小时间范围最优投资组合的渐近逼近

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Asymptotic approximation of optimal portfolio for small time horizons》
---
作者：
Rohini Kumar and Hussein Nasralah
---
最新提交年份：
2018
---
英文摘要：
  We consider the problem of portfolio optimization in a simple incomplete market and under a general utility function. By working with the associated Hamilton-Jacobi-Bellman partial differential equation (HJB PDE), we obtain a closed-form formula for a trading strategy which approximates the optimal trading strategy when the time horizon is small. This strategy is generated by a first order approximation to the value function. The approximate value function is obtained by constructing classical sub- and super-solutions to the HJB PDE using a formal expansion in powers of horizon time. Martingale inequalities are used to sandwich the true value function between the constructed sub- and super-solutions. A rigorous proof of the accuracy of the approximation formulas is given. We end with a heuristic scheme for extending our small-time approximating formulas to approximating formulas in a finite time horizon.
---
中文摘要：
我们考虑了一个简单不完全市场和一般效用函数下的投资组合优化问题。通过使用相关的Hamilton-Jacobi-Bellman偏微分方程（HJB-PDE），我们得到了一个交易策略的封闭式公式，该公式在时间范围很小时近似于最优交易策略。该策略由值函数的一阶近似值生成。通过构造HJB PDE的经典子解和超解，利用水平时间幂的形式化展开，得到近似值函数。鞅不等式用于在构造的子解和超解之间夹心真值函数。对近似公式的精度给出了严格的证明。最后，我们给出了一个启发式方案，将我们的小时间近似公式扩展到有限时间范围内的近似公式。
---
分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
--

---
PDF下载：
--> Asymptotic_approximation_of_optimal_portfolio_for_small_time_horizons.pdf (521.18 KB)

2022-5-30 21:47:13 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：投资组合 Optimization Mathematical Differential Quantitative

小时间域最优投资组合的渐近逼近*密歇根州底特律市韦恩州立大学数学系48202Hussein Nasralah+密歇根州底特律市韦恩州立大学数学系482022022年3月3日摘要：我们考虑在一个简单的不完全市场和一般效用函数下的投资组合优化问题。通过使用相关的Hamilton-Jacobi-Bellman部分微分方程（HJB PDE），我们获得了一个交易策略的封闭式公式，该公式近似于时间范围较小时的最优交易策略。该策略由值函数的一阶近似值生成。近似值函数是通过构造HJB PDE的经典子解和超解，并使用水平时间幂的形式展开来获得的。鞅不等式用于将真值函数夹在构造的子解和超解之间。对近似公式的精度给出了严格的证明。我们将使用启发式方案将我们的小时间近似公式扩展到有限时间范围内的近似公式。1、导言本文研究了时间范围很小时的投资组合优化问题。为简单起见，我们考虑一个有两种资产的金融市场，一种是有风险的，另一种是无风险的。给定一对（t，x）∈ [0，T]×（0，∞)对于初始时间t和初始财富x，投资者希望以这样一种方式进行投资，以便根据今天的信息，最大限度地提高其在时间t的预期财富利用率。

具体地说，如果UT（x）是一个模拟投资者在终端时间T的财富效用的函数，那么投资者希望选择一个投资组合π，其最大化E[UT | Ft]（F是非正式地表示时间T之前信息的西格玛代数）。在风险资产价格过程的马尔可夫假设下，可以通过相关的HJB方程来研究该优化问题，如[7、8、10、15]中所述。默顿（Merton）[8，9]在完整市场中首次在连续时间背景下研究了该投资组合优化问题。效用最大化问题也可以用对偶参数来研究，如[3，5，6，13]所示。投资组合优化也在有限时间范围的假设下进行了研究，例如[8、9、11、12]。在[11，12]中，作者研究了有限时间范围内的最优投资和消费问题，假设模型具有随机利率，风险资产价格是几何布朗运动。Tehranchi[14]在不完全市场的假设下研究了这个问题，市场由两个布朗运动驱动，资产价格不一定是马尔可夫的。由于缺少马尔可夫结构，无法使用动态规划原理。通过证明相关布朗运动泛函的H¨older型不等式，Tehranchi[14]能够研究当效用函数是财富函数和相关布朗运动函数的乘积时的投资组合优化问题*rkumar@math.wayne.edu+侯赛因。nasralah@wayne.edustochastic因素当财富的函数是指数函数、对数函数和幂函数时，在[14]中获得了显式公式。在不完全市场中，文献中关于最优投资组合的显式公式很少，人们试图得到近似公式。

我们提到了这方面的一些工作，其中风险资产价格模型是马尔可夫模型，具有相关的随机因素。在[15]中，效用函数被假定为恒定相对风险规避（CRRA）类型，即财富幂函数和取决于随机因素的函数的乘积。在这个假设下，Zariphopoulou在[15]中能够得到线性抛物型偏微分方程解的值函数。[15]中的结果对于计算特定示例的显式公式是有用的。在文献[7]中，Lorig和Sircar考虑了有限期内的投资组合优化问题，假设风险资产的局部随机波动率模型。他们使用模型系数的泰勒级数展开式来获得价值函数和最优投资组合的近似公式。虽然获得了一般效用函数的近似公式，但近似精度仅在电力效用的情况下确定。Fouque等人在[4]中假设了一个具有多尺度随机因素的模型，并通过渐近分析获得了最优投资组合的近似公式。在文献[4，7]中，相关HJB方程的适定性尚未建立，作者的工作假设值函数是具有充分正则度的HJB方程的经典解。在【10】中，以及在我们的论文中，都没有做出这样的假设。在[10]中，Nadtochiy和Zariphopouloustaust指出，他们的模型是对Merton在[8，9]中引入的模型的不完全市场的“最简单和最直接的扩展”。在这个模型中，效用函数只依赖于财富。作者没有直接使用相关的HJB方程，而是使用边际HJB方程，他们认为该方程具有唯一的粘度解（有关粘度解的更多信息，请参见[2]）。

在不假设值函数满足HJB方程的情况下，Nadtochiy和Zariphopoulou在[10]中证明了边际HJB方程粘度解的积分确实是值函数。此外，作者推导出了他们称之为“最优投资组合”的近似值-最佳投资组合“[10]。在本文中，我们找到了一个封闭式公式，用于在风险资产价格的随机波动率模型下，在小时间范围内近似最优投资组合。由于关联HJB方程的适定性尚未建立，我们不假设值函数是HJB方程的经典解。此外，我们不假设效用函数的特定形式。我们只假设当财富接近0或∞ 作为对数实用程序或sumof电力实用程序。建立了近似的精度。然后，我们使用小时间近似在更长的时间范围内迭代构建近似。我们的讨论和结果组织如下：我们在第2节陈述了我们的模型假设，以及我们对效用函数及其导数行为的假设。主要定理在第3节中得到了验证。在第4节中，我们构建了接近最优的投资组合，并验证了贴近度。在第5节中，我们通过一个示例以图形方式说明我们的小时间近似。然后，第4节中的结果在第6节中扩展到更长的时间范围，并应用于一个示例。2、模型和假设我们考虑以下简单的不完全市场模型，如【10】中所述，但我们对终端效用函数的假设与【10】中所考虑的不同。考虑一个由一项风险资产（如股票）组成的市场，其价格过程为一项无风险资产（如债券）。

风险资产的价格过程满足度t=u（Yt）Stdt+σ（Yt）StdWt，（2.1），其中yti是一个随机因素，其演变为dyt=b（Yt）dt+a（Yt）（ρdWt+p1-ρdWt）。（2.2）向量Wt=（Wt，Wt）是一种二维标准布朗运动，适用于自然过滤（Ft）t∈[0，T]由Ft=σ（Ws：0）给出≤ s≤ t） ，和ρsaties-1<ρ<1。我们还定义了夏普比λ（Yt）：=u（Yt）-rσ（Yt），其中r是无风险利率。假设2.1（模型假设）。表示为C（R）连续函数的空间f:R→ R、 Ck（R）是k次连续可微函数的空间g:R→ R（用于k≥ 1，k∈ N） 。随机微分方程（SDE）（2.1）和（2.2）中的系数以及λ满足以下条件（如【10】中的假设1】）：1。u，σ∈ σ为严格正的C（R）。2、b∈ C（R）和λ，a∈ C（R）具有严格的正。3、存在一个常数c>0，使得| a |+| a |+|+| a |+| b |+| b |+|λ|+|λ|+|λ|≤ c、 假设2.2（效用假设）。我们用UT（x）表示投资者的终端效用函数。Weassume UT（x）是一个严格递增的凹函数，属于C（R）。此外，我们对效用函数的渐近增长作出以下假设：UT（x）是这样的，即在情况1中：条件（2.3）-（2.6）对M（x）成立：=log（x）；或案例2：条件（2.3）-（2.6）保持M（x）：=x1-α1-α+x1-β1-β、 α，β6=1，阳性。渐近增长条件：0<infx>0UT（x）M（x）≤ supx>0UT（x）M（x）< ∞ （2.3）0<infx>0UT（x）M（x）≤ supx>0UT（x）M（x）< ∞ （2.4）0<infx>0U（3）T（x）M（3）（x）！≤ supx>0U（3）T（x）M（3）（x）！<∞ （2.5）0<infx>0U（4）T（x）M（4）（x）！≤ supx>0U（4）T（x）M（4）（x）！<∞. （2.6）备注2.1。这些假设允许C（R）中任何严格递增的凹效用函数，其表现为对数函数或不同的幂函数，随着财富接近0和∞.

这类效用函数的三个例子是：1。电源实用程序：UT（x）=x1-γ1-γ、 对于某些正γ6=1.2。混合电力设施：UT（x）=cx1-α1-α+cx1-β1-β、 对于c，c>0，对于正α，β6=1.3。日志实用程序：UT（x）=日志（x）。备注2.2。虽然假设2.2中的效用假设与[10]中的效用假设相似，但这些假设适用于对数效用函数以及由幂函数混合描述的效用函数；文献[10]中的结果没有涵盖这两个例子。由于投资者将投资于一项风险资产和一项无风险资产，πtwill表示在时间t时投资于风险资产的财富的贴现金额。我们希望只考虑自我融资交易策略，因此，通过πt表示投资于无风险资产的财富的贴现金额，选择πt必然意味着πt的价值。因此，如[10]所示，我们将用风险资产中的πt金额确定每个交易策略。由此我们可以定义贴现财富过程Xπt：=πt+πt。该过程按照以下方式发展：dxπt=σ（Yt）πt（λ（Yt）dt+dWt∈ [0，T]。（2.7）此后，我们将用σ表示σ（Ys），用λs表示λ（Ys）。定义2.1（可接受的交易策略）。唯一考虑的策略是可接受的策略，意思是：1。π是相对于二维布朗运动的自然过滤逐渐可测量的。2、ETZσsπsds<∞.3、初始财富x∈ （0，∞), 贴现财富过程（2.7）对allt严格为正∈ [0，T]。4.E“TR（Xπs）-2γσsπsds#<∞, 其中，假设2.2的情况1下γ=1，假设2.2的情况2下γ：=max{α，β}>1。将可接受的交易策略集表示为A，我们定义了价值函数J（t，x，y），asJ（t，x，y）：=ess supπ∈AE[UT（XπT）| XπT=X，Yt=y]。

（2.8）值函数J是汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程的形式解，由Ut+最大πσ（y）πUxx+π（σ（y）λ（y）Ux+ρσ（y）a（y）Uxy）+a（y）Uyy+b（y）Uy=0，对于（t，x，y）∈ （0，T）×（0，∞) ×R，U（T，x，y）=UT（x），对于（x，y）∈ （0，∞) ×R.（2.9）很容易看出，（2.9）中最大化的表达式在π（t，x，y）给出的组合中达到最大值=-λ（y）Ux（t，x，y）- ρa（y）Uxy（t，x，y）σ（y）Uxx（t，x，y）。（2.10）因此，对于t，最优策略为πt：=π（t，Xπt，Yt）∈ [0，T]。替换最大化投资组合（2.10）不等式（2.9）givesUt-（λ（y）Ux+ρa（y）Uxy）Uxx+a（y）Uyy+b（y）Uy=0。（2.11）3。主要理论在本节中，我们介绍了本文的主要结果，即（2.8）中定义的值函数可以近似，从而产生以时间到地平线的方式测量的误差。这一结果是通过构造HJB方程（2.11）的经典子解和超解来实现的，HJB方程（2.11）的形式为T的幂次二阶展开- t、 到了地平线的时候了。子解和超解将与一阶项重合，这将用作值函数近似。子解和超解展开中的二阶项将产生误差。使用鞅不等式的概率论证将表明值函数位于构造的子解和超解之间。定理3.1。设J（t，x，y）为（2.8）中定义的值函数，UT（x）为终端效用函数。定义^U（t，x，y）：=UT（x）-（T- t） λ（y）UT（x）UT（x）。

（3.1）假设假设假设2.1和2.2成立。然后存在常数c>0和0<δ<min{1，T}，这样J（t，x，y）-^U（t，x，y）≤ c（T- t） h（x），对于（t，x，y）∈ （T- δ、 T）×（0，∞) ×R，（3.2），其中h（x）≡ 1在假设2.2的情况1下，h（x）=x1-α+x1-假设2.2的情况2下的β；常数candδ与t、x和y无关。我们从两个方面证明了这一结果：首先，我们将分别构造HJB方程的经典亚解和超解U（t，x，y）和U（t，x，y）。一旦建立，我们将显示值函数位于子解和超解之间，即U（t，x，y）≤ J（t，x，y）≤ U（t，x，y）。我们首先构造U和U。考虑（2.11）中给出的HJB方程：（Ut+H（U）=0，对于（t，x，y）∈ （0，T）×（0，∞) ×R，U（T，x，y）=UT（x），对于（x，y）∈ （0，∞) ×R，（3.3），其中H（U）：=H（y，U，Ux，Uy，Uxx，Uxy，Uyy）：=-（λ（y）Ux+ρa（y）Uxy）Uxx+a（y）Uyy+b（y）Uy。我们认为子解和超解在T的幂方面具有以下扩展- t： U（t，x，y）：=U（0）（x，y）+（t- t） U（1）（x，y）+（t- t） U（2）（x，y）。因此，我们的一阶近似值与终端时间T的值函数一致，我们选择终端条件（3.3）作为U（0）的值，即U（0）（x，y）：=UT（x）作为所有（x，y）∈ （0，∞) ×R。我们现在将U替换为（3.3），以获得：- U（1）- 2（T-t） U（2）-λ（y）（U（0）x+（T-t） U（1）x+（t-t） U（2）x）+ρa（y）（U（0）xy+（t-t） U（1）xy+（t-t） U（2）xy）U（0）xx+（T-t） U（1）xx+（t-t） U（2）xx+a（y）U（0）yy+（T-t） U（1）yy+（t-t） U（2）yy+ b（y）U（0）y+（T-t） U（1）y+（t-t） U（2）y= 0。（3.4）我们选择U（1），使得方程（3.4）左侧的O（1）阶项消失。为此，我们清除分数并收集O（1）阶项。

将这些与零相等，然后删除任何与零相等的项（即，变量t和y中包含U（0）偏导数的项），得到U（1）的以下公式：U（1）（x，y）=-λ（y）UT（x）UT（x）对于所有（x，y）∈ （0，∞) ×R.最后，我们为U（2）选择两个不同的函数，以获得子解和超解。这是通过分析U（2）的公式来实现的，U（2）是由T的系数相等而得到的- （3.4）中的t项，清除分数后，为零。删除因子为零的任何项，如前所述，yieldsU（2）（x，y）=UT（x）UT（x）λ（y）-b（y）λ（y）λ（y）+ρa（y）λ（y）λ（y）-a（y）（λ（y））-a（y）λ（y）λ（y）-UT（x）UT（x）ρa（y）λ（y）λ（y）U（3）T（x）+λ（y）UT（x）（U（3）T（x））（UT（x））-λ（y）UT（x）U（4）T（x）UT（x）！。（3.5）我们通过扩展（3.5）右侧的术语并将结果术语列举为a，…，来缩写此表达式，a、 给出（3.5）asU（2）（x，y）=Xi=1ai（x，y）。我们注意到ai~ h（x），其中h（x）≡ 1如果M（x）=log（x）（即假设2.2的情况1），则h（x）=x1-α+x1-β，如果M（x）=x1-α1-α+x1-β1-β（即假设2.2的情况2中的if）和有界于y的1≤ 我≤ 8、国家经贸委：=8最大值1≤我≤8supx>0y∈R | ai | h（x）+ 1和定义u：=ch（x）和u：=-u、 然后替换u：=u（0）+（T-t） U（1）+（t-t） u（3.6）（和类似的u：=u（0）+（t-t） U（1）+（t-t） u）（3.7）在方程式（3.3）和清除分数的左侧，O（1）的项消失，而组成系数的项- t为严格正（分别为严格负）。我们现在观察到以下不等式成立：Uxx | Ut+H（U）|≤ c（T- t） h（x），（3.8），其中▄h（x）=x-4在假设2.2的情况1下，h（x）=（x1-α+x1-β） （十）-2.-2α+x-2.-2β）在假设2.2的情况2下。我们使用假设2.2来验证（3.8），我们注意到（3.8）支持U而不是U。还要注意CX-2.≤ Uxx≤ cx公司-在情况1和C（x）中，2<0-1.-α+x-1.-β）≤ Uxx≤ c（x-1.-α+x-1.-β） <0在假设2.2的情况2中，对于某些c<0。