杠杆ETF预期效用的长期增长率：鞅

如果公式[（φ-1f）（Gt）]收敛到一个非零常数，如t→ ∞, 然后是极限→∞tlog EP[e-Rtk（Gs）dsf（Gt）]=-λ保持不变。3个单变量过程我们现在演示了martinga-le提取技术如何应用于分析LETF预期效用的增长率。在本节中，参考资产Xt是一个一维马尔可夫微分过程，其满足DXTXT=u（Xt）dt+σ（Xt）dBt，X=1，（3.1），其中B是主观测度P下的一维标准布朗运动。系数u和σ是连续可微分的函数，因此SDE（3.1）具有天文解。在本节中，短期利率是一个常数r>0。根据（2.3），持有LETF的预期效用由EP【Lαt】=EP【Xαβte】给出-αβ（β-1） Rtσ（Xu）du]erα（1-β） t.为了利用鞅提取方法，我们可以在第2.2节中查看XTA扮演的ProcessGT角色。将L定义为具有杀灭率的XT的微型发生器-αβ（β-1） σ（·）。因此，我们有φ（x）=xσ（x）φ′（x）+xu（x）φ′（x）-αβ（β- 1） σ（x）φ（x）。我们方法中的一个关键步骤是尽可能明确地找到Lφ=-λφ带正φ。值得注意的是，只要β（β- （1）≥ 0（见（Pinsky，1995，定理3.3））。这一条件适用于所有出租金融公司，因为其杠杆率满足β/∈ [0，1]。假设存在允许e的鞅提取的特征对（λ，φ）-αβ（β-1） Rtσ（Xs）ds，预期效用可表示为asEP【Lαt】=EQ【Xαβtφ-1（Xt）]e（rα（1-β）-λ） tφ（1），（3.2），其中Q是相应的变换测度。

自EQ[Xαβtφ-1（Xt）]仅取决于时间t的值Xtat，而不是其整个路径，这显著简化了EP【Lαt】的分析，如我们在以下模型中所示。应用命题2.1，我们得到了在这个单变量框架下持有LETF的预期效用的长期增长率。没错，我们有限制→∞tlog EP【Lαt】=极限→∞tlog EQ[Xαβtφ-1（Xt）]+rα（1- β）- λ，（3.3）和if EQ[Xαβtφ-1（Xt）]收敛到一个非零常数，如t→ ∞, 则（3.3）中的限值会降低tolimt→∞tlog EP【Lαt】=rα（1- β）- λ。特别是，我们通过设置α=1对应于零风险规避，恢复了LETF预期收益的长期增长率。此外，特征值在长期增长率e中起着至关重要的作用，第一个特征值明确取决于利率r、风险规避参数α和杠杆率rat ioβ。值得注意的是，特征值λ还取决于α、β、u（·）和σ（·），而不是r.3.1 GBM模型作为热身练习，我们在几何布朗运动（GBM）模型中给出了预期效用的长期增长率dxt=uXtdt+σXtdBt，t≥ 0，σ6=0。相应发电机isLφ（x）=σxφ′（x）+uxφ′（x）-αβ（β- 1） σφ（x）。为了应用鞅提取，我们找到相应的特征对（λ，φ（x））=（-αβu+α（1- α） βσ，xαβ）。我们得到了预期效用EP【Lαt】=等式【1】e（αβu-α（β-1） r-α（1-α） βσ）t=e（αβu-α（β-1） r-α（1-α） βσ）t。这意味着极限→∞tlog EP【Lαt】=α（1- β） r+αβu- α（β- 1） r-α（1- α） βσ。（3.4）右侧由两部分组成：系数α（1- β） r和负特征值-λ。此外，长期增长率在β中是二次的。

利用这一结果，我们将方程（3.4）中的长期增长率最大化于β∈ R以获得最佳杠杆率β*=u- r（1- α） σ。正如我们所看到的，最佳杠杆率与财富无关，与利润率成正比，但与相对风险规避系数成反比 = 1.- α。投资者应选择正（负）β*当且仅当u>r（分别为u<r）。它对经典的默顿投资组合优化问题中的最优策略进行了描述。3.2 GARCH模型在本节中，我们考虑参考价格过程XT的正均值回复模型。具体而言，它满足连续时间GARCH扩散模型（见Lewis（2000））：dXt=（θ- aXt）dt+σXtdBt，（3.5），其中a，θ，σ>0。GARCH扩散模型有时被称为非均匀几何布朗运动（参见Zhao（2009））。相应的发电机isLφ（x）=σxφ′（x）+（θ- ax）φ′（x）-αβ（β- 1） σφ（x）。为了应用鞅提取，我们解决了特征对问题Lφ=-λφ以获得IGENPAIR（λ，φ（x））=αβ（β- 1） σ，1.由于本征函数φ（x）=1只是一个常数，因此变换后的测度Q与原始测度P一致（参见（2.13）-（2.14））。根据（3.2），预期效用isEP【Lαt】=等式【Xαβt】e（rα（1-β）-αβ（β-1） σ）t.（3.6）为了评估（3.6），我们首先推断限制→∞公式[Xαβt]=（正常数）如果- αβ+2aσ+1>0，等式[Xαβt]=∞ 否则（3.7）证明如下。过程Yt：=2θσx收敛到参数γ=2aσ+1的γ随机变量，即Yt的密度函数p（y；t）收敛到top（y；∞) :=Γ（γ）yγ-1e级-yas t公司→ ∞ （赵（200 9）定理2.5）。通过考虑密度函数p（y；t）和极限密度函数p（y；∞) 在上面p（y，t）在y=0和y=∞ 具体如下。对于固定t和任何大于0的小值，y2aσ。p（y；t）。

y2aσ-as y→ 0p（y；t）。e类(-1+）是→ ∞.这里，对于两个正函数p（y）和q（y），我们用byp（y）表示。q（y）如果存在一个正常数c，使得p（x）≤ c·q（x）。密度函数p（y；t）参考Linetsky（2004）第6.5.4节。如果-αβ+2aσ+1>0，则等于[Xαβt]=2θσαβ等式-αβt]=2θσαβZ∞y-αβp（y；t）dy→2θσαβΓ（γ）Z∞y-αβ+2aσe-ydy，作为t→ ∞,（3.8）这是有限的。否则，等式[Xαβt]=2θσαβ等式-αβt]=2θσαβZ∞y-αβp（y；t）dy=∞自y2aσ起。p（y；t）接近y=0。总之，我们得到了以下长期增长率。提案3.1。让Ltbe作为LETF的参考价格满足GARCH模型（3.5）。那么，limt→∞tlog EP【Lαt】=rα（1- β）-αβ（β- 1） σif2aσ+1>αβ，∞ 否则（3.9）这一结果意味着两种不同的情况。当n2aσ+1>αβ时，增长率存在一个有限的长期极限。有趣的是，长项极限在α中是线性的，在σ中是递减的，但不依赖于θ。当n2aσ+1时≤ αβ，长期限值非常大。当α=1时，该限制也适用，在这种情况下，条件β<2aσ+1代表杠杆率的上限，以获得有限的长期收益增长率。通过命题3.1和直接计算，我们最大化∧（β）：=rα（1- β）-αβ（β- 1） 最佳杠杆率β中σ与obta的比值*对于长期投资者β*=-rσ。令人惊讶的是，与G BM模型相比，GARCHmodel模型下的最优杠杆率与α无关，这意味着在该模型下，具有不同风险厌恶系数（包括零风险厌恶）的投资者将具有相同的最优杠杆率β*. 实际上，β*仅取决于利率r和流动性参数σ。也可以将GARCH模型简化为GBM模型θ→ 0；然而，不仅最优增长率，而且最优杠杆率β*不收敛于几何布朗运动的θ→ 0

这是因为GARCH模型的路径行为和其他定性特征与GBM模型显著不同。3.3反向GARCH模型作为GARCH模型的替代方案，假设参考价格XT遵循反向GARCH扩散模型，该模型也称为Pearl Verhulst logistic过程inTuckwell（1974）：dXt=（θ- aXt）Xtdt+σXtdBt，（3.10），其中a，σ>0，θ>σ。GARCH模型和逆GARCH模型都是正均值回复模型。进程XT被称为逆GARCH模型，因为它的逆进程YT：=1/XT遵循GARCH模型：dYt=（a-（θ-σ） Yt）dt- σYtdBt。XtisLφ（x）=σxφ′（x）+（θ）的最小生成元- ax）xφ′（x）-αβ（β- 1） σφ（x）。通过直接替换，我们验证了（λ，φ（x））=αβ（β- 1） σ，1是Lφ=-λφ。由于本征函数φ（x）=1是一个常数，相应的变换测度Q与原始测度P相同（见（2.13）-（2.14））。根据（3.2），预期效用isEP【Lαt】=等式【Xαβt】e（rα（1-β）-αβ（β-1） σ）t。由于Yt=1/x是GARCH模型，我们从（3.7）观察到限制→∞等式[Xαβt]=极限→∞等式[Y-αβt】=（正常数）如果αβ+2θσ>1，等式[Xαβt]=∞ 否则这导致长期限制总结如下。提案3.2。设LTF为参考价格XT遵循逆GARCHmodel（3.10）的LETF。

那么，limt→∞tlog EP【Lαt】=rα（1- β）-αβ（β- 1） σ如果αβ+2θσ>1，∞ 否则（3.11）因此，预期效用的长期增长率可以是有限的，也可以是有限的，取决于杠杆率β、风险规避参数α和模型参数（θ、σ），而不是a。有趣的是，（3.9）和（3.11）中分别对GARCH和逆GARCH模型的限值是相同的，除了限值的确定条件。通过直接计算，长期投资者的最佳杠杆率为β*=-长期增长率确定时的rσ。而β*不明确依赖于α，但α在确定最终/最终增长率情景中发挥作用。作为→ 0时，逆GARCHmodel简化为GBM模型。然而，最佳增长率和最佳杠杆率*, 独立于a，不要将e转换为G BM模型中的a→ 0.在第3.2.3.4节“扩展CIR模型”中的GARCH模型案例中观察到了相同的现象。我们现在转向Cox等人（1985）提出的扩展Cox-Ingersoll-Ross（CIR）模型：dXt=（θ+uXt）dt+σpXtdBt，（3.12），参数u、σ>0和θ≥ σ。这一过程是一个瞬态过程，发散到初始值u>0。相应的微型生成器由φ（x）=σxφ′（x）+（θ+ux）φ′（x）给出-αβ（β- 1） σxφ（x）。设置κ：=s-θσ+ αβ（β- （1）+-θσ。如果β/∈ [0，1]，这对所有LETFs都适用。可通过直接替换（λ，φ（x））：=uκ+2θuσ，e-2uxσxκ是符合方程式（2.9）的L的容许特征对。在关于该特征对的变换后的measureQ下，过程XtfollowsdXt=（θ+κσ- uXt）dt+σpXtdWt，（3.13），其中wt是Q-布朗运动。

我们注意到，这是一个标准的均值回复循环过程，Feller条件满足，因此0是一个无法达到的边界。预期效用由EP【Lαt】=等式【Xαβ】给出-κte2uσXt]e（rα（1-β）-uκ-2θuσ）t-2uσ。（3.14）对于（3.14）中的RHS，我们获得了长期限值（见附录A）：limt→∞tlog等式[Xαβ-κte2uσXt]=αβ+2θσ+κu如果αβ+2θσ+κ>0，∞ 如果αβ+2θσ+κ≤ 0。（3.15）反过来，我们得到了预期效用的长期增长率。提案3.3。假设参考价格过程满足扩展的CIR模型（3.12）。那么，我们有限制→∞tlog EP【Lαt】=αr+αβ（u-r） 如果αβ+2θσ+κ>0，∞ 如果αβ+2θσ+κ≤ 0。这一结果有许多影响。首先，长期增长率取决于平均收益率β和超额收益率（u-r） ，且在α中呈线性，但它不明确地依赖于模型参数θ和σ，除非在分离两种情况的条件下。在αβ+2θσ+κ>0的场景中，将极限表示为β的函数：∧（β）：=αr+αβ（u- r） 。当β=0时，长期增长率∧（0）=αr。这是因为由此产生的“杠杆化”ETF投资组合只是在rate r下确定性增长，而效用是eαrtat时间t≥ 其次，函数∧（β）揭示了最佳选择β*对于不稳定的投资者。在u>r的牛市中，优先选择更高的杠杆率，但在实践中，可用杠杆率上限为+3。相反，在u<r的熊市中，负杠杆率越高越好，而实际上，LETF中最负的杠杆率是-3.3.5 3/2模型我们现在考虑3/2模型的参考价格XT，形式为：dXt=（θ- aXt）Xtdt+σX3/2tdBt，（3.16），a，θ，σ>0。

这是一个正均值回复模型，已被用于建模利率和波动率（见Ahn a and Gao（1999），Carr和Sun（2007）），因此该模型适用于具有均值回复参考价格的固定收益和波动率LETF。对应于（3.16）isLφ（x）=σxφ′（x）+（θ）的微型生成器- ax）xφ′（x）-αβ（β- 1） σxφ（x）。表示κ：=s+aσ+ αβ（β- （1）-+aσ,我们发现（λ，φ（x））：=θκ，x-κ是L的容许特征对。在变换测度Q下，参考价格XtfollowsdXt=（θ- （a+σκ）Xt）Xtdt+σX3/2tdWt，其中dWt=dBt+σκX1/2tdt是Q下的布朗运动。请注意，xtsaties是Q下的参数化3/2模型。持有LETF的预期效用可以在转换度量Q下表示为ep[Lαt]=EQ[Xαβ+κt]e（rα（1-β）-θκ）t限制→∞等式[Xαβ+κt]=（正常数）if2aσ+κ-αβ+2>0，等式[Xαβ+κt]=∞ 否则证明如下。定义Yt：=1/Xt。那么Ytis是一个CIR过程，其中dyt=（a+σ（κ+1）- θYt）dt- σpYtdWt。通过考虑CIR过程的密度函数（如方程（A.1）所示），我们获得了期望的结果。总之，我们得出以下长期增长率。提案3.4。设LTF为β-LETF，其参考价格满足3/2模型（3.16）。那么，我们有限制→∞tlog EP【Lαt】=rα（1-β）-θκif2aσ+κ- αβ+2>0，∞ 否则一般来说，2aσ+κ的符号-αβ+2取决于模型参数（θ、a、σ）、风险规避系数α和杠杆率β。然而，我们发现β≤ 3，持有市场交易的LETF，条件2aσ+κ-满足αβ+2>0。接下来，我们研究最佳杠杆率β*对于静态投资者（见（1.2））。在2aσ+κ的场景中-αβ+2>0，我们定义∧（β）：=rα（1- β）- θκ。接下来，我们确定∧的临界点。

差异产生∧′（β）=-rα-θα（2β- 1） q+aσ+ αβ（β- 1） 。当α≥θr，方程∧′（β）=0没有解，且∧′（β）<0表示所有β。因此，∧（β）是β的递减函数。实际上，β*= -3是最佳策略。另一方面，当α<θr时，通过考虑方程∧′（β）=0，我们得出结论∧（β）的最大值在β处达到*=-武特1+2aσ- αθr- α。注意，平方根内的数字是正的，因为α≤ 1<（1+2aσ-2） 。此外，最优值满足β*= 0当且仅当1+2aσ=θr.4随机波动率模型在本节中，我们分析了随机波动率模型下LETF的鞅提取方法。设Bt为P下的标准布朗运动。参考价格通过一个常数μ、一个d维列向量σ（·）和一个马尔可夫扩散过程y作为随机波动性的驱动因素来满足SdedxTt=udt+σ（Yt）·Db。在本节中，利息率为常数>0。如第2节所述，确定一个新的衡量标准比亚迪PdPFt=eαβRtσ（Ys）dBs-αβRt |σ|（Ys）ds。然后，由^Bt定义的过程：=-αβZtσ（Ys）ds+bt是^P下的标准布朗运动。从方程（2.8）可以看出，ep[Lαt]=E^P[E-α（1-α） βRt |σ|（Ys）ds]eα（r+β（u-r） ）t.继（2.12）之后，在第2.2节中，随机波动率驱动因素Y发挥了GT的作用，其主要思想是应用e-α（1-α） βRt |σ|（Ys）dsand显式计算期望效用。4.1赫斯顿模型我们现在举一个例子，其中参考价格遵循赫斯顿模型（见赫斯顿（1993）），dXt=uXtdt+√vtXtdBt，dvt=（θ- avt）dt+δ√vtdZt，（4.1），其中bt和zt是两个相关的布朗运动，hZ，W it=ρt和相关参数ρ∈ [-1，1]。

该模型假设tu、θ、a、δ>0和2θ>δ。通过第2节中的（2.6）-（2.7）定义度量值^P，以便^Bt定义的过程=-αβZt√vsds+dBtis是一个^P-布朗运动。通过（2.8），我们表示了测度^P asEP[Lαt]=E^P[E]下的预期效用-α（1-α） βRtvsds]eα（r+β（u-r） 随机波动过程vt是一个重新参数化的CIR过程vt=（θ- （a）- αβδρ）vt）dt+δ√vtd^Zt，其中^Zt是^P下的另一个布朗运动。我们现在研究e的鞅提取-α（1-α） βRTVSD。为此，我们认为随机波动率过程VTA扮演着第2.2节中讨论的过程GT的角色。VT的微型发生器L可杀死大鼠eα（1- α） βvtisLφ（v）=δvφ′（v）+（θ- （a）- αβδρ）v）φ′（v）-α（1- α） βvφ（v）。通过直接计算，我们得到了L的容许特征对，由（λ，φ（v））给出=θκ，e-κv,式中，κ：=δ（p（a- αβδρ）+α（1- α） βδ- a+αβΔρ）。设Q是关于这对（λ，φ（v））的变换测度。然后，过程VT满足其他重新参数化的CIR模型DVT=（θ-p（a- αβδρ）+α（1- α） βδvt）dt+δ√vtdWt，其中wt是Q-布朗运动。预期效用可以写成asEP[Lαt]=E^P[E-α（1-α） βRtvsds]eα（r+β（u-r） ）t=EQ[eκvt]e（αr+αβ（u-r）-θκ）t-κv.注意，t EQ[eκrt]收敛到一个非零常数，即t→ ∞. 关于这个鞅抽取的更多细节，请参阅附录A。提案4.1。设Ltbe为参考价格满足赫斯顿模型（4.1）的出租金融机构。那么，我们有限制→∞tlog EP【Lαt】=αr+αβ（u- r）- θκ=αr+αβ（u- r）-θδ（p（a- αβδρ）+α（1- α） βδ- a+αβΔρ）。（4.2）我们现在确定最佳杠杆率β*对于规避风险的静态投资者。为了理解（4.2）中长期极限对β的依赖性，我们定义了函数∧（β）：=αδ（u- r） θ- αδρβ-p（a- αβδρ）+α（1- α） βδ。LetC=α（1- α） δ+αδρ，C=-aαδρ，C=a，D=αδ（u- r） θ- αδρ。