法律不变风险的Fatou性质、表示与推广

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Fatou Property, representations, and extensions of law-invariant risk
  measures on general Orlicz spaces》
---
作者：
Niushan Gao, Denny H. Leung, Cosimo Munari, Foivos Xanthos
---
最新提交年份：
2017
---
英文摘要：
  We provide a variety of results for (quasi)convex, law-invariant functionals defined on a general Orlicz space, which extend well-known results in the setting of bounded random variables. First, we show that Delbaen\'s representation of convex functionals with the Fatou property, which fails in a general Orlicz space, can be always achieved under the assumption of law-invariance. Second, we identify the range of Orlicz spaces where the characterization of the Fatou property in terms of norm lower semicontinuity by Jouini, Schachermayer and Touzi continues to hold. Third, we extend Kusuoka\'s representation to a general Orlicz space. Finally, we prove a version of the extension result by Filipovi\\\'{c} and Svindland by replacing norm lower semicontinuity with the (generally non-equivalent) Fatou property. Our results have natural applications to the theory of risk measures.
---
中文摘要：
我们提供了在一般Orlicz空间上定义的（准）凸、定律不变泛函的各种结果，这些结果推广了有界随机变量设置中的著名结果。首先，我们证明了在一般Orlicz空间中失效的具有Fatou性质的凸泛函的Delbaen表示在定律不变性的假设下总是可以实现的。其次，我们确定了Orlicz空间的范围，其中Jouini、Schachermayer和Touzi关于Fatou性质的范数下半连续性的刻画仍然成立。第三，我们将Kusuoka表示推广到一般的Orlicz空间。最后，我们证明了Filipovi \\{c}和Svindland通过用（通常不等价的）Fatou性质替换范数下半连续性得到的扩展结果的一个版本。我们的结果自然适用于风险度量理论。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
--

---
PDF下载：
--> Fatou_Property,_representations,_and_extensions_of_law-invariant_risk_measures_o.pdf (230.14 KB)

2022-5-31 02:05:22 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：fat Presentation Applications Quantitative Presentatio

一般Orlicz空间上法律不变风险测度的Fatou性质、表示和扩展Sniushan Gao、Denny Leung、Cosimo Munari、Foivos-xantosseptember 2017年9月6日摘要我们提供了在generalOrlicz空间上定义的（准）凸、法律不变函数的各种结果，这些结果扩展了有界随机变量设置中的著名结果。首先，我们证明了在法律不变性的假设下，具有Fatou性质的凸泛函的Delbaen表示总是可以实现的，它在一般O rlicz空间中失效。其次，我们确定了Orlicz空间的范围，其中Jouini、Schachermayer和Touzier关于范数下半连续的theFatou性质的刻画仍然成立。第三，我们将Kusuoka表示推广到一般的Orlicz空间。最后，我们证明了Filipovi'c和Svindland的扩展结果的一个版本，即具有（通常不等价）Fatou性质的Replacignorm下半连续性。我们的结果自然适用于风险度量理论。关键词：风险度量、定律不变性、Fatou性质、对偶表示、条件期望、Orlicz spacesMSC（2000）：91B30、60E05、46E30、46A201简介风险度量理论是数学金融领域中一个成熟且仍富有成果的研究领域。本质上，风险度量可以被视为一种规则，将特定的风险指标（通常是资本要求）分配给给定的金融头寸，通常是金融机构的净资本头寸（资产减去负债）。最初，Artzner等人在landmark论文中以有限概率空间为背景进行了艺术创作。

[2] ，该理论由加州莱斯布里奇大学数学与计算机科学系（gao）提出。niushan@uleth.ca)新加坡国立大学数学系(matlhh@nus.edu.sg)苏黎世大学金融和保险中心。munari@bf.uzh.ch)加利福尼亚州瑞尔森大学数学系(foivos@ryerson.ca)Delbaen[7]将其推广到一般概率空间。在一般情况下，人们面临的问题是为潜在头寸选择合适的模型。标准理论是为有界位置而发展起来的，在F¨ollmer和Schied[1 4]中可以找到对这种情况下主要结果的全面描述。然而，金融和保险中最现实的模型涉及无限头寸，这需要在有界设定之外进行数学扩展。Delbaen[7]中已经讨论了对整个随机变量集的可能扩展，Delbaen[8]中也讨论了增益。斯文德兰（Svindland）[29]和凯纳（Kaina）以及鲁申多夫（R¨uschendorf）[21]对勒贝格（Lebesgue）空间的扩展进行了介绍，比亚基尼（Biagini）和弗里特利（Frittelli）[3]以及切里迪托（Cheridito）和李（Li）[6]对奥尔利茨（Orlicz）空间的设置进行了更一般的扩展。Orihuela和Ruiz Gal\'an【26】、Kr¨atschmer等人【23】、Gao和Xanthos【19】、Gao等人【17】以及Delbaen和O wari【9】在Orlicz Spaces中获得了进一步的结果。Frittelli和Ro sazza Gianin【15】、apeau博士和Kupper【10】以及Farkas等人【12】对抽象空间中的风险度量进行了处理。在本文中，我们在非原子概率三元组的背景下工作(Ohm, F、 P）并提供了在一般Orlicz空间LΦ上定义的拟凸、定律不变风险度量的各种表示和扩展结果。特别是，我们不认为Φ满足所谓的条件，在此情况下，LΦ与其Orlicz心脏HΦ一致。

准凸性假设是文献中的标准，反映了多元化原则，根据这一原则，集合头寸的风险应该能够由单个头寸的风险控制。法律不变性假设规定，风险度量仅取决于基础头寸的分布，这也是标准的假设，并受到金融和保险实践中普遍使用的时间序列分析的推动。我们的主要贡献可以分解为以下结果。Fatou性质和对偶表示。自Delbaen[7]以来，已知对于一个properconvex泛函ρ：L∞→ （）-∞, ∞] 以下是等效的：（1）ρ是σ（L∞, 五十） 下部半连续。（2） ρ具有Fatou性质，即Xn→ X a.s.，| Xn |≤ Y代表一些Y∈ L∞==> ρ（X）≤ lim信息→∞ρ（Xn）。在这种情况下，始终可以用双项表示ρ，如下所示：ρ（X）=supZ∈LE【ZX】- ρ*（Z）, 十、∈ L∞,式中ρ*: L→ （）-∞, ∞] 由ρ定义*（Z） =supX∈L∞E【ZX】- ρ（X）, Z∈ 五十、 前面的结果表明，一旦Fatou性质被填满，函数ρ就会接受一个“好”的对偶表示，其中对应的对偶元素属于拓扑对偶的一个可处理子空间。特别是，如果ρ是一个现金加性风险度量，则对偶元素可以用概率度量来识别，概率度量相对于P是绝对连续的。上述结果的外观特征是∞务必满足FatoupProperty。最不可能的是，如Jouini等人[20]所述，所有凸现金加性风险度量∞具有法律不变性的具有法头性质。自Biagini和Fr ittelli【3】和Owari【27】以来，上述等价性是否可以在一般Orlicz空间LΦ的背景下建立一直是一个悬而未决的问题，其中LΦ起着LΦ的作用∞而Lψ，其中ψ是Φ的共轭，起着L的作用。

对于一类特殊的Orlicz空间，Delbaen和Owari[9]给出了一个正结果。Gao et A l【17】最终给出了一个明确的答案，作者证明了当且仅当Orlicz函数Φ或其共轭ψ为.因此，人们很自然会想，通过对底层泛函施加适当的附加假设，是否仍能在一般Orlicz空间的上下文中建立相同的等价性。本文通过表明，在法律不变性的假设下，确实可以证明上述等价性，而不受参考orlicz空间的任何限制，从而有助于这一研究方向。更具体地说，我们证明了以下结果。定理1.1。Letρ：LΦ→ (-∞, ∞] 是一个适当的，（准）凸的，律不变的泛函。那么，下面的陈述是等价的：（1）ρ是σ（LΦ，L∞) 下部半连续。（2） ρ是σ（LΦ，Hψ）下半连续的。（3） ρ是σ（LΦ，Lψ）下半连续的。（4） ρ具有Fatou性质。Jouini等人[20]的一个影响深远的结果确定，f或适当的凸f函数A lρ：l∞→(-∞, ∞] 另外，假设Fatou性质是定律不变的，则Fatou性质自动被范数下半连续的（通常较弱）性质所包含。这一结果是在标准非原子概率空间中得到的，后来扩展到了斯文德兰的任意非原子概率空间[30]。由于所有现金附加风险度量∞isnorm连续，因此L上的凸现金加性风险测度∞法图财产是否具有法律不变性。我们通过刻画Orlicz空间LΦ的范围来扩展Jouini等人[20]的结果，其中上述蕴涵对于每个真的、凸的、律不变量泛函仍然成立。

特别是，我们证明了范数下半连续不再自动暗示Fatou性质，除非Φ满足条件这是我们第二个主要结果的内容。定理1.2。下列语句是等价的：（1）任意真，（拟）conv-ex，律不变泛函ρ：LΦ→ (-∞, ∞] 即norm lowersemicontinuous具有Fatou属性。（2） Φi s.除了上述结果之外，我们还将Kusuoka[24]在相干情况下获得的法律不变风险度量的表示推广到Orlicz空间，并将Fr ittelli和R osazzaGianin[16]推广到凸情况；参见Sha pir o【28】和Belomestny以及Kr¨atschmer【4，5】。这里，我们用ESα（X）表示Random变量X在α水平的预期短缺∈ （0，1）。此外，我们用P（（0，1））表示（0，1）上的所有概率测度集。定理1.3。设ρ：LΦ→ （）-∞, ∞] 是一个凸的、法律入侵的、现金加性风险度量，具有Fatou属性。n，存在一个pro-per-凸泛函γ：P（（0，1））→ (-∞, ∞] ρ（X）=supu∈P（（0,1））Z（0,1）ESα（X）du（α）- γ（u）, 十、∈ LΦ。我们还表明，如果Fatou性质被范数下半连续的较弱性质所取代，上述Kusuoka表示将失败。扩展。在Filipovi\'c和Svindland[13]中，证明了每一个真、凸、不变、范数下半连续泛函ρ：L∞→ (-∞, ∞] 可以唯一地推广到Lp，1上的一个凸的、定律不变的泛函≤ p<∞, 这也是标准下半连续的。正如Kr¨atschmer等人[23]所讨论的那样，这一扩展结果在风险度量的稳健性特性研究中发挥了重要作用；另见科赫麦地那和穆纳里【22】。我们证明了如果用Fatou性质代替Normalower半连续性，则在一般或licz空间中类似的扩展结果仍然成立。定理1.4。

任意真、凸、律不变泛函ρ：L∞→ (-∞, ∞] 具有Fatou性质（o r等价范数下半连续）允许对具有Fatou性质的LΦ进行唯一的真、凸、法律不变性扩展。我们还表明，如果只需要s topreserve范数下半连续，ρ可能不会以唯一的方式扩展到n-Orlicz空间。论文的结构。本文的结构如下。在第2节中，我们回顾了关于Orlicz空间和风险度量的一些基本事实。在第三节中，我们在Orlicz空间上建立了条件期望的一些性质。在第4节中，我们研究了Orliczspaces中的律不变集。在第5节中，我们提供了主要结果的证明以及一些相关的推论。2 Orlicz空间和风险度量在本文中，我们使用度量理论和函数分析中的标准符号，如Aliprantis和Border[1]中所示。我们参考Edgar和Sucheston[11]对Orlicz空间的全面描述。A函数Φ：[0，∞) → [0，∞) 如果它是凸的、递增的且Φ（0）=0，则称为Orlic Z函数。用ψ（s）=sup{ts定义Φ的共轭函数- Φ（t）：t≥ 0}，s≥ 0、如果限制→∞Φ（t）t=∞ （或者，等价地，ψ是有限值的），那么ψ也是一个Orlicz函数，它的共轭是Φ。在本文中，（Φ，ψ）代表满足Φ（t）>0表示t>0和limt的固定Orlicz对→∞Φ（t）t=∞. 请注意，我们对Φ的限制很小，因为它们只消除了LΦ与Lor L重合的情况∞, 在这种情况下，我们的主要结果要么微不足道，要么鲜为人知。修正一个非原子概率三元组(Ohm, F、 P）。在续集中，我们自由地使用以下事实∈ F和任何p，主键≥ 0，PKI=1pi≤ P（A），存在不相交的可测子集。

，Akof A使得P（Ai）=1的π≤ 我≤ k例如，参见【1，第13.9节】。Orlicz空间LΦ：=LΦ(Ohm, F、 P）是所有随机变量X的Banach格（P下的模a.s.相等），使得kxkΦ：=infλ>0:EΦ|X |λ≤ 1.< ∞.范数k·kΦ称为卢森堡范数。由所有X组成的LΦ的子空间∈ LΦsuchthatEΦ|X |λ< ∞ 对于所有λ>0，通常称为LΦ的Orlicz心，并用HΦ表示。众所周知，我∞ HΦ LΦ HΦ是LΦ的范数闭子空间。此外，LΦ=HΦ如果且仅当Orlicz函数Φ为, i、 e.存在t∈ （0，∞) 和k∈ R使得Φ（2t）<kΦ（t）对于所有t≥ t、 我们赋予共轭Orlicz空间LψOrlicz normkY kψ：=supX∈LΦ，kXkΦ≤1 | E[XY]|，Y∈ Lψ，相当于Lψ上的卢森堡无rm。在正则对偶hX下，Y i：=X的E[XY]∈ LΦ和Y∈ Lψ，空间Lψ可与ord er连续对偶（LΦ）识别~nofLΦ，是范数对偶（LΦ）的子空间*LΦ的。Mor eover，Lψ=（LΦ）*当且仅当函数Φ为.称LΦ中的网络（Xα）阶收敛于X∈ LΦ，表示为Xαo-→ 如果在LΦ中存在一个网络（Yα），使得Yα↓ 0 in LΦ和| Xα- X |≤ Yα表示任意α。对于LΦandX中的序列（Xn）∈ LΦ可以很容易地验证Xno-→ X等价于支配几乎必然收敛，即Xn→ X a.s.和| Xn |≤ Y代表一些Y∈ LΦ和所有n≥ 1、A套C LΦ是LΦ中的order er闭的，如果它包含C中元素的每阶收敛网络的极限。众所周知，如果Xαo-→ 那么存在一个序列（αn），使得Xαno-→ 十、 因此，每当C中包含元素的每阶收敛序列的极限时，C在LΦ中是阶闭的。请注意，每阶闭集C都是自动范数闭的。的确，如果（Xn） C在nor mto X中收敛，然后子序列（Xnk）阶收敛到X（参见示例。

[18，引理3.11]），所以X∈ C、 A正确（即，不相同∞) 函数ρ：LΦ→ （）-∞, ∞] 据说拥有Fatou房产→ X a.s.，| Xn |≤ Y代表一些Y∈ LΦ和所有n∈ N个==> ρ（X）≤ lim信息→∞ρ（Xn）。我们说ρ是阶下半连续的，如果子级集{ρ≤ λ} ：={X∈ LΦ：ρ（X）≤ λ} 所有λ的顺序是否关闭∈ R、 这相当于toXno-→ X英寸LΦ==> lim信息→∞ρ（Xn）。换句话说，正如Biagini和Frittelli[3]所述，Fatou性质等价于orderlower半连续性。结果表明，具有Fatou性质的泛函是自动范数下半连续的。如果另外假设ρ是单调的（递减的），即ρ（X）≤ ρ（Y）对于任意X，Y∈ LΦ带X≥ Y，则Fatou性质也等效于abov e的连续性，即ρ（Xn）→ ρ（X）每当Xn↓ X英寸LΦ。A真函数A lρ：lΦ→ (-∞, ∞] 如果ρ（λX+（1）是凸的- λ） Y）≤ λρ（X）+（1- λ） ρ（Y）对于任意X，Y∈ LΦ和λ∈ 如果子级集{ρ，[0，1]和拟凸≤ λ} 对于每个λ都是凸的∈ R、 此外，如果ρ（λX）=λρ（X），对于所有X，我们说ρ是正齐次的∈ LΦ和λ∈ [0，∞). 如果ρ（X）=ρ（Y），每当X，Y∈ 我有同样的法则。在本文中，我们使用现金加性风险度量来说明我们在Orlicz空间上定义的法律不变量泛函的一般结果。回想一下，如果ρ（X+m1）是单一的且满足ρ（X+m1），则ρ被称为现金附加风险度量Ohm) = ρ（X）- 任意X的M∈ LΦ和m∈ R、 如果现金加性风险度量是凸的且正齐次的，则称其为协相关。

两个突出的现金附加风险度量是α级风险价值∈ （0，1），由设置Varα（X）定义：=inf{m∈ R:P（X+m<0）≤ α} ，X∈ LΦ，以及α级的预期短缺∈ （0，1），由α（X）给出：=αZαVaRβ（X）dβ，X∈ LΦ。我们参考上述文献，了解有关风险度量及其财务应用的更多信息。3 Orlicz Spaces的条件期望源于Jouini等人[20]和Svindland[30]，条件期望在研究Orlicz Spaces上的法律不变风险度量中起着重要作用∞. 然而，一旦我们放弃有界位置的设置，ConditionalExpections的一些关键属性就会失败。本节专门收集LΦ上条件期望的各种有用属性，这些属性将允许我们克服这种失败。回想一下，条件期望是Orlicz空间上的收缩，即。E[X | G]Φ≤ 任意X的kXkΦ∈ LΦ和F的任意σ-子代数G（见[11，推论2.3.11]）。在续集中，我们将用π来表示Ohm 其成员具有非零概率，并用σ（π）表示π生成的有限σ-子代数。为了方便起见，我们总是写下E[X |π]：=E[X |σ（π）]。所有这些π的集合∏都是由re-inent指导的，我们写π′≥ 无论何时，只要π′是π的一部分。特别是条件期望家族E[X |π]成为具有定向集∏的网络。L中使用的基本结果∞-案例（见[20]和[30]）记录在下面的引理中。引理3.1。对于任何X∈ L∞我们有e[X |π]k·k∞--→ 十、 （3.1）实际上，f或任何ε>0，通过分区[-kXk公司∞, kXk公司∞] 对于最大长度为ε的区间，考虑X下相应的前像，我们得到了π={a，…，An}∈ π使得每个Ai上的X振荡，1≤ 我≤ n、 最大ε。那么很容易看出，ke[X |π]- Xk公司∞≤ ε表示所有π≥ π。