金融网络关键转换的拓扑数据分析

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英文标题：
《Topology data analysis of critical transitions in financial networks》
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作者：
Marian Gidea
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We develop a topology data analysis-based method to detect early signs for critical transitions in financial data. From the time-series of multiple stock prices, we build time-dependent correlation networks, which exhibit topological structures. We compute the persistent homology associated to these structures in order to track the changes in topology when approaching a critical transition. As a case study, we investigate a portfolio of stocks during a period prior to the US financial crisis of 2007-2008, and show the presence of early signs of the critical transition.
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中文摘要：
我们开发了一种基于拓扑数据分析的方法来检测财务数据中关键转换的早期迹象。从多个股票价格的时间序列出发，我们构建了具有拓扑结构的时间相关网络。我们计算与这些结构相关的持久同源性，以便在接近临界过渡时跟踪拓扑的变化。作为一个案例研究，我们调查了2007-2008年美国金融危机之前的一段时间内的股票组合，并显示了关键转型的早期迹象。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Dynamical Systems        动力系统
分类描述：Dynamics of differential equations and flows, mechanics, classical few-body problems, iterations, complex dynamics, delayed differential equations
微分方程和流动的动力学，力学，经典的少体问题，迭代，复杂动力学，延迟微分方程
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Physics and Society        物理学与社会
分类描述：Structure, dynamics and collective behavior of societies and groups (human or otherwise). Quantitative analysis of social networks and other complex networks. Physics and engineering of infrastructure and systems of broad societal impact (e.g., energy grids, transportation networks).
社会和团体（人类或其他）的结构、动态和集体行为。社会网络和其他复杂网络的定量分析。具有广泛社会影响的基础设施和系统（如能源网、运输网络）的物理和工程。
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PDF下载：
--> Topology_data_analysis_of_critical_transitions_in_financial_networks.pdf (637.31 KB)

2022-5-31 02:09:55 上传

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关键词：数据分析 金融网 Quantitative Differential Mathematical

金融网络中关键过渡的拓扑数据分析马里安·吉迪亚：摘要。我们开发了一种基于拓扑数据分析的方法来检测财务数据中关键转换的早期信号。从多个股票价格的时间序列出发，我们构建了具有拓扑结构的时间相关网络。我们计算与这些结构相关的持久同源性，以便在接近临界转变时跟踪拓扑结构的变化。作为一个案例研究，Wein调查了2007-2008年美国金融危机之前的一段时间内的股票投资组合，并显示了关键转型的早期迹象。1、简介临界过渡是指复杂系统行为的突然变化，由外部条件的微小变化引起，在经历快速过渡过程（如“蓝天突变”分岔）后，使系统从一个稳态切换到另一个稳态。临界转变的例子无处不在，包括市场崩溃、海洋循环和气候的突然变化、生态系统的状态变化、哮喘发作和癫痫发作等。临界转变理论及其应用的里程碑式论文是[19]。一个具有实际意义的挑战性问题是检测关键转换的早期迹象，即在急剧转换之前识别系统发出的时间序列数据结构的重大变化。在本文中，我们提出了一种基于测量数据拓扑结构的变化来寻找临界转换的新方法。我们考虑可以描述为时变加权网络的系统，并跟踪当系统接近临界过渡时网络拓扑的变化。

我们使用拓扑数据分析工具，更精确地说是持久同源性，提供网络在整个时间演化过程中拓扑的精确表征。我们在经验数据中观察到，随着基础系统接近临界过渡，网络拓扑结构发生了显著的、可测量的变化。我们的方法管道如下。我们的程序的输入是一个时间演化加权网络GpV，Eq，wt:E~nr0，8q，即节点V和edgesE的图，每个边E P E都分配了一个随时间变化的权重wtpeq。在每个时刻t，使用权重函数的阈值作为参数，我们考虑由权重低于该阈值的边组成的阈值子网络。我们计算由该子网络确定的集团复合体的同源性。当我们改变阈值时，一些同源生成器会在很大的值范围内持续存在，而另一些会很快消失。持续性生成2 MARIAN GIDEA：提供有关网络中重要的内在模式的信息，而暂时性模式可能会被视为不太重要或随机的。这些信息可以按照所谓的持久图进行编码，持久图提供网络拓扑信息的摘要。随着时间的推移，网络的拓扑结构会发生变化，相应的持久图也会发生变化。有一个自然度量（事实上，有几个）来测量持久图之间的距离。重要的是要注意，持久图是健壮的，这意味着网络中的小变化会产生在相互距离方面彼此接近的持久图。

我们的程序的输出包括在时间t的持久图和在某个初始时间t的持久图之间测量的一系列距离。我们方法的显著特征如下：（i）我们处理整个输入信号，因为我们不从信号中过滤噪声，（ii）对于加权网络，我们获得所有阈值子网络的全局描述，对于所有可能的阈值；（iii）我们更详细地描述了我们网络的结构，与统计类型方法不同（例如，中心度度量）；（iv）我们提供了一种通过相关持久图之间的距离来比较加权网络的有效方法，（v）对于依赖时间的网络，我们通过持久图之间的距离来跟踪网络拓扑的变化。我们指出，我们在本文中考虑的网络是非常嘈杂的。从隐喻的角度来说，我们在这里试图量化“噪音的形状”。我们通过调查2007年至2008年美国金融危机的金融时间序列来说明我们的程序。我们所考虑的时变网络是道琼斯工业指数（DJIA）中各公司股票收益的互相关网络C“pci，jq；网络的节点代表股票，各节点的权重由距离di，j给出“a2p1'ci，jq。按照上述过程，我们计算了时间t的持续图和初始时间t的参考持续图之间的距离的时间序列。结论是，这些时间序列在关键过渡（即危机峰值）之前显示出显著变化这表明股票相关网络的拓扑结构发生了显著变化。为了计算持久图及其相互距离，我们使用了theR包TDA【10】。2.

Backgrounds简要回顾了持久同源性方法，并描述了如何使用它来分析加权网络的拓扑结构。一些通用参考文献和应用包括[8、16、6、1、2、3、14、13]。2.1。持久同源性。持久同源性是一种计算方法，用于从给定数据集（例如，点云数据集或金融网络中的关键过渡3加权网络）中提取拓扑特征，并根据一些阈值参数（例如，数据点之间的距离或边的权重）对其进行排序。仅在参数的低级别可见的拓扑特征的排名低于在低级别和高级别可见的拓扑特征。对于阈值参数的每个值，构建一个简单的复合体（即，由简单片段构成的空间–几何模板，沿面组合识别）。在我们的例子中，垂直度对应于数据点，简单度由数据点的接近度决定。当阈值参数变化时，相应的单纯形复合物形成过滤（即，单纯形复合物的排序与阈值的排序兼容）。然后，跟踪过滤过程中简单复合体的拓扑特征（例如，连接的组件、“各种尺寸的孔”），并记录每个拓扑特征的第一次出现该特征的参数值（“出生值”）和特征消失的参数值（“死亡值”）。

我们现在提供技术细节。单纯形复形K是一组满足以下条件的不同维数的单纯形tσu：（i）单纯形σP K的任何面也在K中，（ii）任意两个单纯形σ的交点，σP K要么是H，要么是σ和σ的面。给定一个单纯形复形K，我们用HipKq表示第i个同调群，其系数在Z。这是一个自由阿贝尔群，其生成器由一定的i维单纯形链（即非边界的圈）组成。请注意，hipkq“0表示iěm\'1。第i个同源群的生成器解释了维度i处K中的“独立孔”。例如，0维代数生成器的数量等于K的连接组件的数量，1维代数生成器的数量等于“隧道”（或“环”）的数量，二维生成器的数量等于“空腔”的数量等。有关参考，请参见，例如，【12】。K的过滤是P ATh~nF paq的映射：“KaDK，来自A（完全有序）一组参数值ADR到一组K的单纯子复形，满足过滤条件：AdA~nKaDKa。对于单纯形复合物的任何过滤，相应的同源基团也形成过滤aTh~nHipKaq，即ada~nHipKaqDHipKaq。对于ada，包含HipKaqDHipKaq在所有i中诱导一个群同态ha，ai:HipKaq~nHipKaq，ai“Impha，aiq是ha，aiin HipKaq的图像。我们认为，如果γR Hb'δ，bif或任何δa0，则同源类γP HipKbq在参数值a”b处出生。如果γ在kb处出生，则我们说它在参数值a处死亡“d，与bdd一起，如果γ与HipKd'εq中的一个较老的类合并，当我们从Kd'ε到Kd时，对于εa0，也就是说，hb，d'εpγq R hb'δ，d'εi对于任何小的ε，δa0，但是hb，dipγp hb'δ，对于一些小的δa0。

如果γ在kd出生，但从未死亡，那么我们说它在infinity死亡。因此对于同源群筛选中出现的每个发生器γ，我们有一个值bpγq“b和一个死亡值dpγq”d。γ类的持久性或“寿命”是两个值perspγq“dpγq'bpγq之间的差异。过滤F的第i个持久性图定义为多集Piin R，用于“0，…，m，获得如下结果：4 MARIAN GIDEA:0 1 2 3 3 4 0 1 2 3 3 3 4 0 1 2 3 4出生-出生-死亡δ1δ2δ3δ40维1维图1。表示“嘈杂”圆的点云数据集，与简单过滤与一些阈值参数值ΔaΔaΔaδ相对应的复合物。图的底部显示了0维和1维持久性图。在δ处，有8个连接组件，没有一维孔。在δ处，8个相连的组件合并为一个组件，由0维图中的点p1、2q表示，其具有多重性7；此外，一个一维孔也诞生了。δ处没有拓扑变化。在δ处，一维孔被填充并冲模，由一维图中的点p2、4q表示；单个connectedcomponent将永远存在，其表示为.‘ 对于每个类γiwe，分配一个点zi“pbi，diq P Rtogether和一个多重数uipbi，diq；其中，bi是γiis出生时的参数值，dii是γidies时的参数值。点zi的多重数uipbi，diq“pbi，diq等于出生于Bian，死亡于di的类γIth的数量。由于单纯形复合物是有限的，所以这种多重性是有限的。”此外，P包含R的正对角线中的所有点。

这些点表示所有在每个层次上出生和死亡的平凡同源生成器。对角线上的每个点都具有有限的多重性。”持久图的轴是横轴上的出生值和纵轴上的死亡值。图1显示了点云数据集和简单复合物过滤的简单示例的持久图。金融网络中的关键转换5持久图的空间可以被赋予度量空间结构。可以使用的标准度量是度p Wasserstein距离（土方移动距离），pa0。这由DppPi定义，Piq“infφ>>–"yqPPi}q'φpqq}p fifl 1{p，其中求和覆盖所有双射φ：Pi~nPi。当p“8 Wassersteinsistenance被称为瓶颈距离。由于对角线集默认是所有持久图的一部分，因此平面和Piviaφ之间的点配对可以包括不同对角线点和对角线点之间的配对。我们注意到，度p的不同值产生持久图之间距离的不同类型的测量。使用p“8，对应距离测量图中最重要特征（距离对角线最远）之间的距离，通过一些合适的φ进行匹配。使用pě1 large，对应距离dp对重要特征（距离对角线更远）的权重大于对最不重要特征（离对角线更近）的权重。使用pa0small对测量结果的影响正好相反。持久性图的一个显著特性是其健壮性，这意味着初始数据中的微小变化会产生相对于Wasserstein度量彼此接近的持久性图。稳定性结果的本质是，持久图持续依赖于Lipschitz数据。有关详细信息，请参见[5、7、9]。2.2。

加权网络的持久同态。加权网络是由一个图G“GpV，Eq和与其边w:E~nr0，`8q；letθmax相关的权函数组成的一对网络“maxpwq。在续集中，我们将只考虑简单且无向的图。在示例中，选择权重函数是为了将具有相似特征的节点链接在一起。研究加权图拓扑的一个标准方法是通过阈值，即只考虑权重低于（或高于）的边一些合适的阈值，并研究结果图的特征。当然，阈值的选择会导致结果图的拓扑结构有所不同。使用持久同源性，我们可以提取每个阈值图的拓扑特征，并在持久图中表示所有这些特征，根据它们的“寿命”进行排序。我们现在给出技术细节。对于每个θP r0，θmaxs，我们考虑权函数的子级集，也就是说，我们限制到子图Gpθq，它使权w的所有边都小于或等于阈值θ。通过限制连续阈值获得的图具有过滤特性，即θdθù~nGpθqDGpθq。类似地，我们可以通过限制子图Gpθq来考虑超水平集，子图Gpθq使权重的所有边都在阈值θ以上或等于阈值θ。超水平集可以被认为是权重函数w“θmax'w的子水平集。对于每个阈值图Gpθq，我们构造Rips复数（团复数）K“XpGpθqq。这被定义为具有所有完整子图（团）的简单复数将Gpθq作为其面。也就是说，K的0骨架仅由Gpθq的垂直度、所有顶点和边的1骨架（即图形Gpθq本身）、所有顶点、边和填充三角形的2骨架等组成。

高维团6 MARIAN GIDEA：对应于具有相似特征的高度互连的节点群（由权重函数编码）。阈值子图的过滤产生Rips复合体θTh~nKθ的相应过滤：“XpGpθqq；因此，θdθù~nKθDKθ。如前所述，与此过滤相关的同源群满足过滤特性，即θdθù~nHipKθqDHipKθq。从这一点开始，我们可以按照第2.1节中所述的方式计算与此过滤相关的持久同源性和持久图。在第3节中，我们将仅计算持久性维度为0和1的nt图，因此我们详细说明了这些图在阈值网络方面的重要性。0维持久图中的点pθb，θdq具有以下含义：“在阈值θba处，连接的组件诞生，其中组件中的每对节点通过权重θdθb的边路径连接；”在阈值θdt处，两个或多个连接的组件合并为一个，通过将一条或多条加权边θ“θdt添加到阈值网络。一维持久图中的点pθb、θdq具有以下含义：“在阈值θba处，生成了4个或多个节点的循环，其节点通过加权边θdθb以循环顺序连接；注意，3个节点的循环在Rips复合体中生成一个完整的子图（即，一个填充的三角形），它不具有一维同源性；“”在阈值θ“θdone时，由于添加了一条或多条权重θ”θd的边，一个或多个循环被填充的三角形覆盖，从而使相应的一维同源生成器消失。我们注意到，持久同源性在网络中的应用也出现了，例如，在[4，11]中。3.从相关网络中检测临界转换3.1。