非均匀风险敞口池的资产相关性估计

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英文标题：
《Asset correlation estimation for inhomogeneous exposure pools》
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作者：
Christoph Wunderer
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  A possible data source for the estimation of asset correlations is default time series. This study investigates the systematic error that is made if the exposure pool underlying a default time series is assumed to be homogeneous when in reality it is not. We find that the asset correlation will always be underestimated if homogeneity with respect to the probability of default (PD) is wrongly assumed, and the error is the larger the more spread out the PD is within the exposure pool. If the exposure pool is inhomogeneous with respect to the asset correlation itself then the error may be going in both directions, but for most PD- and asset correlation ranges relevant in practice the asset correlation is systematically underestimated. Both effects stack up and the error tends to become even larger if in addition a negative correlation between asset correlation and PD is assumed, which is plausible in many circumstances and consistent with the Basel RWA formula. It is argued that the generic inhomogeneity effect described is one of the reasons why asset correlations measured from default data tend to be lower than asset correlations derived from asset value data.
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中文摘要：
估计资产相关性的一个可能数据源是默认时间序列。本研究调查了如果假设默认时间序列下的风险敞口池是同质的，而实际上不是同质的，则会产生的系统误差。我们发现，如果错误地假设违约概率（PD）的同质性，那么资产相关性总是会被低估，并且误差越大，PD在风险池中的分布就越广。如果风险敞口池就资产相关性本身而言是不均匀的，那么误差可能在两个方向上都存在，但对于大多数实际相关的PD和资产相关性范围，资产相关性被系统地低估了。此外，如果假设资产相关性与PD之间存在负相关性，则这两种效应叠加在一起，误差往往会变得更大，这在许多情况下都是合理的，并且与巴塞尔RWA公式一致。有人认为，所描述的一般不均匀性效应是从违约数据测量的资产相关性往往低于从资产价值数据得出的资产相关性的原因之一。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Asset_correlation_estimation_for_inhomogeneous_exposure_pools.pdf (1.5 MB)

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关键词：相关性 correlations Quantitative Applications correlation

非均匀曝光PoolSchristoph-Wunder印前相关估计*2019年9月12日摘要资产相关性估计的可能数据源是默认时间序列。本研究调查了如果假设默认时间序列下的风险敞口池是同质的，而实际上不是同质的，则会产生的系统误差。我们发现，如果错误地假设违约概率（PD）的同质性，那么资产相关性总是会被低估，并且误差越大，PD在风险池中的分布越广。如果敞口池相对于资产相关性本身是不均匀的，那么误差可能会在两个方向上都存在，但对于大多数PD和资产相关性范围，实际上资产相关性被系统地低估了。此外，如果假设资产相关性和PD之间存在负相关性，则这两种影响的累积和误差往往会变得更大，这在许多情况下都是合理的，并且与巴塞尔RWA公式一致。有人认为，所描述的一般同质性效应是从违约数据测量的资产相关性往往低于从资产价值数据得出的资产相关性的原因之一。关键词：资产相关性、违约时间序列、信贷投资组合风险、向下偏差、不均匀性影响1简介目前使用的大多数基于模拟的投资组合模型并不直接模拟违约事件，而是在模拟连续变量的情况下采用违约的结构模型，有时被称为“信誉指数”（Bluhm和Overbeck（2007））或“支付能力变量”（Kalkbrener和Onwunta（2009））。如果某个风险敞口的信誉指数低于与该风险敞口的PDO相关的某个阈值，则记录该风险敞口的违约。

不同信誉指数之间的相关性称为*请直接写信给克里斯托夫。wunderer@s-评级风险系统。de，Sparkassen Ratingund Risikosysteme GmbH，莱比锡大街51号，10117柏林；此处所表达的观点是作者的观点，并不反映Sparkassen Rating和Risikosysteme GmbH或其员工的观点。Christoph Wunder感谢Hubert Eckelmann和两位匿名裁判在手稿编写过程中提供的有用意见。预印“资产相关性”。如果采用违约的结构模型，那么资产相关性对其参数化至关重要，它们的估计对建模结果具有直接影响。本文关注的是从违约时间序列估计资产相关性，当建模的风险敞口不属于上市公司，且无法使用基于市场数据的替代估计技术时，这种方法尤为重要。几位作者观察到，根据违约时间序列估计的资产相关性往往低于根据股价时间序列估计的资产相关性（Frye（2008），D¨ullmann et al.（2008），Kalkbrener and Onwunta（2009），Chernihet al.（2010））。作为一种可能的解释，Frye（2008）确定了将资产相关性与违约数据联系起来的违约结构模型的近似性质。另一个非常有效的解释是，通常用于从违约时间序列估计资产相关性的估值器具有向下偏差，导致资产相关性估计值较低（Gordy and Heit field（2010），D¨ullmann et al.（2008），Frei and Wunsch（2018））。由于许多估计员的偏差更多地取决于时间序列的长度，而较少取决于时间序列中考虑的暴露数量，因此这种偏差在实践中往往具有显著的规模（Meyer（2009））。

尽管有许多关于这一偏差以及如何纠正这一偏差的问题需要调查，但本文并没有遵循这一路线，而是描述了一种完全不同的机制，据我们所知，这一机制在文献中尚未详细讨论：如果假设一个敞口池在PD和/或资产相关性方面是同质的，但事实上并非如此，然后，该风险敞口池的资产相关性被系统地衡量得过低。由于任何现实生活中的风险敞口池在某种程度上都是不均匀的，这一机制提供了另一种解释，解释了为什么从违约率得出的资产相关性往往低于直接从资产价值数据得出的资产相关性，而这种不均匀性影响并不相关。了解不均匀性影响对实践者有直接影响，实践者应确保仅针对同质风险敞口池估计资产相关性，或使用明确考虑研究风险敞口池不均匀性的估值器。由于所选设置中总会存在一些剩余不均匀性，因此谨慎地假设，除了众所周知的资产相关性估值器的向下偏差外，由于所研究的风险敞口池的剩余不均匀性，还存在另一个向下影响。第2节介绍了基本理论，其中大部分是标准理论，可以在Bluhm et al.（2010）、McNeil et al.（2015）和Lucas（1995）中找到。

作为本节的主要结果，我们了解了属于同质风险敞口池的违约率方差如何与该风险敞口池内的PD和资产相关性分布相关联。在第3节中，我们描述了一个相当普遍的设置，该设置允许我们从数字上研究各种参数注册表下资产相关性的系统低估。特别是，我们研究了不均匀性影响对PD位置和形状的依赖性，以及给定位置池中的资产相关性分布。我们还研究了相关PD和资产相关性文件的影响。预印本第4节我们指向文献中的一些经验证据，第5节我们讨论了获得的结果。2不均匀风险敞口池我们考虑一个分布在K×L子池中的n个风险敞口池，子池中标记有NKLExposures（K，L），使得PKK=1PLl=1nkl=n。假设所有子池在PD和资产相关性方面都是均匀的，即对于给定的K个所有子池（K，1≤ l≤ 五十） 共享相同的PD，我们称之为pk，对于给定的lall子池（1≤ k≤ K、 l）共享相同的资产相关性，我们将其称为ρAl。默认事件和默认指标随机变量定义如下：Dikl={子池（K，l）中的风险敞口i违约}Dikl=1如果子池（k，l）中的风险敞口i在本文中以其他方式违约0，则可以理解，违约事件的观察范围始终相同，通常为一年。

暴露i的PD是默认指示器随机变量pk=P的期望值迪克尔= E迪克尔对于子池（k，l）中的每个风险敞口i，我们假设其违约事件可以通过一个结构模型进行充分描述，其中一个潜在变量z由所有风险敞口共享，信誉指数yikl特定于考虑的风险敞口yikl=qρAlz+q1-ρAlikl（1）这里z，yikl，ikl公司~ N（0，1）是标准正态分布，z以及所有的异向因子iklare成对独立。常数ρ表示资产相关性以及QρAlρAt给出的两个不同信誉指数yjstis的相关性。此外，我们假设两个信誉指数具有联合的双变量正态分布。有关这种广泛使用的建模方法的一些背景，请参见Bluhm et al.（2010）。

违约结构模型的基本假设<=> yikl<ck，其中ck=Φ-1（pk）对于i 6=j，暴露i属于子池（k，l），暴露j属于子池（s，t），我们有：covDikl，1Djst= EDiklDjst公司- E迪克尔EDjst公司= Φck，cs，qρAlρAt- pkpsvar迪克尔= E迪克尔- E迪克尔= 主键- pk（2）预印本取代单一曝光，我们现在考虑一个完整的子池（k，l）和NKL曝光。违约率随机变量DRkl是通过平均NKL违约指标得到的：DRkl=nklXi=1Diklnkl，E（DRkl）=PK使用（2）两个不同的子池（k，l）和（s，t）得出，即COV（DRkl，DRst）=NKLNSTNLXI=1nstXj=1covDikl，1Djst== Φck，cs，qρAlρAt- pkps（3）var（DRkl）=nklnklXi6=jcovDikl，1Djkl+nklXi=1var迪克尔== Φck，ck，ρAl- pk+pk- Φck，ck，ρAlnkl（4）结合K×L子池，我们可以确定整体违约率DR asDR=KXk=1LXl=1nkldrkl，将平均PD定义为p=nPKk=1PLl=1pknkl=E（DR），并使用方程（3）和（4）我们得到var（DR）=KXk，s=1LXl，t=1nklnnstnΦck，cs，qρAlρAt-\'p+\'p-PKk=1PLl=1nklnΦck，ck，ρAln（5）方程（5）允许我们计算非均质敞口池违约率的方差。在我们继续评估同质性假设的影响之前，我们考虑方程（5）的两种特殊情况。首先，我们考虑K=L=1，即我们假设风险池在PD和资产相关性方面是均匀的，并设置p=p，ρA=ρA，c=cto获得var（DR）=Φc、 c，ρA- p+p- Φc、 c，ρAn（6）式（6）等价于式（4）。

注意，var（DR）随ρA严格增加，因此ρA∈ 如果var（DR）、p和n已知，并且var（DR）位于以下界限之间，则可以从数值上退出[0，1]：-p） pn编号≤ var（DR）≤ （1）- p） p（7）预印本（6）提供了一种从观察到的违约时间序列估计资产相关性的简单方法：首先p被估计为平均观察到的违约率，然后var（DR）被估计为定期违约率观察的样本方差。最后，ρAis从（6）中退出，如前所述。然而，请注意，该估计器（通常称为“矩量法”估计器）是有偏差的：估计资产组相关性往往被低估，违约率观测的可用时间序列越短，平均低估的程度就越大。这一观察结果与函数var（DR）相关-→ ρAvar（DR）是凹面的（见Gordy and Heit field（2010））。然而，这种估计偏差并不是本研究的重点，也不影响其主要结论。我们还将L=1，K>1视为方程（5）的另一个特例，即我们假设风险池在资产相关性方面是同质的，而不是PD。设置ρA=ρaan和nk=nk1后，我们得到var（DR）=KXk，s=1nknnsnΦ（ck，cs，ρA）- \'p+\'p-PKk=1nknΦ（ck，ck，ρA）n（8）重新排列项，注意Φ（ck，cs，·）严格递增，我们可以看到var（DR）是ρAsuch的严格递增函数，如果给定了nk，pk和var（DR），并且var（DR）位于一定的界限之间，则ρAcan可以退出。

因此，可以定义一个适用于不均匀风险池的ρaca估值器，但该估值器的性质以及它与Gordy and Heit field（2010）的估值器MLE3（用于相同目的）的比较方式不在本文的范围内。3数值研究3.1设置为了将方程式（5）应用于风险敞口池，首先选择一个同质子池的特定星座，其特征是以下参数，我们将其组合称为风险敞口星座：oK：使用的PD桶数oL：使用的资产相关桶数oρAl，1≤ l≤ 五十： L资产相关桶的不同ρAvaluesopk，1≤ k≤ K： K PD铲斗的不同PD值onkl，1≤ k≤ K、 1个≤ l≤ 五十： 每个L×K敞口池中的敞口数量选择敞口星座后，将通过两种方式计算整体资产相关性。一次是直接通过平均风险组合中定义的风险池之间的资产相关性，得出“ρA”，另一次是通过使用风险组合中包含的信息预印本，通过方程式（5）计算总体违约率DR的方差，然后通过方程式（6）对违约率的方差进行补偿，假设基础风险池是同质的。§ρ是在（错误的）假设下测量的资产相关性，即暴露星座在PD和资产相关性方面实际上是同质的。ρa与平均资产相关性ρa之间的差异是通过同质性假设得出的误差度量。在结果部分中，我们观察了比率ρA%=|ρA/|ρAto来描述这种差异。人们预计ρA%取决于曝光星座的特性，不均匀度就是其中之一。

曝光星座由几个参数表征，我们将其组合称为输入配置：on=PKk=1PLl=1nkl：曝光总数op=nPKk=1PLl=1nklpk：平均PDoσ（p）=qnPKk=1PLl=1nkl（pk- (R)p）：PD文件的标准偏差o(R)ρA=nPKk=1PLl=1nklρAl：平均资产相关性oσ（ρA）=qnPKk=1PLl=1nkl（ρAl- ρA）：ρApro文件的标准偏差oτ（p，ρA）：Kendall的资产相关性和PDpro文件的秩相关系数，参见Lindskog et al.（2003）了解其与线性相关系数的关系。对于其计算，我们使用tau-b的公式，这是Kendall\'stau的一个变量，用于离散数据，包括对关系的校正，请参见SAS（1999）：τ（p，ρa）=PKk=1PLl=1nkl（Akl- Bkl）√DrDc，其中kl=Xk<iXl<jnij+Xk>iXl>jnij，Bkl=Xk<iXl>jnij+Xk>iXl<jnijDr=n-KXk=1LXl=1nkl！，Dc=n-LXl=1KXk=1nkl！给定一个曝光星座，我们可以诊断相应的输入配置，但为了研究ρA%对给定输入配置的依赖性，我们需要推导一个对应的曝光星座。为了做到这一点，我们需要根据我们对准确性的要求选择桶数K和L，并做出一些分布假设，以获得PD和资产联合相关性文件{pk，ρAl，nkl}。基于高斯copula和beta分布边缘的这种构造的技术细节可以在附录中找到。我们在这里以及整篇论文中写道，“测量”以强调从业者的潜在误差，但我们的方法从风险星座的分析属性中得出资产相关性，并且分析中不包括估计误差。预印本3.2不均匀的PD文件对于第一系列结果，我们假设资产相关性ρAto在给定的风险池内是均匀的，即。