小时间范围最优投资组合的渐近逼近

我们还绘制了价值函数（5.1）与（6.1）中给出的价值函数的近似值（见图6.1和6.2）。0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6财富1.81.61.41.21.00.80.60.40.20.0效用值函数近似图6.1：（t=0，t=2，n=4）根据通过（6.1）描述的模式获得的近似值绘制的值函数。0.800 0.802 0.804 0.806 0.808 0.810财富0.6950.6900.6850.6800.6750.670效用值函数近似图6.2：（t=0，t=2，n=4）当图6.1的财富间隔缩短时。0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6Wealth0.40.60.81.01.2PortfolioOptimalPortfolioApproximating PortfolioMeton portfolioFig 6.3：（t=0，t=2，n=4）根据方案（6.1）生成的近似投资组合和默顿投资组合（6.3）得出的最优投资组合。0.800 0.802 0.804 0.806 0.808 0.810Wealth0.5950.6000.6050.610PortfolioOptimalPortfolioApproximating PortfolioMetron portfolioFig 6.4：（t=0，t=2，n=4）当图6.3的富裕区间缩短时，近似值的准确性更为明显。7、附录7.1。^π引理7.1的可容许性。设X^πsbe为SDE（2.7）在投资组合^πt下给出的财富过程：=^π（t，X^πt，Yt）（其中^π（t，X，y）如（4.1）所定义）并假设X^πt=X∈ （0，∞). 在假设2.1和2.2下，策略^π符合定义2.1的规定。证据我们首先注意到^πt的渐进可测量性来自变量t中该函数的连续性。此外，假设2.1和2.2以及（4.1）中^π（t，x，y）的定义意味着σ（y）^π（t，x，y）x≤ C（7.1）对于某些常数C，它与（2.7）一起，立即暗示^πtyields是一个严格正的财富过程。有待证明的是，^πtsatis fies ETZσs^πsds+ ETZ（X^πs）-2γσs^πsds< ∞, γasin定义2.1。

注意，根据（7.1），我们有|σs^πs |≤ c（X^πs）对于某些常数c，所以足以证明（X^π·）pis是可积的，其中p=2或p=-2γ。我们将伊藤公式应用于log（X^π·）pto getlog（X^πu）p=p log X^πu=log xp+pZut“σ（Ys）λ（Ys）πsX^πs-σ（Ys）^πsX^πs#ds+pZutσ（Ys）πsXπsdWs。设Mu：=pRutσ（Ys）πsXπsdWs，对于t≤ u≤ T从σ（y）^π（t，x，y）xλ（y），可以得出存在c>0这样的对数（X^πu）p≤ 日志xp+c（u-t） +亩≤ 记录xp+cT+Mu。So（X^πu）p≤ ExpectEmu。定义Zu：=eMu-[M] uwhere【M】u=pRutσs^πsX^πsds。由于σ（y）^π（t，x，y）xis是有界函数，Z是平方可积鞅。对于常数c>0，我们可以写出（X^πu）p≤ xpecTZu≤ 预期支持≤u≤慈。（7.2）定义K：=预期支持≤u≤Zi，thenE | K |≤ 预期（1+4EZT）<∞.这表示{（X^πu）p}u∈[t，t]在u上由一个可积随机变量一致有界，从而建立了TZσs^πsds+ ETZ（X^πs）-2γσs^πsds< ∞.7.2。G（XπT）的一致界∧τn）引理7.2。设Xπsbe为SDE（2.7）在任意容许投资组合π（t，Xπt，Yt）下给出的财富过程，并假设Xπt=X。在定理3.1的假设下，{G（Xπt∧τn）}∞n=1由可积随机变量统一绑定，其中在假设2.2的情况1下，G（x）=log（x）+1，G（x）=x1-α+x1-假设2.2的情况2下，β为正α，β6=1。证据我们将首先考虑情况1，其中G（x）=x1-α+x1-β。注意，它足以证明{（XπT∧τn）1-γ}∞对于某些正γ6=1，n=1一致有界于一个可积随机变量。如果0<γ<1，则杨氏不等式给出（XπT∧τn）1-γ≤ C1+（XπT∧τn）对于某些常数C，如果weset Mu：=uRtσsπsdWs，则Mu是鞅，（2.7）给出（XπT∧τn）≤ cx+TZσsπsλsdt+supu∈穆！对于某些常数c，特别是通过Doob的最大不等式E，取期望收益率（XπT∧τn）≤ c1+E（公吨）= c1+ETZσsπsds< ∞,对于某些常数c。

因此，{（XπT）∧τn）}∞n=1由可积随机变量ξ一致有界：=c1+x+TZσsπsλsds+supu∈穆！, 暗示（XπT∧τn）1-γ≤ C1+（XπT∧τn）是由一个可积随机变量统一结合在n上的。在γ>1的情况下，我们将伊藤公式应用于（Xπu）1-γ获得（Xπu）1-γ=x1-γ+（1- γ） uZtλsσsπs（Xπs）-γ-（1）-γ） γσsπs（Xπs）-γ-1ds+（1-γ） uZtσsπs（Xπs）-γdWs。因此，让Zu：=uRtσsπs（Xπs）-γdWu是πs可容许的鞅（见定义2.1），我们看到（Xπu）1-γ≤ c1+TZσsπs（Xπs）-2γ+σsπs（Xπs）-2ds+sups∈[0，T]祖！, （7.3）对于某些常数c，取两边的期望值并应用Doob的最大不等式给出[（Xπu）1-γ]≤ c1+ETZσsπs（Xπs）-2γ+σsπs（Xπs）-2秒+ E【ZT】.As E[ZT]=ETZσsπs（Xπs）-2γds< ∞, 上述不平等的右侧是有限的。因此，不等式（7.3）的右侧是（XπT）的统一界∧τn）1-γ>1时为γ。为了证明G（x）=1+log（x）情况下的结果，只需显示{log（xπT∧τn）}∞n=由可积随机变量统一绑定。我们将伊藤公式应用于log（Xπ·）到getlog（Xπu）=log X+Zut“σ（Ys）λ（Ys）πsXπs-σ（Ys）πsXπs#ds+Zutσ（Ys）πsXπsdWs。在幂的情况下，我们让Eu：=Zutσ（Ys）πsXπsdWs。然后，通过πsin定义2.1的可容许性，Eu是鞅，因此我们可以应用Doob的最大不等式，如上所述。特别是，我们有log（Xπu）≤ c1+TZσπ（Xπs）-2ds+sups∈是的！（7.4）对于某些常数c，因此，取期望值给出[log（Xπu）]≤ c1+ETZσπ（Xπs）-2秒+ Esups公司∈是的！,Doob不等式给出，对于常数c，Esups公司∈是的！≤ cE【ET】=cETZtσπ（Xπs）-2秒< ∞,定义2.1中给出了最后一个不平等，然后是可接受性的定义。

这就建立了（7.4）的右侧为可积随机变量，它统一限定了{logXπT∧τn}∞n=1。参考文献[1]George Chacko和Luis M.Viceira。不完全市场中随机波动的动态消费与投资组合选择。《金融研究评论》，18（4）：1369–14022005。[2] Michael G.Crandall、Hitoshi Ishii和Pierre Louis Lions。二阶偏微分方程粘度解用户指南。公牛美国。数学Soc。（N.S.），27（1）：1–671992年。[3] Jakˇsa Cvitani\'c和Ioannis Karatzas。约束投资组合优化中的凸对偶。安。应用程序。概率。，2（4）：767–818181992年。[4] Jean-Pierre Fouque、Ronnie Sircar和Thaleia Zariphopoulou。投资组合优化和随机波动渐近。数学金融，2015年。[5] Ioannis Karatzas、John P.Lehoczky、Steven E.Shreve和Gan Lin Xu。不完全市场中效用最大化的鞅和对偶方法。《暹罗控制与优化杂志》，29（3）：702–7301991年。[6] 德米特里·克拉姆科夫和沃尔特·沙切梅耶。不完全市场中效用函数的渐近弹性与最优投资。安。应用程序。概率。，9（3）：904–950，1999年。[7] 马修·洛里和罗尼·瑟卡。局部随机波动下的投资组合优化：系数泰勒级数近似和隐含夏普比率。《暹罗金融数学杂志》，7（1）：418–4472016。[8] 罗伯特·C·默顿。不确定性下的终身投资组合选择：连续时间案例。《经济学与统计评论》，第247-2571969页。[9] 罗伯特·C·默顿。连续时间模型中的最优消费和投资组合规则。《经济理论杂志》，3（4）：373–4131971年。[10] Sergey Nadtochiy和Thaleia Zariphopoulou。不完全市场中最优投资问题解的近似格式。暹罗J.金融数学。，4（1）：494–5382013年。[11] 陶鹏。

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