金融网络关键转换的拓扑数据分析

相关网络作为加权网络。我们在此分析的网络来自于截至2008年2月19日上市的道琼斯工业平均指数股票。我们根据调整后的收盘价Siptq，即xiptq“Sipt”，利用每日收益的时间序列`tq'SiptqSiptq，其中t“1天，指数i对应于个股。我们仅限于2004年1月至2008年9月（雷曼兄弟破产时）的数据。现在，我们确定我们分析的加权网络GpV，Eq。网络的顶点V对应于单个DJIA股票。每对不同的垂直点i，j P V由边e连接，每条边在时间tde处分配一个权重wpe，tq，定义如下：“计算时间范围t上节点i和jat时间t之间的皮尔逊相关系数ci，jptq，byci，jptq“rtτ”t'Tpxipτq''xiqpxjpτq''xjqb'tτ”t'Tpxipτq''xiqb'tτ”t'Tpxjpτq''xjq，金融网络中的临界过渡7其中'xi，'xjdenote xiptq、xjptq在时间间隔rt't、ts上的平均值；计算节点i和j、di、jptq之间的距离“a2p1'ci，jptqq–度量公理满足的事实很容易从相关性属性中得出；分配权重wpe，tq“di，jptq到i和j之间的边e。为了通过Pearson估计量计算相关性，当存在非平稳行为时，有经验表明不允许使用更长的时间范围。因此，在我们的计算中，我们使用了相当短的时间范围T“15；我们还使用算术返回，而不是标准的日志返回。有关不支持这些选择的参数，请参阅[15]。di，jis r0，2s的值范围。请注意，如果节点i和j完全相关，则dpi，jq”0，如果节点完全反相关，则dpi，jq”2。

相关节点之间的边具有较小的权重，不相关/反相关节点之间的边具有较大的权重。由于股票之间的相关性令人感兴趣，因此我们将重点关注d值较低的边。在后续文章中，我们将考虑权重函数的子级集和超级集。权重函数w的每个子级集，在阈值级θP r0，2s，yieldsa子图Gpθq，仅包含0ddi，jdθ的边，即，Gpθq“te”epi，jq | 1'θci，jd1。u当θ较小时，Gpθq仅包含高度相关节点之间的边。当θ增加到临界值？2“1.414214时，低相关节点之间的边将逐步添加到网络中。当θ进一步增加时，网络中会出现反相关节点之间的边。权重函数的每个超级集w“d可被视为双权函数w”2'd的子级集合。该权函数的子级集合Gpθq仅包含di，jě2'θ的边，因此Gwpθq“te”epi，jq'1'ci，jd1'p2'θq.u当θ较小时，Gwpθq仅包含相关节点之间的边。当θ穿过临界值2'？2“0.5857864，低相关节点之间的边逐渐添加到网络中。当θ进一步向最大可能值2增加时，高相关节点被添加到网络中。子级集和超级集产生非常不同类型的网络，它们提供互补信息。我们将在第3.2.3.2节中讨论这一点。相关的持久图n网络。在本节中，我们使用持久同源性来量化在进行临界过渡时相关网络拓扑结构的变化。

为了便于说明，我们在图2中显示了一些相关网络；前三个网络代表的是远离2007-2008年金融危机开始的时间，而后三个图表代表的是危机之前的时间。8玛丽安GIDEA：V1V2V3V5V6V7V8V9V10V11V12V13V14V15V16V17V18V19V20V21V22V23V24V25V26V27V28V29V12V3V5V6V7V8V9V10V11V12V13V15V16V18V19V20V22V23V24V26V29V2V5V7V9V11V12V12V13V17V17V16V17V17V18V18V19V20V21V22V23V24V25V26V27V28V29V1V2V3V5V6V7V8V9V10V11V12V13V14V15V16V17V18V19V20V22V23V24V25V26V28V29V1V2V3V5V6V7V8V11V12V14V16V18V19V20V21V23V24V25V26V28V29V1V2V3V4V5V6V7V8V9V10V11V12V13V14V15V16V17V18V19V20V21V22V23V24V25V26V27V28V29图2。阈值相关网络我们为第3.1节中的相关网络计算维度0和维度1中的持久同源性。我们不考虑高维持久同源性，因为网络非常小，所以高维派系的存在可能是偶然的。第一我们考虑由权函数的子级集W给出的阈值网络“d.图3显示了几个持久图。前三个图反映的是远离2007-2008年金融危机开始的时间瞬间，而下三个图对应的是危机之前的时间瞬间。0维持久同源性提供了有关网络连通性如何随θin值从0增加到2而变化的信息。Ea持久图上的ch黑点对应于图中的一个（或多个）连接组件。每个点的水平坐标为0，因为所有组件都是在阈值θ“0处出生的。点的垂直坐标给出了阈值θ，通过与另一个连接组件连接在一起，连接组件在该阈值θ处死亡。

具有最高垂直坐标（2除外）的dot给出了阈值θ，对于该阈值θ，图形将变得完全连通。2处的点（最大值）表示一旦图形完全连接，随着θ的进一步增大，它将保持完全连接（因此组件永不消亡）。具有较低垂直坐标的点表示由高度相关的节点组成的较小连接组件死亡的阈值，即合并成较大组件。由于不相关或反相关节点之间出现边缘，具有较高垂直坐标的点对应于连接组件的死亡。我们记得，标志着从相关到反相关的临界值θ是1.41。通过查看图3中的图表，我们可以看到，在第一个周期中，具有较高垂直坐标的点集中，在第二个周期中，具有较低垂直坐标的点集中。第一阶段网络中的相关性小于第二阶段。金融网络中的关键转变9这些观察结果可以通过计算时间序列来量化，该时间序列表示时间t的图表与初始时间t的一些参考持久性图表之间的距离。我们在t“10。我们在图4中显示了这一点。我们使用p度的瓦瑟斯坦距离“2.我们注意到，时间序列后半部分的振荡幅度几乎是前半部分的两倍。这表明，当接近临界过渡时，网络的拓扑结构在其连通性方面发生了变化。现在，我们解释了一维持久同源性，如图3中的红色标记所示。标记的水平坐标给出s是网络中循环的出生值，垂直坐标给出了该循环的死亡值。

当循环节点之间的边出现并形成完整的2个隐式（填充三角形）来填充循环时，循环死亡。低坐标点表示存在高度相关的派系。具有更高垂直坐标的标记表示由于低相关或反相关节点之间的边而导致循环死亡。图3中的前三幅图似乎表明，与底部三幅图相比，点的浓度处于较高的值范围。我们还计算时间序列（在p度瓦瑟斯坦距离的t“10“2，在时间t的图和时间t的参考图之间。我们在图4中展示了这一点。时间序列第二部分的振荡比第一部分的振荡小。同样，当接近临界过渡时，网络的拓扑结构在其派系方面发生了变化：相关节点的环数似乎自我稳定。我们现在计算e w的超水平集，即w的子水平集。得到的持久图有不同的解释。从反相关切换到相关的阈值θ的临界值为0.5857864。在持久图中，垂直坐标较低的点对应于反相关/非相关，垂直坐标值较高的点（2除外）表示相关节点之间出现边缘。在persistentdiagram上具有较高垂直坐标的点表示连接组件（或回路）的死亡，当相关节点之间的边被添加到网络时，可能由反相关或低相关节点形成。因此，由持久图确定的同源生成器代表与“正常”市场条件相关的股票集团（与缺乏相关性相关）。

这些生成器的死亡是由于将相关边添加到阈值网络（在维度0中，通过将不同的连接组件连接在一起，在维度1中，通过闭合回路）而导致的。也就是说，持久性图捕获了正常市场条件的损失。我们在图5中显示了一些持久图，在图6.4中显示了0维持久图和1维持久图之间距离的时间序列。结论对持续图和持续图之间距离的分析表明，在2007-2008年金融危机爆发之前，相关网络的拓扑结构发生了显著变化；早期迹象变得明显10玛丽安·吉迪亚：0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.20.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2婴儿死亡率0.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.20.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2婴儿死亡率0.0 0 0.2 0.2 0.8 1.20.0 0 0 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2婴儿死亡率0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.20.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2新生儿0.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.20.0 0 0.2 0.6 0.8 1.0 1.2新生儿0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.20 0.20.4 0.6 0.8 1.0 1.2婴儿死亡图3。持久图（子级别集）0 20 40 60 80 100 1200.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5持久图之间的距离持久图0 20 40 60 80 100 1200.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06持久图之间的距离图4。左：0维持久图（子级别集）之间的距离。

右图：金融网络中一维持久图（子水平集）关键转换之间的距离110.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.20.0 0 0.2 0.6 0.8 1.0 1.2出生0.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.20.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2出生0.0 0 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.0 0 0 0.2 0.6 0.6 0.8 1.0 1.0 2新生儿死亡率0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.20.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2新生儿死亡率0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.01.20.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2婴儿死亡率0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.20.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2婴儿死亡率图5。持久图（超水平集）0 20 40 60 80 100 1200 1 2 3 4持久图之间的距离距离0 20 40 60 80 100 1200.0 0.1 0.2 0.3 0.4持久图之间的距离图6。左：0维持久图（超级别集）之间的距离。右：一维persistentdiagrams（超级别集）之间的距离。12 MARIAN GIDEA：从2007年2月开始（请注意，美国股市在2007年10月达到顶峰）。这些拓扑变化的特点是各种股票之间的相互关联性增加，以及相互关联股票子网络的出现。这些结果与其他研究一致，这些研究断言，危机通常与相关结构和网络拓扑的快速变化有关（参见，例如，[17，18，15，20]）。除了这里介绍的实验外，我们还使用延迟坐标重建方法获得的点云数据集，使用持久同源性分析了同期一些市场指数（如VIX指数）的时间序列。这些测试也显示了关键转变的早期迹象；这些结果将显示在此处。M.G.的AcknowlementsResearch部分得到了AlfredP。

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