非均匀风险敞口池的资产相关性估计

《技术报告》2013年22月，德意志联邦银行。D¨ullmann，K.、K¨ull，J.和Kunisch，M.（2008）。从股票价格或违约率估计资产相关性——哪种方法更好？2008年4月技术报告，德意志联邦银行。Frei，C.和Wunsch，M.（2018）。自相关时间序列的矩估计及其在违约相关性中的应用。《信贷风险杂志》，14（1）：1–29。Frye，J.（2008）。结构投资组合模型中的相关性和资产相关性。《信贷风险杂志》，4（2）。Gordy，M.和Heit field，E.（2010年）。portfoliocredit风险模型的小样本估计。金融工程最新进展：2009年基尔TMU国际金融工程研讨会论文集。世界科学出版社。PREPRINTHaddad，J.M.（2013）。加拿大中小企业投资组合的综合相关性和资本估计：对巴塞尔协议的影响。未发表的工作文件。可用位置：http://www.greta.it/credit/credit2013/PAPERS/Speaker/thursday/11_Haddad.pdf.Hamerle，A.、Liebig，T.和R¨osch，D.（2003年）。信用风险因素建模和baselII IRB方法。技术报告2003年2月，德意志联邦银行。桥本，T.（2009）。信贷风险分析的资产相关性——日本公司违约数据的实证研究。技术报告09-E-3，日本银行。Kalkbrener，M.和Onwunta，A.（2009）。验证结构性信贷组合模型。COMISEF工作文件系列（WPS-014）。可用位置：http://comisef.eu/files/wps014.pdf.Lee，J.，Wang，J.，和Zhang，J.（2009）。平均资产相关性与违约概率之间的关系。穆迪KMV技术报告。Lindskog，F.、McNeil，A.和Schmock，U.（2003）。椭圆分布的Kendallτ。《信用风险：测量、评估和管理》，Physica Verlag，第149-156页。Physica。Lopez，J.A.（2004年）。

平均资产相关性、违约概率和资产规模之间的经验关系。《金融中介杂志》，13（2）：265–283。Lucas，D.J.（1995年）。违约相关性和信用分析。《固定收益杂志》，第76-87页。McNeil，A.J.、Frey，R.和Embrechts，P.（2015）。量化风险管理。普林斯顿大学出版社。Meyer，C.（2009）。部门内资产相关性估计。《风险模型验证杂志》，3（3）：47–79。SAS（1999年）。关联度量，SAS OnlineDocR. 可用位置：http://v8doc.sas.com/sashtml/stat/chap28/sect20.htm.Tarashev，N.和Zhu，H.（2007）。组合信用风险度量中的建模和校准错误。BIS工作文件，230。Tasche，D.（2016）。将分布与风险价值和预期缺口相匹配，并将其应用于担保债券。《信贷风险杂志》，12（2）：77–111。预印本6附录给定一个特定的输入配置{n，\'p，σ（p），\'ρa，σ（ρa），τ}，我们需要构建一个与其对应的曝光星座。所选择的方法是在PD维度上具有β分布，以及ρa维度和ρa与PD之间依赖关系的高斯copula。标准贝塔分布具有支持度[0，1]，这将适用于PD和ρ分布，但特别是对于PD分布，通常几乎没有接近PD=1的质量，因此可以减少贝塔分布的支持度以提高数值效率。请注意，β分布的参数α和β可以是任意平均值u∈]0，1[和任何方差0<σ<u（1- u）（c.f.Tasche（2016），附录1）。如果K=1，我们只需设置p=(R)p。

如果K>1，我们确定pmin，Pmax如下：pmin=F-1'p，σ（p）公斤, pmax=F-1'p，σ（p）1.-公斤此处为F-1'p，σ（p）代表具有平均值'p、标准偏差σ（p）和支持度[0，1]的反向β分布函数；g是一个决定贝塔分布支持度应降低到何种程度的因素。除非考虑非常极端的分布或极端的τ，否则它对结果几乎没有影响。除非另有说明，否则已使用g=1000。将范围[pmin，pmax]划分为大小相等的桶是次优的数字，因为PD文件通常非常倾斜。因此，我们定义了一个中点pmi，并确保将[pmin，pmid]和[pmid，pmax]分为K/2个桶。作为中点，除非另有说明，否则我们选择pmid=(R)p，其他选项包括pmid=pmodeor pmid=pmedian。我们定义=pmid- pminpmax- Pm和铲斗极限bp（m），0≤ m级≤ Kbp（m）=（pmin+（pmax- pmin）mKif t=pmin+（pmax- pmin）t1-2吨1.-tt200万- 1.如果t 6=请注意，极限情况t=1/2对应于对称PD分布，铲斗的均匀分布是合适的。对于t 6=1/2，给定公式得出PD铲斗的尺寸在整个范围内平稳变化。通过构造，我们得到bp（0）=pmin，bp（K）=pmax，bp（K/2）=Pm，并且我们可以确定分配给每个K PD桶的PD值：1≤ k≤ K:pk=bp（K）-bp（k- 1） （10）以类似的方式预印，我们还确定了ρA桶限值bρ（m），0≤ m级≤ L和分配给每个LρA桶ρAl，1的ρAvalues≤ l≤ 五十、 为了在L×K敞口桶之间分配敞口，我们为1定义了一个辅助变量XKL≤ k≤ K、 1个≤ l≤ 五十： xkl=CBp（Bp（k）），Bρ（Bρ（l）），sinπτ（11） 式中，C（u，v，ρ）=ΦΦ-1（u），Φ-1（v），ρ二元正态copula是否持续扩展到u，v=±1，Bpis是累积β分布，平均值p和标准偏差σ（p）在支持度上定义【pmin，pmax】。

请注意，通常在[0，1]中定义了Betadistribution，但收缩支撑的线性变换是向前延伸的。类似地，Bρ是累积β分布，平均值ρA和标准偏差σ（ρA）定义在支架上【ρAmin，ρAmax】。注意，如果是一个二元正态copula，并且有很多桶，Kendall的τ和线性相关系数ρ通过ρ=sin连接πτ, 参见Lindskoget等人（2003年）。我们选择以Kendall的τ作为输入，而不是线性相关系数ρ，因为我们使用了非正态边缘分布，因此在产生的曝光星座中看到的线性相关将不同于线性相关系数ρ=sinπτ最初用于方程式（11）。Kendall的τ对变化的边缘分布是不变量，因此更适合我们的研究：我们期望在得到的曝光星座中看到的τ等于方程式（11）中使用的τ，至少如果K和L足够大，以限制由于屈曲引起的误差。使用xkl，现在可以迭代计算每个桶中的曝光数nkl：nkl=max0，+ nxkl+k-1Xi=1l-1Xj=1nij-kXi=1l-1Xj=1nij-k-1Xi=1lXj=1nij（12） 请注意，这种迭代定义确保了由于强制使用整数nkl而产生的误差不会累积，并且在产生的曝光星座图中看到的曝光总数将非常接近n。方程式（12）和方程式（10）一起，让我们计算任意所需数量的桶K和L以及任意给定的自一致性的曝光星座图{pk，ρAl，nkl，K，L}输入配置{n，\'p，σ（p），\'ρA，σ（ρA），τ}。

使用的桶越多，n越大，曝光星座{pk，ρAl，nkl，K，L}将更好地反映给定的输入配置{n，\'-p，σ（p），\'-ρA，σ（ρA），τ}，这可以通过从{pk，ρAl，nkl，K，L}诊断{n，\'-p，σ（p），\'-ρA，σ（ρA），τ}来直接检查。除非另有说明，对于第3节中的输入配置研究，原始输入配置的参数和暴露星座诊断的参数的差异不超过1%。