针对特定竞争对手的稳健投资组合优化

因此，κ可以低至（2）的溶液。同样，我们可以考虑使用后悔本身并不是一个目标，而是在我们的投资组合分配问题中施加的一个约束。例如，我们希望在上述问题中实现预期回报最大化。然后我们可以解决类似的问题，maxxuTx（8）s.t.RgrtU（x）≤ θ、 其中θ是我们准备接受的遗憾，不能低于（6）的解。这种方法之所以具有吸引力，是因为投资者更倾向于以更有意义的目标为目标，例如最大化预期回报或最小化交易成本。此外，它使投资组合经理能够控制他准备承担多少风险，以增加（或减少）他的目标功能。这也是一个更灵活的选择，因为添加约束相对来说比用新的目标函数从头重写优化问题更容易。比例回归作为后悔的替代方法，我们可以将绩效损失定义为基准波动率的比例，而不是波动率的差异，即lB（x，Q）：=pxTQ x- minb公司∈BpbTQ bminb∈BpbTQ b，我们认为按比例思考对投资者来说更为自然，因此这种选择对他们来说更为实际。通过使用LBW，我们可以定义比例后悔prgrtu（x）的概念：=maxQ∈Umaxb公司∈BpxTQ x-pbTQ bpbTQ b。与之前一样，我们只要求对每一个场景下的最佳基准的波动性进行建模，而不是对所有场景进行建模。同样，如果x在所有情况下都优于所有基准，则比例遗憾通常为负。然而，应该明确的是，这不仅仅是一个表面上的改变。虽然每个场景中的最佳基准保持不变，但场景之间的权衡确实会发生变化。

为了说明这一点，让我们看一个简单的例子。假设我们有两项资产可以投资，但由于外部限制，我们只能投资其中一项。然而，我们知道，我们将和一个单一的基准进行比较，这是一个由两项资产组成的权重相等的篮子。我们的研究团队得出结论，在接下来的一年中，有两种可能的情景，总结在这两个协方差矩阵中：Q=“0.2 0.0850.085 0.23#Q=“0.18 0.180.18 0.26#第一种资产在情景1中的波动率为20pp，在情景2中的波动率为23pp，而第二种资产在情景1和2中的波动率分别为18pp和26pp。此外，我们有一个单一的基准，在情景1中波动率为15pp，在情景2中波动率为20pp。可以检查x在场景1中的表现是否最差，而y在场景2中的表现是否最差。x落后于b 5个百分点，占33.3%，而y落后于b 6个百分点，占30%。很明显，如果我们关心后悔，我们会投资于x，而如果我们关心成比例的后悔，我们会投资于y。因此，这两种测量基准距离的方法会产生不同的决定。比例后悔可以简单地用PRgrtUin（6）代替rgrtu作为目标。它也可以用作约束，在这种情况下，我们在（8）中进行相同的替换。为避免混淆，我们将波动率单位（通常为%）称为pp。在本节中，我们将调查拟议方法是否产生合理的结果，以及同样重要的是，结果是否与其他常用方法有根本不同。为了做到这一点，我们将研究它在跨不同地区构建只做多的股票组合中的用途。由于我们的目标主要是说明性的，我们选择toregard作为可投资资产行业集团指数，而不是单个公司。为此，我们遵循Bhojraj等人的建议。

[2003]并使用全球行业分类标准（GICS），这是标准普尔和摩根斯坦利资本国际联合制定的专有分类标准。因此，我们将把GIC中的24个行业集团中的每一个都视为可投资资产。基准选择是一个微妙的过程，每个投资者的选择都会有很大的不同。有鉴于此，为了简单起见，我们将利用GIC层次结构的优势，并将其10个部门以及整个区域的总回报指数作为基准。我们将使用2001年的数据，并以当地货币报价，对于每个特定地区，将只考虑未中断存在的行业集团和部门。另一个需要做出的选择是我们希望考虑的场景是什么。考虑到各种数据和/或专业知识，生成场景的方法几乎不计其数。我们决定仅使用截至2012年的历史数据来生成我们的情景，然后我们将使用这些情景来计算不同投资组合优化技术下的投资组合。然后将使用2013年至2016年4月的数据分析这些投资组合的表现。这些场景将是我们训练视界子周期的协方差矩阵。为了确定变化点，我们实施了Barnett和Onnela【2016】提出的算法。这是一个很有吸引力的选择，因为它没有做出分布假设，因此符合这些实验的精神。虽然我们在理论上可以“强制”某些日期成为变化点（雷曼兄弟倒闭或9·11，仅举几个可能性），但我们希望直接影响尽可能小，因此将坚持算法生成的日期。欧洲货币联盟（EMUWe）将从关注欧洲经济和货币联盟（European Economic and Monetary Union）股票市场开始，以减少遗憾。

在运行Barnett和Onnela【2016】中提出的算法后，Werrive在以下变化点运行：2002年5月31日、2003年6月6日、2004年11月22日、2006年4月27日、2008年11月26日、2010年4月26日和2012年1月4日。根据这些，我们构建了8个子周期，然后将其总结为8个协方差矩阵，作为我们的场景。我们可以通过图2中的相关热图将其可视化。我们通过遵循Fenn等人[2011]提出的方法来检查这些场景是否合理。在图3中，我们可以看到一年滚动收益窗口在不同情景下的第一个主成分的行为。图2:EMU中不同场景的相关矩阵热图。排序在所有矩阵中都保持不变。该图似乎表明，第一组分的强度在不同的情况下发生了显著变化，这与我们的假设一致，即这些构成了不同的制度。我们现在可以运行我们的投资组合（RRPO），如（6）所示，并将其与其他方法进行比较。比较我们的模型的两种方法是绝对稳健投资组合优化（ARPO），如（3）所示，使用与RRPO相同的场景；以及简单的最小波动率投资组合优化（MVPO），如（1）所示，使用整个训练周期来计算协方差矩阵估计。这些投资组合的权重详见表1。查看此表后，可以立即得出一些结论。首先，所有三个投资组合都集中于所有可投资期权的一小部分（GIC有24个行业组，而表1仅提及其中的8个）。这并不奇怪，因为它们都是为了同一个目标：保持低波动性。因此，他们倾向于专注于低波动性资产，这是很自然的。

其次，RRPO的多元化程度似乎略高于ARPO和MVPO，6种资产的最大权重为35.84%，而其他5种方法的最大权重分别为50.23%和44.17%。这可能出现在图3中：在不同情景下，由第一主成分inEMU解释的方差比例。RRPO ARPO MVPO食品、饮料和烟草35.84%32.96%36.77%医疗设备和服务33.28%50.23%44.17%食品和主食零售10.15%0%0%0%媒体10.13%0%0%电信服务5.74%0%2.16%房地产4.86%4.09%12.26%运输0%9.65%4.64%汽车和零部件0%3.07%0%表1：相对稳健投资组合优化（RRPO）的权重，EMU的绝对稳健投资组合优化（ARPO）和最小波动率投资组合优化（MVPO）。基诺系数量化——RRPO的基诺系数为0.849，基诺系数是一种离散度度量，0表示相等的离散度（a1/N分配），1表示高度不平衡的分配。而ARPO和MVPO的基诺系数分别为0.894和0.889。最后，很明显，RRPO对ARPO和MVPO都产生了结构上不同的投资组合–不同配置的资本比例分别为29.67%和23.86%，这两个数量都很重要。现在，让我们看看这些投资组合在2013年至2016年4月期间的表现。在图4中，我们可以看到总回报率随时间的变化，而在表2中，我们汇编了每个投资组合的年度实现回报率和波动率。图4：RRPO、ARPO、MVPO和MSCI EMUIt的总回报结果表明，对于这个数据集，所有三种方法的表现都非常相似，即使考虑到大约75%的资本是平均分配的。

正如我们稍后将看到的那样，这种行为纯粹是巧合——不同地区的相同方法在实现上也有明显的差异。美国的最大预期收益我们现在希望测试另一种提议的方法，即最大预期收益组合优化（PRCPO）中10%的比例后悔约束，如（8）所示，但使用PRGRTU而不是RgrtU。这将为我们提供一个目标已经确定的情况示例，我们单独添加了一个约束条件，即RPO ARPO MVPO MSCI EMU 2013年实现回报率15.04%12.80%10.97%21.09%2014年实现回报率14.13%15.79%16.34%4.78%2015年实现回报率21.45%23.66%23.19%9.70%2016年实现回报率7.25%7.71%5.82%15.93%2013年实现回报率14.49%14.93%14.59%9.11%2013年实现波动率11.95pp 12.33pp 14.23pp 14.29 2014年实现波动率12.36pp 13.72pp15.41P 2015年预计波动率20.94pp 21.55pp 21.45pp 21.21P 2016年预计波动率21.53pp 22.59pp 21.98pp 24.14P 2013-16年预计波动率16.33pp 16.95pp 16.73pp 18.05PP表2：不同时期RRPO、ARPO、MVPO和MSCI EMU的年化实现回报和波动率。迫使行为更加稳定。我们将其与夏普比率绝对稳健投资组合优化（SARPO）（我们的目标是获得最佳最坏情况下的夏普比率）和最大夏普比率投资组合优化（MSPO）进行比较。此外，当存在其他限制时，我们将看到这些方法的比较结果。我们不仅将保持长期限制，还将增加20%的上限，以迫使多元化。我们将使用美国股市数据，以便我们可以详细查看其他数据集。我们的可投资资产仍将是24个GIC行业组，我们的基准是10个GIC行业组加上MSCI美国指数。

培训和测试周期也保持不变。之前，我们使用Barnett和Onnela【2016】中提出的变更点检测来提出我们的方案。我们可以在图5中看到每一种情况的热图。我们通过分析图6来验证这是合理的。检测到的变更点为2002年5月31日、2004年6月15日、2007年2月26日、2008年9月3日和2011年12月20日。我们将6个协方差矩阵用于PRCPO和SARPO。对于MSPOwe，使用在整个训练期间计算的协方差矩阵作为我们的估计。对于所有三个投资组合优化问题，我们将使用最近情景下的实际回报作为每项资产的预期回报，在这种情况下，即2011年12月20日至2012年12月31日之间的实际回报。这是一个任意的选择，它决不是比任何其他预测更好的预测因子，但作为经验法则，它足够简单，我们可以将其作为一个例子。预测预期收益不仅远远超出了本文的范围，而且与预期波动率或相关性相比，它们对投资组合权重的影响也不成比例，如DeMiguel等人【2009年】、Michaud【1989年】所示。因此，不同的预测技术可能会严重影响后续结果。因此，我们敦促读者多做一点修改图5：美国不同情景下的相关矩阵热图。排序在所有矩阵中都保持不变。请注意，此顺序与EMU的顺序不同。他们致力于将预期回报纳入投资组合优化问题。这些投资组合的权重见表3。尽管三个投资组合的目标函数（即预期收益）都是相同的，但显然已经做出了不同的选择。

PRCPO更专注于食品、饮料和烟草，而SARPO和MSPO更专注于电子通信服务、媒体和零售业。它们都相当多样化，但这仅仅是强加上限的一个症状。PRCPO同意SARPO和MSPO的60.56%，这意味着39.44%的资本分配不同。我们现在可以在图7和表4中分析这些投资组合在2013年至2016年4月的测试期间的表现。我们可以看到，SARPO的年化夏普比率略高，但其代价是波动率高于我们认为可以接受的水平（这是相关的，因为我们要求对投资组合进行充分投资（1）。例如，2014年，SARPO和MSPO的波动性分别比波动性最小的基准消费品行业组高17.2%和13.4%，而PRCPO只有1.93%的额外波动性，远低于规定的10%上限。虽然在这段时间里，这两个公司的表现都超过了市场，但很容易就会出现相反的情况。这是一个很好的例子，说明了为什么我们认为比例后悔约束很重要——在这种情况下，它允许我们追求高利率，同时避免承受太多额外的波动。图6：美国第一主成分在不同情景下解释的方差比例。结果在多个国家，我们对来自澳大利亚、加拿大、法国、日本、韩国和英国的股票数据进行了相同的实验，以强化之前提出的观点。对于每一个，我们计算了新的变化点，并重新计算了上面的投资组合。附录中的表5总结了每个地区的结果。

在最小遗憾问题中，我们概述了从RRPO到ARPO和MVPO的不同资本分配比例、每个分配给单个行业组的最大权重、在整个测试期间的实际回报和波动性。在最大期望值问题中，我们显示了从PRCPO到SARPO和MSPO分配的不同资本的百分比，它们的夏普比率和波动性（按结构计算，最大权重为20%）。从这张表中可以看出几个要点。首先，很明显，RRPO和PRCPO通常提供其他方法未涵盖的不同解决方案。其次，RRPO往往比ARPO和MVPO提供更多的多样性（在单个行业组中的权重更小）。事实上，唯一不存在这种情况的情况是，不同配置的资本量是边际的。

这自然是因为RRPO考虑了所有情况，不仅是最坏的情况（如ARPO）和soPRCPO SARPO MSPOFood&Staples零售20%-20%食品、饮料和烟草20%-0%药品，生物技术和生命科学20%20%20%家庭和个人产品19.44%0%0%电信服务12.94%20%20%媒体7.62%20%20%零售业0%19.12%9.40%房地产0%0%5.93%多元化金融0%0%4.66%医疗设备和服务0%0.88%0%表3：具有比例后悔约束的最大预期收益组合优化权重（PRCPO），夏普比率绝对稳健投资组合优化（SARPO）和最大夏普比率投资组合优化（MSPO）。PRCPO SARPO MSPO MSCI USRealized Sharpe Ratio 2013 2.40 2.78 2.56 2.50 Realized Sharpe Ratio 2014 1.48 1.20 1.32 1.08 Realized Sharpe Ratio 2015 0.20 0.33 0.17 0.08 Realized Sharpe Ratio 2016 0.62 0.48 0.50 0.26 Realized Sharpe Ratio 2013-16 1.18 1.21 1.14 0.97 Realized Volatility 2013 10.80 PP 10.82 PP 10.94 PP 10.88预计波动率2014 9.61 PP 11.05 PP 10.69 PP 11.22预计波动率201513.69分14.52分14.35分15.15分2016年预计波动率12.29分14.21分14.21分16.45分2013-16年预计波动率11.59分12.47分12.35分13.02分表4：不同时期PRCPO、SARPO、MSPO和MSCI US的年化夏普比率和波动率。支持多元化。第三，PRCPO是仅针对一个地区（澳大利亚）的“最差”策略，而SARPO为四个，MSPO为三个。此外，唯一一个策略显著优于其他策略的是PRCPO，其表现优于加拿大的ARPO和MSPO。最后，值得一提的是，在图7中：PRCPO、SARPO、MSPO和MSCI USP过去几年的总回报率低波动性资产跑赢了市场。