大型股票一级限额订单的最优清算

根据假设2.2和备注3.8，我们可以写出eq（t，e |（e，α））=PXn+1≤ t、 Jn+1=~j，Zn+1=~z | En=e，An=α×P（Vbn+1，Van+1）=（▄vb，▄va），Pn+1=▄p，Yn+1=▄yXn+1≤ t、 Jn+1=~j，Zn+1=~z，En=e，An=α= Qj，v，αt、 ~j，~zP（Vbn+1，Van+1）=（▄vb，▄va）▄Jn+1=▄j×PPn+1=| p | Jn+1=| j，Pn=pP（Yn+1=| y | Yn=y，Mn=m，Zn+1=| z）=Qj，v，αt、 ~j，~zfjvb，▄va{p=p+~j}{y=y-m级-~z}。备注4.2。函数Q是R+×Egiven K上的半马尔可夫核，其中E：={-1，+1}×{0，1，…，N}；K：=（j，vb，va，α）：j∈ {+1，-1} ，（vb，va）∈ {1，…，N}，α∈ A、 m<vb.实际上，对于任何（j，vb，va，α）∈ K、 概率Qj，v，α（t，{+1，-1} 对于大t，{0，…，l}）收敛到1，表示匹配的限制订单的数量不能超过代理发布的限制订单的数量。根据假设2.2、2.4和2.6，半马尔可夫核Q描述了处于最佳买卖价格的交易量之间排队竞争的动力学机制。直觉上，fixj、 vb、va、α∈ K、 并考虑一个排队竞赛，从vb和vaunits限制订单（来自一般市场参与者）开始，在某个决策时期以最佳的出价和要价。代理人随后提交了一份m单位大小的销售市场订单，从而将最佳投标量减少到（vb- m） 单位大小，并发布l unitsize的卖出限价订单，该订单的时间优先级低于先前存在的vaunits限价订单，以最佳询价。在代理的操作之后，相互独立的订单事件以指数形式发生，价格取决于价格移动方向j，因此会改变最佳出价和询价队列的数量。每当最佳出价或询问队列的数量达到零时，queueingrace就会终止，我们将排队竞争的结果表示为+1（分别为）。-1） 如果首先耗尽了最佳询问（响应出价）队列。

对于（t，～j，～z）∈ R+×E，数量Qj，v，α（t，~j，~z）是竞争持续时间小于或等于t的概率，结果是执行代理的限制指令的~j和~z单位大小。在下文中，我们对P（本节中Pπ（e，λ）的缩写）的动力学进行建模，P是定理3.9中引入的概率度量，我们使用了简写符号PXn+1≤ t、 Jn+1=~j，Zn+1=~z，· · ·= PXn+1≤ t、 Jn+1=~j，Zn+1=~z，Vbn+1∈ N+，Van+1∈ N+，Pn+1∈ N+，Yn+1∈ N· · ·12 ANTOINE JACQUIER和HAO Liu将最优买卖价格作为广义生灭过程，因此在半马尔可夫核和排队论之间建立了联系。定义4.3。让(Ohm, F、 P）是一个新的过滤概率空间。对于v∈ N+，l∈ N和κ，u，θ，η>0，定义了该空间上的以下过程：o（B[v，κ，u，θ]s）s≥0是一个生灭过程，给定初始状态v，状态空间为N，吸收状态为0；κ是出生率，u+iθ是处于状态i时的死亡率∈ N+；o（C[v，l，u，θ]s）s≥0是一个纯死亡过程，给定初始状态l+v，状态空间为N，吸收状态为0；死亡率等于u+max（0，i- l） θ处于状态i时∈ N+；o（G[κ，u，θ，η]s）s≥0是一个状态空间为N且初始状态为0的进程。严格地说，在时间η之前，它是一个出生和死亡过程，当处于状态i时，出生率κ和死亡率iθ∈ N、 在η之后，当处于状态i时，该过程的生成和脱笼转变为κ和u+iθ∈ N+和0成为吸收态（A[v，l，κ，u，θ]s）s≥0是一个状态空间由a[v，l，κ，u，θ]s定义的过程：=C【v，l，u，θ】s，G【κ，u，θ，τC【v，l，u，θ】]s, 对于s≥ 引理4.4。[16，引理2]修正j、 vb、va、α∈ K、 假设在第n个决策期，排队竞争开始于vband vaunits在价格移动j tick后以最佳出价和要价限制订单，代理采取行动α=（m，l）。

在[τn，τn+1]上，定义以下过程：oeB：以最佳投标价格下的订单规模；oeC：代理行限价订单的规模以及以最佳要价下时间优先级较高的订单规模；oeG：以最佳要价下时间优先级低于代理行限价订单的订单规模。然后存在两个独立的过程B[vb- m、 κbj，ubj，θbj]和A[va，l，κaj，uaj，θaj]，使得b[vb- m、 κbj，ubj，θbj]s=eBs+τnand A[va，l，κaj，uaj，θaj]s=（eCs+τn，eGs+τn），对于所有s∈ [0，τn+1- τn）。根据引理4.4，我们现在提供了Q的表达式，并将其证明推迟到附录A。我们再次说明，对于连续时间过程L，函数在第2节之前的符号部分中定义。提案4.5。固定（j、vb、va、α）∈ K、 介绍简写符号：Bb：=B[vb- m、 κbj，ubj，θbj]，Ba：=B【va，κaj，uaj，θaj】，Al：=A【va，l，κaj，uaj，θaj】，Cl：=C【va，l，uaj，θaj】，以及场景：S1 S2±S3 S4 S5 S6l≥ 1升=0升≥ 1 l=1 l>1 l>1▄j=+1▄j=±1▄j=-1j=-1j=-1j=-1▄z=0▄z=1▄z∈ {1，…，l- 1} ~z=大型股票13的一级限额订单中的短期清算，然后对任何（t，~j，~z）持有以下情况∈ R+×E:Qj，v，αt、 ~j，~z=FAl（t）-ZtfAl（u）FBb（u）du{z=l}，[S1]，FBa（t）-ZtfBa（u）FBb（u）du{z=0}，[S2+]，FBb（t）-ZtfBb（u）FBa（u）du{z=0}，[S2-],FBb（t）-ZtfBb（u）FC（u）du，[S3]，ZtfBb（u）[FC（u）- FA（u）]du，[S4]，Ztf*Bb型()Zf*C~z（u）du d, [S5]，ZtfBb（u）[FC（u）- FAl（u）]du-l-1Xz=1xTF*Bb型()Zf*Cz（u）du d, [S6]，否则为0，其中f*Cz（ξ）：=euajξfCz（ξ）和f*Bb（ξ）：=e-uajξfBb（ξ）对于任何ξ≥ 0和z∈ N+。4.1.2。终端内核。根据定理3.9和马尔可夫性质（M1），对于任意（e，α），我们可以将终端核表示为（4.3）P（z |（e，α），λ）=P（Xn+1>λ，z=z | En=e，An=α）∈ K、 λ∈ R、 z∈ N

备注3.2意味着只有λ>0且z∈ {0，…，l}需要考虑。根据引理4.4，我们现在提供Q的表达式，在附录B命题4.6中得到证明。对于任意λ>0，（e，γ）∈ K（对应的（j、vb、va、m、l）∈ K） ），介绍命题4.5中的过程Bb、Ba、Al、Clas。那么以下等式成立：P（z |（e，γ），λ）=FBb（λ）FBa（λ），如果l=0且z=0，FBb（λ）FC（λ），如果l≥ 1且z=0，FBb（λ）[FCz（λ）- （FCz* FΞ）（λ）]，如果l>1且z∈ {1，…，l- 1} ，FBb（λ）[FCl（λ）- FAl（λ）]，如果l≥ 1和z=l，0，否则，其中Ξ是具有参数uaj的指数分布随机变量，以及* 是卷积运算符。4.2。拉普拉斯方法。毫不奇怪，定义4.3中广义出生死亡过程A、B、C的首次通过时间分布不允许封闭式表达。为了计算它们，我们首先确定它们的拉普拉斯变换，然后用数值将其反转。我们在这里保留命题4.5的符号。定义4.7。让f：R+→ 对于任何ω>0的函数，R是在[0，ω]上绝对可积的函数。其（单侧）拉普拉斯变换定义为^f（s）：=limω↑∞Zωe-stf（t）dt，适用于所有s∈ 使右侧收敛。拉普拉斯变换的标准（尽管简化）反演公式是Bromwich轮廓积分或Mellin反演【1，第1章】：对于绝对可积连续函数f，恒等式f（t）=2πiRx+i∞x个-我∞ets^f（s）ds适用于任何x>0，并且通过对称参数，可以简化为（4.4）f（t）=2extπZ∞<h^f（x+iu）icos（ut）du，对于所有t>0.14的ANTOINE JACQUIER和HAO Liu，我们然后应用Euler算法【3，第1节】，该算法利用了（4.4）中被积函数的特殊结构。我们现在考虑初始状态为b的生灭过程xB的一般情况∈ N+，出生率λN≥ 0和死亡率un>0（状态n）∈ N+。

根据阿巴特·惠特方法【2，第4节】，在【16，方程式（14）】中导出的下列引理表示了τXb的密度和累积分布函数的拉普拉斯变换。引理4.8。等式^FXb（s）=s-1^fXb（s）保留{s∈ C：<（s）>0}，且（4.5）^fXb（s）=bYn=1“-λn-1Φk≥0-λk+n-1uk+nλk+n+uk+n+s#, 对于所有s∈ C使得<（s）>0，其中Φk≥0akbk：=limk↑∞t型o t型o · · · o tk（0）和tk（u）：=akbk+u或u≥ 0、提案4.9。修复v∈ N+，l∈ N和κ，u，θ>0，分别用A、B和C表示过程A[v，l，κ，u，θ]、B[v，κ，u，θ]、C[v，l，u，θ]（如定义4.3所示）。特别是，对于任何j，我们用bj表示过程B[j，κ，u，θ]∈ N+。假设fA、Fb和Fc在R+上是连续的。然后^fB（s）=(-κ） vvYn=1Φk≥0-κu- κ（k+n）θκ+u+（k+n）θ+s, 和^fC（s）=u+sll+vYn=l+1u+（n- l） θu+（n- l） θ+s，对于<（s）>0。此外，给定Rj（u）：=j！经验值-κθ1.- e-θuhκθ1.- e-θuijfor大学≥ 0和j∈ N、 我们有（4.6）fA（t）=fC（t）R（t）+Zt∞Xj=1bbj（t- u） fC（u）Rj（u）du，适用于所有t≥ 0.证明。^fB和^fC的公式直接来自引理4.8，因此我们关注（4.6）。Letτ:= τA- τC。在时间τC之前，过程（Gu）：=（G[κ，u，θ，τC]u）可被视为初始空M/M/∞ 具有到达率κ和服务率θ的队列。设Rj（u）表示Gu处于状态j的概率∈ N当u<τC时，通过[44，p.160]，我们得到rj（u）=pGu=jτC=u=jexpn公司-κθ1.- e-θuohκθ1.- e-θuij。给定τC=u，Gu=j∈ N+，τ的概率密度函数是fBj。实际上，在τC=uan和Gu=GτC=j的情况下，消耗代理订单和具有更高时间优先级的订单所花费的时间为uan，此时队列中剩余的体积为j单位大小。剩余队列可以用过程Bj和耗尽时间τ来描述因此为τBj（具有密度fBj）。给定τC=u，Gu=0，我们得到 = 0几乎可以肯定。

因此，混合物密度δ（·）R（u）+P∞j=1fBj（·）Rj（u），δ（·）是狄拉克质量，提供τ的密度给定τC=u。此外，函数δ（·）- u） R（u）+P∞j=1fBj（·）- u） Rj（u）（u）是τA=τ的密度+ τCgivenτC=u。因此，我们得到（4.6）。最优策略的存在性我们现在说明我们的主要结果，即值函数的存在性和唯一性，以及平稳最优策略的存在性。大型股票一级限额指令簿中的最优清算15定理5.1。值函数V*在（3.6）中存在且唯一，并且存在一个平稳的T-最优策略πφ*:= {φ*, φ*, . . . } ∈ πSin（3.7），带，对于任何（e，λ）∈ E×T，（5.1）φ*（e，λ）=arg maxα∈A（e）（r（e，α）+∞Xz=0w（e，α，z）P（z |（e，α），λ）+Xe∈EZλV*（￠e，λ）- t） Q（dt，e |（e，α）））。定理5.1的证明依赖于几个要素。首先，为了使有限期半马尔可夫决策模型变得合理，在成熟之前必须（几乎可以肯定）有一定数量的决策期。在我们的设置中，这等价于下面的引理。引理5.2。对于任何（e，λ）∈ E×T，π∈ π，极限极限↑∞Pπ（e，λ）（N<N）=1适用于定义3.7中的N。证据根据[30，命题2.1]，有必要证明存在ζ，ν>0，使得（5.2）Q（ζ，E |（E，α））≤ 1.- υ、 对于任何（e，α）∈ K、 根据（4.1）和引理4.4，我们可以写出，对于任何ζ>0和（e，α）∈ K、 Q（ζ，E |（E，α））=Pπ（E，λ）（Xn+1≤ ζ| En=e，An=α）=P（τBb∧ τAl≤ ζ） =1- P（τBb>ζ）P（τAl>ζ）。根据假设2.6（c），代理商从未通过提交市场订单以最佳出价消耗掉所有数量，因此在代理商作出决定后，至少有一个单位大小的订单以最佳出价和要价剩余。

然后，根据生灭过程的随机排序【31，第3节】，不等式p（τBb>ζ）≥ PτB[1,0，ubj，θbj]>ζ≥ e-ιζ和p（τAl>ζ）≥ P（τCl>ζ）≥ PτC[1,0，uaj，θaj]>ζ≥ e-ιζ，保持ι：=最大值usj+θsj：（s，j）∈ {a，b}×{+1，-1}, 因此，（5.2）对于ζ>0和Д=e保持不变-2ιζ。接下来，让U表示E×T上非负值函数的Banach空间，具有有限上确界范数：U：=（U:E×T→ R+kuk：=sup（e，λ）∈E×T | u（E，λ）|<∞).对于任何决策规则φ∈ Φ，引入作用于U asTφU（e，λ）的动态

然后，巴拿赫不动点定理[25]确保Vu=u有唯一的解，用u表示*. 根据【34，第1节】，固定点u*允许amaximiserφ*这样，u*= Tφ*u*, 带，对于任何（e，λ）∈ E×T，（5.5）φ*（e，λ）：=arg maxα∈A（e）（r（e，α）+∞Xz=0w（e，α，z）P（z |（e，α），λ）+Xe∈EZλu*（￠e，λ）- t） Q（dt，e |（e，α）））。假设一个策略π*:= {φ*, φ*, φ*, . . . } ∈ 在（3.7）中∏是T-最优的。命题5.3和（5.3）收益率（5.6）V*= Vπ*= Tφ*Vπ*-≤ Tφ*Vπ*≤ 画↑∞Tφ*nVπ*= Vπφ*.结合Vπφ*≤ 五、*定义3.10表明固定策略πφ*:= {φ*, φ*, . . . } ∈ ∏Sis也是T-最优的。自u起*= Tφ*u*≥ Tφ*u*, 应用命题5.3和（5.3），我们得到v*= Vπφ*= 画↑∞Tφ*如新大学*≤ Tφ*u*≤ u*= Tφ*u*= 画↑∞Tφ*如新大学*= Vπφ*≤ 五、*,定理5.1如下。6、实证研究我们的实证计算基于三只大型tick股票的“一级”龙虾数据：微软（Microsoft）、英特尔（Intel）和雅虎（Yahoo），这三只股票于2016年4月11日至2016年4月15日在纳斯达克平台上交易，记录了上午9:30至下午4点之间的所有市场订单到达、限价订单到达和取消。选择这三只大型股票是出于价格、交易量和市场份额的考虑【10，第4节】。为了避免开盘后或收盘前不久的异常交易行为造成的影响，我们排除了每个交易日第一和最后二十分钟的市场活动。我们还排除了所有执行占整个交易量12%左右的隐藏订单。在下文中，我们首先（第6.1节）说明了假设2.4中泊松参数的估计方法，以及假设2.2（b）中价格变化后最佳容量的联合分布。然后（第6.2节）给出了一个数值格式，该格式近似于（3.6）中的值函数。

最后，我们（第6.3节）将（5.1）中关于在不同交易条件下清算YHOO股票的最佳决策规则可视化。6.1。参数估计。大型股票一级限额指令簿中的最优清算176.1.1。泊松参数。如假设2.1（a）所述，一般市场参与者的订单为单位规模。我们首先计算以最佳价格（分别用Sl、Sm和Sc表示）的限价订单、市场订单和取消订单的平均规模，并选择单位规模为Sl。估计结果见表2。MSFT INTC YHOOSl176 317 209Sm332 565 334Sc163 309 201表2。平均订单规模（以股份为单位）我们然后估计泊松参数，如下所示。根据历史数据，我们制定了集合Q+1（分别为Q-1） 由于排队比赛在价格上涨（或下跌）后立即发生：如果当前价差为1分，则排队比赛q+1∈ Q+1（分别为Q-1.∈ Q-1） 当最佳出价（响应出价）队列耗尽后，最佳出价（响应出价）价格增加（响应降低）一个刻度时开始，当新的最佳出价或出价队列耗尽时结束。通过最大似然估计（见附录E），我们得到了（6.1）usj=Nms，jDjSmSl，κsj=Nls，jDj，θsj=Ncs，jVs，jScSl∈ {a，b}和j∈ {+1，-1} ，其中oNms、j、Nls、jand Ncs、JR代表集合Qj中排队比赛的市场订单、限价订单和取消订单总数；odj表示Qj中排队比赛的长度之和；oVs，j：=#QjXi=1ZTiVolsi（t）dt，其中Volsi（t）（分别为Ti）表示时间t（分别为。

Qj中第i个排队竞赛的时间间隔）。表3给出了泊松参数估计，其中代理在每个决策阶段的操作没有延迟。对于这三种股票，我们发现：o市场订单到达率与最佳价格和价格变动方向无关；o价格上涨（或下跌）后，以最佳出价（或出价）价格收到和取消限价订单的比率立即高于以最佳出价（或出价）价格收到和取消限价订单的比率；o从（泊松参数的）估计角度来看，出价（分别出价）方价格的上涨与出价（分别出价）方价格的下跌是对称的。表4给出了泊松参数估计，其中代理在每个决策阶段的操作都有一毫秒的延迟。通过与表3的比较，我们发现：o市场订单到达率几乎没有变化；o限价订单到达率和取消率有所下降，尤其是在价格上涨后的投标方和价格下跌后的询价方；o对称性保持不变。通过滥用语言，“以a（分别，b价格）”表示“以最好的询价（分别，投标）价格”。在这种情况下，当估计泊松参数时，排除每个排队比赛前一毫秒的市场活动，排除持续时间小于一毫秒的排队比赛。18 ANTOINE JACQUIER和HAO LIUMSFT INTC YHOOs juκθuκθuκθθa+1 0.32 3.07 0.31 0.16 2.45 0.16 0.14 1.97 0.26b+1 0.34 5.97 0.50 0.17 3.59 0.21 0.17 3.54 0.32a-1 0.35 5.97 0.51 0.18 3.87 0.22 0.15 3.29 0.33b-1 0.34 3.06 0.32 0.18 2.22 0.15 1.92 0.21表3。