法律不变风险的Fatou性质、表示与推广

然而，这个结果通常在Orlicz空间上失败。确实，对于X∈ LΦ我们很容易看到E[X |π]∈ L∞ 所有π的HΦ∈ π，因此[X |π]k·kΦ--→ 十、<==> 十、∈ HΦ。特别地，条件（3.1）可以推广到LΦ，当且仅当LΦ=HΦ，或者，等价地，Φ为. （3.1）在一般Orlicz空间中的右公式如下所示。提案3.2。对于每X∈ LΦ和每个Y∈ Lψ+我们有|E[X |π]- X | Y→ 0.证明。首先假设X≥ 我们声称Limk→∞supπ∈∏Ak∈σ（π）EE[X |π]Y 1Ak= 0，（3.2），其中k的Ak={X>k}∈ N、 为了证明这一点，假设（3.2）不成立，因此我们发现ε>0，kn↑ ∞, 和（πn） ∏使Akn∈ 每个n的σ（πn）∈ N令人满意E[X |πn]Y 1Akn> ε表示所有n∈ N、 选择任意N∈ 假设Akn=B1，N∪ · · · ∪ Bln，n带Bi，n∈ πNt1≤ 我≤ ln。自P（Ak）→ 0作为k→ ∞ 和X∈ 五十、 我们可以使用支配收敛来推断e[X1Bi，n∩Ak]→ 0作为k→ ∞, 所以E[X1Bi，n\\Ak]→ E[X1Bi，n]为k→ ∞. Y也是如此。因此，通过传递（kn）的一个方便的子序列，我们可以在不失去普遍性的情况下假设每个kn+1足够大，以至于e[X1Bi，n\\Akn+1]≥E[X1Bi，n]和E[Y 1Bi，n\\Akn+1]≥所有1的E[Y 1Bi，n]≤ 我≤ ln。Wr it e Ci，n=Bi，n\\Akn+1对于所有1≤ 我≤ ln。然后lnxi=1E[X | Ci，n]E[Y 1Ci，n]≥lnXi=1E[X | Bi，n]E[Y 1Bi，n]=EE[X |πn]Y 1Akn≥ε。请注意，Cn={C1，n，…，Cln，n}是所有n的Akn\\Akn+1的可测量分区∈ N、 因此，{Ack}∪SNCn是Ohm. 设G是F的生成σ-子代数。根据前面的不等式，G是F的生成σ-子代数∞ >E[X | G]ΦkY kψ≥ EE[X | G]Y≥Xn公司∈NlnXi=1E[X | Ci，n]E[Y 1Ci，n]=∞.这一矛盾完成了（3.2）的证明。因此，对于任何ε>0的情况，都存在k∈ N la r geenough使得E[E[X |π]Y 1Ak]<ε，对于任何π∈ 带Ak的∏∈ σ（π）。自XY起∈ 五十、 我们可以采用较大的ge来确保E[XY 1Ak]<ε。

利用L上条件期望的范数收敛性∞,我们找到了一个有限的可测划分π∈ ∏使Ak∈ σ（π）和E[X1Ack |π]- X1确认∞< 任意π的ε∈ π重新定义π。现在取任何这样的π，注意∈ σ（π），我们有|E[X |π]- X | Y=E|E[X |π]- X | Y 1Ak+ E|E[X |π]- X | Y 1背面≤EE[X |π]Y 1Ak+ E[XY 1Ak]+E[X1Ack |π]- X1确认∞kY k<2ε+εkY k。这建立了X的断言≥ 最后，取任意X∈ LΦ和注释E|E[X |π]- X | Y≤ E|E[X+|π]- X+| Y+ E|E[X-|π]- 十、-|Y→ 0根据我们刚刚建立的。鉴于Fatou性质与阶下半连续性之间的联系，条件期望的阶收敛是最理想的。但一般来说，它在Orlicz空间上也失败了。提案3.3。让X∈ LΦ。那么，E[X |π]o-→ X in LΦ当且仅当X∈ L∞.证据假设X∈ L∞. 对于每个π∈ π集λπ=supπ′≥πkE[X |π′]- Xk公司∞注意λπ↓ 引理3.1为0。那么，| E[X |π]- X |≤ λπOhm意味着E[X |π]o-→ X英寸LΦ。相反，假设X/∈ L∞. 在不丧失一般性的情况下，假设llk的t P（X>k）>0∈ 设π={A，…，An}是∏的任意成员。很容易看出存在一些Ai，1≤ 我≤ n、 使得P（Ai∩ {X>k}）>0表示所有k∈ N、 比如，Ais本身。立即修复任意k∈ N、 如果P（A∩ {X≤ k} ）=0，那么我们立即看到e[X |π]≥ 否则，我们必须有P（a \\{X>k}）>0。设置c=P（A∩ {X>k}）。自X起∈ 五十、 存在0<ε<c，使得E[| X | 1B]<kC每当B∈ F满意度P（B）≤ ε。通过非原子性，我们可以得到很多可测量的子集B，A{X>k}的bj，使得p（Bi）<ε每1≤ 我≤ j和sji=1Bi=A \\{X>k}。现在，对于任何1≤ 我≤ j、 setCi=（A∩ {X>k}）∪ Bi公司 Asatis fies P（Ci）≤ 2c。以πi为例≥ π使得Ci∈ πi。那么，我们有supπ≥πE[X |π]≥E[X |πi]=P（Ci）E[X1A∩{X>k}+X1Bi]≥2cE[X1A∩{X>k}]- E[| X | 1Bi]≥2ckc公司-kc公司=ka。s

在Ci上。因为cI=1Ci=A，我们推断SUPπ≥πE[X |π]≥ka。s、 在A上，因为k是任意的，所以它遵循supπ≥πE[X |π]=∞ a、 这意味着网络（E[X |π]）没有阶有界尾，因此，没有阶收敛。特别是，（E[X |π]）不收敛于X。尽管前面的结果为负，对于每个Random变量X∈ LΦ我们总是可以选择一系列条件期望X do或der收敛于X本身的条件。提案3.4。对于任何X∈ LΦ存在一个序列（πn） π使得e[X |πn]o-→ X英寸LΦ。证据在不丧失一般性的情况下，假设kXkΦ≤所以E[Φ（2 | X |））]<∞. 对于每个n∈ Ntake千牛∈ N足够大以至于e[Φ（2 | X |）1An]≤n（3.3），其中An={| X |≥ 千牛}。然后取πn∈ ∏满足An∈ σ（πn）和X1Acn- E[X1Acn |πn]∞≤n、 （3.4）我们声称E[X |πn]o-→ X英寸LΦ。为了证明这一点，请∈ N首先请注意Φ（E[2 | X | An]）1An≤ EE[Φ（2 | X |）| An]1An= E[Φ（2 | X |）1An]≤n（3.5），通过Jensen不等式的条件版本。此外，假设（3.4）确保X1Acn- E[X1Acn |πn]Φ≤k1OhmkΦn.（3.6）最后，setYn=X1An- E【X1An |πn】和Zn=X1Acn- E[X1Acn |πn]，注意x- E[X |πn]=Yn+Zn。很明显，设置X=supn∈N | Yn |+Xn∈N | Zn |，我们有| X- E[X |πn]|≤ XF适用于所有n∈ N、 我们声称X∈ LΦ。为了说明这一点，首先请注意kznkΦ≤k1OhmkΦnby（3.6）。因此，（Pmn=1 | Zn |）与t o k·kΦ和thusPn有关，为柯西序列∈N | Zn |∈ LΦ。通过（3.3）和（3.5）以及Φ的凸性，我们得到了[Φ（| Yn）]≤E[Φ（2 | X |）1An]+EΦ（E[2 | X | An]）1An≤对于每n∈ N、 因此，ΦyieldEhΦ的连续性和严格单调性supn公司∈N | Yn|i=Ehsupn∈NΦ（| Yn |）i≤Xn公司∈NE[Φ（| Yn）]≤Xn公司∈Nn=1。这表明supn∈N | Yn |∈ LΦ也是，所以X∈ LΦ。现在，通过马尔可夫不等式，我们得到Φ（ε）P（| Yn |>ε）≤ E[Φ（| Yn）]≤对于任何ε>0和n∈ N、 因此，（Yn）在概率上收敛到0。

自kZnkΦ→ 0，[11，推论2.1.10]意味着（Zn）在概率上也收敛于0。因此，序列（X- E[X |πn]）概率收敛到0。它的一个子序列收敛到0 A.s.，thusin阶，因为即使整个序列（X- E[X |πn]）是以X为界的序。对应于这个特殊子序列的部分序列，我们仍然用（πn）表示，很容易满足E[X |πn]o-→ X英寸LΦ。Orlicz空间中的4个定律不变集在本节中，我们建立了一个关于定律不变集的关键结果，该结果将在以后应用于Orlicz空间中定义的定律不变泛函的水平集。这里，我们说，如果X∈ C表示任意X∈ 对于C的某些元素，具有相同的定律。我们从以下观察开始。对于任何A∈ 当P（A）>0时，考虑“局部”概率空间（A，F | A，P | A），其中我们设置F | A：={B∈ F：B A} 和P | A:F | A→ [0，1]由P | A（B）定义：=P（B | A）。（A，F | A，P | A）也不是非原子的。对于任何X∈ LΦwe表示X | A通过限制X t到A获得的（A，F | A，P | A）上的随机变量。现在(Ohm′, F′，P′）是任何非原子概率空间，回想一下，将x的任何分位数函数应用于(Ohm′, F′，P′），我们得到了(Ohm′, F′，P′）具有与X相同的定律。在“局部化”水平上，我们可以使用相同的想法来证明，给定两个集合a，B∈ 当P（A）=P（B）时，我们总是会找到一个随机变量Z∈ LΦ，因此x1a与Z1B的定律相同。引理4.1。让X∈ LΦ，ε>0和π∈ ∏固定。然后，e x是B∈ F带P（B）≤ εandX，XN公司∈ LΦ具有与X相同的定律，因此，设置Y=NPNi=1Xi，我们有E[Y |π]=E[X |π]，kY 1BkΦ≤ ε、 Y 1Bc∈ L∞.证据在不丧失一般性的情况下，我们假设ε<1和kXkΦ≤ 1使E[Φ（| X |）]≤ 1.让A∈ F应使P（A）>0。

选择N∈ N使得N≥ε和c>0，使得p（{| X |<c}∩ A） >0。此外，选择足够大的c′>0，以确保c′>（N- 1） c，P（{| X |>c′}∩ （A）≤无机氮P（{X{c}∩ A） ，ε, E[Φ（| X |）1{| X |>c′}]≤N、 设置C={| X |>C′}∩ A注意NP（C）≤ P（{X{c}∩ A） 。通过非原子性，存在成对不相交的可测子集B，BNof{| X |<c}∩ A使得所有1的P（Bi）=P（C）≤ 我≤ N、 O观察所有1的BI与C不相交≤ 我≤ N因为c′>c。现在，对于任何固定的i∈ {1，…，N}我们可以使用上述观察来确保zi，Z′i的存在∈ LΦ使得Zibi具有与x1c相同的定律，Z′icha具有与X1Bi相同的定律。设置xi=ZiBi+Z′iC+X1Di，其中Di=A \\（C∪ Bi），可以清楚地看到，Xi=XIA与X1A具有相同的语法。现在确定Y=NPNi=1Xi。此外，设置B=SNi=1Bi A注意P（B）≤ ε。自每1≤ 我≤ n随机变量Z′ich的规律与X1Biand | X |<c a.s.onBi相同，我们可以看到| Z′i |<c a.s.on c.这与包含 A\\C {| X |≤ c′}，表示| XiBc |=| Z′iC∩Bc |+| X1Di∩Bc |≤ （c+c′）1Ohm.这表明Y 1Bc∈ L∞. 接下来，我们声称kY 1BkΦ≤ ε。为了证明这一点，Fix j∈ {1，…，N}首先注意| XjBi |=| X1Dj∩Bi |≤ C1B全部1≤ 我≤ N，i 6=j。在加法中，由于czjbjh与c上的X1Cand | X |>c′a.s.定律相同，我们很容易看到| Xj |=| Zj |>c′a.s.onBj。因此，我们获得了1Bj≤NXi=1i6=j | XiBj |+| XjBj |≤ （N）- 1）c 1Bj+| XjBj|≤c′Bj+| XjBj |≤ 2 | XjBj |。自| Xi |>c’a.s.在Biand Xi上与X1aF在所有1中具有相同的规律≤ 我≤ N、 接下来就是ΦN | Y|B=NXi=1EΦN | Y|Bi公司≤NXi=1E[Φ（| Xi |）1Bi]≤NXi=1E[Φ（| Xi |）1{| Xi |>c′}]=NE[Φ（| X1A |）1{| X1A |>c′}]≤ NE[Φ（| X |）1{| X |>c′}]≤ 1、这产生kY 1BkΦ≤N≤ ε得出索赔证明。假设π={A，…，An}和fix k∈ {1，…，n}。

应用前面的参数，我们可以确保可测集Bk的存在 Akwith P（黑色）≤εnas以及随机变量Xki∈ LΦ，1≤ 我≤ Nk，这样一来，Ack上的a.s.为零，并且具有与X1ak相同的定律，这样，设置Yk=NkPNki=1Xki，我们就得到了kykbkkΦ≤εnand YkBck∈ L∞.现在，设置Y=Pnk=1yk和B=Snk=1Bk。然后P（B）≤ ε和Y 1Bc∈ L∞. 此外，由于yk在Ajfor j 6=k上消失，我们有Y 1B=Pnk=1YkBkand，因此，kY 1BkΦ≤ ε。也就是说，对于每1，E[Y 1Ak]=E[YkAk]=E[X1Ak≤ k≤ n、 所以E[Y |π]=E[X |π]。设置n=Qnk=1nk，每1个≤ k≤ n、 重复每个Xki，1≤ 我≤ Nk，对于nnktimes，我们可以写Yk=NPNi=1X（k）i，其中每个X（k）都是ACK上的零a.s，并且具有与X1Ak相同的定律。很明显，y=NPNi=1Pnk=1X（k）i，每个hpnk=1X（k）i与X具有相同的定律。为了建立关于定律入侵集的关键结果，我们还需要使用以下结果，这些结果包含在[30，引理1.3]的证明的步骤2中。引理4.2。让X∈ L∞, ε>0和π∈ ∏。然后，存在X，XN公司∈ L∞具有与X相同的定律，并且满足NNXi=1Xi- E[X |π]∞≤ ε。提案4.3。设C是LΦ中的凸、范数闭、律不变集。那么，E[X |π]∈ C对于任意X∈ C和任意π∈ ∏。证据让X∈ C、 π={A，…，An}∈ π和fix a rbitraryε>0。对于任何B∈ F和Y∈ LΦ我们有E[Y | Ai∩ Bc]1Ai∩卑诗省- E[Y | Ai]1AiΦ≤（E[Y | Ai∩ 卑诗省]- E[Y | Ai]）1Ai∩卑诗省Φ+E[Y | Ai]1Ai∩BΦ=P（B | Ai）E[Y | Ai∩ 卑诗省]- E[Y | Ai∩ B]人工智能∩卑诗省Φ+E[Y | Ai]1Ai∩BΦ≤P（B）E[| Y |]P（Ai）P（Ai∩ Bc）+kY 1BkΦk1OhmkψP（Ai）k1OhmkΦ+E[| Y |]P（Ai）k1BkΦ每1≤ 我≤ n、 因此，存在0<δ<ε，因此，每当P（B）<δ，kY 1BkΦ<δ和E[| Y |]≤ E[| X |]，我们有nXi=1E[Y | Ai∩ Bc]1Ai∩卑诗省- E[Y |π]Φ<ε。（4.1）这里，我们使用了k1AkΦ→ 0作为P（A）→ 应用引理4.1，我们得到B∈ P（B）<δ和X。

，XN∈ LΦ具有相同的定律a s X且满足[Y |π]=E[X |π]，kY 1BkΦ<δ，Y 1Bc∈ L∞,其中，我们设置Y=NPNi=1Xi。特别要注意的是，Y∈ C的凸性和定律不变性。此外，它遵循| Y |≤NPN | Xi |即E[| Y |]≤ E[| X |]，因此（4.1）成立。现在，考虑非自然概率空间（Bc，F | Bc，P | Bc）。引理4.2在Y | bc和分区{A上的应用∩ Bc，一∩ 状态空间Bc的}，我们得到Y′，是的∈ L∞（Bc，F | Bc，P | Bc）使得所有1≤ j≤ M和nXi=1E | Bc[Y | Bc | Ai∩ Bc]1Ai∩卑诗省-MMXj=1Y′j≤ εP | Bc-a.s.在Bc上，其中E | Bc表示P | Bc下的期望值。直接计算表明，E[Y | Ai∩ Bc]=E | Bc[Y | Bc | Ai∩ Bc]适用于所有1≤ 我≤ n、 所以nXi=1E[Y | Ai∩ Bc]1Ai∩卑诗省-MMXj=1Y′j≤ εP | Bc-a.s.在Bc上。为1设置Yj=Y 1B+Y′jbcf≤ j≤ M、 那么，Yj与Y具有相同的定律，因此，Yj∈ C章程不变性，每1≤ j≤ M、 请注意，MPMJ=1Yj∈ C的凸性nXi=1E[Y | Ai∩ Bc]1Ai∩卑诗省-MMXj=1YjΦ=nXi=1E[Y | Ai∩ Bc]1Ai∩卑诗省-MMXj=1Y′jBc- Y 1BΦ（4.2）≤εk1BckΦ+kY 1BkΦ≤ εk1OhmkΦ+ε。由于E[Y |π]=E[X |π），我们可以很容易地将（4.1）和（4.2）结合起来，得到E[X |π]-MMXj=1YjΦ≤ （2+k1OhmkΦ）ε。最后，通过C的范数贴近度，我们推断出E[X |π]∈ C、 Rem ark 4.4。不，为了得到上述命题，不能直接截断任意X∈ LΦ，然后应用引理4.2，因为X的尾部可能没有小范数。实际上，kX1{| X |>k}kΦ→ 0作为k→ ∞ 精确到X时∈ HΦ。回想一下，LΦ中的每个订单闭合集都是自动范数闭合的。这与命题3.4和命题4.3一起，立即暗示了法律不变集元素在条件期望方面的以下特征。推论4.5。设C是lΦ中的凸、l aw不变、序闭集。

那么，每X∈ LΦ我们有X∈ C当且仅当E[X |π]∈ C表示任意π∈ ∏。我们现在可以导出这一节的主要结果，它表明，对于LΦ中的Law不变量集，阶闭度和σ（LΦ，Lψ）闭度是等价的。当应用于LΦ上的凸、定律侵入泛函的水平集时，这种等价性将立即产生σ（LΦ，Lψ）下半连续的Fa t ou性质的所需特征。推论4.6。对于LΦ中的凸律不变量t集C，以下是等价的：（1）C是阶闭的。（2） C是σ（LΦ，Lψ）闭合的。（3） C为σ（LΦ，Hψ）闭合。（4） C是σ（LΦ，L∞) 关闭证据显然，我们只需要证明（1）意味着（4）。为此，假设C是有序闭的，并考虑一个网络（Xα） C和X∈ LΦ使得xασ（LΦ，L∞)------→ 十、 此外，fix a分区π={a，…，An}∈ ∏。然后，对于任意范数连续线性泛函φ：LΦ→ R、 我们有φE[Xα|π]= EhXαnXi=1φ（1Ai）P（Ai）Aii→ EhXnXi=1φ（1Ai）P（Ai）Aii=φE[X |π].因此，（E[Xα|π]）弱收敛于E[X |π]。自E[Xα|π]∈ 对于推论4中的任何指数α。5由于凸集C是顺序闭的，因此范数闭的，所以它是弱闭的，我们推断E[X |π]∈ C、 根据推论4.5，得出X∈ 证明了C是σ（LΦ，L∞)关闭5主要结果的证明在这最后一节中，我们证明了引言中所述的结果，并导出了定义在Orlicz空间上的泛函和风险度量的各种推论。定理1.1的证明。当且仅当水平集{ρ时，可以直接验证ρ是阶下半连续的≤ λ} 任何λ的订单是否已关闭∈ R、 回想一下，ρ是σ（LΦ，Lψ）（分别是σ（LΦ，Hψ）和σ（LΦ，L∞)) 下半连续当且仅当每个水平集为σ（LΦ，Lψ）（分别为σ（LΦ，Hψ）和σ（LΦ，L∞)) 关闭

由于每个水平集都是凸且律不变的，因此等价性直接来自推论4.6。以下具有Fatou性质的泛函的对偶表示是上述定理和Fenchel-Moreau dua性的直接结果。推论5.1。Le tρ：LΦ→ (-∞, ∞] 是一个具有theFatou性质的真、凸、律不变泛函。那么，我们有ρ（X）=supZ∈LψE【ZX】- ρ*（Z）, 十、∈ LΦ，其中ρ*（Z） =supX∈LΦE【ZX】- ρ（X）, Z∈ Lψ。第一个上确界可以等效地取在Hψ或L上∞.我们将前面的定理指定为现金加性风险度量。这里，我们用M（Lψ）（分别表示M（Hψ）和M（L∞)) 全概率测度集Q overOhm 对于Q是绝对连续的，并且dqdpbelongs to Lψ（分别是Hψ和L∞).推论5.2。Letρ：LΦ→ (-∞, ∞] 是一个适当的、凸的、法律不变的、现金-一个具有Fatou性质的加性风险度量。那么，我们有ρ（X）=supQ∈M（Lψ）均衡器[-X]- ρ*（Q）, 十、∈ LΦ，其中ρ*（Q） =supX∈LΦ均衡器[-X]- ρ（X）, Q∈ M（Lψ）。第一个上确界可等效为r M（Hψ）或M（L∞).定理1.2的证明。首先，假设Φ为. 然后，LΦ=HΦ，并且根据[11，定理2.1.14]），每个阶收敛序列也范数收敛到相同的极限。特别地，everynorm闭集也是顺序闭集。Letρ：LΦ→ (-∞, ∞] 是一个无r m下半连续的真（拟）凸、不变律泛函。由于ρ的每个水平集都是范数闭的，因此阶数闭的，因此ρ是阶下半连续的，或者等价地具有theFatou性质。这表明（2）意味着（1）。为了证明逆蕴涵，假设Φ不是所以LΦ6=HΦ，setC={X∈ LΦ：X-∈ HΦ，E【X】≥ 0}。很明显，C是一个定律不变的锥。此外，它是凸的，因为对于任何X，Y∈ C和λ∈ [0，1]我们有0≤ （λX+（1- λ） Y）-≤ λX-+ （1）- λ） Y型-∈ HΦ，表示（λX+（1- λ） Y）-∈ HΦ。

集合C是一个很容易被视为单音的lso。的确，对于任何X∈ C和Y∈ LΦ带Y≥ X it ho lds0≤ Y-≤ 十、-∈ HΦ，意味着∈ C、 我们认为C是范数闭的，但不是序闭的。要建立正常闭合度，请取（Xn） C和X∈ LΦ满足Xnk·kΦ--→ 十、 因为这意味着Xnk·k--→ 十、 我们看到E[X]≥ 此外，由于HΦ是范数闭合的，因此它遵循kX-n-十、-kΦ≤ kXn公司-XkΦ→ 0该X-∈ HΦ。因此，我们得出结论，X∈ C、 表明C是范数闭的。为了证明C不是顺序闭的，取一个非零的正Y∈ LΦ\\HΦ。此外，取任意λ≥ E[Y]和setXn=λ1Ohm- 最小值（Y，n1Ohm), n∈ N、 X=λ1Ohm- Y、 请注意（Xn） L∞ HΦ以便（X-n） HΦ和E【Xn】≥ λ- E[Y]≥ 每n为0∈ N、 显示（Xn） C、 显然，我们有Xn↓ 因此，Xno-→ X英寸LΦ。然而，X不属于C，否则X-∈ HΦ和0≤ X个+≤ λ1Ohm∈ HΦ意味着X∈ HΦ，因此Y∈ HΦ。这表明C未关闭订单。从我们上面建立的结果可以看出，C是一个律不变的、相干的、单调的LΦ子集，它是范数闭的，但不是序闭的。现在考虑法律不变、一致、现金加性风险度量ρ：LΦ→ [-∞, ∞] 通过设置ρ（X）=inf定义m级∈ R:X+m1Ohm∈ C, 十、∈ LΦ。（5.1）立即可以看到ρ未达到该值-∞ 并且是适当的。此外，由于C是范数闭的，ρ是范数下半连续的[25，推论3.3.8]。然而，由于{ρ≤ 0}=Cby【25，命题3.2.7】，因此ρ不是阶下半连续的，或者，等价地，不具有Fatou性质。这证明了（1）意味着（2），并得出结论。Rem ark 5.3。