经济主体共享系统的条件损失概率

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英文标题：
《Conditional loss probabilities for systems of economic agents sharing
  light-tailed claims with analysis of portfolio diversification benefits》
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作者：
Claudia Kl\\\"uppelberg, Miriam Isabel Seifert
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We analyze systems of agents sharing light-tailed risky claims issued by different financial objects. Assuming exponentially distributed claims, we obtain that both agents\' and system\'s losses follow generalized exponential mixture distributions. We show that this leads to qualitatively different results on individual and system risks compared to heavy-tailed claims previously studied in the literature. By deducing conditional loss distributions we investigate the impact of stress situations on agents\' and system\'s losses. Moreover, we present a criterion for agents to decide whether holding few objects or portfolio diversification minimizes their risks in system crisis situations.
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中文摘要：
我们分析了代理人分享不同金融对象发行的轻尾风险债权的系统。假设索赔呈指数分布，我们得到代理和系统的损失均服从广义指数混合分布。我们表明，与文献中先前研究的重尾索赔相比，这导致了对个人和系统风险的定性不同的结果。通过推导条件损失分布，我们研究了压力状况对代理和系统损失的影响。此外，我们还为代理人提供了一个标准，以决定在系统危机情况下，持有少量对象还是投资组合多样化可以最大限度地降低其风险。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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关键词：distribution Applications Differential Quantitative conditional

共享轻尾索赔的经济主体系统的条件损失概率，以及对投资组合多元化收益的分析Kl–uppelbergand Miriam Isabel Seifertd 2016年12月21日摘要我们分析了共享不同金融对象发行的轻尾风险索赔的代理人系统。假设索赔呈指数分布，我们得到代理人和系统的损失均服从广义指数混合分布。我们表明，与文献中先前研究的重尾索赔相比，这导致了个人和系统风险的定性不同结果。通过推导条件损失分布，我们研究了压力情况对代理和系统损失的影响。此外，我们还为代理人提供了一个标准，以确定持有少量目标或投资组合多样化是否能将其在系统危机中的风险降至最低。关键词：广义指数混合分布、个人和系统风险、轻尾索赔、投资组合多元化、系统监管MSC（2010）：60G70、62E20、90B10、91B30德国加兴M？unchen科技大学。电子邮件：cklu@tum.deRuhr-德国波鸿大学（Universit），波鸿大学（Universit），邮编：150，44801。电子邮件：miriam。seifert@rub.de1引言通过监控金融系统，首席执行官（监管机构）应评估业务条线或单个公司的风险敞口，以确定发生意外巨额亏损时所需的资本准备金。

监管机构的评估需要以下信息：个体代理人的大额风险敞口风险是什么？哪些是能够给代理或整个系统造成严重损失的主要对象？系统结构如何影响个人风险和系统风险之间的关系？我们通过探索所有这些关于轻尾指数分布损失的问题，为当前文献做出贡献，这些问题与标准保险索赔和其他相关应用特别相关（参见Embrechts等人[5]）。我们考虑一个由经济主体持有的风险对象系统，形成一个金融网络。此设置可以通过代理对象关系的二分图来说明，如图1.1所示。在本文中，我们主要关注在其投资组合中持有各种债权的代理及其相应的风险。由于许多保险公司和投资基金持有风险索赔的投资组合，这可能会导致重大损失，因此应在网络环境下研究这些问题。特别是，调查损失对个体和系统的后果以及计算相应的条件和无条件损失概率非常重要。这些结果对各种类型的监管机构都有特别的意义，这应该有助于系统和代理的稳定性监测。在此背景下，对投资组合多元化效益的分析与量化个人和系统风险具有同等的相关性；参见Geluk等人【8】、Ibragimov【10】、Mainik和R¨uschendorf【20】、P'erignon和Smith【25】。当前文献中研究了风险聚集和风险分担的影响，主要针对尾部具有功率衰减的重尾索赔；参见Embrechts等人【6】、Kley等人【15】、Ly Vath等人【19】、Lin等人【18】、Xia【26】等。

然而，正如Asmussen和Albrecher【2】、Hern’andez和Junca【9】、Kaas等人【14】、Kyprianou【17】和Andersen等人【1】所示，轻尾分布为金融机构或保险公司面临的许多风险提供了一个合适的描述，并在金融环境中举例说明。特别是，指数分布非常方便，因为它允许导出显式形式的重要结果。此外，它通常可以扩展到更一般的分布族，例如引用Gumbelmax吸引域（参见Mitra和Resnick[24]），或者引用Cram'er Lundbergclass进行破产估计（参见Asmussen和Albrecher[2]）。目前，关于聚集和共享损失的轻尾分布的随机结果很少。Jiang和Tang【13】研究了Uuuuuuvvvva1,1a1,2a2,1a2,3a3,2a4,1a4,3a4,3a4,4a5,3a5,4a6,4的渐近行为。图1.1：风险分担结构为一个由4个对象组成的系统的二部图，其中6个主体的索赔额为Vjhold，风险敞口为Ui。投资组合权重为ai，代理权重为JI∈ {1，…，6}和对象j∈ {1，…，4}。在独立且相同分布的指数索赔中的再保险损失。由于在他们的论文中，所有索赔都具有相同的参数λ，因此aggregatedclaim（系统风险）遵循Erlang分布。Mitra和Resnick【24】分析了索赔X、Y的聚集X+Y，以及Gumbel max吸引域中的尾部等效分布，其中包含指数、高斯和对数正态分布作为具体示例。它们在X和Y之间假设了某种依赖结构，这导致了它们的渐近独立性。Farkasand Hashorva[7]考虑了两个类高斯风险的投资组合，并得出了投资组合损失分布的极限结果。

随着资本规模的不断扩大，Maume Deschamps等人[22]得出了指数索赔最优分配问题的渐近结果。然而，这些论文都没有考虑网络或系统风险背景下风险共享的后果。在本文中，我们通过研究具有明显尾部衰减的风险对象在二部图表示的风险分担背景下的独立指数索赔，对当前的研究做出了贡献。我们的框架相当通用和灵活。我们考虑了由不同指数参数建模的不同风险类别，这是与Jiang和Tang【13】、Kley等人【15、16】和Mitraand Resnick【24】相比的一种概括，他们为轻尾或重尾Claims假设尾部等效风险。在我们的环境中，代理人可以通过持有不同比例的选定索赔来形成他们的投资组合。这意味着代理人的风险以及整个系统的风险遵循“广义指数混合”分布；参见Jasiulewiczand Kordecki【11】和Jewell【12】。我们的分析提供了关于P型（L>L | L>L）条件生存函数的新结果，其中Li，i=1，2表示特定对象或单个代理或整个系统的损失。因此，我们得到了具有有限阈值的精确条件分布和具有li的渐近尾部行为的声明→ ∞. 也就是说，我们提供了无条件尾部概率和有条件尾部概率的表达式，因为它们包含关于在实践中最重要的极端情况的信息。由于这类广义指数混合分布迄今尚未就其条件分布进行研究，我们的发现有助于其统计理论。

我们的结果也可用于计算标准风险度量，如风险价值和预期缺口。我们从推导单代理和系统损失的生存函数开始讨论。定理3.5给出了重要结果，其中我们表明，对个人和系统风险的主要影响是由单个不同的对象决定的，一般来说，系统的风险主要对象与个体代理人的风险主要对象并不一致。我们在备注3.6中为这一有趣的现象提供了经济解释。在定理4.1和4.6中，我们推导了当目标索赔超过某个阈值时，代理和系统损失的条件分布的精确和渐近结果。我们证明，这些条件分布不依赖于哪个对象导致了这个大的声明，这对于应用程序很重要。备注4.2和4.7分别提供了对我们结果的数学和经济解释。在此，我们指出，大额索赔个人或系统损失的影响可以完全通过其边际分布来量化，这意味着从监管机构的角度来看，这意味着大量的政策简化。此外，我们还分析了个人风险和系统风险之间的相互依赖关系，特别是对于投资组合多元化程度不同的代理人；注释5.7解释了我们对第5.1条、命题5.2和推论5.3-5.6的结果。此外，我们在定理5.8中引入了一个标准，以根据系统危机情况来决定何时有利于代理人专注于少数目标或多样化。最后，我们提供了一个详细的比较，我们的结果为系统与指数索赔的相应结果在重尾设置。

我们指出了这两种设置之间的本质差异；e、 我们表明，与重尾（帕累托）索赔相比，指数索赔的多元化效果相当不同。我们的论文组织如下。在第2节用相关假设描述了我们的框架之后，我们在第3节推导出了个人风险和系统风险的边际分布。在第4节中，我们研究了大额索赔对系统和代理损失的影响。在第5.1节中，我们分析了个人风险和系统风险之间的相互关系，这对于系统监管特别重要。在第5.2节中，我们讨论了系统性危机背景下代理人投资组合的多元化效应。在第6节中，我们总结了我们的发现，并将轻尾模型的结果与重尾模型的结果进行了比较。定理4.1和5.1的证明被推迟到第7节，而其他证明则放在语句之后。2模型框架：概念和符号在本节中，我们正式确定了调查的框架。我们分析了由d个对象和n个代理组成的系统，对于一些正整数d和n；目标j∈ d：={1，…，d}导致代理之间共享的索赔规模Vj>0，从而使投资组合损失sui=dXj=1ai，jVj，i∈ n：={1，…，n}，（2.1）表示代理i的风险敞口。此外，系统的损失表示为asS=dXj=1Vj。（2.2）将投资组合权重收集到（n×d）-维矩阵A=（ai，j）i中∈n、 j∈d、 它是二部图的加权邻接矩阵。Aas的每个成分以及A的列和必须小于或等于1；i、 e.，0≤ ai，j≤ 1对于所有i∈ n、 j∈ dxi∈奈伊，j≤ 1代表所有j∈ d（2.3）边界值1对应于对象j的总风险被发现的情况。

我们假设矩阵A和二部图是确定性的。在本文中，我们满足以下两个假设：假设1索赔是随机独立的，且呈指数分布，j的参数λj>0∈ d、 因此，权利要求Vjhas densityfVj（x）=λjexp(-对于x>0，λjx）。此外，letM（i）：={j∈ d | ai，j>0}（2.4）是代理i选择的所有对象的索引集∈ n、 那么ui可以表示为sumPj∈M（i）Xi，jof独立指数分布Xi，jwithparametersλi，j：=λj/ai，j.（2.5）假设2，对于所有i∈ n、 k，j∈ d当k 6=j时，我们要求∧k6=λjandλi，k6=λi，j。该假设确保指数分布的参数成对不同，包括加权索赔ai，jVj的索赔Vjand和索赔Vjand。在分析广义指数混合物时，通常会满足这一假设（参见Bergel和Eg'dio dos Reis[3]，McLachlan[23]）。在备注3.7（ii）中，我们展示了如何处理成对不同参数的限制被取消的情况。符号和约定。两个函数f和g称为渐近等价（我们写f~ g） 如果f（x）/g（x）→ 1代表x→ ∞ 和比例（我们写下∝ g） 如果f（x）/g（x）=c，对于某些常数c>0。此外，我们用| M |表示集合M的中心性。最小参数将对风险主导项起重要作用，因此我们将其值和相应的指数定义为`（i）：=λi，M（i）：=minj∈M（i）λi，j，（2.6）<<`：=<<λ>>M：=minj∈d∧j.（2.7）为了读者的方便，我们用颚化符将对应于系统的量与对应于代理的量区分开来。下表总结了我们的符号。系统代理定义参数：▄λj，▄λi，j，`（i）假设。1，等式。（2.5）–（2.7）对象指数（d的子集）：~m m（i），m（i）等式。（2.4）、（2.6）、（2.7）混合比例：△πjπi，jEqs。

（3.2）、（3.5）下文3个人和系统风险在本节中，我们研究了个人代理人风险和系统风险的无条件分布。在给出精确结果后，我们推导出了它们的特征尾部行为。考虑一个任意代理i，它为j选择对象vjj∈ （2.1）和（2.4）中定义的M（i）。提案3.1。在假设1和2下，代理人i的风险敞口Ui∈ n hasdensityfUi（x）=Xj∈M（i）πi，jλi，jexp(-λi，jx），x>0，（3.1），混合比例πi，j：=Yk公司∈M（i）\\{j}λi，kλi，k- λi，jm（i）|>1，否则为1。（3.2）通过应用拉普拉斯变换，可以类似于Jasiulewicz和Kordecki【11，Th.1】推导出分布形式（3.1）。从（3.1）的积分可以看出，混合比例总和为1:Xj∈M（i）πi，j=1，（3.3），其中| M（i）|混合比例的b | M（i）|/2c为负值。然后，密度为（3.1）的暴露Ui被称为遵循广义指数混合（GEM）分布；见Mathai【21】。这种分布类别在文献中也被称为“广义Erlang”，参见例如Bergel和Egidio dos Reis【3】。备注3.2。混合比例在符号上交替：如果加权权利要求Xi，j=ai，jVjare（不丧失一般性）按升序排列，即λi，1<λi，2<····<λi，| M（i）|，则πi，jis对不均匀指数j为正，对偶数指数为负，πi，jhas精确（j- 1） （3.2）分母中的负面因素。下面的简单示例给出了一个示例。示例3.3。让某个代理在公文包中正好有两个对象1和2。对于Xi，j：=ai，JVJV，我们得到：fUi（x）=xZfXi，1（x- u） fXi，2（u）du=λi，1λi，2exp(-λi，1x）xZexp（（λi，1- λi，2）u）du=λi，2λi，2- λi，1fXi，1（x）-λi，1λi，2- λi，1fXi，2（x）=Xj=1πi，jfXi，j（x），x>0，因此，一个混合比例为正，另一个为负。

接下来，我们考虑整个系统的风险，其定义为所有索赔的总和S=Pdj=1Vj。它也遵循GEM分布：推论3.4。在假设1和2下，系统风险S具有密度：fS（x）=dXj=1πjfVj（x）=dXj=1πjλjexp(-∧jx），x>0，（3.4），混合比例∧πj：=Yk公司∈d \\{j}▄λk▄λk-对于d>1，则为λj1，否则为1。（3.5）上述各药剂的混合比例πj与πi，j的性质类似。在下面的定理中，我们陈述了一个重要的结果，它描述了指数索赔的框架。它给出了个体风险和系统风险在巨大损失下的渐近行为，并指出了它们不同的尾部行为。更准确地说，它显示了具有最小参数的主张，见（2.6）和（2.7），决定了渐近性：定理3.5。在假设1和2下，生存函数满足：（i）对于代理人i的个人风险∈ n:P（Ui>x）=Xj∈M（i）πi，jexp(-λi，jx），x>0，~ πi，m（i）exp(-`（i） x）∝ P（ai，m（i）Vm（i）>x）表示x→ ∞ ;（ii）对于系统风险：P（S>x）=dXj=1πjP（Vj>x）=dXj=1πjexp(-λjx），x>0，~ π▄mexp(-\'x）∝ x的P（Vm>x）→ ∞ .定理3.5在以下备注3.6中进行了解释，并在图3.1中进行了说明。备注3.6。（i） agent i的系统风险S和个体风险ui均具有渐近指数尾，但具有不同的尾衰减。系统风险的生存函数与索赔Vm的生存函数渐近成比例，参数λj的最小值，即λk=min（λj）的m=k。