经济主体共享系统的条件损失概率

相比之下，个体风险Ui的生存函数是通过以下声明渐近确定的，即依赖于参数|λjan和由组合权重ai，j缩放的参数，取所有λi中的最小值，j=|λj/ai，j代表j∈ M（i）（代理人i投资组合中的所有索赔）。（ii）由于不同的尾部衰减，一般而言，相对于系统风险，单个风险可渐近忽略不计：对于x，P（Ui>x）=o（P（S>x））→ ∞就我而言∈ n、 除代理人i单独选择风险最大的主体j的特殊情况外；i、 e.当ai时，m=1。备注3.7。在这里，我们对放弃假设2的情况进行了评论，该假设为某些（或所有）主张提供了一个相同参数的可能性。那么，以下情况将适用：（i）参数λi，jmay对于不同的j值是一致的，因此，个体暴露u的分布不再是GEM。如果–作为特例–所有λi，j代表j∈ M（i）重合，则uis为Erlang分布。通常，如果只有一些λi，jcoincide，ui遵循广义的Erlang混合分布，参见Jasiulewicz和Kordecki【11】。这也适用于系统的损失。（ii）命题3.1和推论3.4中关于λi，k=λi，j（或∧k=λj）的相应结果可作为极限λi，k获得→ λi，j（或∧k→λj）。考虑0 20 40 60 80 1000.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0（a）x 0 20 40 60 80 1005e-04 5e-03 5e-02 5e-01（b）x系统：P（S>x）对象：P（Vj>x）近似值：π~ m ~ exp(- l~x）图3.1：（a）：d=10个具有指数分布索赔大小的对象的生存函数，等距参数∧=0.1，∧=0.2，λ=1.0（实线），函数x 7→ π▄mexp(-\'x）（虚线）作为系统P（S>x）（虚线）的近似值；查阅

定理3.5。（b） ：与（a）中的函数相同，具有对数y轴，以说明近似函数的参数▄l与主要对象声明的参数▄λV▄m=V（虚线和粗体实线）。示例3.3，其中取该极限导致Erlang分布：limλi，2→λi，1P（Ui>x）=limλi，2→λi，1λi，2exp(-λi，1x）- λi，1exp(-λi，2x）λi，2- λi，1=limλi，2→λi，1（exp(-λi，1x）+λi，1x exp(-λi，2x））=（1+λi，1x）exp(-λi，1x），x>0。定理3.5中的渐近结果给出了q阶的Erlang尾，其中q是具有最小参数的渐近占优索赔数；i、 e.，对于语句（i）和（ii），我们有q={j∈ M（i）|λi，j=貂∈M（i）λi，k}|或q={j∈ d |λj=貂∈分别为d∧k}|。4关于代理和系统损失的条件结果给出了大量索赔在本节中，我们研究了系统风险和任意代理风险的条件分布，前提是一个对象引起了大量索赔。更准确地说，我们推导了条件生存函数和S和UIG的密度，假设Vje超过某个阈值，反之，假设Vjgiven的S或UIG超过某个阈值。在下面的定理中，我们推导出一个特征属性，该属性说明了大型对象的损失对系统风险的影响。此后，我们排除了相应条件概率等于1的平凡情况，例如，在以下定理中，我们只考虑s>v和α>1。定理4.1。在假设1和2下，来自（2.2）的系统风险S的条件概率满足索赔Vj，j∈ d： （i）对于s>v>0:P（s>s | Vj>v）=P（s>s- v） =dXk=1∏kexp(-∧k（s- v） ）；（ii）对于x渐近→ ∞ α>1:P（S>αx | Vj>x）~ π▄mexp(-（α- 1） \'x）∝ P（Vm>（α- 1） x），从（2.7）开始，带有▄m和▄▄。第7节提供了证据。备注4.2。

我们在定理4.1（i）中的结果揭示了以下有趣的特征：给定索赔的系统风险的条件分布Vj（i）等于系统损失的转移无条件分布S，（ii）独立于不同的对象j，（iii）仅取决于- 阈值的v。特别是，（i）和（iii）显示GEMdistribution类的特定“无内存”属性。这些结果也有助于统计理论，因为尚未对GEM分布的此类条件概率进行研究。与定理4.1类似，我们得到了互补的结果：命题4.3。在假设1和2下，claimVj，j的条件概率∈ d满足：（i）对于s>v>0:P（Vj>v | s>s）=P（Vj>v）P（s>s | s>s- v） =经验值(-~λjv）Pdk=1 ~πkexp(-∧k（s- v） ）Pdk=1∏kexp(-λks），对于v≥ s>0：P（Vj>v | s>s）=P（Vj>v）P（s>s）=exp(-~λjv）Pdk=1 ~πkexp(-λks）；（ii）对于x渐近→ ∞ 0<β<1:P（Vj>βx | S>x）~ 经验值(-（￠λj-`）βx）=P（Vj>βx）P（Vm>βx），对于β≥ 1： P（Vj>βx | S>x）~经验值(-（βИλj-`）x）▄π▄m∝P（Vj>βx）P（Vm>x）。证据结果来自定理4.1，这意味着：P（Vj>v，S>S）=P（Vj>v）·P（S>S- v） 。备注4.4。命题4.3表明，P（Vj>v | S>S）依赖于（甚至是渐进的）指数j和特定索赔的分布Vjin，而与之前研究的对应P（S>S | Vj>v）相比。接下来，我们陈述条件密度的结果：命题4.5。

在假设1和2下，我们得到了系统风险的条件密度S：（i）对于S>v>0：fS | Vj>v（S）=fS（S- v） ，（ii）x渐近→ ∞ 和0<β<1:fS | Vj>βx（x）~ ~π▄mfV▄m（（1- β） x）=▄π▄m▄exp(-（1）- β） \'x）；对于权利要求Vj的条件密度，j∈ d： （iii）fVj | S>S（v）=fVj（v）fS | S>S-v（s），对于s>v>0，fVj（v）fS（s），对于v≥ s>0；（iv）对于x渐近→ ∞:fVj | S>αx（x）~∧λj  `▄π▄mexp(-（￠λj- αИ`）x），对于α∈ （0，1），∧λj  ` exp(-（￠λj-`）x），对于α>1。证据这些密度结果来自定理4.1和命题4.3。我们通过对单个代理风险的结果进行统计，完成了大型对象索赔的条件概率分析。定理4.6。在假设1和2下，代理人i的风险敞口Ui和索赔Vjof对象j∈ 对于x＞0，M（i）具有以下条件分布和x的渐近行为→ ∞ （用符号表示）~”):（i） 对于α>ai，j:P（Ui>αx | Vj>x）=P（Ui>（α- ai，j）x）=Xk∈M（i）πi，kexp(-（α- ai，j）λi，kx）~ πi，m（i）exp(-（α- ai，j）`（i）x）；（ii）对于0<β<1/ai，j:P（Vj>βx | Ui>x）=P（Vj>βx）P（Ui>x | Ui>（1- βai，j）x）=exp(-∧λjβx）Pk∈M（i）πi，kexp(-（1）- βai，j）λi，jx）Pk∈M（i）πi，kexp(-λi，jx）~ 经验值(-（￠λj- ai，j`（i））βx）；对于β≥ 1/ai，j:P（Vj>βx | Ui>x）=P（Vj>βx）P（Ui>x）=exp(-∧λjβx）Pk∈M（i）πi，kexp(-λi，jx）~经验值(-（βИλj- `（i） ）x）πi，m（i）；x>0的条件密度：（iii）对于0<β<1/ai，j:fUi | Vj>βx（x）=fUi（（1- βai，j）x）~ πi，m（i）`（i）exp(-（1）- βai，j）x）；（iv）fVj | Ui>αx（x）=fVj（x）fUi（αx）~∧jexp(-（￠λj- 0<α时的α`（i））x≤ ai，j，fVj（x）fUi | Ui>（α-ai，j）x（αx）~∧jexp(-（￠λj- `（i） ）x）对于α>ai，j.Proof。结果类似于定理4.1和命题4.3、4.5的证明，在此我们应用Ui=Pk∈M（i）Xi，kwith Xi，k=ai，kVkwhichare随机独立且随参数λi，k呈指数分布。备注4.7。

我们对我们的发现提供了一些经济解释，特别是我们的结果如何适用于系统监管。定理4.1和4.6（i）指出了指数索赔金融系统的以下特征：系统损失的边际分布s（或单个代理人的损失Ui）包含所有信息，以量化（大型）索赔对系统（或个人）风险的影响。这不仅适用于大型索赔，而且适用于所有索赔，v>0:P（S>S | Vj>v）=P（S>S- v） 。GEM distribution类的这种“无内存”属性为系统监管带来了实质性的简化。只有知道系统（或个人）风险的边际分布，才能量化系统（或个人）在大额索赔引起的压力情况下的稳定性。因此，哪一个特定的对象会引起麻烦是无关紧要的。另一方面，通过评估高系统损失s对单个索赔Vj分布的影响，我们得出它具体取决于索赔的随机属性和特征参数。然而，在这种情况下，条件分布可以通过S和Vj的边际分布来表示，第4.3条建议意味着：P（Vj>v | S>S）=P（Vj>v）P（S>S- v） P（S>S），S，v>0。P（S>S | Vj>v）和P（Vj>v | S>S）之间以及P（Ui>u | Vj>v）和P（Vj>v | Ui>u）之间的定性差异基于以下直觉：事件{S>S}或{Ui>u}没有指定哪些对象导致哪些损失。此类事件可能包括对象声明向量（V，…，Vd）的非常不同的场景，例如，有一个或多个大型声明的场景，以及没有任何一个对象声明是大型的，但S或ui超过累积效应的高阈值的场景。

5个人和系统风险对投资组合多元化的相互影响在本节中，我们推导出当某个代理面临压力情况时系统风险的条件分布，反之，推导出代理在大系统亏损情况下风险敞口的条件分布。与定理4.1和命题4.3类似，用（2.1）中的一般结构投资组合UIA替换单对象索赔需要计算许多不同的情况。因此，我们关注文献中常见的同质投资组合（见Brechmann et al.[4]，Geluk et al.[8]，Ibragimov[10]），其中被考虑的代理人i为其投资组合选择任意对象，但将其保持相等的权重，即ai，j=a代表所有j∈ M（i）和一些0<a≤ 1.（5.1）我们通过两个极端投资组合（参见第5.2节）说明了定理5.1和命题5.2中的技术结果：集中投资组合（A）的| M（i）|=1和完全多元化投资组合（B）的| M（i）|=d，在推论5.3至5.6中。这使我们能够量化备注5.7中的多元化影响，并在备注5.8中制定一个标准，以决定投资组合多元化是否有利于系统性危机中的个体代理人。我们扩展了描述代理i选择或不选择的对象的符号。所有对象索引的集合d被划分为代理i选择的对象的集合M（i）（2.4）及其补集M（-i）：=d\\M（i），（5.2），其中包含代理i未选择的对象。此外，我们定义了集合M（i\\j）：=M（i）\\{j}和M（-i∪j） ：=M（-i）∪ {j} =d\\M（i\\j）。类似于（2.7）中的 `（i）：=λm（i）：=minj∈M（i）~λjand `（-i）：=λM（-i）：=minj∈M（-i）~λj，（5.3）带`（-i）：=∞ 如果M（-i）为空。

将∧πj1的概念从（3.5）扩展到d的子集，我们表示j的相应混合比例∈ M级(*)和* ∈ {我，，，我，，，我∪ j} 按▄π*,j:=Yk公司∈M级(*)\\{j} λkλk-| M的λj(*)| > 1，否则为1。（5.4）这些混合比例满足▄πi，j·▄πi∪j、 j=所有i的∧πj∈ n、 j∈ M（i）。（5.5）5.1关于个人和系统风险的有条件结果在以下定理中，我们陈述了系统损失的有条件分布，前提是某些代理人的损失至少为u；第7节提供了证据。定理5.1。假设1、2和（5.1）成立。然后（i）对于s>u/a>0:P（s>s | Ui>u）=Pj∈M（i）~πi，jP（Vj>u/a）P（Pk∈M（-i）∪j） Vk>s- u/a）Pj∈M（i）~πi，jP（Vj>u/a）=Pj∈M（i）Pk∈M（-i）∪j） πi，jπi∪j、 kexp(-λj-λkau-λks）Pj∈M（i）~πi，jexp(-λjau）；（ii）对于x渐近→ ∞ α>1/a：P（S>αx | Ui>x）~ π-i∪ ~m（i），~mexp(-（α- 1/a）]`x）。相反，我们得到：命题5.2。假设1、2和（5.1）成立。然后（i）对于s>u/a>0:P（Ui>u | s>s）=Pj∈M（i）~πi，jPVj>uaP主键∈M（-i）∪j） Vk>s-ua公司Pq∈d∏qP（Vq>s）=Pj∈M（i）Pk∈M（-i）∪j） πi，jπ-i∪j、 kexp-λj-λkau-λksPq∈d∏qexp(-λqs），对于u≥ a s>0:P（Ui>u | s>s）=Pj∈M（i）~πi，jPVj>uaPq∈d∏qP（Vq>s）=Pj∈M（i）~πi，jexp-λjauPq∈d∏qexp(-λqs）；（ii）对于x渐近→ ∞ 和0<β<a：–如果 `（i）<β`（i）：P（Ui>βx | S>x）→ 1，-如果`（i）>`（`i）：P（Ui>βx | S>x）~Yj公司∈M（i \\~M（i））~λj-`（i）λj-`（i）扩展-（`（一）-`（i））βax;对于β≥ a： P（Ui>βx | S>x）~πi，▄m（i）▄π▄m（i）exp-βa `（i）-`x个.命题5.2（ii）中渐近结果的不同情况取决于参数最小的系统（根据定理3.5）的主导主张是否是代理人投资组合的一部分。证据命题5.2中的结果来自定理5.1，其证明（参见。

（7.4））给出：P（Ui>u，S>S）=Xj公司∈M（i）~πi，jP（Vj>u/a）PXk公司∈M（-i）∪j） Vk>s- 不适用对于s>u/a，Xj∈M（i）~πi，jP（Vj>u/a）表示u≥ a s。在定理5.1和命题5.2中，我们通过条件损失分布来量化个人和系统风险，这允许我们衡量系统内的相互依赖性。这些结果显示了不同类型的压力状况的影响，如不良因素或系统性危机，因此，对于金融机构的压力测试很有用（见Brechmann等人[4]）。5.2多元化效益分析投资组合选择和多元化是金融风险管理的核心概念。我们通过考虑两种重要的极端情况，对可能的多元化效益进行评估，参见Ibragimov【10】：（A）集中投资组合：代理人i仅选择对象j；i、 e.，ai，j=a，对于某些0<a≤ 1，ai，k=0表示所有k∈ d \\{j}。（B） 完全多样化的投资组合：代理i选择所有对象，并具有相同的权重；i、 e.，ai，k=所有k的a∈ d和一些0<a≤ 对于这些投资组合（A）和（B），我们在推论5.3–5.6中得到以下结果，作为定理5.1和命题5.2的特例。我们从集中投资组合（A）开始，其中Ui=ai，jvj意味着M（i）={j}，因此，<<`（i）=λj，<<πi，j=1和<<π-i∪j、 k=对于所有k∈ d、 然后，我们将属性（5.5）应用于混合比例，得到：推论5.3（集中投资组合）。在假设1、2下，对于投资组合（A），我们发现：（i）对于s>u/A>0:P（s>s | Ui>u）=PS>S-ua公司=dXk=1∏kexp-λks-ua公司;（ii）对于x渐近→ ∞ α>1/a：P（S>αx | Ui>x）~ π▄mexp-α-一\'x.补充：推论5.4（集中投资组合）。

在假设1、2下，对于投资组合（A），我们发现：（i）对于s>u/A>0:P（Ui>u | s>s）=P（Ui>u）PS>S | S>S-ua公司=Pdk=1∏kexp-λj-λkau-λksPdk=1∏kexp(-λks），对于u≥ a s>0：P（Ui>u | s>s）=P（Ui>u）P（s>s）=exp-λjauPdk=1∏kexp(-λks）；（ii）对于x渐近→ ∞ 和0<β<a：–如果λj=貂皮∈d∧k:P（Ui>βx | S>x）→ 1，–如果∧j6=貂∈d∧k:P（Ui>βx | S>x）~ 经验值-（￠λj-`）βax;对于β≥ a： P（Ui>βx | S>x）~~πjexp-βaλj-`x个.接下来，我们分析完全多元化的投资组合（B）。我们从定理5.1和命题5.2中得到以下结果，其中Ui=aPdj=1Vj=a S，这意味着m（i）=d，∧`（i）=∧`，∧πi，j=∧πj，对于所有j∈ d和|π-i∪j、 k=1。对于公文包（B），集合M（-i）（非选定对象的集合）为空，因此我们有 `（-i）=∞, 参见（5.3）。推论5.5（完全多样化的投资组合）。在假设1、2下，对于投资组合（B），我们发现：（i）对于s>u/a>0:P（s>s | Ui>u）=PS>S | S>ua=Pdj=1∏jexp(-~λjs）Pdj=1 ~πjexp-λjau;（ii）对于x渐近→ ∞ α>1/a：P（S>αx | Ui>x）~ 经验值-α-一\'x.补充：推论5.6（完全多样化的投资组合）。根据假设1、2，对于投资组合（B），我们发现：（i）对于u≥ a s>0:P（Ui>u | s>s）=PS>ua | S>S=Pdj=1∏jexp-λjauPdj=1∏jexp(-λjs）；（ii）对于x渐近→ ∞ 和β≥ a它保持：P（Ui>βx | S>x）~ 经验值-βa- 1.\'x.我们在推论5.3–5.6中对投资组合选择的两种极端情况的结果为多元化政策提供了有趣的见解，这将在下面的备注5.7和定理5.8中讨论。备注5.7。代理的大量风险敞口对系统风险的影响是系统监管的重点。

定理5.1和推论5.3、5.5已经考虑了这个问题，它们表明对于一个同质的代理人投资组合∈ n带权重ai，j∈ {0，a}表示0<a≤ 1系统损失的条件概率均渐近成比例：P（s>αx | Ui>x）~ C（M（i））exp(-（α- 1/a）\'x）用于x→ ∞ ,带C（M（i））：=▄π-i∪ ~m（i），~m。我们发现C（m（i））>C（m（k））表示m（i） M（k）。如果代理i持有一个完全多样化的投资组合（B），包括所有可用的对象，并且代理i未选择的对象数量增加到集中（一个对象）投资组合（a）的▄π▄M的值，则比例常数C（M（i））等于1。因此，考虑到单个代理的风险敞口超过了某个高阈值，对于较小的投资组合代理的多元化程度，大型系统的损失概率更高。这是因为，如果几个共享对象的总和Ui=aPj∈M（i）VJE超出了一些高阈值，这并不要求我们对单个对象拥有大量的权利要求，因为这可能是一种累积效应。然而，如果一个AVJE超过了一个高阈值，这显然是导致系统丢失的原因。接下来，我们表明，对于指数索赔的系统，必须修改投资组合选择的典型建议：在系统性危机情况下，多元化并不总是有益的。以下定理为代理商提供了一个判断集中或分散是否有益的标准。定理5.8。让代理1通过选择权重为a的单一对象j来持有集中的投资组合（a），代理2通过选择权重为a/d的所有d对象来持有完全多样化的投资组合（B）。为了最大限度地降低大型系统损失情况下的个人风险，即。