自组织拥挤行为的同步模型

我们还假设代理人的行为是加性的，= =                                （2）==  +  =  +                （3）=（4）=（5） 无需预先假定A、B和C的具体形式。它们并不总是常数。直观地说，代理的行为对观察具有相同的方向性影响，即A>0。代理通常对外力有积极的聚合反应，即C>0。代理对观察的响应可能不同，其中B可以是正的、0的或负的，这取决于代理在特定时间的聚合行为。例如，群组可能是不均匀的，即DSII响应的不同取决于群组中的位置。S和O是位置和时间的函数。对于不同的代理，BIAN和Ciare是不同的。异质性在理解群组同步时通常很重要。例如，在基于代理的模型中，需要对代理之间的特定联系进行建模，以了解市场压力的传播渠道。一些代理可能会收到E和其他代理的其他信息。异质性和随机性原则上也会阻止同质性和同步性。然而，在现代金融市场中，随着价格观察几乎可以实时提供给每个人，代理人的行动和观察之间的典型反馈回路捕捉到了市场的重要宏观特征。这类似于物理学中的平均场理论或有效介质理论，如居里-维斯磁性理论。宏属性在这些模型中捕获。整个系统可以简化为一个反馈回路。对于一个有组织的团队，通常有领导者和组织规则。A、 B和C是预先确定的（通常自上而下），以协调和实现整个团队的目标。

自组织人群可以通过在不同条件下随时间改变B和C来适应变化。瞬时响应的特例如果群组系统的响应时间为零，即代理可以即时观察自己的动作，我们可以将方程（2）和（3）组合起来，得到=                                 （6） 在正常情况下，反馈系数AB<<1，观察值的变化，dO，Simply与外力dE的增量变化相对应。如果AB接近1，即使施加了很小的外力变化，人群也会做出强烈反应。人群将变得敏感和不稳定。AB=1是奇点。dt延迟响应的一般情况在大多数实际问题中，agent不能即时观察自己的行为，因此集群具有延迟响应。方程式（2）变为，() =  ()                                （7） 等式（3）描述了基于之前在t处接收到的信息，代理在t+dt时的行为。(+ )=  ()+  ()=   ()+  ()                 （8） 因此，t+dt时观测值的变化与t时观测值的变化有关(+ ) =  () +  ()                               （9） 通常AC>0，观察结果对外力作出积极响应。如果B>0且AB>0，则拥挤显示动量行为。只要外力保持在同一方向或与观测值相比较小，观测到的行为将趋向于同一方向。如果B=0，因此AB=0，则没有内源性反应，观察只对外源信号作出反应。如果B<0且AB<0，则人群具有与观察相反的反向行为。当没有外力时，dE（t）=0，(+ ) =  ()                                （10） 在这里，群体行为只是由其内生特性或反馈参数A和B决定的。

如果绝对值| AB |>1，则群组会自行合成并变得不稳定。在离散时间序列中，()= ()() , 价格表现出幂律行为。在每个时间间隔dt，dO被放大AB倍。如果AB>1，dO可以呈指数增长。例如，对于一群牛羚来说，决定跑步速度的是跑步的决定。O是组的平均运行速度。E是捕食者接近的信号。并非所有的角马都能看到狮子，因此它们也会观察其他动物的反应。当他们受到惊吓时，他们都跑了。如果B增加值且AB大于1，没有狮子攻击，整个牛群可以自我刺激，跑得越来越快。对于伦敦千禧桥的摇摆【Strogatz et al 2005】，S是行人的步态计时，它决定了与桥梁摇摆的相位差。O是摆动的幅度和相位。Eis风或其他影响行人的因素。当摇摆足够大时，行人被迫通过与摇摆同步的步伐来平衡自己，这反过来会导致更大的摇摆。当AB大于1时，这种摆动可能是自感的。在社交媒体中，S是人们加入流行行为的决定，它决定了发表意见的数量和偏见。O是观察到的立柱。E是来自社会群体之外的新闻。当你的“朋友”中有足够多的人加入了一场流行运动时，你要么加入他们，要么被排除在外，变得不那么受欢迎。你加入的行动进一步扩大了受欢迎程度。对于金融市场而言，S是决定交易金额的人们的买卖决定。O是价格。E是新闻。当Bi<0时，该玩家为反向投资者。当Bi>0时，该层是动量跟随者。当市场崩溃时，投资者被迫减少损失，因为他们的金融自由受到威胁。

当泡沫不断扩大时，基金经理们被迫接受炒作，否则他们的职业生涯就会面临风险。这个交互模型与物理学中辛模型的哈密顿函数有一些相似之处。原子自旋磁偶极动量晶格的聚合响应（或能量）（可以是向上或向下，+1或-1）由相邻位置的耦合和对外部磁场的响应决定。我们的群组模型描述了价格和外部新闻的交互作用。如果包含随机噪声，则可以使用方程（1）以更一般的形式重写方程（9），(+ )= ()+ ()+                  （11） 式中，ε是所有‘s 是一个可以建模为维纳过程的随机过程，=  +                             （12） 其中u是漂移率参数，Z是标准维纳过程或布朗运动，通常被视为正态分布，σ是时间序列的标准偏差或波动率。方程式（11）变为(+ )= ()+ ()+  +                   （13） O（t+dt）不仅取决于起点O（t），还取决于t之前O（t）的历史。方程（13）将随机定价模型与人群互动模型相结合，其中价格变化取决于之前的变化和外部消息。方程（11）本质上描述了一阶自回归时间序列，其特征是数量行为。这里提出的群组模型也提供了ARCH/GARCH模型中描述的随机波动性的直观解释【Engle 2001】。三、

耦合的两种状态根据前一节中介绍的框架，我们接下来对方程（9）中的耦合系数带C进行建模，其中我们将重点了解B如何随O变化。在此，我们引入了一个重要的假设，即群体中的主体在两种不同的状态（正常状态和反应状态）之间切换。在反应状态下，耦合系数bian和ci增大。总的B和C也增加了。在接下来的讨论中，我们将重点关注生物反馈系数的观测。类似的分析可应用于反应系数Citoexternal forces。两种状态假设很容易理解，因为潜在的驱动因素与生存约束有关。例如，当感知到危险时，动物会切换到反应状态，并为自己的生命而奔跑。在金融市场，当痛苦达到阈值时，投资者放弃理性策略，转而做出反应。例如，当损失超过投资者财富的很大一部分时，尤其是当使用杠杆时，当市场进一步下跌时，投资者将被迫出售。当泡沫扩大时，投资者也将被迫购买以与同行保持联系，以保护他们的工作。这是另一种退出形式，但与同行相比是相对的。每个人都有一定的损失承受能力。进化论选择了具有强烈生存倾向的物种。在正常状态下，代理追求不同的策略和不同的时间范围。例如，在金融市场上，价值投资者的行为就像反向投资者，持有时间比动量交易者更长。各种策略之间的平衡确保了价格稳定。更高的杠杆使耦合响应更强。追加保证金或同侪压力可能会迫使玩家屈服，专注于短期生存。正如卡尼曼（Kahneman，D）[卡尼曼（Kahneman 2013）]的工作中所讨论的那样，双重行为模式有着更深的心理根源。

人们有两种不同的思维方式：慢思维和快思维。在“正常”状态下，人们会花时间应用逻辑思维。在“被动”状态下，人们利用经验快速推断决策。在大脑中，前额叶皮层负责缓慢、复杂和逻辑分析，而边缘系统负责快速、简单和直观的评估和情绪反应。在不同的情况下，大脑的不同部分会做出决定。双态假设也非常类似于物理学中的伊辛模型。图2a说明了当代理接近其疼痛阈值时的动态过程。增加的响应表现为S与O的斜率更大。B不再是常数，它变得非线性，并取决于O的水平和变化。这种增加的反应存在于市场波动的下行和上行。止损水平清除后，反应降低。它在这些磁滞回线中稳定。图2a。如果接近损失阈值，Agent对观察的反应会增加Agent切换状态的确切条件取决于Agent的具体情况。可以通过监控代理人的情绪反应来估计切换的可能性数据可以通过推特、脸书、社交媒体发布和问卷调查等方式收集，[Azar&Lo 2016]。一般来说，一个agent越接近他的痛阈（In O），观察值的变化越大（dO），agent就越有可能切换到反应状态。本文的重点不是研究每个代理切换状态的条件，而是对此类切换的总体影响进行建模。当处于正常状态时，位生成一组较低的值{BL}，表示低耦合。值集{BL}通常在零左右。

当处于反应状态时，Bitakes的{BH}值较高，表示高度耦合，当处于反应状态时，Agent将尝试跟踪环境的变化。值集{BH}始终为正且大于{BL}。处于反应状态NH的试剂数量和处于正常状态NL的试剂数量取决于外力E（t）和观察值O（t）的变化。NH+NL=N。在本文后面的模拟结果中，NH被假定为与dO的大小成简单比例。方程（5）表明，总净反馈参数B是所有个体agent反馈系数Bi的总和。BI有两组值：低耦合{BL}与NLnumber of agents和高耦合{BH}与NHnumber of agents。设BH为所有{BH}的平均值，blbeth为所有{BL}的平均值。因此==+ = () +  = [(1） +1]（14）SOBHNBLB=dS/D反应状态常态方程（14）表明，B是NH/N或处于反应状态的试剂百分比的线性函数。B也与人群的大小N和BH的大小成正比。BH>0。通常BL<<BHand BL≈在恐慌情况下，代理切换到高耦合或反应状态。Reactivestate不一定意味着非理性。这只是快速反应。NH变大了。反过来，人群对短期观察变化更加敏感，形成了一个自我反馈环。总群组耦合系数B可以随时间连续变化，因为它取决于NH。当NH=N且Bmax=NBH时，B的最大值出现。因此，ABmax的最大值=ANBH。当NL=N且Bmin=NBL时，出现最小值B。图2b说明了当NH变化时，B的两种状态和总B的变化。图2b。耦合系数b的两种状态NHand dO（t）或dE（t）之间的精确关系取决于acrowd的具体构造。初始条件也很重要。

NH可以是路径依赖于O（t），并且可以显示滞后行为，如图2a所示。对于每个代理，在正常和反应状态之间切换的条件是不同的，因为每个人的痛阈都不同。监测代理人的状态对于预测市场行为很重要。四、 群组同步在本节中，群组模型用于研究一个重要的现象，即同步。在时间t，群组同步级别可以定义为顺序参数，() =|()||()|（15） BNHNBHNNBLBi={BH}Bi={BL}BReactive state正常状态反应状态中的代理数r 0<=r（t）<=1。如果所有代理都朝同一方向移动，则dsi具有相同的符号，R（t）=1。当外力没有变化，dE（t）=0，并且没有随机噪声时，从方程（1）中可以看出，在该时刻t，该列是同步的，=0(+ ) = ().利用方程（14），我们可以得出() =()()()()（16） 其中Bis是{BL}的所有绝对值的平均值。图3a显示了顺序参数R和处于反应状态的代理百分比之间的关系，.图3a。随着越来越多的代理切换到反应状态，同步级别会增加。这与Vicsek模型中噪声设置为零时的结果基本相同【Vicsek等人1995年】。当我们在方程（1）中加入噪声时，也会得到类似的结果，其中R（t）随着噪声级的增加而减小。影响同步的是反应性代理（而不是一般代理）的密度。即使在零随机噪声下，序参数通常也不在1，因为并非所有代理都处于反应状态。这是Vicsekmodel的一个重要概括。在图3b中，我们绘制了在NH=N的特殊情况下随机噪声对序参数的影响。使用方程（1），= + + , 式（15）中的R（t）可以计算。

假设噪声i在[-e，+e]的值内均匀分布。噪声的相对大小e与BHdO对整体同步有影响。0.20.40.60.80 20%40%60%80%100%顺序参数R反应状态下人群的百分比，NH/NOrder参数图3b。同步水平随着随机噪声的增加而降低。对于伦敦千禧桥的摇摆【Strogatz等人2005年】，O（t）是桥梁的水平位移，S（t）是行人的步进力。Strogatz等人实际求解了力学方程，得到了O（t）和S（t），其中A、B是S和O上的非线性算子。随着时间的推移，模拟了不同人群规模的相似序参数，其显示出与图3a类似的模式。也可以为时间窗口定义群组的同步级别。如等式（1-9）所述，总群体决策dS（t）是所有代理决策的总和。每个代理的决策dsi（t）在时间窗口内与总决策dS（t）具有相关性ρ。众同步的水平，, 其中，下标c代表人群，可以表示为所有代理人与群体决策的相关性的平均值，=（17） 在哪里= [(), ()]= (),  ()                   （18） 其中ρ[X，Y]表示两个随机变量X和Y之间的相关性。很容易看出1.+1、较高, 人群越同步。对于任何agent i，其决策时间序列dSi（t）具有平均值、标准偏差σi和与另一agent j的相关性ρij。相关矩阵〔ρij〕是NxN对称矩阵。时间序列ds（t）很大程度上受标准差较大的代理的影响，即。

大σi’s.0.20.40.60.81.20.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901.001.101.201.301.401.501.601.701.801.902.00阶参数RRandom Noise e（任意单位）阶参数为了简化符号，我们将省略方程中的时间依赖性（t）。利用相关性的定义，方程（18）可以改写为= , = = （19） 在哪里是dS的标准偏差，或人群的波动性。= []=  + 2.（20）=  （21）从等式（21）可以看出，总体群组同步取决于代理之间的correlationmatrix。标准偏差较大（或波动性较高）的代理对同步水平的贡献更大。如果所有代理都完全相关= +1，那么，根据方程式（20）=.根据方程式（21），=  =  = +这是群组中所有代理完全同步的极端情况，通常出现在所有代理都处于反应状态时。事实上，这不太可能发生，因为不同的媒介和噪声条件对外力和观察的反应不同不会与所有代理同步。因此，相关性< 1和< 1.方程（21）可视为相关矩阵元素的加权和[].直观地说，一个代理越不稳定（或变化幅度越大），该代理在测量同步方面就越重要。其他代理与易失性代理的关联对整体同步的贡献更大。请注意，相位同步不需要最小的跟踪误差，即，完美的相关性仍然允许振幅差异。在实际应用中，由于dO（t）反映dS（t），因此可以通过测量dO（t）的标准偏差σo来观察σcis。