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英文标题：
《The Value of Timing Risk》
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作者：
Jiro Akahori, Flavia Barsotti and Yuri Imamura
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  The aim of this paper is to provide a mathematical contribution on the semi-static hedge of timing risk associated to positions in American-style options under a multi-dimensional market model. Barrier options are considered in the paper and semi-static hedges are studied and discussed for a fairly large class of underlying price dynamics. Timing risk is identified with the uncertainty associated to the time at which the payoff payment of the barrier option is due. Starting from the work by Carr and Picron (1999), where the authors show that the timing risk can be hedged via static positions in plain vanilla options, the present paper extends the static hedge formula proposed in Carr and Picron (1999) by giving sufficient conditions to decompose a generalized timing risk into an integral of knock-in options in a multi-dimensional market model. A dedicated study of the semi-static hedge is then conducted by defining the corresponding strategy based on positions in barrier options. The proposed methodology allows to construct not only first order hedges but also higher order semi-static hedges, that can be interpreted as asymptotic expansions of the hedging error. The convergence of these higher order semi-static hedges to an exact hedge is shown. An illustration of the main theoretical results is provided for i) a symmetric case, ii) a one dimensional case, where the first order and second order hedging errors are derived in analytic closed form. The materiality of the hedging benefit gain of going from order one to order two by re-iterating the timing risk hedging strategy is discussed through numerical evidences by showing that order two can bring to more than 90% reduction of the hedging \'cost\' w.r.t. order one (depending on the specific barrier option characteristics).
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中文摘要：
本文旨在为多维市场模型下美式期权头寸的时间风险半静态对冲提供数学贡献。本文考虑了障碍期权，并针对一类相当大的基础价格动态研究和讨论了半静态套期保值。时间风险是指与障碍期权支付到期时间相关的不确定性。从Carr和Picron（1999）的工作开始，作者证明了时间风险可以通过普通期权中的静态头寸进行对冲，本文扩展了Carr和Picron（1999）提出的静态对冲公式，给出了在多维市场模型中将广义时间风险分解为敲入期权积分的充分条件。然后，通过定义基于障碍期权头寸的相应策略，对半静态对冲进行专门研究。该方法不仅可以构造一阶套期保值，还可以构造高阶半静态套期保值，这可以解释为套期保值误差的渐近展开。这些高阶半静态套期保值收敛于精确套期保值。对于i）对称情况，ii）一维情况，给出了主要理论结果的说明，其中一阶和二阶套期保值误差以解析闭合形式导出。通过数字证据讨论了通过重新迭代定时风险对冲策略从一阶到二阶的对冲收益的重要性，表明二阶可以使一阶的对冲“成本”减少90%以上（取决于特定的障碍期权特征）。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
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关键词：illustration Quantitative Contribution Mathematical Dimensional

计时风险的价值Jir^o Akahori*Flavia Barsotti+Yuri Imamura数学科学系集团金融风险方法学系商业经济系立命馆大学、日本联合信贷银行、意大利东京理工大学、，Japanakahori@se.ritsumei.ac.jp弗拉维亚。Barsotti@unicredit.euimamuray@rs.tus.ac.jpAbstractThe本文的目的是在多维市场模型下，为美式期权头寸相关的时间风险的半静态套期保值提供数学贡献。本文考虑了障碍期权，研究并讨论了一类相当大的基础价格动态的半静态套期保值。时间风险是指与障碍期权支付到期时间相关的不确定性。从[9]的工作开始，当作者证明时间风险可以通过普通期权中的静态头寸来规避时，本文通过给出将广义时间风险分解为多维市场模型中敲入期权积分的充分条件，扩展了[9]中提出的静态对冲公式。然后，通过基于障碍期权头寸确定相应策略，对半静态对冲进行专门研究。所提出的方法不仅可以构建初始对冲，还可以构建高阶半静态对冲，这可以解释为hedg误差的渐近扩展。显示了这些高阶半静态套期保值与精确套期保值的收敛性。对于i）对称情况，ii）一维情况，提供了主要理论结果的插图，其中一阶和二阶对冲误差以解析闭合形式导出。

通过数字证据讨论了通过重新迭代时间风险对冲策略从一阶到二阶的对冲收益的重要性，表明二阶可以使一阶的对冲“成本”减少90%以上（取决于特定的障碍期权特征）。1简介金融市场的不确定性和高波动性使得定价和对冲活动在风险管理中发挥着关键作用。处理定价和套期保值问题的金融文献非常庞大：这里我们集中讨论一种特定类型的套期保值策略，该策略与OTC市场上交易的某类奇异衍生品相关。本文在一个以多维扩散过程为特征的数学框架下，研究了场外交易市场上Am er ican型合约的静态套期保值和s emi静态套期保值。屏障选项代表了一些最流行的路径相关控件*作者得到了JSPS KAKENHI资助号23330109、24340022、23654056、25285102和稀有项目318984（FP7 Marie Curie IRSES）的支持。+本文所表达的观点是作者的观点，不应归于UniCredit或UniCredit代表的作者作者得到了JSPS KAKENHI授权号24840042的支持。在金融市场交易。让我们考虑一个写在下方X上的欧洲向上和向内障碍期权，如果在T到期时达到障碍B，该期权在T到期时支付F（XT）。在这种情况下，触发付款的事件只能在到期时发生，因此合同开始时的唯一不确定性是到期时的基础价值T。现在让我们考虑相应的美式障碍选项，以了解时间风险部分是如何产生的。

美式障碍期权实际上是一种路径依赖型合同，在这种合同中，持仓人不知道何时会越过障碍，从而支付报酬。如果是k不确认期权，只有在合同有效期内跨越障碍B的情况下，才会向其持有人支付报酬，但发生这种情况的时间τ未知。而且，由于支付时间未知，持有此类衍生品的头寸就嵌入了必须回避的时间风险成分。在数字美式期权的情况下，也存在这种时间风险成分：即使已知支付（例如，可以在开始时确定回扣），时间风险成分仍然存在。本文旨在说明如何在多维市场模型下对冲与美国式障碍期权头寸相关的时间风险：研究和讨论了半静态hedgestrategies，并推导了相应的对冲误差。让我们考虑一个在场外交易市场上持有衍生品合约头寸的代理人。这种情况意味着暴露于某些市场风险因素，在美式障碍期权的情况下，可能涉及最佳的行使规则。为了对冲与该头寸相关的风险，代理人可以通过选择适当的衍生工具来采取静态h边策略，以捕获并反映与其投资组合相关的风险。对冲将是使头寸成为无风险头寸所需的完美对冲的近似值。从[9]的工作开始，作者指出，在Black-Scholes假设下，欧式障碍期权可以通过两个普通期权的静态头寸进行对冲：一个是多头看涨期权，另一个是短期看跌期权，当要对冲的欧式障碍期权是淘汰看涨期权时。

如果达到边界，投资组合将以零成本清算。否则，它的薪酬与对冲投资组合相同。这种头寸最多改变一次的策略称为半静态对冲。然而，市场中的摩擦可能会使套期保值在实践中发挥作用：如果市场不相信布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）的设定，则战略权利会失败，并且在命中时间的两个头寸（淘汰障碍期权的套期保值头寸/香草期权的套期保值头寸）可能会有不同的价格。与此事件相关的成本称为对冲误差。在金融文献中关于静态套期保值的众多贡献中，[4]的工作是研究的第一个例子，表明在Black-Scholes背景下，可以定义单障碍期权和回望期权的静态套期保值。主要结果的一些扩展已提供给i）股息支付标的资产的情况（如[5]），ii）标的资产价格动态的更奇特的分布（如[6]），iii）多重障碍期权（如[5]，[17]）。在他们的研究中，反射原理及其变体起着核心作用，套期保值由普通期权构成，其到期日与待套期的障碍期权相同。在这个方向上，工作【8】为一维扩散情况下的问题提供了一个完整而优雅的数学解决方案。与这种履约价差（c.f.[21]）方法相比，工作[11]提出了日历价差方法，即具有不同到期日的普通期权的静态hed ge。尽管它赞同在壁垒（thebarrier）进行零成本清算的观点，但它坚持期权“跨越”了随机变量的空间。为了确定套期保值期权的静态位置，需要在障碍处提供明确形式的期权价格。

在这方面，论文[12]对其进行了修改，以便在Heston随机波动率设置中工作，[21]讨论了对冲工具的最佳选择，[22]应用了[24]中提出的期权价格的渐近展开。[9]中取得的主要结果可以是“中间”的：它们总结如下：i）简单的时间风险可以分解为敲打操作的积分（相对于成熟度），ii）在Black-Scholes环境下，通过应用Bowie-Carr的敲打利差法半静态对冲公式（见[4]），对每个敲打操作进行对冲，积分表示法意味着这些半静态对冲投资组合由（最小数量的）具有（连续）不同到期日的期权组成，在实践中应该像日历利差法一样进行离散化。本文扩展了上述结果，给出了充分条件，通过考虑相当大的一类马尔可夫基础动力学（定理2.4），将广义时间风险分解为多维市场模型中敲入期权的积分。然后，本文的数学贡献嵌入了高阶半静态套期保值构造的方法建议（定理2.6），解释为一阶套期保值误差的渐近展开。这是通过基于广义时间风险识别、半静态对冲策略、误差计算和程序重新迭代的迭代程序完成的。显示了高阶半静态对冲收敛到精确对冲的情况（定理2.9）。在数学上，我们的结果在很大程度上依赖于parametrix，这是一种构建偏微分方程基本解的经典方法（参见例[13]）。

它可以追溯到[20]，但最近报告了一些引人注目的融资应用（参见[3]、[10]等）。[19]和[23]讨论了障碍期权价格的渐近展开，但据我们所知，静态套期保值的展开尚未深入研究，也没有在一般框架下推导出精确的套期保值（在涉及阿卡伦达价差法的论文中）。对于i）对称性，ii）一维情况，提供并讨论了主要理论结果的说明，其中一阶和二阶套期保值误差以解析闭合形式导出。通过数字征税讨论了通过重新迭代时间风险对冲策略从一阶到二阶的对冲收益的重要性，说明二阶可以将对冲“成本”w.r.t.一阶降低90%。本文的组织结构如下。第2节回顾了半静态套期保值的主要方面，并提供了论文中针对多维情况提出的主要理论结果（定理2.4、定理2.6和定理2.9）。第3节收集了定理2.9中所述的半静态对冲扩张的收敛结果的两个应用，即i）对称多维情况；ii）一维情况。第4节通过讨论数字证据支持的从一阶到二阶套期保值收益的实质性，推导出一维情况下一阶和二阶套期保值误差的解析表达式。

第5节为未来的研究提供了一些结论性的标记和想法。本文主要理论结果的证明收集在技术附录（附录a）中。文献[1]研究了更一般的多维情况。2套期保值时机风险本节讨论了障碍期权半静态套期保值的主要方面，并陈述了本文针对多维情况提出的主要理论结果。让我们考虑一位持有路径依赖型美式阿里尔期权投资组合的代理人：这种头寸意味着投资者必须对冲的时间风险。该时间风险成分与时间τ相关，即通过触发支付事件，标的资产可以跨越障碍的停止时间。与支付时间相关的不确定性必须由代理人监控，头寸风险可以通过s emi静态对冲策略控制和降低。在本论文中，我们将Carr-Picron方法[9]推广到多维情况：所提出的方法提供了一个充分的条件，在此条件下，广义定时风险可以在多维差异市场模型中分解为敲入期权的积分（定理2.4）。然后，对套期保值误差进行了研究，并提出了一种迭代半静态h边（定理2.6）策略\'a la Carr Picron[9]的构造方法。我们展示了如何消除一阶套期保值误差；此外，所提出的方法允许推导高阶套期保值误差：高阶项可以看作是套期保值误差的渐近展开。

讨论了这些高阶半静态对冲到精确对冲的收敛性（定理2.9）。2.1时间风险的广义Carr-Picron公式让我们假设一个多维数学设置，并考虑一个金融市场，其中风险资产和一个非风险资产以恒定回报率r进行交易。therisky资产的价格由一般的强马尔可夫过程X驱动。设τ为与问题中涉及的美式障碍期权的触发事件相关的X的自然过滤的停止时间。为了对冲与风险障碍期权头寸相关的时间风险成分，我们有兴趣在停止时间τ监控并覆盖障碍期权价格的部分ψ。让F∈ Cb（Rd）是期权的报酬，而不是合同到期日。在时间τ<T时，期权isp的价格p（τ）：=e-r（T-τ）E[F（XT）| Fτ]，（1）在风险中性度量下取期望值E，F是支付函数，t期权成熟度，x到期时的预期价格，r经济中的无风险回报率。然后，可以在如下所示的每个一般时间t确定和评估与该头寸相关的时间风险。定义2.1与障碍期权头寸相关的时间t的时间风险取决于停止时间τ<t，定义为：Trt（F，t，τ，ψ）：=e-r（T-t） E[1{τ<t}ψ（t- τ） E[F（XT）| Fτ]| Ft]，（2）其中T是期权到期日，xts捕捉基础价格动态，F（·）是期权支付函数。

这里我们假设应用程序τ→ ψ（τ）∈ C、 ψ代表期权价格的一部分。注意，通过重写方程式2和以下等效公式ontrt（F，T，τ，ψ）=E[E-r（τ-t） e类-r（T-τ）{τ<T}ψ（T- τ） E[F（XT）| Fτ]| Ft]，（3）很明显，付款在时间τ到期，Trtis是付款在时间t的值，即该数量是与时间t评估的停止时间τ相关的时间风险。本文展示了如何建立与停止时间相关的广义时间风险的半静态对冲策略，因此，强调了如何将时间风险分解为最小数量的敲入期权连续体。这可以直观地解释如下。让0≤ s<s<s<···<sn≤ T和∏表示相关分区。假设对于每个si，i=1，····，n，我们有一个带payoff G（si，Xsi）和amount si的敲入选项-si公司-1、然后，假设对于每个到期日si，障碍期权的收益再投资于市场上可用的非风险资产，期权的敲入时间为τ。因此，时间t的投资组合价值为P V∏t定义的asP V∏t：=nXi=1e-r（si-t） e类-r（T-si）E[1{τ<si}G（si，Xsi）| Ft∧τ] （si）- si公司-1） =e-r（T-t） nXi=1E[1{τ<si}G（si，Xsi）| Ft∧τ] （si）- si公司-1） 。我们都考虑P V∏：P Vt：=lim∏的极限对象|→0P V∏t=e-r（T-t） 中兴通讯[1{τ<s}G（s，Xs）| Ft∧τ] Ds表示时间t内连续敲打操作的最小数量的投资组合价值。这一思想被用来表示定时风险的对冲组合。在陈述第一个主要结果（定理2.4）之前，下面报告的假设2.2和引理2.3是有用的。假设2.2让我们考虑以下一组假设。1.