高阶格式的递归边际量子化

最终量化器的第一时刻与true50 100 150 200 250 300-1.5-1-0.500.5差×10-2GBM Euler50 100 150 200 250 300-1-0.500.5差×10-3GBM Milstein50 100 150 200 250 300-505差×10-4GBM弱序2.050 100 150 200 250 300-1.5-0.500.5差×10-2CEV Euler50 100 150 200 250 250 250300-1-0.500.5Difference×10-3CEV Milstein50 100 150 200 250 300-505Difference×10-4CEV弱阶2.0图8：GBM和CEV量化所隐含的边缘分布误差。绘制了一系列时间步长的力矩。在每种情况下，横轴提供步长的基数2对数，纵轴提供第一时刻误差的基数2对数。因此，每个图的斜率反映了步长的幂，从而反映了误差的弱收敛顺序。在图表图例中，用β表示的图的回归梯度表示弱收敛阶。正如seeKloeden和Platen（1999）在理论上所预期的那样，Euler和Milstein格式都具有近似弱一阶收敛，而简化的弱阶2.0格式达到了接近二阶的弱阶。因此，在评估偶然目标时，后一种方案在数量级上更精确，并且可以预期产生的结果比Euler方案的误差小得多。为了提高这些图的准确性，使用的基数为Nk=1000。由于GBM和CEV的真实条件分布以闭合形式已知，因此我们可以将时间步k+1处的近似边际分布（由量化器在时间步k处暗示并使用（7）计算）与时间步k+1处的精确d分布进行比较。

在CEV过程中，我们使用Lindsay和Brecher【2012】给出的分布解析表达式，并对SDE中的漂移分量进行了调整。对于三个方案中的每一个，在GBM和CEV测试用例下，精确边缘分布和隐含边缘分布之间的差异如图8所示。在这里，我们恢复使用基数Nk=200。请注意图中图表y轴的比例，从上到下，每个连续行中的误差幅度都会减小一个数量级。这表明，当这些高阶方案用于为未定权益定价时，可以预期会有改进。5 SDE的零偏差有时离散时间近似可能表现出与真实解不一致的行为。例如，几何布朗运动的Euler-Maruyama近似或CEV过程在某些情况下会产生负值，即使SDE规范保证了每种情况下的非负性。因此，离散时间蒙特卡罗模拟经常被修改，以在零度时产生反射或吸收行为，参见exampleLord等人【2010年】。在本节中，我们将描述如何在类似的mann er中修改theRMQ算法。5.1吸收边界为模拟吸收边界，必须将X的近似边缘分布域（见（7））截断为零。用零的leftlimit实现RMQ算法会产生一个量化器，该量化器在每个时间步都具有不统一的性能。由于区域截断，未考虑的概率是吸收零边界处累积的质量。

为了补偿这一点，可以用一个额外的码字来扩充每个时间步的量化器，该码字的值为零，概率等于1减去该时间步与所有其他码字相关联的概率之和。转移概率矩阵也可以通过一致的方式增加，即一旦过程达到零状态，它就必须独立地保持在该状态，即从吸收状态移动到任何其他状态的条件概率为零，相应地，保持在吸收状态的条件概率为一。修改算法很简单，不会产生额外的计算负担。假设之前量化器的元素都是正的，那么更新（6）的一种形式将是负的，当nzik+1<-锡克米克。这意味着每个Zik+1的域必须在-cikmiko确保在时间步k+1处的lypositive码字。这是通过设置ri，1实现的-k+1=-cikmik，（15）用于1≤ 我≤ Nk，在第3.1节所述的实施中。这相当于假设1-k+1=0英寸（9）。算法的其余部分继续进行，无需修改。当然，这一切都取决于这样一个事实：第一步的qu-antizerΓ也有积极的因素。这是通过在矢量量化算法中使用类似的截断来实现的。牛顿迭代的初始猜测也必须确保正性-4-3-2-1 0 1 2 3域00.050.10.150.20.250.30.350.40.45密度反射边界正常密度边界反射组件反射密度图9：周围反射的标准高斯密度图示-1.5.5.2反映边界图9显示f（x），密度函数-在这种情况下为标准高斯密度。红线r表示“x=-1.5。

边界左侧的f值由图中的黄色虚线反映和描绘。这些值由f（2'x）给出- x） 对于x>\'x。因此，将域限制为[\'x，∞) 反射密度表示为“f（x）”，表示为总和“f（x）=f（x）+f（2”x- x） 。此表达式在'x到x的积分极限上的直接积分∈ [x]，∞) 给出了反射分布函数F（x）=F（x）- F（2英寸x- x） 第一个较低的部分期望函数M（x）=M（x）+M（2'x- x）- 2英寸xF（2英寸x- x）- 2M（\'x）+2\'xF（\'x），（16），其中F（x）和M（x）是未反映的分布和与F相关的第一个低期望函数。这不仅适用于高斯情况，也适用于高阶更新所需的非中心卡方情况。修改RMQ算法以允许反射边界为零，需要对第3.1节中所述的实施进行两次修改。首先，积分的下界，即每次更新中Zik+1随机变量的域，必须通过替换上面（15）中最左侧的区域边界来进行截断。其次，与每个随机变量相关的密度、分布和第一下部分期望函数必须由其对应的“fZik+1（x）=fZik+1（x）+fZik+1（2）xik”代替- x） ，\'FZik+1（x）=FZik+1（x）- FZik+1（2’xik-x） ，且“MZik+1（x）=MZik+1（x）+MZik+1（2”xik- x）- 2'xikFZik+1（2'xik- x） ，（17）对于x∈ [(R)xik，∞), 其中？xik=-锡克米克。算法的其余部分将正常进行。学生读者会注意到，与（16）相比，（17）中缺少了两个术语。

省略的原因是，这些项是每个i和d的常数，theRMQ算法总是只需要区分部分力矩项，如（10）所示。因此，当出现这种差异时，常数项会被取消，因此我们可以使用排除它们的定义。与abs吸收边界的情况一样，必须在矢量量化算法中应用类似的反射，以确保Γ是一致的。5.3示例众所周知，当0<α<0.5时，CEV过程可能达到零，并且该状态可能是吸收或反射。Lindsay和Brecher【2012年】给出了这两种情况下相应的边际分布（很容易调整其公式，以解释CEV过程SDE中的漂移项）。在第4.3节中，我们考虑了α>0.5的CEV过程，该过程仅允许在零处吸收。现在考虑以下情况，其中s=0.5，α=0.35，σLN=50%，其余参数与前面一样。图10显示了三个方案的准确边际分布和RMQ所显示的边际分布之间的差异，这三个方案经过修改，以说明吸收边界（左）和反射边界（右）。与之前一样，图表的比例从上到下发生变化，这表明由于选择了sch EME而有所改善。注意，在CEV模型的参数选择下，第3节的标准RMQ公式失败。在不实施本节中提出的吸收或反射修改的情况下，在RMQ算法的执行过程中，某些码字在某一点上变为负数，导致使用虚值进行离散时间更新。6原则在本节中，使用RMQ算法对未定权益进行定价，并比较三种更新方案的准确性。

定价的债权包括在几何布朗运动（GBM）及其推广的恒定方差弹性（CEV）模型下的欧洲、百慕大和离散监控障碍期权。GBM模型及其参数见第3.2节，而CEV模型的规范见第4.3节。这些参数用于本节的定价。正如这些规范所暗示的那样，假设连续复合利率为常数，r=5%。所有期权到期日均为一年，RMQ算法使用K=12执行，即使用每月步骤，对于所有K.6.1欧洲期权价格，常数为Nk=200。已使用RMQ算法获得终端量化器，这是一种在到期日T=tK时具有支付函数H（S，X）的欧洲期权，其中，S代表资产过程，0.1 0.2 0.3 0.4-1-0.500.5差异×10-2uler（吸收率）0.1 0.2 0.3 0.4-1.5-1-0.500.5差异×10-3Milstein（吸收率）0.1 0.2 0.3 0.4-6-4-202差异×10-4弱阶2.0（吸收率）0 0.1 0.2 0.3 0.4-1-0.500.5差异×10-2uler（反射率）0.1 0.2 0.0 0.4-1.5-1-0.500.5差值×10-3Milstein，反射率0.1 0.20.3 0.4-6-4-202差×10-4弱阶2.0，反射率图10：eCEV过程的真实和近似边缘分布之间的差异。左栏显示吸收情况，右栏显示反射情况。X罢工可使用（2）中规定的预期直接进行预测。

价格由H=e给出-rTE【H（ST，X）】≈ e-rTpKH（ΓK，X），（18）其中，他是初始时间t=0时的索赔值，H（ΓK，X）是按元素计算的函数，如前所述，它是长度为NK的列向量。图11显示了GBM和CEV模型在广泛罢工情况下的看跌期权价格的准确性。GBM期权价格与Black-Scholes期权定价公式进行了比较，而CEV价格与最初的解析解进行了比较，并根据Hsu等人[2008]提出的中央卡方分布n进行了重新计算。在图中，x轴表示固定的即期逆货币，其被确定为初始资产价格S上的可变执行值。尽管Euler方案从一开始就相当准确，但Milstein方案和简化的弱阶2.0方案的精度明显提高。对于某些打击，错误会减少一个数量级。0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8Moneyness00.020.040.060.080.10.12绝对误差GBM欧洲PutEulerMilsteinWeak指令2.00.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8Moneyness00.010.020.030.040.050.060.070.08绝对误差CEV欧洲PutEulerMilsteinWeak指令2.0图11：使用RMQ计算的GBM和CEV欧洲卖出价的准确性，与分析性RMQ相比解决方案。6.2百慕大期权价格使用标准反向动态规划原理（BDPP）计算百慕大期权价格，这是离散时间最优停止理论的一个重要结果。Pag\'es【2014】回顾了BDPP作为应用程序应用于量化结果网格的情况。一旦使用RMQ算法计算出量化网格s和相应的转移概率矩阵，百慕大期权定价的高级算法f可能规定如下：1。初始化hK=H（ΓK，X）2。对于k=k- 1.

，1设置hk=最大值（H（Γk，X），e-rtPk+1香港+1）3。设置H=e-rTPH最大函数按元素应用，其第二个参数为连续值，由于每个时间步的转移概率矩阵可用，因此很容易将其计算为条件期望。百慕大索赔的初始值由H给出。在图12中，GBM和CEV模型显示了百慕大每月锻炼机会的准确性。参考价格使用高分辨率等级Nicholson有限差分方案计算，使用600个时间步和800个股票增量，在0和4×S之间等距。所有三种RMQ算法都会产生较低的绝对误差，简化的弱order2.0方案再次产生较小数量级的误差。0.5 1 1.5Moneyness00.020.040.060.080.1与FDMGBM百慕大PutRMQ Eulermq MilsteinRMQ弱指令的绝对差异2.00.5 1 1.5Moneyness00.010.020.030.040.050.060.07与FDMCEV百慕大PutRMQ Eulermq MilsteinRMQ弱指令的绝对差异2.0图12：与高分辨率Crank-Nicholson有限差异方案相比，GBM和CEV百慕大看跌期权价格的准确性。6.3障碍期权定价障碍期权的定价之前已在AGNA【2011】的量化背景下进行了探讨。这项工作表明，格拉斯曼[2003]第6.4节中描述的跨越障碍方法可以使用所谓的transitionker-nel公式应用于边缘量化。

使用我们的符号，我们现在将这种方法与我们提出的更精确的方案相结合，并将其应用于离散监控的屏障选项。考虑表达式（18）对欧式期权进行定价，该表达式可能被改写为≈ e-rTpK-1Yk=1Pk+1！H（ΓK，X）。要为淘汰障碍期权定价，必须修改该表达式中每个时间步的转移概率矩阵，以考虑基础过程违反barrier的可能性。因此，我们通过将跃迁概率乘以未穿过势垒的概率来重新缩放跃迁概率。设g（x，y）是在不穿过势垒的情况下在状态x和y之间转换的概率。如果我们形成一个值为[Gk+1]i，j=g（γik，γjk+1）的Nkby Nk+1矩阵，那么Pk+1oGk+1定义了过渡内核。然后，b arrier选项可以使用H进行定价≈ e-rT（pog） K级-1Yk=1（Pk+1oGk+1）！H（ΓK，X），其中g=[g（S，γ）。

，g（S，γN）]是行向量。1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1Barrier Level（strike倍数）00.050.10.150.20.25与MCGBM Discrete Barrier PutRMQ EulerRMQ MilsteinRMQ弱序2.0MC 3SDev界限1.02 1.04 1.06 1.08 1.1Barrier Level（strike倍数）00.020.040.060.080.10.120.140.160.18与MCCEV Discrete Barrier PutRMQ EulerRMQ MilsteinRMQ弱序2.0MC 3SDev界限绝对差图13：Accur与蒙特卡罗模拟相比，GBM和CEV的acy离散地反映了看涨期权和看跌期权的价格。在屏障级别为L的离散监控向上和向外屏障选项的情况下，函数g简单地表示为指示函数g（x，y）=I{max（x，y）<L}。我们参考Glasserman【2003年】和S agna【2011年】，了解使用瑞利分布的连续监测案例。在图13中，使用RMQ生成的离散监控向上和向外看跌期权价格的准确性与GBM和CEV m模型下的蒙特卡罗实现进行了比较。障碍水平（x轴）表示为货币罢工时的倍数。由于我们选择了K=12，因此每月对屏障进行监测。参考价格由100万路径蒙特卡罗实验提供。Monte Carlo路径使用Euler Maruyama upd ates生成，具有1200个时间步，同时确保仅每月监测一次屏障。我们使用准确的跃迁密度生成GBM的蒙特卡罗样本，以确认结果的一致性，并生成正确的标准偏差。结果显示了与前几节相似的模式，但有一个重要的特点：简化的弱序2.0方案产生的价格，对于所考虑的大多数势垒值而言，位于百万路径蒙特卡罗实验的三s标准偏差范围内。