高阶格式的递归边际量子化

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英文标题：
《Recursive Marginal Quantization of Higher-Order Schemes》
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作者：
T. A. McWalter, R. Rudd, J. Kienitz, E. Platen
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Quantization techniques have been applied in many challenging finance applications, including pricing claims with path dependence and early exercise features, stochastic optimal control, filtering problems and efficient calibration of large derivative books. Recursive Marginal Quantization of the Euler scheme has recently been proposed as an efficient numerical method for evaluating functionals of solutions of stochastic differential equations. This method involves recursively quantizing the conditional marginals of the discrete-time Euler approximation of the underlying process. By generalizing this approach, we show that it is possible to perform recursive marginal quantization for two higher-order schemes: the Milstein scheme and a simplified weak order 2.0 scheme. As part of this generalization a simple matrix formulation is presented, allowing efficient implementation. We further extend the applicability of recursive marginal quantization by showing how absorption and reflection at the zero boundary may be incorporated, when this is necessary. To illustrate the improved accuracy of the higher order schemes, various computations are performed using geometric Brownian motion and its generalization, the constant elasticity of variance model. For both processes, we show numerical evidence of improved weak order convergence and we compare the marginal distributions implied by the three schemes to the known analytical distributions. By pricing European, Bermudan and Barrier options, further evidence of improved accuracy of the higher order schemes is demonstrated.
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中文摘要：
量化技术已被应用于许多具有挑战性的金融应用中，包括具有路径依赖和早期行使特征的债权定价、随机最优控制、过滤问题和大型衍生品账簿的有效校准。欧拉格式的递归边际量化是最近提出的一种有效的数值方法，用于计算随机微分方程解的泛函。该方法涉及递归量化基础过程的离散时间Euler近似的条件边缘。通过推广这种方法，我们证明了可以对两种高阶方案执行递归边缘量化：Milstein方案和简化的弱阶2.0方案。作为这一推广的一部分，提出了一个简单的矩阵公式，可以有效地实现。我们进一步扩展了递归边缘量子化的适用性，展示了在必要时如何将零边界处的吸收和反射合并。为了说明高阶格式精度的提高，使用几何布朗运动及其推广，即常弹性方差模型进行了各种计算。对于这两个过程，我们给出了改进的弱阶收敛性的数值证据，并将三种格式所隐含的边缘分布与已知的解析分布进行了比较。通过对欧式期权、百慕大期权和障碍期权的定价，进一步证明了高阶方案精度的提高。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Recursive_Marginal_Quantization_of_Higher-Order_Schemes.pdf (1.51 MB)

2022-5-31 00:58:56 上传

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关键词：Quantitative Applications distribution Mathematical computations

高阶模式的递归边际量子化*1,2，拉尔夫·路德，J¨org Kienitz1,3和Eckhard Plate1,4开普敦大学精算科学与非洲量化金融与风险研究合作部，约翰内斯堡大学金融与投资管理系，约翰内斯堡大学数学与自然科学学院，Bergische Universit–2018年9月10日，悉尼理工大学WuppertalFinance学科组和数学与物理科学学院抽象量化技术已应用于许多具有挑战性的金融应用中，包括具有路径依赖和早期练习特征的定价声明、随机最优控制、，大型衍生书籍的过滤问题和有效校准。最近，欧拉格式的递推边缘量化被认为是计算随机微分方程解泛函的有效数值方法。该方法涉及递归量化基础过程的离散时间Euler近似的条件边缘。通过推广这种方法，我们证明可以对两种高阶方案执行递归边际量化：Milstein方案和简化的弱阶2.0方案。作为这一推广的一部分，提出了一个简单的矩阵公式，可以有效地实现。我们进一步扩展了递归边际量化的适用性，展示了在必要时如何合并零边界处的吸收和反射。为了说明高阶格式精度的提高，使用几何布朗运动及其广义化，即协方差弹性模型进行了各种计算。

对于这两个过程，我们给出了改进的弱阶收敛性的数值证据，并将这三种格式所隐含的边缘分布与已知的解析分布进行了比较。通过对欧式、百慕大南道障碍期权的定价，进一步证明了高阶模式的准确性有所提高。1简介量化技术已被证明在许多定量金融应用中有效。特别是，这包括具有路径依赖性和早期行使的未定权益定价【P’ages和Wilbertz，2009；Sagna，2011；Bormetti等人，2016】、随机控制问题【P’ages等人，2004】和非线性过滤【P’ages和Pham，2005】。为了提高数值效率，Pag\'es和Sagna【2015】引入了一种已知的技术*通信：tom@analytical.co.zaas递归边际量化。Callegaro等人【2014年、2015年a】证明，该技术对大型衍生书籍的快速校准有效，这是另一个具有挑战性的金融应用。本文旨在显著提高递归边际量化的精度。量化是一种有损压缩技术，它使用比原始信息更少的信息生成信号的离散表示。该技术起源于信号压缩领域，但已在信号处理、模式识别、数据挖掘、集成理论以及最近的数值概率等领域得到应用。ForgeGeneral Overview of the mathematics and applications of quantization seeDu et al.（1999）和Pag\'es（2014）。概率分布的矢量量化在Graf和Luschgy【2000】的工作中得到了形式化，并从一开始就应用于数学金融领域。

这是一种通过离散分布来临时表示连续分布的技术，其中两个分布之间的“距离”测量值（称为失真）被最小化。失真度通常使用平方欧几里德误差进行测量。将矢量量化应用于金融相关问题的解决通常需要对时间进行离散，然后量化该问题特定的随机微分方程系统的相应边际分布。量化网格及其相关权重随后用于计算pricingcontingent索赔（包括早期行使的索赔）中要求的期望值，或用于执行随机控制问题中要求的优化【Pag\'es等人，2004年】。由于对Lloyd\'sAlgorithm【Lloyd，1982】或其变体的依赖，这些方法通常会带来沉重的计算负担。Pag\'es和Sagna【2015年】最近提出了一种更有效的单因素案例方法。被称为递归边际量化（RMQ），它利用牛顿-拉斐逊迭代对基础SDE的Euler Maruyama【Maruyama，1955年】更新进行量化。Callegaro等人【2014、2015a】已将该技术用于快速校准局部波动率模型，并将其扩展用于双因素SDE，并应用于短期波动率模型【Callegaro等人，2015b】。在目前的工作中，RMQ算法被推广，允许实现比Euler-Maruyama格式更高阶的格式。我们现在提供本文其余部分的概览。第二节回顾了矢量量化（VQ）在概率分布中的应用。特别是，我们努力同时提供一个精确、简洁和直观的方法描述。

由此产生的算法使用矩阵公式表示，允许高效实现。本节最后展示了应用于高斯和非中心卡方分布的矢量量化示例。第三节介绍了应用于随机微分方程的递归边际量化。Pag\'es和Sagna【2015年】提出的问题公式比原始公式更具普遍性。提供了一个矩阵公式，演示了与马尔可夫链的联系，允许轻松高效地实现。在接下来的章节中，我们将RMQ算法扩展到高阶更新，特别是eMilstein[1975]方案和Kloeden and Platen[1999]的简化弱阶2.0 Taylor方案。以几何布朗运动（GBM）和常方差弹性（CEV）过程为例，说明了量化边缘分布误差的改善和弱阶收敛的改善。当对过程的离散时间近似进行蒙特卡罗模拟时，通常通过实施吸收或反射来实现溶液的非负性。在某些情况下，使用RMQ时也需要这样做。在第五节中，我们对RMQ算法进行了必要的修改，以确保吸收或反射边界为零。这些修改允许将RMQ算法应用于CEV过程中的参数集，否则在原始公式下会有问题。第六节给出了RMQ方案在期权定价中应用的数值结果。欧洲、barrier和百慕大期权根据GBM和CEV模型定价。

在可能的情况下，将结果与可用的封闭式解决方案进行比较，否则将其与高分辨率有限差分或蒙特卡罗实现进行比较。本文的目标之一是对VQ和RMQ的理论进行更一般、更容易理解的介绍。然而，主要贡献在于RMQ的更一般的表述，使得PAG\'es和Sagna的工作得以系统扩展【2015年】。本文最后对正在进行的工作进行了讨论。2矢量量化矢量量化是一种有损压缩技术，它提供了一种使用离散子空间对矢量空间进行编码的方法。虽然这项技术在更广泛的情况下是可行的，但我们只简单地考虑了一维分布的量化。我们在本节中要解决的向量量化问题可以直观地描述如下：找到“最佳”表示与随机变量X相关的连续分布函数的离散分布。这如图1所示，图1显示了连续随机变量的密度函数及其相应的量化版本。这里，为了便于可视化，我们可以绘制（连续r和dom变量的）概率密度函数和量化器的概率质量函数，而不是连续和离散分布函数。现在，我们对该问题提供了更严格的说明。设X为连续随机变量，取R中的值，并在概率空间上定义(Ohm, F，P）。

上述问题可以归结为：在最小二乘意义上，e上如何通过离散变量BX最佳逼近X：Ohm → Γ，其中Γ是R中的一组有限元素？密度量化器图1：左侧的连续概率密度函数在右侧量化，概率在纵轴上表示。γiγi+1γi-1ri+ri-| {z}Ri（Γ）图2：与co-dewordγi相关的区域Ri（Γ）的表示。量子化有用的原因是它允许有效地近似X的泛函H（X）的期望值，即e[H（X）]=ZRH（X）dP（X≤ x）≈Xγ∈ΓH（γ）PbX=γ.例如，这里，H可能是金融索赔的贴现支付，P可能是风险中性概率度量。考虑由^X给出的X的近似值，这是一个离散的随机向量，定义为X在Γ={γ，γ，…，γN}上的最近邻投影，这是rw中具有有限基数N的一组不同点∈ N+。我们将Γ称为量化器，其元素称为dewords。最近邻投影算子πΓ：R→ Γ定义为πΓ（X）=γi∈ ΓkX公司- γik≤ kX公司- γjk，对于所有j=1，N其中等式仅适用于i<j.这里，k·k是欧几里德范数。与量化器相关的区域Ri（Γ） R是X值的子集，映射到每个码字γi:Ri（Γ）=x个∈ RπΓ（x）=γi.这些区域也称为沃罗诺区域。为简洁起见，当我们所指的量化器明显为Γ时，我们将使用Rito-refer-toRi（Γ）。区域{Ri}Ni=1的集合称为r的细分，并具有以下属性：Ri∩ Rj= 对于i 6=j和∪Ni=1Ri=R。由于我们在一维中工作，区域Ri可以直接定义为Ri={x | Ri-< x个≤ ri+}带ri-=γi-1+γi和ri+=γi+γi+1，对于1≤ 我≤ N、 其中，根据定义，r1-= -∞ 和rN+=∞.

如果未在整个实线上确定分布欠考虑，则r1-调整rN+以反映支撑间隔。图2显示了这些区域的简单图形表示。有了这些定义，我们现在可以精确地定义优化问题。我们希望找到量化器Γ，使bx=πΓ（X）最接近X。量化器Γ为“最佳”的感觉由失真函数d（Γ）=EhkX确定-bXki=ZRkx- πΓ（x）kdP（x≤ x） =NXi=1ZRi（Γ）kx- γikdP（X≤ x） 。（1） 我们需要最小化D（Γ）的Γ。概率权重th en直接遵循最近的n个eighb或投影算子，即P（bX=γi）=P（X∈ Ri）。最优Γ的一个必要条件是失真函数的梯度为零，即，D（Γ）=0，其中D（Γ）的计算公式为D（Γ）γi=2ZRi（Γ）（γi- x） dP（x≤ x） ！，对于1≤ 我≤ N、 直觉上，这意味着以区域结果为条件的第一时刻等于相应的码字。因此，解决该方程组的一种方法是使用上述梯度表达式建立定点迭代。这是劳埃德算法的基本原理，该算法从量化器的初始猜测开始，生成连续更新（n+1），其中n个新码字γin+1，计算为与先前更新（n）相关的区域的质心：γin+1=RRi（n））x dP（x≤ x） RRi（Γ（n））dP（x≤ x） ，对于1≤ 我≤ N和d 0≤ n<nmax。另一种方法是用列向量Γ表示量化器，导出Hessian，D（Γ），并使用迭代NewtonRaphson方法（n+1）=Γ（n）计算量化器的更新估计-h类DΓ（n）我-1.DΓ（n）对于0≤ n<nmax。我们现在进一步发展这种方法。假设FX和FX分别是X的PDF和CDF。

我们定义了第p个较低的部分期望值asMpX（x）=EXpI{X<X},式中，MX（X）=FX（X）表示X的分布函数。当畸变函数（1）的直接积分给定SD（Γ）=NXi=1Zri+ri-kx公司- γikfX（x）dx=NXi=1hMX（ri+）- MX（ri-) - 2γiMX（ri+）- MX（ri-)+ （γi）外汇（ri+）- 外汇（ri-)i、 因此，向量的元素D（Γ）的计算公式为D（Γ）γi=2γi外汇（ri+）- 外汇（ri-)- 2.MX（ri+）- MX（ri-),对于1≤ 我≤ N、 类似地，三对角Hessian矩阵，D（Γ），可计算。它有对角线元素，由D（Γ）（γi）=2外汇（ri+）- 外汇（ri-)+fX（ri+）（γi- γi+1）+fX（ri-)（γi-1.- γi）,和超对角线和次对角线元素D（Γ）γiγi+1=fX（ri+）（γi- γi+1）和D（Γ）γiγi-1=fX（ri-)（γi-1.-γi）。请注意，计算Newton-Raphson迭代（即梯度和Hessian）所需的量只需要已知PDF、CDF和第一个较低的部分期望值。如果希望计算失真的数值估计，则需要第二个较低的部分期望。2.1高效实施我们现在提供上述牛顿迭代的矩阵公式，旨在帮助高效实施。如上所述，量化器由列向量Γ表示。该向量和所需的其他三个列向量由[Γ]i=γi，[M]i=MX（ri+）定义- MX（ri-), 1.≤ 我≤ N、 [f]i=fX（ri+）[Γ]i=γi+1- γi，1≤ 我≤ N-请注意，后两个向量比前两个向量短一个元素。概率p的行向量定义为[p]i=p（bX=γi）=p（X∈ Ri（Γ））=FX（Ri+）- 外汇（ri-), 1.≤ 我≤ N、 将p定义为行向量是很方便的，因为期望将函数H应用于量化器isE[H（X）]=NXi=1H（γi）pbX=γi= pH（Γ），（2），其中H按元素施加于Γ。

此外，这将与后面介绍的执行边际量化技术的马尔可夫链公式兼容。使用这些向量，则可以计算出d偏移函数的梯度D（Γ）=2Γo p- 2M，其中o 表示元素级Hadamard乘积。Hessian矩阵的超对角线和次对角线（或反对角线）项D（Γ）由长度（N）给出- 1） 行向量OFF=-[foΓ],主对角线由hmain=2p+[ho fff | 0]+[0 | ho fff]给出，其中ho fff向量的副本附加在零之前。现在可以直接根据数量设置牛顿-拉斐逊迭代-4-3-2-1 0 1 2 3 400.10.20.30.4密度00.010.020.030.04 N=50的量化器图3：标准正态分布的矢量量化2.2示例在本节中，我们将上述方法应用于高斯分布和具有一个自由度的非中心卡方分布。后者对于本文后面讨论的高阶递归边际量化方案非常重要。2.2.1标准正态分布当X是标准正态随机变量时，我们有FX（X）=φ（X）FX（X）=Φ（X）MX（X）=-√2πe-x=-φ（x），其中φ（·）和Φ（·）分别是标准正常PDF和CDF。这里，对初始qu antizerΓ（0）的一个很好的猜测是γn=5.5nN+1-2.75，用于1≤ n≤ N、 图3显示了基数N=50的量化器，在nmax=20牛顿-拉斐逊迭代之后，使用此初始猜测。乍一看，人们很容易将量化器（由条形图表示）视为直方图，并认为它无法充分捕捉密度的特征，因为它具有“不正确的形状”。然而，这是一个误导性的类比，因为直方图表示在x轴上以相同大小的间隔实现arandom变量的概率。