时间风险的价值

强马尔可夫过程X具有光滑密度；存在一个函数q∈ C1,2,2（（0，∞)×Rd×Rd），使得E[f（Xt）| Xs]=RRdq（t- s、 Rd.2上任何有界可测函数f的Xs，y）f（y）dy。存在函数pF：[0，∞) ×Rd×Rd，使pF（·，·，y）在C×C中，用于所有y∈ Rdsatisfyinglims↑tZRdq（s，x，z）pF（t-s、 z，y）dz=q（t，x，y）；（4） 此外，量子cf:=ψ（0）ZRdpF（t，Xτ，y）F（y）dy，（5）几乎肯定是一个独立于t>0的常数。3、函数q（T-s、 x，y）（Ly-s） pF（s，y，z）F（z）在（s，y，z）中可积∈ [0，T]×Rd×Rd对于任何T>0和x∈ D、 其中，Ly是作用于变量y.4的X的最小生成器。L*yq（t，x，y）=tq，其中L*YDE注意到L的伴随算子（w.r.t.Lebesgue测度），作用于变量y。让我们定义HPF（s，x，y）：=ψ′（s）+ψ（s）（Lx）- s）pF（s，x，y）（6）并观察该点3。在假设2.2中，允许声明q（t-s、 x，y）hpF（s，y，z）F（z）可在（s，y，z）中集成∈ [0，T]×Rd×Rd对于任何T>0和x∈ D、 让我们考虑下面的引理（参见[13]或[3]，了解通过Parameterix参数获得的类似结果）。引理2.3，对于t>0和（x，y）∈ Rd×Rd，以下保持不变：ψ（t）q（t，x，y）- ψ（0）pF（t，x，y）=ZtZRdq（t- s、 x，z）hpF（s，z，y）dzds，其中PFS满足方程（4），hpF定义在方程（6）中。证明：见附录A.1。定理2.4在假设2.2下，我们可以陈述以下结果：E[1{τ≤T}ψ（T- τ） E[F（XT）| Fτ]| Ft]=cFP（τ≤ T | Ft）+中兴通讯[1{τ≤s} ZRdhpF（T- s、 Xs，y）F（y）dy | Fτ∧t] ds，（7）式（5）中定义了Cf，式（4）中定义了Pf，式（6）中定义了HPFd。证明：见附录A.2。方程（7）中的结果扩展了[9]中提出的静态对冲公式：定理2.4提供了充分条件，通过考虑相当大一类马尔可夫潜动态，将多维市场模型中的广义定时风险分解为k no ck操作积分。

事实上，对于F≡ 1和ψ（u）=e-r（T-u） ，我们可以取pF=q和cF=e-Rt以满足假设2.2。因为在这种情况下，我们有hpF（u，x，y）=re-r（T-u） q（u，x，y），方程式（7）将其还原为：E[E-rτ{τ≤T}| Ft]=e-rTP（τ≤ T | Ft）+rZTE[e-rs{τ≤s} |英尺∧τ] ds。（8） 让T→ ∞, 我们有-rτ| Ft]=Z∞E【E】-rτ{τ≤s} |英尺∧τ] ds，前提是P（τ<∞) = 1.注意，我们直接通过分部积分公式得到方程（8）。我们确实看到了-rτ{τ≤T}| Ft]=中兴通讯-rsP（τ∈ ds | Ft）=e-rTP（τ<T | Ft）-P（τ<0 | Ft）+rZTe-rsP（τ<s | Ft）ds=e-rTP（τ<T | Ft）+rZTe-rsP（τ<s | Ft∧τ） ds。最后一个方程是有效的，因为集合{τ<s}是Fτ-可测的。2.2障碍期权半静态对冲中的对冲误差作为时间风险本小节的目的是提供半静态对冲误差与时间风险价值之间关系的关键直觉。事实上，本文的第一个贡献是表明Bowie-Carr类型的对冲误差【4】是一种时间风险。然后，通过应用广义的Carr-Picron公式，我们可以将时间风险分解为敲入期权的连续性。最后，对于每个敲入期权，我们采用BowieCarr的半静态对冲。利用将对冲误差和时机风险联系在一起的直觉，是重新迭代时机风险半静态对冲策略以及将一阶对冲误差扩展为更高阶误差的关键因素，且误差幅度不断减小。让我们首先来看看什么是半静态对冲策略。从现在起，X是一个离散过程，τ是X离开域D的第一次退出时间 Rd.我们想通过持有两个普通期权来对冲其报酬为F（XT）1{τ>T}的淘汰期权：一个有报酬的期权上的多头头寸F（XT）1{XT∈D}，以及带付息的空头头寸-^F。这里，我们假设D上的^F=0。

让我们注意一下：o如果X从未退出域D，那么对冲就完全有效，因为空头头寸反映了多头头寸；o如果代理人在时间τ<T时清算投资组合，他有以下成本Cτ：Cτ=e-r（T-τ）E[（F（XT）1{XT∈D}-^F（XT））| Fτ]。如果Cτ=0，则静态套期保值工作正常，否则术语Cτ可以被解释为错误。以类似的方式，我们可以考虑Payoff F（XT）1{τ<T}的敲入期权的静态对冲，通过持有Payoff F（XT）1{XT}的多头头寸∈Dc}和带payoff^F的选项。在这种情况下，我们有：o如果X从未退出D，那么对冲完全有效，并且没有现金交换（没有任何东西比没有任何东西）在{τ<T}时，套期保值者通过出售pay-o fff（XT）1{XT）的期权并购买pay-o fff（XT）1{XT，在时间τ改变头寸∈D}。此操作的成本-r（T-τ）E[（F（XT）1{XT∈D}-^F（XT））| Fτ]=Cτ。（9） o到期日T时，pay-o-ff为零，因为Payoff F（XT）正好补偿F（XT）1{XT∈D}+F（XT）1{XT∈Dc}。为了概括和陈述第一个结果，让我们观察到，在上述两种情况下，与停止时间τisHeτt相关的时间t的套期保值误差：=e-r（T-t） E[E[1{τ<t}（F（XT）1{XT∈D}-^F（XT））| Fτ]| Ft]。（10） 通过对时间风险和方程（2）的定义2.1进行解释，我们可以很容易地推断出方程（10）中的对冲误差可以解释为与障碍期权头寸相关的时间风险：我们得出τt=Trt（π（F），t，τ，1），其中π（F）=F 1{x∈D}-^F。我们还定义了π⊥按π⊥（F）=F（x）1{x∈Dc}+^F。注意，这里我们假设^F=\\F 1{x∈D}，这意味着[π（F）=^F，π（F）=π（F），等等。让我们引入以下一组假设（假设2.5），这些假设有助于说明定理2.6中报告的结果。假设2.5从假设2.2中引入的一组假设开始，通过考虑函数π（F），我们进一步假设cπ（F）=0。

因此，我们正在处理这样的情况：RDpπ（F）（t，Xτ，y）F（y）dy=RDcpπ（F）（t，Xτ，y）^F（y）dy几乎可以肯定。假设2.5 r要求我们在前一种情况下处理的对称性现在是一个w.r.t.a“反射”。定理2.6在假设2.5下，敲出/敲入期权的价值被分解为对冲组合的价值和敲出/敲入期权的最小连续数量。更精确地说，E[F（XT）1{τ≥T}| Fτ∧t] =E[π（F）（XT）| Fτ∧t]-中兴通讯[1{τ]≤s} ZRdhpπ（F）（T）- s、 Xs，y）π（F）（y）dy | Fτ∧t] ds，（11）andE[F（XT）1{τ≤T}| Fτ∧t] =E[π⊥（F）（XT）| Fτ∧t] +中兴通讯[1{τ]≤s} ZRdhpπ（F）（T- s、 Xs，y）π（F）（y）dy | Fτ∧t] ds。（12） 证明：见附录A.3。定理2.6是构建高阶半静态套期保值的基础，可以解释为一阶套期保值误差的渐近展开。结果表明，广义时间风险可以分解为连续的敲入期权（扩展[9]）。然后，对于每个包含时间风险的敲入期权，通过应用Bowie-Carr[4]策略，我们可以进一步减少与持仓内期权相关的对冲误差，如下小节所示。2.3高阶半静态套期本论文的贡献是定义广义的时间风险，并说明如何计算与美式障碍期权半静态套期相关的一阶和高阶套期误差（降低幅度）。

本小节介绍并陈述了通过所提出的迭代过程存在的高阶半静态套期保值策略，并讨论了误差收敛到零的条件。定理2.6扩展了[9]中提出的静态对冲公式，通过考虑相当大的一类马尔可夫基础动力学，给出了将多维市场模型中的广义时间风险分解为敲入期权积分的充分条件。然后，本文的数学贡献为高阶半静态套期保值的构建嵌入了一个方法论建议，被解释为一阶套期保值误差的渐近展开。这是一个基于广义定时风险识别、半静态对冲策略、误差计算和过程重新迭代的迭代过程。高阶半静态套期保值收敛于精确套期保值。构建高阶半静态套期保值误差的拟议方法利用了以下步骤：1。通过在期权分解中获得aknock，识别广义定时风险并应用Carr-Picron[9]策略；2、对于每一个包含时间风险的敲入期权，采用Bowie-Carr【4】策略；3、观察与Bowie-Carr[4]策略相关的对冲误差是一种广义定时风险；4、从步骤1重新迭代。本文的第一个关键贡献是表明套期保值误差la【4】是一种计时风险；从这个观察出发，应用一个广义的公式将其分解为期权表示中的aknock。然后，对于每个敲入期权，我们采用半静态对冲（[4]s型策略），并确定二阶误差，因为我们使用的是非对称的一般差异。然后，想法是迭代该方法（广义w.r.t。

Carr Picron[9]），并获得了高阶半静态对冲和相应的误差。让我们考虑n阶对冲误差：这可以通过在迭代过程的每一步直到n-1、套期保值误差已分解的敲入期权集。推导了误差收敛到零的条件。定理2.6 p提供了基于敲入期权的半静态对冲分解的一阶对冲误差结果。让我们观察一下，（11）和（12）右侧第二项的被积函数也是敲入期权的报酬，因此公式可以迭代。二阶套期保值是对π的小量ds的积分⊥ZRdhpπ（F）（T- s、 x，y）π（F）（y）dyfor each s s。与停止时间τ相关的二阶误差为ztτπZRdhpπ（F）（T- τ、 Xτ，y）π（F）（y）dyds。通过对每个s应用定理2.6，在t处评估的二阶套期保值误差可以表示为zse[1{τ≤u} ZRdZRdhpπ（F）（s-u、 Xu，y）πhpπ（F）（T- s、 y，y）π（F）（y）dydy | Fτ∧t] 杜。（13） 通过对s积分（13）得到总误差。通过重新迭代该过程，可以在适当的条件下获得套期保值误差的渐近表达式。请注意，我们将在独立于w.r.t.支付功能F的设置中工作。在本节中，π表示对应F 7→ F 1{x∈D}-^F和π⊥平均值SF 7→ F 1{x∈Dc}+^F。设置独立于w.r.t.F，但取决于函数π或π⊥.在假设2.5的基础上，我们假设pπ（F）≡ pπ可以选择为独立于F；它只依赖于q，d和π=1-π⊥, 其中π⊥: Cb（D）→ Cb（直流）。让我们介绍假设2.7和假设2.8，这有助于说明OREM 2.9中给出的结果。假设2.7让我们考虑以下一组假设。1.

工艺X上的差异具有平滑的密度；有e xi st a函数q∈ C1,2,2（（0，∞) ×Rd×Rd），使得E[f（Xt）| Xs]=RRdq（t- s、 Rd.2上任何有界可测函数f的Xs，y）f（y）dy。存在一个函数pπ：[0，∞)×Rd×Rd，使pF（·，·，y）在C×Cb中表示所有y∈ Rd，lims↑tZRdq（s，x，z）pπ（t-s、 z，y）dz=q（t，x，y），对于任何F∈ Cb（D），ZDpπ（t，Xτ，y）F（y）dy=ZDcpπ（t，Xτ，y）（π⊥F）（y）dy.3。L*yq（t，x，y）=tq，其中L*yde注意到L的伴随算子（关于Lebesgue测度），作用于变量y.4。I0=s<s<···<sN<Tq（T-sN，x，yN）QNj=1hpπ（sj-sj公司-1、yj、yj-1） 在[0，T]N×rdn上（s，···，sN，y，··，yN）可积∈ D、 对于任意N≥ 1，其中hpπ（s，y，z）=（Ly-s） pπ（s，y，z）。根据假设2.7，我们可以定义算子族（SpF）Nt，t∈ [0，T]和N=1，2，···，由f或f感应∈ Cb（Rd）和x∈ 第1条。我们定义（Spπ）tf（x）=ZRdhpπ（t，x，y）π（f）（y）dy（14）。2、对于N≥ 因此，我们有：（Spπ）Ntf（x）=Zt（Spπ）s（Spπ）N-1吨-sf（x）ds。假设2.8除了假设2.7之外，我们还假设Hn（x，t）：=ztzsnzn-1···ZsZRdNNYj=1q（t-sN，x，yN）| hpπ（sj- sj公司-1、yj、yj-1） | dds···dsN×| F（y）·dydy···dyN-1dyn其中0=沙x=yn收敛为零，为N→ ∞ 统一在x中。我们现在可以陈述以下基于时间风险静态对冲的理论结果，这有助于证明所提出的迭代过程的收敛性。定理2.9在假设2.7下，对于任意N≥ 我们有：E[F（XT）1{τ≥T}| Fτ∧t] （分别为E[F（XT）1{τ≤T}| Fτ∧t] ）=E[π（F）（XT）| Ft]（分别为E[π⊥F（XT）1{τ≤T|Ft]）N-1Xk=1ZTE[π⊥（（Spπ）kT-s（F））（Xs）| Fτ∧t] ds公司中兴通讯[1{τ]≤s} （（Spπ）NT-s（F））（Xs）| Fτ∧t] ds，（15）其中我们了解pk=1（·····）=0。

此外，在假设2.8下，我们得到i）PNk=1π⊥（Spπ）kT-s（x）在x上一致收敛，ii）P∞k=1π⊥（Spπ）kT-s（Xs）在（s，ω），iii）中是可积的，下面的holdsE[F（XT）1{τ≥T}| Fτ∧t] （分别为E[F（XT）1{τ≤T}| Ft]=E[π（F）（XT）| Fτ∧t] （分别为E[π⊥F（XT）1{τ≤T|Ft]）中兴通讯[∞Xk=1π⊥（（Spπ）kT-s（F））（Xs）| Fτ∧t] ds，（16）与方程式（14）中定义的Spπ。证明：见附录A.4。等式（15）表明中兴通讯给出了N阶对冲[π⊥（（Spπ）kT-s（F））（Xs）| Fτ∧t] D一阶到N阶对冲的误差为ZTE[1{τ≤s} （（Spπ）NT-s（F））（Xs）| Fτ∧t] ds和方程式（16）声称，不仅误差收敛到零，而且[∞Xk=1π⊥（（Spπ）kT-s（F））（Xs）| Fτ∧t] dshedges对barrier选项进行无误对冲。拟议的方法基于时间风险识别的关键步骤；然后，通过敲入期权分解的半静态套期保值策略应用和对每个敲入期权的Bowie Carr【9】策略应用，不仅可以构造一阶套期保值误差，还可以构造高阶套期保值误差。然后，通过定理2.9.3应用中所述的结果显示高阶半静态对冲收敛到精确对冲。本节提供了前一节中在两种特殊设置下所述主要理论结果的说明。数学结果适用于i）不对称情况，ii）一维情况。