小时间范围最优投资组合的渐近逼近

所以（Uxx）的边界远离0。为了证明U是（3.3）的子解，我们回顾了T的系数- 表达式uxx（Ut+H（U））中的t严格为正（通过选择U）。不等式（3.8）意味着该系数在xon中的增长顺序为h（x），在y中的增长有界。（3.8）也表示o（T-t） Uxx（Ut+H（U））的项在x中的增长顺序为▄H（x），在y中的增长有界。因此，对于t附近的t，t的正系数- t支配o（t- t） x和y中的项一致，表示Ut+H（U）>0，即U是（3.3）的经典子解。这个论点的一面镜子证明了U是（3.3）的经典超解。有待证明的是，（2.8）中给出的值函数J（t，x，y）位于次解和上解之间，即U（t，x，y）≤ J（t，x，y）≤ U（t，x，y）表示所有（t，x，y）∈ [0，T]×（0，∞) ×R。我们将首先显示U（t，x，y）≤ J（t，x，y），然后我们将显示J（t，x，y）≤ U（t，x，y）。至验证（t、x、y）≤ J（t，x，y），我们首先考虑子解U生成的交易策略π（t，xπt，Yt），其中π（t，x，y）是将U代入（2.10）得到的函数，即π（t，x，y）=-λ（y）Ux（t，x，y）- ρa（y）Uxy（t，x，y）σ（y）Uxx（t，x，y）。将伊藤公式应用于U（t，Xπt，Yt）给出su（t，Xπt，Yt）{z}UT（Xπt）-U（t，Xπt，Yt）=TZtUt+σπλUx+购买+σπUxx+σπaρUxy+aUyyds+TZtσπUx+aρUydWs+TZtap1-ρUydWs |{z}局部鞅。（3.9）由于右侧的随机积分是局部鞅，我们可以找到一个序列{τn}∞n=1停车时间，使得τn∈ [t，t]，τn≤ τn+1a。s、 对于所有n和τn→ T a.s.作为n→ ∞.

特别是，如果我们用T替换T∧ τn，局部鞅将变成鞅：U（T∧ τn，XπT∧τn，YT∧τn）-U（t，Xπt，Yt）=t∧τnZtUt+σπλUx+购买+σπUxx+σπaρUxy+aUyyds+T∧τnZtσπUx+aρUydWs+T∧τnZtap1-ρUydWs。（3.10）注意，（3.10）右侧第一项的被积函数是HJBequation的左侧，子解U被替换，因此该项为非负项。取方程（3.10）两边的条件期望，我们得到u（t，x，y）≤ E[U（T∧ τn，XπT∧τn，YT∧τn）| Xπt=X，Yt=y]。现在，很明显，U（T∧ τn，XπT∧τn，YT∧τn）→ U（T，XπT，YT）=UT（XπT）a.s.作为n→ ∞. 此外，我们还有| U（T∧ τn，XπT∧τn，YT∧τn）|=UT（XπT∧τn）-（T- T∧ τn）λ（YT∧τn）UT（XπT∧τn）UT（XπT∧τn）- c（T∧ τn- t） h（Xπt∧τn）≤UT（XπT∧τn）+ Tλ（YT∧τn））UT（XπT∧τn）UT（XπT∧τn）+ cT h（XπT∧τn）≤ cG（XπT∧τn），（3.11），对于某些常数c，其中G（x）=log（x）+1，在假设2.2的情况1下，G（x）=x1-α+x1-假设2.2的情况2下的β。看到{G（XπT∧τn）}∞n=1由一个可积随机变量控制，我们请读者参考附录中证明的引理7.2。因此，我们可以应用支配收敛定理，它使[U（T∧ τn，XπT∧τn，YT∧τn）| Xπt=X，Yt=y]→ E[UT（XπT）| XπT=X，Yt=y]a.s.as n→ ∞. 这意味着u（t，x，y）≤ E[UT（XπT）| XπT=X，Yt=y]。从π（t，Xπt，Yt）的可容许性（它来自于用于证明引理7.1的类似论证），它立即得出U（t，X，y）≤ J（t，x，y）。我们现在验证J（t，x，y）≤ U（t，x，y）。首先，让∧π成为任何可接受的交易策略。

注意，因为eu是HJB方程（2.9）的超解，我们得到了ut+σ（y）~πUxx+~π（σ（y）λ（y）Ux+ρσ（y）a（y）Uxy）+a（y）Uyy+b（y）Uy≤ 因此，将伊藤公式应用于U（t，X∏t，Yt），然后本地化并采用条件期望，wehaveE[U（t∧ τn，X￠πT∧τn，YT∧τn）| X▄πt=X，Yt=y]≤ U（t，x，y）对于每个n.如（3.11）中所示，我们可以显示| U（t∧ τn，X￠πT∧τn，YT∧τn）|≤ cG（X￠πT∧τn），其中G（X|πT∧τn）由一个可积随机变量控制（如引理7.2所示）。然后，支配收敛定理意味着E[UT（XπT）| XπT=X，Yt=y]≤ U（t，x，y）。由于∧π是一个任意可容许的投资组合，这意味着j（t，x，y）≤ U（t，x，y），根据需要。确定值函数位于子解和超解之间，即U（t，x，y）≤J（t，x，y）≤ U（t，x，y），它紧随（3.6）和（3.7）中U和U的定义，即（3.1）中的^U（t，x，y），|J（t，x，y）-^U（t，x，y）|≤ c（T- t） h（x）。4、构建第3节中的近似组合，我们表明（2.8）中给出的值函数J（t，x，y）可以通过时间到地平线t的幂的一阶展开来近似- t、 即（3.1）中给出的^U（t，x，y）。此外，我们还表明，J（t，x，y）和^U（t，x，y）之间的误差由时间到地平线的平方（t- t） 。在本节中，我们将展示我们的一阶近似值在地平线附近生成了接近最优的交易策略。为了证明这一点，我们首先回顾了公式（2.10），验证定理告诉我们，在HJB方程（2.9）适定的情况下，该公式将代表最佳交易策略。由于我们没有假设HJB方程的经典解，验证定理的结论可能不适用。然而，公式（2.10）在我们的分析中仍然有用。

我们将证明，当替换为（2.10）时，我们的平滑近似^U（t，x，y）会产生一个投资组合，该投资组合产生的预期效用损失为最大预期效用，误差以平方时间到地平线（t- t） 。这个结果在下面的引理中说明。引理4.1。设J（t，x，y）为（2.8）中定义的价值函数，^U（t，x，y）为（3.1）中定义的价值函数，并设x^π为（2.7）中描述的在投资组合^π（s，x^πs，Ys）下的财富过程，其中^π（s，x，y）为^π（s，x，y）给出的函数：=-λ（y）σ（y）^Ux（s，x，y）^Uxx（s，x，y）-ρa（y）σ（y）^Uxy（s，x，y）^Uxx（s，x，y），s∈ [t，t]，x∈ （0，∞), y∈ R、 （4.1）在假设2.1和2.2下，存在常数C>0和0<δ<min{1，T}，使得| J（T，x，y）-E[UT（X^πT）| X^πT=X，Yt=y]|≤ C（T- t） h（x），对于（t，x，y）∈ （T- δ、 T）×（0，∞) ×R此处h（x）≡ 1在假设2.2的情况1下，h（x）=x1-α+x1-假设2.2的情况2下的β；常数C和δ与t、x和y无关。我们首先让读者参考引理7.1，引理7.1在附录中得到了证明，并断言策略^π确实可以接受，如定义2.1所示。我们现在证明了^π下终端财富的预期效用接近最大预期效用。为此，我们首先将伊藤公式应用于^U（s，X^πs，Ys）并获得^U（T，X^πT，YT）-^U（t，X^πt，Yt）=TZt^Ut+σ^πλ^Ux+b^Uy+σ^πUxx+σ^πaρUxy+a^Uyyds+TZtσ^π^Ux+aρUydWs+TZtap1-ρUydWs。（4.2）回顾一下，通过定义^U和假设2.2，我们得到|t^U+H（^U）|=O（t-s） O（h（X^πs）），表明漂移项的被积函数是O（T- s） O（h（X^πs））。

与定理3.1的证明平行，我们使用停止时间序列{τn}∞n=1本地化（4.2），将局部鞅项转换为鞅。取双方的条件期望，然后屈服于[^U（T∧ τn，X^πT∧τn，YT∧τn）| X^πt=X，Yt=y]-^U（t，x，y）=t∧τnZtEO（T- s） O（h（X^πs））| X^πt=X，Yt=yds。利用从引理7.1的证明中得到的h（X^π）的一致界，可以得出| E[^U（T∧ τn，X^πT∧τn，YT∧τn）| Xπt=X，Yt=y]-^U（t，x，y）|≤ C（T- t） h（x），（4.3），对于某些常数C>0。现在，与定理3.1的证明平行，我们有^U（T∧ τn，X^πT∧τn，YT∧τn）→^U（T，X^πT，YT）=UT（X^πT）a.s.作为n→ ∞. 还有| U（T∧ τn，X^πT∧τn，YT∧τn）|≤ cG（X^πT∧τn），其中G（x）=log（x）+1，在假设2.2的情况1下，G（x）=x1-α+x1-假设2.2的情况2下的β。通过引理7.2，序列{G（X^πT∧τn）}∞n=1由一个可积函数支配，这意味着优势收敛定理E[^U（T∧ τn，X^πT∧τn，YT∧τn）| X^πt=X，Yt=y]→ E[UT（X^πT）| X^πT=X，Yt=y]a.s.作为n→ ∞.因此，（4.3）给出了| E[UT（X^πT）| XπT=X，Yt=y]-^U（t，x，y）|≤ C（T- t） h（x）。（4.4）根据定理3.1和不等式（4.4），得出| E[UT（X^πT）| XπT=X，Yt=y]-J（t，x，y）|≤ |E[UT（X^πT）| XπT=X，Yt=y]-^U（t，x，y）|+| U（t，x，y）-J（t，x，y）|≤ C（T- t） h（x）+c（t- t） h（x）≤ C（T- t） h（x），对于0<t- t<δ。5、示例我们考虑以下随机波动率模型，该模型在[4]中使用，参数估计取自[1]。考虑的时间范围为[0，T]。风险资产满足（2.1），u（y）=ua恒定函数和σ（y）=√y、

由于我们不假设模型中的因子是慢因子，因此我们将δ设置为1。我们设定：u=0.0811，m=27.9345，β=1.12；变量y固定为27.9345；T=2；我们的两个布朗运动之间的相关系数为ρ=0.5241；γ=3。在此模型下，我们考虑功率效用函数UT（x）=x（1-γ） 1个-γ=-2倍。请注意，虽然该效用函数满足假设2.2，但并非假设2.1中的所有模型假设都满足（例如λ（y）不是绝对有界的）。尽管如此，我们的结果在本节中显示为该模型下的良好近似值。【4】中的作者通过求解【15】中导出的线性偏微分方程，获得了假设模型下的值函数的显式公式。现在，我们重述[4]中的值函数公式。Iff（r）：=βr+（（1-γ） βuρ-γγ）r+（γ+（1-γ） ρ）（1-γ） u2γ，其中我们替换了我们为f（r）中的变量假设的上述值，然后求解f（r）=0给出了f的一个正根和一个负根，表示a+和a-, 分别地此外，我们将α设为二次多项式f（r）的判别式的平方根。那么，如果我们定义A（t，t）：=（1-e-α（T-t） ）a-1.-一-a+e-α（T-t） 和B（t，t）：=m（T- t） a--β对数1.-一-a+e-α（T-t） 1个-一-a+,值函数由u（t，x，y）=-2xeγγ+（1-γ） ρ（yA（t，t）+B（t，t））。（5.1）回想一下，我们的值函数近似值由^U（t，x，y）=UT（x）给出-（T- t） λ（y）UT（x）UT（x），（5.2）我们现在可以将（5.1）和（5.2）替换为（2.10），以分别获得最优和近似投资组合πUand^π。

对于本节开头假设的参数值，我们获得了以下价值函数及其近似值、最优投资组合及其近似值以及相应误差的公式：表1t T U（T，x，y）^U（T，x，y）|U-^U |πU（t，x，y）^π（t，x，y）|πU- ^π| 1.5 2≈ -0.485022x≈ -0.484689倍≈0.000333x≈ 0.750482x≈ 0.748982倍≈ 0.0015x1.9 2≈ -0.496952倍≈ -0.496938x≈0.000014x≈ 0.754024倍≈ 0.753957x≈ 0.000067xIn图5.1、5.2和5.3，我们将值函数与零阶和一阶近似值进行对比。在图5.4和5.5中，我们将最优投资组合与近似投资组合进行对比。0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6财富2.01.81.61.41.21.00.80.60.40.2效用值函数带修正零阶近似值的近似值图5.1：（t=1.5，t=2）根据零阶近似值UT（x）和带附加修正项的零阶近似值绘制值函数。很难区分值函数和一阶近似值（即。

带校正项的近似值）。0.800 0.802 0.804 0.806 0.808 0.810Wealth0.790.780.770.760.750.740.73效用值函数近似值w/校正零阶近似值图5.2：（t=1.5，t=2）当图5.1在较短的财富间隔内缩放时，值函数和近似值之间的差异更加明显。0.800 0.802 0.804 0.806 0.808 0.810Wealth0.7850.7800.7750.7700.7650.7600.755效用值函数近似值w/校正零阶近似值图5.3：（t=1.9，t=2）当时间间隔从0.5缩短到0.1时，校正后的近似值更接近值函数。0.800 0.802 0.804 0.806 0.808 0.810Wealth0.6000.6020.6040.6060.608PortfolioOptimal portfolioApproximating portfolioFig 5.4：（t=1.5，t=2）价值函数生成的投资组合和带修正的近似值在此图中显示为接近。0.800 0.802 0.804 0.806 0.808 0.810Wealth0.6030.6040.6050.6060.6070.6080.6090.6100.611投资组合最佳投资组合近似投资组合IG 5.5：（t=1.9，t=2）当时间间隔从0.5缩短到0.1时，近似投资组合更接近最佳投资组合。有限时间范围内的投资组合优化6.1。近似方案在第3节中，我们对（2.8）中给出的值函数J（t，x，y）进行了近似，以求得时间t接近终点t的值。

然后，我们在第4节中使用此近似值生成交易策略^πt：=^π（t，X^πt，Ys）（函数^π（t，X，y）在（4.1）中给出），当到达地平线的时间t-它很小。在本节中，我们提出了一种启发式方案，以近似某个有限时间范围内所有时间t的值函数[0，t]，然后利用该近似值与（2.10）中的函数π（t，x，y）结合，在[0，t]上生成接近最优的交易策略。首先，我们将区间[0，T]划分为小子区间，由{0=T<T<···<tn-1<tn=T}。该方案由^U（t，x，y）给出：=^U（tk+1，x，y）+（tk+1- t）-（λ（y）^Ux（tk+1，x，y）+ρa（y）^Uxy（tk+1，x，y））^Uxx（tk+1，x，y）+a（y）^Uyy（tk+1，x，y）+b（y）^Uy（tk+1，x，y）,（6.1）对于tk≤ t型≤ tk+1，（x，y）∈ （0，∞) ×R，其中^U（T，x，y）=UT（x）。接近最优的交易策略将由^πt：=^π（t，X^πt，Yt）给出，其中函数^π（t，X，y）是函数^π（t，X，y）：=-λ（y）^Ux（t，x，y）σ（y）^Ux（t，x，y）-ρa（y）^Uxy（t，x，y）σ（y）^Uxx（t，x，y），（6.2）对于tk≤ t<tk+1，（x，y）∈ （0，∞) ×R，其中^U（T，x，y）=UT（x）。这些公式的形式证明如下。近似公式（6.1）是通过严格执行构造第3节HJB方程子解和超解的技术获得的。我们首先将定理3.1中的结果应用于地平线-1，T]。我们提醒读者，近似公式中的零阶项将是区间[tn]上的终端条件UT（x-1，T]。对于较早的时间间隔，例如，[tn-2，tn-1] ，U（tn-1、x、y）和U（tn-1，x，y）将作为区间[tn]上构造的子解和超解的终端条件-2，tn-1] 。注意子区间[tn]上终端条件UT（x）的y独立性-1，T]将公式（6.1）简化为（3.1）。

在早期时间间隔，终端条件对y的依赖性引入了（6.1）的一阶项中的附加项。备注6.1。近似值（6.1）和（6.2）的准确性将在未来的工作中得到严格证明。这可以通过重复第3节中用于验证精度的程序来实现。然而，在固定的、有限的地平线上，这将要求终端条件具有更高程度的规律性。此外，按照（3.8）的精神建立一个不平等将涉及更多内容，超出了本文的范围。6.2。例如，在本节中，我们考虑了第5节中描述的模型和效用函数，并以图形方式分析了我们的方案（6.1）在有限水平[0，T]上的近似精度，其中T=2。在第5节中，在t=1.5和t=1.9的时间计算值函数，这两个时间接近于t=2。然而，按照第6.1节中的近似方案，我们现在可以近似时间t=0时的值函数。为了进行比较，我们还计算了最优投资组合的默顿近似值。Umer（x）：=-e-0.00015696742982x，其中我们将所有t的过程yT固定在值y=27.9345。这是通过求解默顿HJB方程（vt-λ（y）vxvxx=0v（T，x）=-2x，λ（y）=0.0002354511446，y=27.9345。相应的默顿交易策略由πMer（x）=-λ（y）UMerxσ（y）UMerxx，简化为πMer（x）=0.7551626499999x。（6.3）现在，我们在t=0时，将（6.2）给出的最优投资组合的近似值与实际最优投资组合πU（x）进行比较≈ 0.745029x（通过将（5.1）代入（2.10）并评估att=0获得），以及默顿投资组合（6.3）（见图6.3和6.4）。