杠杆ETF预期效用的长期增长率：鞅

（4.3）然后，我们重写∧（β），以强调对β的依赖，即∧（β）=Dβ-pCβ+2Cβ+C。依次，我们得到导数：∧′（β）=D-Cβ+CpCβ+2Cβ+C，∧′（β）=C- CC（Cβ+2Cβ+C）3/2。自C起- CC<0，我们知道∧（β）是β的严格凹函数。（i） 如果C>D，则∧′（β）=0有一个唯一的解，该解提供了最佳杠杆率β*= -CC+| D | CsCC- 抄送- D、 （ii）如果C≤ D、 那么∧′（β）=0没有解。此外，如果D>0，则∧′（β）对所有β都是正的，因此∧（β）是一个增函数。最佳β*= 3（或最大可用杠杆率）。如果D<0，则∧′（β）对所有β均为负，因此∧（β）是递减函数，最好是最负的杠杆率。实际上，投资者会选择β*= -这是直观的，因为D<0意味着tu<r（见（4.3））。图1描述了命题4.1中作为β函数的长期增长率。参数为：α=0.5，r=0.01，θ=0.16，δ=0.89，a=3。1，ρ=-0.5，以及u∈ {0.05，0.01，-0.05}。正如我们所见，当超额收益（u- r） 则最佳杠杆率为正（β*= u时为1.93- r=0.04）。相反，当参考价格XT呈下降趋势时（u=-0.05），则投资者选择短期LETF（即β=-1.95）。β-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5长期增长率-0.3-0.25-0.2-0.15-0.1-0.0500.05u=0.05u=0.01u=-0.05图1：赫斯顿模型下预期效用的长期增长率作为杠杆率β的函数。

在漂移u的三个不同值下∈ {0.05，0.01，-0.05}，最佳β*最大化增长率为{1.93，0，-分别为1.95}。4.2 3/2波动率模型根据Carr和Sun（2007）提出的3/2波动率模型，参考价格XtfollowsdXt=uXtdt+√vtXtdBt，dvt=（θ- avt）vtdt+δv3/2tdZt，（4.4），其中bt和zt是两个具有瞬时相关ρ的标准布朗运动∈[-1，1]。如第2节所述，我们定义了测度^P，以便过程^Bt=-αβZt√vsds+DBT是^P下的标准布朗运动。由于（2.8），预期效用允许表达式P[Lαt]=E^P[E-α（1-α） βRtvsds]eα（r+β（u-r） 随机波动过程vt遵循重新参数化的3/2模型vt=（θ- （a）- αβδρ）vt）vtdt+δv3/2td^zt，其中^zt是一个^P-布朗运动。在第2.2节中，我们通过将随机波动过程VTA视为过程GT来应用鞅提取方法。具有killingrateα（1）的扩散VT的微型发生器L- α） βvtisLφ（v）=δvφ′（v）+（θ- （a）- αβδρ）v）vφ′（v）-α（1- α） βvφ（v）。可以看出（λ，φ（v））：=θκ，v-κ是L的容许特征对，其中κ：=δ（p（a- αβδρ+δ/2）+α（1- α） βδ- （a）- αβδρ+δ/2））。设Q为相应的变换测度。过程vtsatiesdvt=（θ- （p（a- αβδρ+δ/2）+α（1- α） βδ- δ/2）vt）vtdt+δv3/2tdWt，其中wt是Q-布朗运动。因此，我们表示预期效用a sEP[Lαt]=E^P[E-α（1-α） βRtvsds]eα（r+β（u-r） ）t=EQ[vκt]e（αr+αβ（u-r）-θκ）tv-κ。通过考虑CIRprocess 1/vt的密度，我们证明了EQ[vκt]收敛到一个正常数，给定δ（p（a- αβδρ+δ/2）+α（1- α） βδ+（a- αβδρ+δ/2））+1>0。否则，我们有EQ[vκt]=∞. 总之，我们有以下主张。提案4.2。设LTF为参考过程XT满足3/2模型（4.4）的LETF。

那么，我们有限制→∞tlog EP【Lαt】=αr+αβ（u- r）- θκ，（4.5）如果δ（p（a- αβδρ+δ/2）+α（1- α） βδ+（a- αβδρ+δ/2））+1>0。否则，我们就要→∞tlog EP【Lαt】=∞ .明确的长期限制使我们能够方便地确定最佳杠杆率β*对于风险厌恶型静态投资者。为此，我们从（4.5）∧（β）中定义以下函数：=（（u-r） δ/θ- ρ） αδβ-p（a- αβδρ+δ/2）+α（1- α） βδ。我们定义了康斯坦茨=α（1- α） δ+αδρ，C=-αδρ（a+δ/2），C=（a+δ/2），D=（（u- r） δ/θ- ρ） αδ，为了突出其对β的依赖性，我们将∧（β）重写为∧（β）=Dβ-pCβ+2Cβ+C。给定∧的相同结构，最佳β*可以用与第4.1节完全相同的方法导出。总之，如果C>D，则最佳β*isβ*= -CC+| D | CsCC- 抄送- D、 如果是C≤ D、 然后，最佳选择可能的最正（或最负）βifD>0（或D<0）。5 LETF具有随机参考和利率在本节中，我们分析了当参考价格XT和短期利率RTA都稳定时，持有anLETF的预期效用的长期增长率。5.1 Vasicek利率我们首先考虑Vasicek（1977）引入的Vasicek利率模型。参考价格过程Xt和短期利率Rt满足SDEsdXt=uXtdt+σXtdBt，（5.1）drt=（θ- art）dt+δdZt，（5.2）对于u，σ，θ，a，δ>0，其中bt和zt是两个布朗运动，使得hZ，W it=ρt-1.≤ ρ≤ 1、如第2节所述，确定^Bt，然后由^Bt给出的过程：=-αβσt+Btis是一个^P-布朗运动。从方程式（2.8）可以看出，EP【Lαt】=E^P【E-α（β-1） RTRSD]eαβut-α（1-α） βσt.rtisdrt的^P动力学=（θ+αβΔσρ）- art）dt+δd^Zt和a^P-Brownian^Zt。现在我们研究e的鞅提取-α（β-1） 第2.2节中，RTRSDS的过程rtplaying therole of GT。考虑与killingrateα（β）的扩散的微型发生器L-1） rt。

我们知道，发电机L isLφ（r）=Δφ′（r）+（θ+αβΔσρ- ar）φ′（r）- α（β-1） rφ（r）。可以看出（λ，φ（r））：=2aα（1- β）(-αδ（1- β） +2a（θ+αβΔσρ）），e-α（1-β） ra公司是L的容许特征对。过程rtsatis fiesdrt=（θ+αβΔσρ- αδ（1- β） /a- art）dt+δdWt，其中wt是对应变换测度Q下的布朗运动。它遵循ep[Lαt]=E^P[E-α（β-1） RTRSD]eαβut-α（1-α） βσt=等式[eκrt]e（αβu-α（1-α） βσ+2aαδ（1-β）-aα（1-β） （θ+αβΔσρ））t-κrand我们知道EQ[eκrt]收敛到一个正常数，因为rtis a gain an OU processunder Q。总之，我们有以下命题。提案5.1。假设参考p ri ce进程xt和间隔速率rts分别满足（5.1）和（5.2）。那么，我们有限制→∞tlog EP【Lαt】=αβu-α（1-α） βσ+2aαδ（1-β）-aα（1-β） （θ+αβΔσρ）。（5.3）我们现在发现最佳杠杆率β*对于一个静态投资者来说。为了检验极限（5.3）对β的依赖性，我们定义∧（β）=Cβ+Cβ，常数=-α（1- α） σ+αδ2a+αδσρa，C=αu-αδa+αθa-αΔσρa。注t∧（β）是一个二次函数。如果C<0，则β*= -C2Cis最佳。如果C>0，则当2C>0（C2C<0）时，更积极（或更消极）的β总是更有利。在C=0的特殊情况下，当C>0（相应C<0）时，首选更积极（相对负）的杠杆ETF。在图2中，我们将不同u值的长期增长率（5.3）显示为β的函数。参数为：α=0.8，r=0.01，θ=0.16，δ=0。89，a=3，σ=0.3，ρ=-0.5。我们可以看到，正（负）杠杆率β*是牛市（尤其是熊市）中u=0.05（尤其是u=-0.05）。具有β的正杠杆ETF*= 即使参考资产没有超额回报（即u- r=0）。

这与图1所示的赫斯顿模型和GBM模型形成了有趣的对比，其中最佳杠杆率β*= 0当u=r.5.2逆GARCH利率时，随机空头利率的另一个模型是逆GARCH扩散模型，第3.3节讨论了该模型。假设参考价格XT和短期利率RTS满足SDEsdXt=uXtdt+σXtdBt，drt=（θ- art）rtdt+δrtdZt，（5.4）β-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5长期增长率-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.1u=0.05u=0.01u=-0.05图2：GBM模型下预期效用的长期增长率，Vasicekinterest rate对应于u的三个值∈ {0.05，0.01，-0.05}。最佳杠杆β*（这些曲线的最大值）为{3.65，1.52，-分别为1.68}。式中，Bt和Zt是两个布朗运动，例如That hZ，W it=ρt-1.≤ ρ≤ 1、假设tu，a，δ>0，θ>δ。按照第2节中的程序，我们定义了测度^P，并在该测度下表示预期效用ep【Lαt】=E^P【E-α（β-1） RTRSD]eαβut-α（1-α） βσt。随机利率按照t=（θ+αβΔσρ）演化- art）rtdt+δrtd^Zt，其中^Zt是一个^P-布朗运动。现在我们给出e的鞅抽取-α（β-1） RTRSD。rtisLφ（r）=δrφ′（r）+（θ+αβδσρ- ar）rφ′（r）- α（β- 1） rφ（r）。可以验证（λ，φ（r））=-2aαδ（β- 1） （αβ-α+a）+aα（β- 1） （θ+αβΔσρ），rα（1-β） /a是θ+αβΔσρ提供的L的容许特征对- αδ（β- 1） /a>δ，这解释了我们对参数的条件。更改转换后的度量值Q后，rtsatis fiesdrt=（θ+αβΔσρ- αδ（β-1） /a- art）rtdt+δrtdWt，其中wt是Q下的布朗运动。通过期望性连接度量，我们写出了[Lαt]=E^P[E-α（β-1） RTRSD]eαβut-α（1-α） βσt=等式[r-α（1-β） /at]e（αβu-α（1-α） βσ+2aαδ（β-1） （αβ-α+a）-aα（β-1） （θ+αβΔσρ））trα（1-β） /a。

（5.5）检查最后一行（5.5），我们指出限制→∞等式[r-α（1-β） /at]=（正常数）如果α（1- β） /a+δ（θ+αβδσρ）- 1>0，等式[r-α（1-β） /在]=∞ 否则（5.6）关于（5.5）中的等式和（5.6）中的两个等式，我们参考附录B。提案5.2。考虑参考价格XT和满足方程式（5.4）的短期利率RTF。如果α（1-β） /a+δ（θ+αβδσρ）- 1>0，然后限制→∞tlog EP【Lαt】=αβu-α（1-α） βσ+2aαδ（1-β）-aα（1-β） （θ+αβΔσρ）。（5.7）否则，我们必须→∞tlog EP【Lαt】=∞.利用这一结果，我们可以找到最佳杠杆率β*对于长期投资者，通过将极限（5.7）分析为β的函数，即∧（β）：=αβu-α（1- α） βσ+2aαδ（1- β）-aα（1- β） （θ+αβΔσρ）。函数∧（β）是由α（1）提供的二次函数-β） /a+δ（θ+αβδσρ）-|β|上的1>0≤ 确定∧（β）最大值的程序与第5.1节中所述的程序相同，因此省略。6二次模型在本节中，我们考虑由Xt=e | Yt |给出的二次模型，其中Ytis a d-维奥尔斯坦-乌伦贝克（OU）过程dyt=（b+BYt）dt+σdBt，Y=0d。（6.1）这里，b是d维列向量，b是d×d矩阵，σ是非奇异d×d矩阵，因此a=σ是严格的正定义。我们参考Ahn等人（2002）和Qin and Linetsky（2015）了解关于该二次模型的更多详细信息。利率r假定为正常数。在qadratic模型下，LETF价格可以表示为lt=Xtβe-r（β-1） t型-2β（β-1） RtY公司附录C中推导出的uaYudu。根据方程式（2.8），预期效用由EP【Lαt】=EP【e】给出-2αβ（β-1） RtY公司uaYuduXαβt]e（rα（1-β） ）t=EP[e-2αβ（β-1） RtY公司uaYudueαβ| Yt |]e（rα（1-β） ）t。我们现在应用第2.2节中开发的鞅提取方法。

与Ytin（6.1）相对应的最小发电机L isLφ（y）=φ（y）（b+By）+Xi，j（Hφ（y））ijaij- 2αβ（β- 1） y型ayφ（y），其中φ（y）是广义行向量，Hφ（y）是Hessian矩阵。我们可以通过以下方式找到L的容许特征对。设V为稳定解（即V对称，B-2aV是非奇异的，B的特征值-2aV具有负实部）2aV aV- B五、- V B- 2αβ（β- 1） a=0，（6.2），并通过u=2（2a）定义向量u- 五、-1B级)-1b。（6.3）在这种情况下，我们得到L的容许特征对，由（λ，φ（y））=(-uau+tr（aV）+ub、e-uy-yV y）。这就导致了马丁尼麦酒提取E-2αβ（β-1） RtY公司uaYudu。有关此特征对的更多详细信息，请参阅Qin和Linetsky（2015）中的第6.2.2节。用Q表示相对于（λ，φ）的变换度量（见（2.11））。在量度Q下，Xtevolves根据xT=（b-au+（B- 2aV）Xt）dt+σdWt，（6.4），其中wt是Q下的布朗运动。保持LETF的预期效用可以表示为p[Lαt]=EP[e-2αβ（β-1） RtY公司uaYudueαβ| Yt |]e（rα（1-β） ）t=EQ[欧盟Yt+YtV Yt+αβ| Yt |]e（rα（1-β） +u澳大利亚-tr（aV）-ub） t.对于任何固定的t，Ytis是一个多元正态随机变量。因此，我们明确计算Yt+YtV Yt+αβ| Yt |]=p（2π）ddet∑tZRdeuy+yV y+αβ| y|-（y）-uT）∑-1吨（y-ut）dy，其中utand∑分别是y在Q下的平均向量和协方差矩阵。在Q下，方程（6.4）漂移项中的Ytin系数为B- 2aV，所有whoseeingvalue都有负实部。因此，Ytis的分布收敛于不变量分布，这是一个非退化的多元正态随机变量。Let∑∞贝思不变分布的协方差矩阵。设C：=V+αβId-∑∞, 这是不对称矩阵。右边积分的收敛和发散取决于C的特征值。

我们总结如下：限制→∞EQ[欧盟Yt+YtV Yt+αβ| Yt |]=（正常数）如果C的所有特征值都为负，则等式[euYt+YtV Yt+αβ| Yt |]=∞ 否则提案6.1。设V为方程（6.2）的稳定解，u由方程（6.3）定义。然后，长期增长率由IMT给出→∞tlog EP【Lαt】=rα（1- β） +u澳大利亚- tr（aV）- ub如果C的所有特征值都为负，∞ 否则7结论在我们对LETF预期效用的长期增长率的研究中，我们提出了鞅提取方法，并将路径相关的期望转化为路径无关的期望，这更便于分析并得出明确的解决方案。在确定预期效用（或预期收益）的长期增长率时，我们还说明并解决了嵌入特征对（特征值和特征函数）问题。在本文研究的每一个单因素和多因素模型中，我们推导出了特征对以及增长率的极限。使用长期生长大鼠e的公式，我们还确定了最佳ima平均比率，并检查了各种模型参数的影响。这些结果不仅对个人或机构投资者有用，也对ETF提供商和监管机构有用，因为他们有权了解市场上交易的任何LETF的长期表现。未来的研究方向有很多。一个方向是调查LETF期权的长期价格行为（参见Leung和Sircar（2015）；Leung等人（2016年））。关于期权长期价格行为的最新研究可在Park（2016）中找到。

鉴于本文所研究的鞅提取方法对于比例不变的LETF非常有效，一个有趣且实用的扩展是将其应用于其他动态端口组合策略。A扩展CIR模型我们在扩展CIR模型下评估（3.15）中规定的限值。我们回顾了Xtin（3.13）的量子动力学：dXt=(l - uXt）dt+σpXtdWt，带l := θ+κσ。提案A.1。对于p∈ R、 we Havelimt公司→∞tlog EQ【Xpte2uσXt】=p+2lσu如果p+2lσ> 0，∞ 如果p+2lσ≤ 0。在证明这一主张之前，我们定义了以下定义。符号设p（x）和q（x）是x的两个正函数。用p（x）表示 x=xif limx时的q（x）→xp（x）/q（x）存在并且是非零常数。我们将其表示为byp。qif存在一个正常数c，使得p（x）≤ c·q（x）。证据已知在固定时间t的x的密度函数g（x；t）beg（x；t）=hte-u-vvu公司q/2Iq（2√uv），（A.1），其中IQ是第一类q阶的修正贝塞尔函数，HT=2uσ（1- e-ut），q=2lσ- 1，u=hte-ut，v=htX。稍微重写后，我们发现（x；t）=kthte-htxxq/2Iq（2hte-ut/2√x） 。这里，kt=e-hte公司-uteuqt/2。数量限制→∞特洛格斯∞xpe2uσxg（x；t）d xis是我们感兴趣的。经检查，我们获得∞xp+qe-ptxdx。Z∞xpe2μσxg（x；t）d x。Z∞xp+qe-ptxe2hte-ut/2√xdx，（A.2），其中pt=ht-2uσ。以下是zq。智商（z）。zqez。我们现在证明，如果p+q+1>0，那么（A.2的右侧和左侧） e（p+q+1）在。对于（A.2）的右侧，用y=ptx，然后用Z代替∞xp+qe-ptxe2hte-ut/2√xdx=p-p-q-1tZ∞yp+qe-是的-ut/2p-1/2吨√伊迪。当t接近完整时，hte-ut/2p-1/2收敛为常数，因此积分项收敛为正常数。通过直接计算，p-p-q-1吨 e（p+q+1）ut。这意味着（A.2的右侧）） e（p+q+1）ut。假设p+q+1>0，则（A.2）左侧的证明类似。

另一方面，如果p+q+1≤ 0，则（A.2）的左侧为完整。这就完成了证明。B反向GARCH模型参考第5.2节，回顾随机利率的^P动态drt=（θ+αβΔσρ- art）rtdt+δrtd^Zt。我们研究了e^P[e]的长期增长率-α（β-1） RTRSD]。这进而产生（5.5）和（5.6）中的等式。为方便起见，在本附录中，我们将^P→ P，^Zt→ Bt，θ+αβΔσρ→ θ，δ→ σ，α（β- （1）→ c利用这些新参数，我们研究了预期EP[e]的长期增长率-cRtrsds]当过程RTD遵循逆GARCH扩散模型时：drt=（θ- art）rtdt+σrtdBt，r=1，a，σ>0，θ>σ。提案B.1。设κ：=c/a，并假设θ>（κ+1）σ。IMT给出了上述预期的长期增长率→∞tlog EP[e-cRtrsds]=-θκ+σκ（κ+1）。为了证明这个命题，我们将把鞅抽取应用于e-cRtrsds。相应的微型生成器isLφ（x）=σxφ′（x）+（θ- ax）xφ′（x）- cxφ（x）。当k=c/a时，相应的本征对为（λ，φ（x））：=θκ-σκ（κ+1），x-κ是θ>（κ+1）σ时L的容许特征对。设Q为相应的TransforMedMeasure。过程rtfollowsdrt=（θ- κσ- art）rtdt+σrtdWt，其中wt是Q-布朗运动。通过对该特征对的鞅提取，期望值用ep[e]表示-cRtrsds]=等式[rκt]e(-θκ+σκ（κ+1））t→∞等式[rκt]=（正常数）。在Q条件下，过程Yt=2aσrtc收敛到参数γ=2θσ的γr和om变量-2κ-1，即yt的密度函数p（y；t）收敛到p（y；∞) :=Γ（γ）yγ-1e级-yas t公司→ ∞ （参见Zhao（2009）中的定理2.5和第6节。5.4在Linetsky（2004）中，通过方程式（3.8）中的相同公式，我们知道EP【rκt】=σ2aκEP[Yκt]=σ2aκZ∞yκp（y；t）dy→σ2aκΓ（γ）Z∞y2θσ-κ-2e类-伊迪。当θ>（κ+1）σ时。