法律不变风险的Fatou性质、表示与推广

（5.1）中定义的函数提供了一个关于LΦ的法律不变性、一致性、现金加性风险度量的明确示例，该度量是范数下半连续的，但当Φ不是.导言中宣布的最后两个结果，即Kusuoka表示的推广和Fatou性质保持扩展结果，将从以下“本地化”引理中导出。当我们回忆起在ageneral-Orlicz空间中工作时，这个结果有一个独立的兴趣∞LΦ中无需为标准密度。引理5.4。设ρ，ρ：LΦ→ (-∞, ∞] 适当，拟恒等式，具有Fatou性质的变律泛函。然后，我们得到ρ=ρ，只要ρ和ρ在L上∞.证据修复任意X∈ LΦ，按比例3.4取一个序列（πn） π使得E[X |πn]o-→ 十、 因为ρ是下半连续的，所以我们有ρ（X）≤ lim信息→∞ρ（E[X |πn]）。集合C=Y∈ LΦ：ρ（Y）≤ ρ（X）是凸的，律不变的，序闭的，并且清楚地包含x。因此，根据Coro llary 4.5，我们得到了E[X |πn]∈ C每n∈ N、 所以thatlim supn→∞ρ（E[X |πn]）≤ ρ（X）。因此，我们推断ρ（E[X |πn]）→ ρ（X）。同样的结论也适用于ρ。自E[X |πn]∈ L∞对于每n∈ N、 根据我们的假设，ρ（X）=ρ（X）。除了前面的引理之外，还需要以下结果来建立Kusuoka表示的推广。引理5.5。Letρ：LΦ→ (-∞, ∞] 是一个具有theFatou性质的真拟凸变律泛函。那么，它对L的限制∞也是适当的，具有法头属性。证据用ρ| L表示∞ρ对L的限制∞取任意X∈ LΦ使得ρ（X）<∞.然后，由于子级集合C=Y∈ LΦ：ρ（Y）≤ ρ（X）是凸的，定律不变，阶闭且包含X，从推论4.5得出E[X]1Ohm∈ C、 所以ρ（E[X]1Ohm) < ∞. 这证明ρ| L∞是适当的。

现在进行序列（Xn） LΦ和X∈ LΦ使Xn→ Xa。s、 和| Xn |≤ Y代表一些Y∈ L∞和所有n∈ N、 自Y起∈ LΦ，因此Xno-→ X入口Φ。因此，我们推断ρ| L∞（十）≤ lim信息→∞ρ| L∞（Xn）这表明ρ| L∞具有FatoupProperty。定理1.3的证明。用ρ| L表示∞ρ对L的限制∞. 引理5.5得出ρ| L∞是一个凸的、律不变的、现金加性风险测度，满足Fatou性质。那么，[14，定理4.62]意味着ρ| L∞（十） =supu∈P（（0,1））Z（0,1）ESα（X）du（α）- γ（u）, 十、∈ L∞,式中γ（u）=supX∈L∞, ρ（X）≤0Z（0,1）ESα（X）du（α），u∈ P（（0，1））。现在，定义ρ′：LΦ→ （）-∞, ∞] 通过设置ρ′（X）=supu∈P（（0,1））Z（0,1）ESα（X）du（α）- γ（u）, 十、∈ LΦ。显然，ρ′是一个凸的、不变律的、现金加性风险度量，满足Fatou性质。此外，由于ρ和ρ′在L上重合∞, 由引理5得出ρ=ρ′。这表明ρ具有所需的表示。定理1.4的证明。根据[13，定理2.2]，ρ允许一个pro-per，凸，律不变的扩展ρ到lth，它是范数下半连续的。用ρ′表示ρ对LΦ的限制，并注意ρ′具有Fatou性质。要了解这一点，请考虑一个序列（Xn） LΦ和X∈ LΦ使xn→ X a.s.和| Xn |≤ Y代表一些Y∈ LΦ和所有n≥ 1、自Y起∈ 五十、 支配收敛定理意味着Xnk·k--→ X，因此ρ′（X）≤ lim信息→∞ρ′（Xn）由ρ的范数半连续性决定。引理5.4给出了唯一性。Rem ark 5.6。与bo unded位置的情况不同，如果我们用范数lowersemicontinuity替换Fatou性质或等价的阶下半连续性，则定理3和定理4不再有效。实际上，假设tΦ不是设ρ为（5.1）中构造的相干、定律不变、范数半连续、现金加性风险测度。然后，ρ不接受Kusuoka型表示，因为它会满足Fatou特性。

此外，请注意，作为现金加法，ρ到L的限制∞, 用ρ| L表示∞, 是标准连续的。应用定理1.4，我们得到了ρ| L的一个凸的、有律的扩张ρ′∞满足法头地产的整个LΦ。现在，ρ和ρ′在L上重合∞但它们并不相等，因为其中一个具有Fatou特性，而另一个不具有Fatou特性。参考文献【1】Aliprantis，Ch.D.，Border，K.C.：《有限维分析：搭便车指南》，第三版。柏林斯普林格（2006）[2]Artzner，Ph.，Delbaen，F.，Eber，J.-M.，Heath，D.：《一致的风险度量，数学》。Finance9203–228（1999）[3]Biagini，S.，Frittelli，M.：《关于Namioka-Klee定理的扩展和风险度量的FatoupProperty》。摘自：Delbaen，F.、R asonyi，M.、Stricker，C.（编辑），《最优化与风险：数学金融的现代趋势》，第1-28页。柏林斯普林格（2009）1-28。[4] Belomestny，D.，Kr¨atschmer，V.：定律不变相干风险测度的中心极限定理。J、 应用程序。概率。49，1-21（2012）[5]Belomestny，D.，Kr¨atschmer，V.：概率扭曲和法律不变一致风险度量下的最优停止。数学操作。Res.（即将出版）。预印本：arXiv:1506.04439（2015）[6]Cheridito，P.，Li，T.：Orlicz心脏的风险措施。数学《金融学》第19期，189-214（2009）[7]Delbaen，F.：《一般概率空间上的一致风险度量》，摘自：Sandmann，K.，Sch¨onbucher，P.J.（编辑）《金融与随机学进展：纪念DieterSondermann的论文》，第1-37页。Springer，Berlin（2002）[8]Delbaen，F.：不可积随机变量的风险度量。数学《金融》19329–333（2009）[9]Delbaen，F.，Owari，K.：关于-Orlicz空格。预印本：arXiv:1611.0621 8（2016）[10]Drapeau，S.，Kupper，M:R isk preferences及其稳健表示。数学操作。第38、28–62（2013）号决议【11】Edga r，G.A.，Sucheston，L.：停止时间和定向过程。

剑桥大学出版社，剑桥（1992）[12]Farkas，W.，Koch Medina，P.，Munari，C：超越现金附加风险度量：当改变数字e失败时。金融斯托克。18145–173（201 4）[13]Filipovi\'c，D.，Svindland，G.：法律不变凸风险度量的规范模型空间是L.Math。《金融学》22585–589（2012）[14]F¨ollmer，H.，Schied，A.：《随机金融学：离散时间导论》。第三个edn。DeGruyter，Berlin（2011）[15]Frittelli，M.，Rosazza Gianin，E.：《在风险度量中排序》，J.Bank。北卡罗来纳州国际泳联。261473–1486（2002）[16]Frittelli，M.，Ro sazza Gianin，E.：法律不变凸风险度量。高级数学。经济。7,33–46（2005）[17]Gao，N.，Leung，D.，Xanthos，F.：Orlicz空间中凸集的闭性及其在风险度量对偶表示中的应用。预印本：arXiv:1610.08806（2016）[18]Gao，N.，Xanthos，F.：无界序收敛和对无概率鞅的应用。J、 数学。肛门。应用程序。415931–947（2014）[19]Gao，N.，Xanthos，F.：关于C财产和w*-风险度量的表示。数学财务（即将出版）。预印本：arXiv:1511.0315 9（2016）[20]Jo uini，E.，Schachermayer，W.，Touzi，N.：法律不变风险度量具有FatoupProperty。高级数学。经济。9，4 9–71（2006）[21]K aina，M.，R¨uschendorf，L.：关于Lp空间上的凸风险测度。数学操作方法。第69、475–495（200 9）号决议【22】K och Medina，P.，Munari，C.：法律不变风险度量：扩展特性和定性稳健性。统计数据。风险模型。31，1–22（2014）[23]K r¨atschmer，V.，Schied，A.，Z¨ahle，H.：法律不变风险度量的比较和定性稳健性。金融斯托克。18271–29 5（2014）[24]K Usouka，S.：关于法律不变的一致性风险度量。高级数学。经济。3，83–95（2001）[25]Munari，C.：衡量现金加成范式之外的风险。

ETHZurich（2015）博士论文【26】O rihuela，J.，Ruiz Gal\'an，M.：Orlicz空间上凸风险测度的Lebesgue性质。数学财务部。经济。6，15–3 5（2012）[27]O wari，K.：单调凸函数的最大Lebesgue扩张。J、 功能。肛门。2663572–3611（2014）[28]Shapir o，A.：关于法律不变风险度量的Kusuoka表示。数学操作。Res.38142-152（2013）[29]Svindland，G.：超出有界风险的凸风险度量。LMU Munich（2008）博士论文【30】Svindland，G.：L上不变（拟）凸风险函数的连续性性质∞.数学财务部。经济。3、39–4 3（2010年）