非均匀风险敞口池的资产相关性估计

L=1，但我们假设PDs的分布。对于本节中的结果，我们选择K=1000。此外，我们选择n=10非常大，ρA=12%，这是一个在实际相关范围内的值。图1显示，对于不同的p和s（p）=σ（p）√(R)p（1-p）我们始终有ρA%<100%，即如果假设风险敞口池为同质敞口池，则测量资产相关性始终会降低。我们使用s（p）来表征Pd分布的宽度，而不仅仅是σ（p），以便使不同的p值的标准偏差具有可比性。图1：实测资产相关性占实际资产相关性的百分比，使用n=10，K=1000，L=1，ρA=12%。如果s（p）=0，即如果PD在整个池中保持不变，则资产相关性不会减少，因为在这种情况下，方程式（6）和（5）是相同的。s（p）=1意味着投资组合分为两个风险池，PDs p=0，p=100%。总体违约率不再是随机的，var（DR）=0。从（6）中提取资产相关性将导致n限值中的|ρA=0→ ∞. 当0<s（p）<1时，资产回退相关性降低，并且这种降低增加了较大的s（p）值。请注意，如果我们改变资产相关性ρA，图1中显示的图片不会发生显著变化。对于目前显示的结果，我们将风险敞口数n设置为10。然而，对于小n，资产相关性降低的影响增加。如果PD很小，那么对于相当多的n，这种增加已经开始，参见图2作为示例。然而，请注意，小n仅对s（p）>0引起的资产相关性预印本减少有放大作用，它本身没有影响，因为s（p）=0，方程式（6）和（8）是相同的。

还请注意，对于较小的“p”，存在一个最小的nbelow，从方程（8）中获得的var（DR）位于（7）中给出的界限之外，因此方程（6）无法反转。如果n很小，则将单个曝光放置在PD桶中可能会影响曝光池的平均PD，这导致观察到输入配置的“p”和曝光星座的“p”可能相差超过1%，这是本文其他地方使用的公差。然而，图2所研究案例的相对差异始终小于20%。图2：实测资产相关性占实际资产相关性的百分比，K=1000，L=1，ρA=12%，s（p）=20%。3.3资产相关性的不均匀性我们现在假设风险池中的PD为常数，但允许资产相关性在其平均值ρa附近分布。我们取K=1和L=1000，并按上述步骤进行处理，但可以看到截然不同的情况：如果ρa增加，资产相关性并不总是降低。是否有还原取决于ρAas以及p和s（ρa）。然而，图3-5中的结果表明，对于在实践中非常相关的参数区域，我们可以预期资产相关性的降低。

如果p>1%且ρA<20%，则尤其如此，但对于较低的PDs，只要ρAis较小，也是如此。只有对于极低的PDs和相当高的ρAwe，资产相关性才会增加，特别是当s（ρA）也很高时。预印图3：测量的资产相关性为实际平均资产相关性的百分比，使用n=10，K=1，L=1000，p=20%。图4：使用n=10、K=1、L=1000、p=2%，测量资产相关性作为实际平均资产相关性的百分比。预印图5：测量的资产相关性为实际平均资产相关性的百分比，使用n=10，K=1，L=1000，p=0.1%。3.4 PD和资产相关性的不均匀性现在，我们考虑在PD和资产相关性方面不均匀的池。随着计算在数值上变得更加昂贵，我们仅使用K=200和L=100，但如果我们设置g=10和pmid=pmedian（这些技术参数请参见附录），我们仍能准确反映我们感兴趣的输入配置。对于p<0.1%，只有重要的差异，因此我们从分析中排除了PD范围。对于给定的输入配置，我们计算ρa%并将其称为ρa%ρp，然后设置（p）=0%，计算ρa%并将其称为ρa%ρ，最后保持s（p）不变，设置（ρa）=0%，计算ρa%并将其称为ρa%p。对于所研究的所有情况，我们发现，非均匀PD和非均匀资产相关性的影响以近似多重的方式叠加：ρa%ρp≈ ρA%ρA%p（9）表1和表2说明了ρA=4%和ρA=20%的这种关系，以及不同的ρp值。我们已经检查了关系（9）对于ρA、？p、σ（p）、σ（ρ）和ρA的所有组合的有效性∈ {1%，4%，12%，20%，40%}，\'p∈ {0.1%，1%，2%，5%，10%，20%}，σ（p）∈ {5%，20%，50%}，σ（ρ）∈ {5%，20%，50%}并发现它始终有效。实际上，前面的组合研究了ρA%ρp≤ ρA%ρA%p为真，即。

叠加效应从来没有弱于乘法效应。图6和图7显示了与表1和表2相同的“ρa”和“p”选项，p和ρAcan之间的负相关性如何增加资产相关性预印本ρa%ρa%pρa%pρa%pρa%pρp'p 0.1%85.7%46.6%39.9%37.9%1.0%82.2%68.3%56.1%55.2%5.0%80.1%84.2%67.4%67.1%20.0%78.6%91.9%72.2%72.2%50.0%78.1%93.7%73.1%表1：以实际平均资产相关性百分比表示的实测资产相关性，使用n=10、K=200、L=100、？ρa=4%、τ=0%，s（ρA）=20%，s（p）=20%。ρA%ρA%pρA%ρA%pρA%ρp'p 0.1%101.6%45.2%45.9%44.5%1.0%99.1%67.6%67.0%66.3%5.0%97.6%84.1%82.0%81.8%20.0%96.4%91.9%88.7%88.6%50.0%96.0%93.7%90.0%90.0%10，K=200，L=100，(R)ρA=20%，τ=0%，s（ρA）=20%，s（p）=20%。进一步减少，以及正相关如何缓解。

对于p=50%，未观察到相关性对结果结果的影响。图6：测量资产相关性作为实际平均资产相关性的百分比，使用n=10、K=200、L=100、？ρA=4%、s（ρA）=20%、s（p）=20%。预印图7：测量资产相关性作为实际平均资产相关性的百分比，使用n=10、K=200、L=100、？ρA=20%、s（ρA）=20%、s（p）=20%。4经验证据本研究中理论分析的不均匀性影响可以在实践中观察到。Dietsch和Petey（2004）报告了按评级等级划分的法国中小企业的资产相关性估计值，见表3：基于整体工具的资产相关性估计值低于仅限于一个评级等级区间的所有估计值。很明显，整个风险敞口池PD的不均匀性强于单独采取的任何一个评级区间的不均匀性，因此该数据与本研究的结果一致。Hamerle等人（2003年）（表1）使用标准普尔1982年至1999年的评级数据来估计公司的资产相关性。如果他们假设PD加班时间不变（本文中也有此假设），则他们会报告表4中给出的结果。同样，这些结果与本研究的结果一致。Haddad（2013）（表5，最后一行）报告了加拿大中小企业的类似情况，Castro（2012）（表6、7、9）显示了穆迪从1970年到2009年跨越不同地区和行业的评级数据结果。通过整个池估计的资产相关性始终低于在特定区域或特定行业估计的资产相关性，与用于估计的建模假设无关。Demey et al.（2004）进行蒙特卡罗实验，以研究各种资产相关性估值器的小样本特性。

他们研究的一个方面是相对于PD不均匀的暴露池的影响。他们给出的结果（Demey et al.（2004）中的表A、B和C）显示，资产相关性降低ρA1（高）0.02192 0.02293 0.02314 0.02675 0.01516 0.01997 0.02988（低）0.0307总计0.0128表3：Dietsch和Petey（2004）报告的法国中小企业资产相关性测量值，引自Ashimoto（2009）。评级ρABB 0.06042B 0.04516CCC 0.06949所有等级0.03948表4：基于标准普尔数据的公司实测资产相关性，改编自Hamerle et al.（2003）。非均匀暴露池的估算。Demey et al.（2004）还从标准普尔违约数据中得出了不同行业部门的资产相关性估计值，并观察到，如果他们估计了所有行业部门的资产相关性，那么估计的资产相关性就会降低（Demey et al.（2004）中的c.f.备注1）。Kalkbrener和Onwunta（2009）使用标准普尔1981年至2009年的评级数据，使用不同的最大似然估计量计算13个行业板块的资产相关性。在表2的第一列中，他们显示了在不考虑评级信息的情况下估计的每个行业部门的资产相关性，即隐含假设PD的同质性。在表2的第二列中，它们显示了在假设每个行业细分为7个评级类别下估计的每个行业的资产相关性，并且仅在这些评级类别内假设PD的同质性。比较结果，他们发现，除一个行业外，所有行业中第一列的相关性估计值均低于第二列的估计值。

所有行业细分的平均值第一列中的估计相关性为16.3%，第二列中为19.8%。文献中报告的并非所有观察结果都给出了迄今为止所述的清晰图景，其中在敞口池中测量的资产相关性小于在该池每个部分中测量的资产相关性。但为了与本研究的结果保持一致，不需要这样一个清晰的画面，特别是如果不同子池的资产相关性估计值差异很大。例如，Dietsch和Petey（2004）报告了德国的资产相关性估计，其中可以看出，整体资产相关性估计往往低于仅为一个PD桶计算的估计，但存在一些异常值。D¨ullmannand Koziol（2013）全面概述了资产相关性研究，其中一些研究进一步证明了本文所述的不均匀性影响。预印本5讨论本文中的研究表明，在与从业者最相关的情况下，如果资产相关性是根据不均匀风险敞口池的违约率时间序列估计的，则资产相关性被低估。这种低估与目前使用的大多数估计器的估计偏差是向下的（参见D¨ullmann et al.（2008）），如果默认时间序列变长，估计偏差通常会减小（c.f.Gordy and Heit field（2010））。接下来的论文将研究不均匀性效应如何与不同资产相关性估计器的估计偏差相结合。

然而，可以说的是，在s（p）=1的极端情况下，观测到的违约率将随时间保持不变，任何有用的资产相关性估计值ρA将给出ρA≈ 因此，0与|ρa和默认时间序列的长度无关，因此，至少在这种极端情况下，没有现实的估计器能够补偿不均匀性影响。即使仅从一个PD区间估计资产相关性，也必须预期低估，因为为PD区间中的所有敞口分配相同PD的评级系统不会考虑所有可用信息，而“完美”评级系统分配的真实PD将不均匀。尚未研究这种不均匀性的相关性，但最有可能的是，它会导致低估资产相关性，并且这种影响越大，分配PD的评级系统的区分力越低。以类似的方式，风险敞口池中的资产相关性总是不均匀的，这也会导致在许多情况下低估资产相关性，正如我们在第3.3节中看到的那样。如果资产相关性是直接从资产价值变化的时间序列中测量出来的，那么这种低估的来源就不存在了，因此本文的发现为以下观察结果提供了解释：根据违约时间序列估计的资产相关性往往低于根据资产价值数据测量的资产相关性（c.f.D–ullmann et al.（2008），Frye（2008），Kalkbrener和Onwunta（2009）以及Chernih等人（2010））。第3.2节所述和图1所示的资产相关性的大幅降低要求PD具有相当强的不均匀性，有人可能会认为，只要小心一点，在实践中可以避免这种强烈的不均匀性。

然而，第3.4节中的观察结果表明，不均匀性对PD和资产相关性叠加的影响可以通过PD和资产相关性之间的负相关性进一步增加，这导致了已经相当有限的同质性以及一些适度的负相关性导致测得的资产相关性显著降低的情况。例如，如果我们选择“p=1%，σ（p）=0.5%（因此s（p）=5%），以及“ρA=4%，σ（ρA）=2%（因此s（ρA）=10%）和τ=-20%，那么观察到的资产相关性降低已经接近15%。图8显示了相应曝光星座的边际PD和ρA分布以及联合PD-ρA分布。如果PD是用一个评级系统来衡量的，而该评级系统本质上不能包含所有预测信息，并且如果同质性预测图8：n=10，K=50，L=50，p=1%，s（p）=5%，ρa=4%，s（ρa）=10%，τ=-20%，ρA%=85.8%的特定风险部分的资产相关性仅通过根据行业和地区等特征将风险敞口分配给该风险部分来确保。请注意，有一些证据表明，较大的公司往往具有较高的资产相关性（因为它们较少依赖特质因素来驱动其风险）以及较低的RPD，因此，如果风险敞口池与公司规模不一致，则PD和资产相关性之间会产生负相关Lee et al.（2009）。巴塞尔RWA公式隐含地假设资产相关性和PD之间存在负相关性。另请参阅Chernih et al.（2010）（图1）和Tarashev and Zhu（2007）（表3）以获取一些经验证据，以及Lopez（2004）和Lee et al。

（2009）对该主题进行更深入的讨论。虽然我们相信本文中描述的影响是真实而重要的，但值得强调的是，我们对得出结论所做的假设：预印本我们假设第2节中所述的违约结构模型和因子模型实际上是适用的，并且风险敞口群随时间保持不变。我们还假设PD和资产相关性可以用贝塔分布近似，它们的相关性可以用高斯copula建模。这些分布假设显然影响了本文中报告的数字结果，但可以说，这并不是本文的主要结论，即忽略不均匀性影响会导致资产相关性测量值降低。参考Bluhm，C.和Overbeck，L.（2007）。结构化信贷组合分析、篮子和CDO。CRC出版社。Bluhm，C.、Overbeck，L.和Wagner，C.（2010年）。《信贷风险建模导论》，第二版。CRC出版社。Castro，C.（2012年）。组合信贷风险中资产相关性的置信集。《罗萨里奥经济评论》（RevistadeEconomia del Rosario），15（1）：19–58。Chernih，A.、Henrard，L.和Vandu Offel，S.（2010年）。调节信贷相关性。《风险模型验证杂志》，4（2）：47–64。Demey，P.、Jouanin，J.-F.、Roget，C.和Roncalli，T.（2004）。违约相关性的最大可能性估计。风险，第104–108页。可以在以下位置找到重要更正：http://www.thierry-roncalli.com/download/correction-mledc.pdf.Dietsch，M.和Petey，J.（2004）。中小企业风险敞口应被视为零售风险敞口还是企业风险敞口？法国和德国中小企业违约概率和资产相关性的比较分析。《银行与金融杂志》，28:773–788。D¨ullmann，K.和Koziol，P.（2013）。评估中小企业银行贷款的最低资本要求。