针对特定竞争对手的稳健投资组合优化

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英文标题：
《Robust Portfolio Optimisation with Specified Competitors》
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作者：
Gon\\c{c}alo Sim\\~oes, Mark McDonald, Stacy Williams, Daniel Fenn,
  Raphael Hauser
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We extend Relative Robust Portfolio Optimisation models to allow portfolios to optimise their distance to a set of benchmarks. Portfolio managers are also given the option of computing regret in a way which is more in line with market practices than other approaches suggested in the literature. In addition, they are given the choice of simply adding an extra constraint to their optimisation problem instead of outright changing the objective function, as is commonly suggested in the literature. We illustrate the benefits of this approach by applying it to equity portfolios in a variety of regions.
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中文摘要：
我们扩展了相对稳健的投资组合优化模型，以允许投资组合优化其与一组基准的距离。与文献中建议的其他方法相比，投资组合经理还可以选择以更符合市场实践的方式计算遗憾。此外，他们可以选择简单地向优化问题添加额外约束，而不是像文献中通常建议的那样彻底改变目标函数。我们通过将其应用于各个地区的股票投资组合来说明这种方法的好处。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Robust_Portfolio_Optimisation_with_Specified_Competitors.pdf (726.29 KB)

2022-5-31 01:06:11 上传

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关键词：投资组合优化 稳健投资 投资组合 竞争对手 Optimisation

利用特定竞争对手Gon,calo Simoes1,2、Mark McDonald、Stacy Williams、DanielFenn和Raphael Hauser 1,2数学研究所、牛津大学OX2 6GG、英国牛津曼量化金融研究所、牛津大学OX2 6ED、英国外汇量化研究所、汇丰银行伦敦E14 5HQ、，UKAstractwe扩展了相对稳健的投资组合优化模型，允许投资组合优化到一组基准的距离。PortfolioManager还可以选择计算遗憾的方式，这种方式比文献中建议的其他方法更符合市场实践。此外，他们可以选择简单地向优化问题添加额外约束，而不是像文献中通常建议的那样彻底改变目标函数。通过将此方法应用于多个地区的股票投资组合来说明此方法的好处。自Markowitz（1952）以来，现代投资组合理论一直是数学金融领域的一个活跃研究领域，但尚未被实践者完全采用。其已知缺陷之一是假设未来回报的时刻是确定的，这导致了实践中的严重表现不佳，例如DeMiguel等人【2009年】，Michaud【1989年】。然而，最近在努力解决这一问题方面取得了一些进展。在成功应用于其他领域后，稳健优化是解决这一问题的技术之一，见Bertsimas等人【2011年】。模型参数（如未来收益时刻）未知是稳健优化背后的核心动机。稳健优化模型不需要确定地指定模型参数，而只需要一组可能的参数值，即所谓的不确定性集。

另一种流行的技术，随机优化，不仅需要一个不确定性挫折，还需要一个相关的概率分布。到目前为止，研究最多的稳健投资组合优化方法是最坏情况情景法，其目的是在不确定性集中可能存在的最坏值下找到表现最佳的投资组合。已经发表了大量的论文，并提出了不同的扩展，从不同形状的不确定性集、不同的市场模型假设到包含交易成本。有关调查，请参见Kim等人【2014年】。虽然这种方法在某些情况下可能是明智的，但我们认为这并不适合大多数从业者。尽管担心现实情景很重要，但典型的日常情景同样重要，不应忽视。此外，一些专业人士（如投资经理）经常根据竞争对手进行评估，而不是根据绝对值。出于这些原因，我们认为，inKouvelis和Yu（1997年）提出并在Hauser等人（2013年）中发展的相对稳健优化更适合大多数投资组合经理。在这种方法中，投资组合的价值不仅取决于其表现，还取决于竞争对手的表现。相对破产优化并没有像最坏情况下的优化那样得到广泛研究，因为它的吸引力主要在于金融应用，而不是稳健优化的发源地工程。竞争显然是一个模棱两可的术语，需要加以明确。在Hauser et al.（2013）中，作者将竞争定义为“无所不知的对手”，与我们有相同的约束条件，但知道“正确”的模型参数，因此解决了非稳健的投资组合优化问题。

我们提出这样一种观点，即竞争可能独立于我们最初的问题，也就是说，竞争可能不受我们相同的约束，也不使用相同的技术。我们明确指出，竞争可以根据用户的需求来描述，就像经典稳健优化问题中设置的不确定性一样。如果竞争恰好受到与我们完全相同的约束，并且正在解决优化问题，那么我们将恢复Hauser等人【2013】中的设置。大多数关于稳健投资组合优化的学术文献都建议必须替换目标函数，这表明投资者如果希望使用这样的工具，就必须重新开始（而且他们永远不能同时使用多个工具）。然而，投资者有自己的目标，并且（有理由）对改变目标持谨慎态度，这使得从文学到实践的飞跃更加难以实现。考虑到这一点，我们建议增加一个额外的约束，而不是一个新的目标函数。这使得投资者可以保持其框架不变，只需做一个小的改变，以额外的约束换取额外的健壮性。为了简单起见，同时也为了实际目的，我们将使用一个有限集作为我们的竞争对手。使用凸分析中的标准工具，这可以扩展到更一般的凸集的有限集合。然而，我们要提醒从业者，在没有充分了解潜在缺陷的情况下，要小心过度复杂化他们的模型。有疑问时，越简单越好。根据这一理念，我们将研究处理波动性而非预期回报的模型。不考虑预期回报的投资理念并不新鲜。自Haugen和Baker【1991】提出最小波动率投资组合以来，已经发表了大量关于该投资组合的研究，并对其绩效进行了广泛研究，例如Clarke et al。

[2006]，Lee[2011]。事实上，一些资产管理公司已经以一种或另一种形式向其客户提供了这种解决方案（见Scherer【2011】），最近媒体报道称，2016年上半年此类基金净流入125亿美元（见Kurilo ff【2016年7月24日】）。已开发出所谓的基于风险的投资扩展，包括最大多样性（Choueifaty和Coignard[2008]）、同等风险贡献（Maillard等人[2008]），以及其他（Jurczenko等人[2013]）。然而，将我们的框架扩展到需要预期回报或其他特性的模型是很简单的。事实上，鉴于传统的投资组合优化对均值误差的敏感性，这种方法似乎特别有希望，见Chopra和Ziemba【1993年】。相比之下，协方差矩阵随着时间的推移更加稳定，尽管它们在不同的制度之间确实会发生变化，如Fenn等人【2011年】所示。我们将假设一定数量的制度，每个制度都以协方差矩阵为特征。然后，我们证明了我们的问题可以扩展到不确定性集（所有待定模型参数的集合）在一类广义凸集内的情况。当引入一个新模型时，一个重要的问题是，结果是否与文献中已经存在的简单模型有根本不同。利用一系列地区的股票数据，我们采用Barnett和Onnela【2016】中的方法来研究卵巢矩阵中可能的政权转换。我们针对一些常用的方法运行了我们的模型，并得出结论，由此产生的投资组合不仅是独特的，而且是对现有方法的敏感替代。我们首先简要回顾了相关的现有模型：首先是最小波动率问题，然后是绝对稳健的投资组合优化，最后是相对稳健的投资组合优化。

然后，我们引入了我们自己的模型，提出了一种与豪塞雷特（Hauseret）等人[2013]中发现的不同的遗憾衡量标准。起初，我们认为它是一个目标函数，这在文献中很常见，但后来我们建议将其作为约束，使其更广泛地适用。然后，我们继续Kouvelis和Yu【1997】中的建议，并在投资组合优化的背景下引入比例后悔，这是一种稍有不同的措施，更符合从业者的惯例。最后，我们进行了上述数值实验，并给出了一些结论。值得一提的是，所有提议的更改和添加并没有改变潜在优化问题的复杂性。在实施了相对稳健的优化后，二阶coneprograms或半限定程序仍将在各自的类别内，因此仍然可以使用标准解算器（如MOSEK或CPLEX）在多项式时间内求解）。经典模型我们应首先描述文献中最常见的模型，然后再提出不同的方法来处理方差矩阵中的不确定性。设X为可容许投资组合的集合，为简单起见，我们假设该集合为所有仅长期投资组合的集合，X={X∈ RN:1Tx=1，x≥ 0}。（1） 这些根本不是必需的，由于用户的参考和/或监管限制，可能会添加额外的限制。当我们知道Haugen和Baker【1991年】介绍的“真实”协方差矩阵Q时，我们从寻找最小波动率组合的简单问题开始。这个问题可以写成sminxpxtq x（2）s.t.x∈ 十、该模型以Q为已知值，这在金融应用中不是一个有效的假设。

虽然有许多技术可以提供良好的估计，但任何具有实际意义的方法都必须处理市场条件变化的事实，如Fenn et al.（2011）所述，因此假设协方差矩阵一定会失败。一个自然的步骤是假设未来协方差矩阵是一组场景U={Q，…，Qn}的未知元素。面临的挑战是如何在给定这种不确定性集时做出决策。一种可能的方法是为每个场景inU分配一些概率，然后最小化每个场景加权的波动性，如下所示MinxNxi=1pipxTQixs。t、 x个∈ 十、这并不是一个很有吸引力的选择，因为找到一个敏感的集合U已经很重要了，更不用说选择一个“合适的”概率分布了。另一种常见的方法是绝对稳健的投资组合优化，文献中对此进行了广泛研究，例如Kim等人【2014年】。目的是在最坏的情况下，即在所选投资组合的波动性最高的情况下，将波动性降至最低。这可以用sminxmaxq表示∈UpxTQ x（3）s.t.x∈ 十、问题是这个模型只关注最坏的情况。因此，这种方法完全忽略了所有其他情况，导致投资组合在压力期间相当稳定，但如果这些情况不发生，则可能会非常不平衡。最近的一种方法是Hauser et al.（2013），《相对破产投资组合优化》（RelativeRobust Portfolio Optimization）。这里的目标不是最小化波动性，而是最小化我们因不确定协方差矩阵而被迫接受的额外波动量。用mathematicalterms表示，对于每个Q∈ U定义yQasyQ：=argminy∈XpyTQ y，Q∈ U、 也就是说，如果我们知道Qkto是“真实”的情况，那么我们应该持有yQk（通过解（1））。

对于我们可能选择的任何其他投资组合x，我们的业绩损失将为Bel（x，Qk）：=pxTQkx-qyTQkQkyQkpxTQkx- 米尼∈XpyTQky。但我们不知道哪个Q∈ U将会实现，所以我们不知道我们的表现会损失多少。然而，我们可以通过在所有可能的Q值中最小化最坏的结果，使其尽可能低∈ U、 也就是说，通过solvingminxmaxQ∈UpxTQ x- 米尼∈XpyTQ y（4） s.t.x公司∈ 十、遗憾最小化虽然这种方法有潜力，但我们希望采用不同的方法。将我们与“知识更丰富的我们自己”进行比较可能是一个非常有趣的理论问题，但在实践中，我们会与市场上的其他参与者进行比较，而不是与现实中的人进行比较。因此，我们不能满足于（4）中的公式。相反，我们希望与其他投资者进行比较，因为这将是对现实世界更现实的描述。不幸的是，我们不知道市场上的其他代理商在投资什么。他们的约束条件与我们的不同——即使是，也不可能所有的约束条件都得到了解决（1）。因此，我们不能希望准确地模拟所有投资者的行为。另一种选择是，我们将自己与基准进行比较，基准自然是明确无误的。基准测试有两个特性，使其适合于此目的。一方面，资产管理公司不仅要与表现更好的竞争对手进行比较，还要与相关基准进行比较。这意味着与基准进行比较是真实性的合理表现。另一方面，竞争对手本身也将成为压力的受害者，因为压力不会太低。这将反过来把他们拉向一个相似的篮子，导致两者之间的高度相关性。例如，参见图1中HFRI股票对冲总指数与标准普尔500指数之间的历史相关性。

此图表支持基准测试是代理回报的良好代理的说法。我们可以在这个特别的例子中看到，对冲基金的回报率与标准普尔500指数的相关性越来越大，最近的价值超过了90%的阈值。图1:HFRI股票对冲指数与标准普尔500指数之间的相关性尽管大多数对冲基金没有明确的基准，但情况确实如此——它们的任务是提供正回报，通常被视为多元化投资。建模重集B={B，…，bk} RNbe是我们希望考虑的一组基准。根据（4）背后的基本原理，我们希望将我们的性能损失考虑到最不稳定的基准lB（x，Q）：=pxTQ x- minb公司∈BpbTQ b。在这里，我们假设所有基准的所有基础都包含在考虑投资的N类资产中，因此我们可以计算它们的波动性BypBTQ b–事实上，我们只需要指定每个场景下最小波动性基准的波动性。与Hauser et al.（2013）类似，我们对U的最大损失表示遗憾，即RgrtU（x）：=maxQ∈UlB（x，Q）=最大值∈UpxTQ x- minb公司∈BpbTQ b. （5） 遗憾可以理解为在最不可取的情况下，我们与“赢家”的距离。基准选择，就像场景一样，超出了本文的范围。然而，我们可以提供一些适用于两者的有用提示。首先，应该独立于投资组合优化问题来选择它们，无论是通过经济/政治考虑、数据分析还是任何其他技术。此外，它们应该尽可能现实，尽可能少。

太多的场景和基准会导致过度防御的投资组合，因为“任何事情都可能发生”的态度肯定会导致投资瘫痪。遗憾最小化作为一个目标如果我们希望找到遗憾最少的投资组合，那么我们必须用基准问题解决以下相对稳健的投资组合优化问题。minxRgrtU（x）（6）s.t.x∈ 十、与最小波动率问题（2）不同，最小后悔可能是负的。读者应该清楚，如果且仅当存在一个波动率低于任何基准的投资组合，无论实现哪种情况，情况都会如此。如前所述，我们不需要每个场景中每个基准的波动率，我们只需要每个场景中最低的基准波动率。因此，我们定义了以下σi=minb∈BpbTQib i=1，n、 然后可以将问题（6）分解为最小γs.t.γ≥pxTQix- σi，i=1，n、 x个∈ 十、上述优化问题可以转换为二阶圆锥曲线图，然后通过引入辅助变量ti，使用标准解算器有效地解决。由此产生的优化问题是：γ（7）s.t.γ- ti+σi≥ 0，i=1，n、 “UTixti#∈ LN+1，i=1，n、 x个∈ 其中，Qi=Uiutis是Cholesky分解，LN+1是由n+1=（“xt”）定义的洛伦兹曲线#∈ RN+1：kxk≤ t） 。遗憾的是，到目前为止，我们只看到将波动率作为目标函数的模型。另一种常见的方法是使用波动率作为约束。事实上，马科维茨（Markowitz）[1952年]首先引入了现代投资组合理论asmaxxuTxs。t、 pxTQ x≤ κ、 其中u是预期的未来回报，κ是我们准备在投资组合中接受的波动水平。