F（F）对幂集P（F（c））的作用。因此，我们可以定义幂集函子PF。这使我们能够讨论不变定义的元素集。由于函数可以定义为满足某些性质的笛卡尔积的子集，因此我们也可以讨论不变定义函数。计算如何定义作用于函数的函子是很有启发性的。让FS：C→ S和FT:C→ T是由集合支持的类别和T的两个函子。为每个要设置的健忘函子写U。我们希望定义一个名为fun（FS，FT）的函子，该函子源自FSand FT。

它将作用于对象c∈ ob C byfun（FS，FT）（C）={ψ：U S（C）→ UT（c）}给定ψ：U S（c）→ UT（c），我们可以把ψ看作一个函数，在这种情况下，我们用通常的方式写ψ（x）。我们也可以将ψ视为一个集合，在这种情况下，我们有（x，ψ（x））∈ ψ。上面的配方告诉我们应该如何定义f（FS，FT）对态射f:c的作用→ c、 量（fun（FS，FT）f）ψ应该是一个新函数，我们可以将其显式地写为Cartesianproduct的子集：（fun（FS，FT）f）ψ={（f（f）s，f（f）t）：（s，t）∈ ψ} 现在，我们将此定义转换为传统的函数表示法。z=（fun（FS，FT）（f）ψ）（s）<==> （s、z）∈ {（FS（f）s，FT（f）t）：（s，t）∈ ψ}<==> （s、z）∈ FT（f）ψFS（f）-1.<==> z=（FT（f）ψFS（f-1） ）（s）所以在传统的函数表示法中（fun（FS，FT）（f）ψ）（s）=（FT（f）ψFS（f-1） ）（s）。请注意，我们对对偶空间函子（·）的定义*我们之前定义的只是一个特例。让我们为向量空间上的单位函子写1。让我们为平凡函子编写FRF，它将所有向量空间和所有态射映射到恒等式。我们看到（·）*= 乐趣（1，R）。总之，我们已经表明，我们对不变定义元素的定义包含了集合论的许多基本概念。特别是，我们展示了不变定义函数的概念如何直接遵循函数的集合论定义。很容易检查不变量定义集的所有属性是否都成立。例如，不变定义集的并集、交集、积集和幂集都是不变定义集。从这样的基本集合论事实以及函数作为集合的定义可以看出，不变函数的组成是不变的，不变函数所构成的不变集的图像是不变的，等等。然而，有一种集合论结构并不一定是不变的。这是做出选择的行为。

例如，如果我们在每个马科维茨市场简单地选择一个投资组合，那么就没有理由期望这是不变的定义。我们得出结论，任何应用于不变定义输入的数学运算都会产生不变定义输出，除非该运算涉及任意选择。这是因为数学可以用集合论建模。作为一个具体的例子，我们看到（10）中定义的φC，Pde是一个不变量定义的投资组合，如所声称的。这是因为所有输入都是不变定义的。例如，我们已经注意到c和p是不变定义的。事实上，这是3.5的直接结果，因为r是不变定义的。argmin使用的R上定义的排序也是不变的，因为我们使用的函子是平凡的。出于同样的原因，C和P是不变的。简言之，数量通常是明显不变的，因为它们的定义不涉及选择。话虽如此，有时一个数量是不变的，而不是显而易见的。例如，考虑马科维茨市场（V，r，c，p）的度量值，定义如下：首先选择r-正交基，然后从ψ：Rn定义内积空间同构→ 五、将V的asubset度量定义为ψ的Lebesgue度量-1（V）。这种定义显然取决于正交基的选择，因此没有明确的不变定义。然而，正交变换的行列式总是±1，因此我们可以看到，该度量实际上是独立于基的选择而定义的。我们将度量值uras称为它仅取决于r。一旦我们确定一个量是不变定义的，我们可以使用它来定义其他不变定义的量。

例如，我们可以用（2π）ne定义（V，r，c，p）上的标准高斯测度-r（v，v）urhere n是向量空间v的维数，它由本科线性代数不变量定义。我们得出结论，标准高斯测度是不变的。在下文第3.2节中，我们将使用度量u和标准高斯度量来定义其他更复杂的不变对象。备注3.6。如果读者已经熟悉范畴理论，他们可能会想知道，不变定义的元素是否可以解释为自然变换（关于自然变换的定义，请参见（Eilenberg&MacLane，1945））。为了了解如何做到这一点，让φ成为函子F:C的不变定义元素→ 设置设Z为函子，将C中的每个对象映射到{0}，将C中的每个态射映射到恒等式。对于每个c∈ ob（C），定义函数ηφ（C）：{0}→ 由ηφ（c）（0）=φ（c）设置。那么ηφ是从Z到F的自然变换。3.2不确定性条件下的优化我们现在将展示如何应用第3.1节的理论，以给出定理3.1的具体财务应用。据观察，马科维茨理论确定的投资组合在实践中往往表现不佳。例如，在（Black&Litterman，1992年）中，Black和Litterman观察到，这些“几乎总是在许多资产中设定大量空头头寸”，他们引用（Green&Holli field，1992年）和（Best&Grauer，1991年）作为所经历问题类型的学术参考。马科维茨理论存在这些问题的一个原因是难以估计预期收益。选择预期回报向量的一种方法是使用专家知识，但在缺乏专家知识的情况下，可以使用历史回报估计预期回报。