经济主体共享系统的条件损失概率

最小化PI（x）的条件概率：=P（Ui>βx | S>x），β>0，i=1，2as x→ ∞, 我们推断出以下决策标准：投资组合集中度（代理1）与分散度（代理2）相比是有利的，当且仅当参数满足的比率：△λj  `>Qd，β，Qd，β：=1表示0<β<a/d，1+d- a/d为a/B≤ β<a，d表示β≥ a，（5.6），其中▄λjis是对象j的参数，且▄`=mink∈d∧k.证明。权重为a的推论5.4（ii）和权重为a/d的推论5.6（ii）暗示：P（x）~经验值(-（￠λj-对于0<β<aexp，βx/a(-（βИλj/a-β的∧`）x）/∧πj≥ aP（x）~0<β<a/dexp为1(-（βd/a- 1） \'x）表示β≥ 接着，我们得到：–对于0<β<a/d：P（x）=o（P（x）），如果∧j6=`（即∧j>`），P（x）~ P（x）如果∧j=∧`；10 20 30 40 501e-17 1e-13 1e-09 1e-05 1e-01强非均相系统：浓度效益（a）P（Ui>βx | S>x）xλ~ 10λ~ 6λ~ 4λ~ 3λ~ 110 20 30 40 501e-16 1e-12 1e-08 1e-04 1e+00弱异质系统：多样化效益（b）P（Ui>βx | S>x）xλ~ 10λ~ 5λ~ 1图5.1：对数-对数图：对象j的十个集中投资组合的条件概率比较∈ d={1，…，10}（虚线），对于β=0.4的完全多元化投资组合（实线），a=0.25：场景（i）中的图（a）具有强异质性参数λjand；场景（ii）中的图（b）具有弱异质性参数λj；参见示例5.9–对于a/d≤ β<a：P（x）=o（P（x））<=> -λjβa+βa+βd  a-`<0<=>λj `>1+d-aβ；–对于β≥ a： P（x）=o（P（x））<=> -λjβa+`βda<0<=>λj `>d。根据定理5.8，如果对象指的是类似的风险类别，投资组合多元化通常更适合于代理。然而，在具有强烈异构对象声明的系统中（非常不同的风险类别，例如。

政府债券和衍生产品），集中于标准（5.6）确定的少数对象，在大系统亏损的情况下，对代理有利。我们在下面的示例和相应的图5.1中演示了这种影响。示例5.9。对于d=10个对象的系统，我们比较了集中在单个对象j上的10个投资组合的条件生存函数Pf∈ D和P针对两种不同场景的所有十个对象的完全多样化组合：（i）具有强异构对象的系统，（ii）具有弱异构对象的系统。在方案（i）中，权利要求在步骤0.2中具有参数（￠λ，￠λ，…，￠λ）=（0.05，0.25，…1.85），在方案（ii）中，在步骤0.025中具有参数（￠λ，￠λ，…，￠λ）=（0.05，0.75，…0.275）。这些情景适合进行比较，因为（i）和（ii）的风险主导参数为 `=0.05。在图5.1中，我们绘制了β=0.4、a=0.25的十集中型投资组合（虚线）和完全多样化投资组合（实线）的PFF型生存函数。它说明了我们在定理5.8中的标准是如何应用的：在场景（ii）中，所有j的参数比都是∧j/`<d∈ d、 标准表明，多元化在这里最为有利。相反，在场景（i）中，它保持∧j/`>dif，并且仅当j≥ 4，这意味着不是多样化，而是目标k的浓度∈ {4，5，…，10}是代理人在系统性危机情况下将个人风险降至最低的有利策略。6轻尾和重尾索赔结果的总结和比较在本节中，我们对比了轻尾索赔系统的结果Vj∈EXP（λj）表示j∈ d在重尾索赔假设下的早期结果。Kley等人的论文。

[15，16]非常适合进行比较，因为它们研究相同结构的系统。与我们的框架唯一不同的是，假设对象声明具有渐近比例尾衰减的重尾，尤其是它们具有帕累托尾：P（Vj>x）∝ x个-x的γ→ ∞ , （6.1）所有j的参数γ均大于0∈ d编写为Vj∈ 标准杆数（γ）。我们的比较解决了三个问题：（I）索赔的规模和聚合，（II）个人和系统的风险，（III）条件分布和多元化效应。（一） 我们首先对比了在缩放和聚集条件下，指数幂次幂次方（λ）和帕累托-标准杆数（γ）索赔在性质上的不同行为。特别是，我们强调参数λ和γ的不同作用，这两个参数都描述了索赔生存函数的尾部衰减，但分别作为比例和形状参数起着不同的作用：–比例大于0：对于指数索赔，尾部衰减变化，对于Paretoclaims，它保持不变：V∈ EXP（λ）=> 影音∈ EXP（λ/a），V∈ 标准杆数（γ）=> 影音∈ 标准杆数（γ）。-聚合：将指数声明相加，得到GEM或广义Erlang混合分布类，因为Pareto声明的分布类型为PARremains，γ：Vi不变∈ EXP（λi），i=1，2=> V+V∈ GEM（λ，λ），V，V∈ 标准杆数（γ）=> V+V∈ 标准杆数（γ）。这两点还意味着，在EXP框架中，我们不能像标准杆数框架inKley et al.（15，16）那样，将我们的分析限制在具有相同尾部衰减的对象声明上。他们假设所有objectclaims的标准杆数（γ）具有相同的参数γ，因为具有较大参数的索赔渐近可忽略不计。我们已经表明，EXP框架并非如此。定理3.5证明，对于系统而言，渐近可忽略的对象声明可能是某些代理暴露的主导声明。

因此，Jiang和Tang[13]的框架无法在我们的上下文中应用，其中假设索赔以相同的参数λ呈指数独立分布，并使用Erlang分布分析聚合风险；i、 e.共享索赔的代理系统。（二） 接下来，我们根据假设2和标准杆数框架比较了具有不同参数的EXP框架和系统风险：对于指数索赔，我们证明了代理人的个人风险由其投资组合中的主导索赔共同决定。药剂暴露的生存功能通常有不同的尾部衰变，并且可以不同于系统损失的尾部衰变。这意味着，与其他风险，尤其是系统风险相比，某些个别风险是渐进可忽略的。一般来说，对于x，它保持sp（Ui>x）=o（P（S>x））→ ∞ ,如定理3.5所示，参见备注3.6。相反，对于标准杆数框架，个人和系统风险是渐进成比例的（Kley等人[15]中的Th.3.2）：P（Ui>x）~ Cix公司-γ、 P（S>x）~ CSx公司-γ、 （6.2）常数Ci>0取决于代理i选择的所有对象，常数Ci>0取决于网络中的所有对象。相反，对于EXP框架，只有单个对象确定个人和系统风险的渐近尾部；参见定理3.5。（三） Kley等人【15，16】未对第4节中的单目标索赔的影响进行调查；然而，定理4.1和备注4.2中给出的一些索赔Vjshown的S（在GEM分布类中）的条件分布的EXP框架的“无内存”属性不适用于标准杆数。与我们在EXP框架第5节中的结果相反，Kley等人[16，Th。

2.4，Cor.2.5]获得（5.1）中定义的具有同质投资组合的标准杆数框架关于个人和系统风险相互依赖的以下声明→ ∞:P（S>αx | Ui>x）→ （αa）-γ表示α>1/a，（6.3）P（Ui>βx | S>x）→1表示β<a（a/β）γ表示β≥ a（6.4）因此，对于标准杆数索赔，个人和系统风险的条件概率在所有情况下都收敛到正极限。这表明了与EXPclaims的定性差异，在某些情况下，我们的极限值为零（见定理5.1和命题5.2）。此外，在标准杆数框架中，代理i的特定端口组合结构和选定对象的数量都不影响（6.3）和（6.4）中的限制。因此，投资组合多元化程度不会影响标准杆数框架中的这些条件分布。正如我们在推论5.3–5.6中获得的显著差异效应一样，这在经验框架中是不同的。这些发现允许对备注5.7中给出的有趣解释进行解释，并支持在定理5.8中制定一个标准，以确定多元化是否会在系统危机的情况下为持有指数索赔的单一代理人带来好处。7定理4.1和5.1的证明定理4.1的证明。对于联合概率，我们计算α>1，x>0:P（S>αx，Vj>x）=PdXk=1Vk>αx，Vj>x=∞ZxP型Xk公司∈dk6=jVk>αx- u | Vj=ufVj（u）du=αxZxPXk公司∈dk6=jVk>αx- ufVj（u）du+∞ZαxfVj（u）du=：I+I（7.1），因为声明vkar是随机独立的。积分Iis等于exp(-λjαx）。对于积分Iwe，应用PK6=JVK遵循GEM分布（类似于S）；然而，其混合比例与S=Pk的|πkfrom不一致∈dVk，其混合比例如下：∈dl6=j，l6=kλlλl-∧k，k∈ d \\{j}。

（7.2）因此，降低总和Vjdoes不仅可以将混合比例从d减少到d-1，但也会改变每个混合比例。我们推导出：I=αxZxPXk公司∈dk6=jVk>αx- ufVj（u）du=αxZxXk∈dk6=jYl∈dl6=j，l6=kλlλl-∧kexp(-∧k（αx- u） ）～λjexp(-λju）du=Xk∈dk6=j∧jYl∈dl6=j，l6=kλlλl-∧kexp(-§λkαx）αxZxexp（§λk-λj）u）du=Xk∈dk6=jλjλk-∧jQl∈dl6=j，l6=k∧lQl∈dl6=j，l6=k（∧l-λk）exp(-§λkαx）·hexp（§λk-∧λj）αx）- exp（℃λk-λj）x）i=Xk∈dk6=j∧jQl∈dl6=j，l6=kλl（λk-∧j）Ql∈dl6=j，l6=k（∧l-∧k）hexp(-∧λjαx）- 经验值(-（|λj+|λk（α- 1） ）x）i=exp(-∧jx）Xk∈dk6=j|πkhexp(-∧k（α- 1） x）- 经验值(-∧j（α- 1） x）i，我们在最后一步中使用了定义（3.5）。加上（7.1）该产量sp（S>αx | Vj>x）=Xk∈dk6=j|πkexp(-∧k（α- 1） x）+1.-Xk公司∈dk6=j|πk经验值(-∧j（α- 1） x）=Xk∈d∏kexp(-∧k（α- 1） x）=P（S）>（α- 1） x），其中属性pk∈对于混合比例，采用（3.3）中的d|πk=1。x渐近→ ∞, 它保持：P（S>αx | Vj>x）~ π▄mexp(-（α- 1） И\'x）=▄π▄mP（V▄m>（α- 1） x）。定理5.1的证明。通过扩展定理4.1证明中应用的方法，可以写出S和Ui的联合概率，其中在（7.1）中，通过条件概率积分计算的S和Vjis的联合概率给出了索赔值，使用Vjv与其他目标索赔的随机独立性。然而，这将导致以下非平凡的| M（i）|维积分：PS>αx，Ui>x= P（Xj∈dVj>αx，Xj∈M（i）Vj>x/a）=Z···Zvj≥0，j∈PVJ>x/aP的M（i）Xj公司∈dVj>αx | Vj=Vj，j∈ M（一）·Yj公司∈M（i）（fVj（vj）dvj）=Z··Zvj≥0，j∈M（i）x/a<Pvj<αxP（Xk∈M（-i）Vk>αx-Xj公司∈M（i）vj）·Yj∈M（i）（fVj（vj）dvj）+Z···Zvj≥0，j∈pvj>αxYj的M（i）∈M（i）（fVj（vj）dvj）。为了避免对元素sof（vj）j的所有组合进行多维集成∈M（一）∈ [0，∞)|M（i）|当他们的sumPj（vj）位于某个不同的区间时，我们提出以下想法。

我们引入随机变量swi：=Ui/a=Xj∈M（i）Vjand Wi：=S- Wi=Xk∈M（i）Vj。然后，我们应用投资组合同质性条件（5.1），并利用Wi，wiarestochristic independent，其中Wi遵循参数为λjand混合比例为πi，jfor j的GEM分布∈ M（i）和wi遵循GEM分布，参数λ和混合比例为πi，k或k∈ M（-i），参见（5.4）。对于α>1/a，我们得到：P（S>αx，Ui>x）=PdXj=1Vj>αx，Wi>x/a=αxZx/aP（Wi>αx- u） fWi（u）du+∞ZαxfWi（u）du=Xj∈M（i）Xk∈M（-i）~λjπi，jπ-i，kexp(-∧λkαx）αxZx/aexp（∧k-λj）u）du+Xj∈M（i）~πi，jexp(-∧λjαx）=Xj∈M（i）Xk∈M（-i）~λjπi，jπ-i，kλk-λjhexp(-∧λjαx）- 经验值- （∧j/a+（α- 1/a）~λk）xi+Xj∈M（i）~πi，jexp(-∧λjαx）=Xj∈M（i）~πi，j1+Xk∈M（-i）~λjπ-i，kλk-λj经验值(-∧λjαx）-Xj公司∈M（i）Xk∈M（-i）~λjπi，jπ-i，kλk-∧jexp- （∧j/a+（α- 1/a）~λk）x.应用混合比例特性（根据（3.3））：1+Xk∈M（-i）~λjπ-i，kλk-λj=1-Xk公司∈M（-i）~π-i∪j、 k=△π-i∪j、 j收益率：P（S>αx，Ui>x）=Xj∈M（i）~πi，jexp(-λjx/a）hπ-i∪j、 jexp(-∧j（α- 1/a）x）-Xk公司∈M（-i）~λjπ-i，kλk-∧jexp-∧k（α- 1/a）xi=Xj∈M（i）~πi，jexp(-∧jx/a）Xk∈M（-i）∪j） π-i∪j、 kexp-∧k（α- 1/a）x（7.3）=Xj∈M（i）~πi，jP（Vj>x/a）P（Wi+Vj>（α- 因此，我们得到：P（S>αx | Ui>x）=Pj∈M（i）~πi，jP（Vj>x/a）P（Wi+Vj>（α- 1/a）x）Pj∈M（i）~πi，jP（Vj>x/a）。x渐近→ ∞ 在（7.3）中，以j=~m（i）和k=min（~m（-i），~m（i））=~m的和为主，因此我们有：P（S>αx | Ui>x）~ π-i∪ ~m（i），~mexp(-（α- 1/a）]`x）。这给出了α>1/a的结果；对于α≤ 1/a我们只需要P（S>αx，Ui>x）=P（Wi>x/a），因此P（S>αx | Ui>x）=1。参考文献[1]Andersen，T.G.，Davis，R.A.，Kreiss，J.-P.，Mikosch，Th。五、 （编辑）《金融时间序列手册》。柏林斯普林格（2009）[2]Asmussen，S.，Albrecher，H.：破产概率。统计科学和应用概率高级系列，第14卷。

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