经济物理学宏观经济模型

宏观经济学kineticsLet将宏观经济学视为经济空间上的一组经济主体。经济剂可以像粒子一样在经济空间中移动。为了方便起见，将经济主体作为经济粒子或e粒子，将经济空间作为e空间。假设每个e粒子都由l个广泛的（相加的）经济变量（u，…ul）描述为供给和需求、生产函数和资本、消费和价值等。让我们研究反映n个恒定风险集作用的e空间r上的宏观经济学。电子粒子的风险评级在电子空间Rn中起着协调作用。e空间Rnat力矩t上的每个e粒子由坐标x=（x，…xn）、速度ν=（ν，…νn）和广泛的经济变量（u，…ul）描述。经济主体的广泛经济变量是加性的，允许通过概率分布进行平均。密集型经济变量，如价格或利率，无法直接进行平均化。大量广泛的变量，如价值和资本、需求和供给、利润和储蓄、消费和投资等，描述了每个电子粒子的经济和财务表现，是经济系统极端复杂的根源。通常，宏观经济变量被定义为整个宏观经济的所有经济主体的相应值的集合。例如，整个宏观经济的需求等于所有经济主体的总需求和GPD可以计算为所有经济主体的总增加值【22】。让我们引入宏观经济变量作为经济主体对应值的集合，坐标为e空间上的x。假设在x点有N（x）个e粒子。

设点x处粒子的速度等于Д=（Д，…ДN（x））。让我们来描述具有l宏观经济变量的经济学，因此每个e粒子具有l个经济变量（u，…ul）。假设经济变量的值等于u=（u1i，…uli），i=1，。。N（x）。每个张力经济变量ujat点x定义宏观经济变量Ujas点x处N（x）e粒子的经济变量uji之和      对于每个宏观经济变量Ujlet，定义脉冲Pjas的类比      让我们遵循Landau和Lif*****z【33】，在n维e空间上引入经济分布函数f=f（t，x；U，…Ul，P，…Pl），确定观测宏观经济变量的概率Ujand脉冲Pjat点x在时间t处。Ujand Pjard由在时间t处具有坐标x的e粒子的相应值决定。由于e粒子在e空间上的随机行为。分布函数f内的Ujand Pjj平均值允许建立从考虑单独电子粒子的经济变量的近似到忽略电子粒子粒度的宏观经济学类流体动力学近似的过渡。定义宏观经济密度函数Uj（t，x）（1） 脉冲密度Pj（t，x）为   （2） 这允许将密度为Uj（t，x）的e-空间速度νj（t，x）定义为  （3） 密度Uj（t，x）和脉冲Pj（t，x）被确定为坐标为x的独立e粒子相应经济变量的集合的平均值。函数Uj（t，x）可以描述宏观经济e空间的需求和供应密度、资产和债务密度、生产函数和增值密度等。

使用分布函数f=f（t，x；U，…Ul，P，…Pl）可以描述宏观经济变量的任何统计矩，如<Ujm>、经济变量之间的相关性等。操作员<..>通过分布函数f定义平均值。我们使用（1-3）作为工具，建立密度U=（U，…Ul），Uj=Uj（t，x）的描述，作为e空间R上的函数，并开发类似于流体动力学的宏观经济模型。4、宏观流体力学每个宏观经济密度U（t，x），…Ul（t，x）类似于资产和投资，需求和供给在物理流体力学中起着类似于流体密度ρ（t，x）的作用。Suchanalogy允许将Uj（t，x）称为经济流体或电子流体的密度。e粒子的广义经济变量Ujof定义了相应数量的e流体Uj（t，x）。这种类似流体动力学的宏观经济学近似描述了电子流体U（t，x），…Ul（t，x）之间的相互作用，并勾勒出了与多流体流体动力学的相似之处。物理密度和宏观经济密度之间的平行关系允许获得类似于流体动力学的连续性方程和运动方程的电子流体方程【34】。宏观经济密度的连续性方程Ui（t，x），i=1，。。l采取形式  （4） νi（t，x）-电子流体在电子空间上的速度。左侧描述了密度Ui（t，x）通过电子空间RN上的单位体积表面的通量，右侧描述了改变密度Ui（t，x）的因素。由于经济原因，宏观经济密度Ui（t，x）可能会在时间和选定体积在电子空间上的运动过程中发生变化。例如，单位e空间体积中的宏观经济需求可能会因经济增长而在时间上增加，而因经济危机而下降。此外，如果单位交易量朝着风险增长的方向移动，需求密度就会降低。

e空间上需求密度的积分决定了整个宏观经济学的需求，并且由于经济周期的不同阶段，它会在时间上改变其价值。形成宏观经济密度Ui（t，x）的运动方程   （5） 左侧描述了Pi（t，x）=Ui（t，x）Дi（t，x）通过e空间上单位体积表面的通量，考虑到连续性方程。右侧的QD描述了导致宏观经济密度和速度变化的因素。电子粒子之间的经济和金融交易定义了宏观经济变量密度的演变。本文提出了电子空间上电子粒子之间经济和金融交易的局部模型，该模型只考虑了具有几乎相同坐标的电子粒子之间的交易。电子粒子之间经济和金融交易的局部模型简化了宏观经济学的描述。该假设允许描述宏观经济密度的动力学，类似于模拟电子粒子之间的碰撞，并通过共轭宏观经济密度及其位置上的线性微分算子描述因子Qa和Qq。我们在下面定义共轭密度，并在下一节中使用此假设。为了确定右侧因子Qand Qlet，我们概述了不同电子粒子的相同经济变量不会相互影响。例如，电子粒子1的供应并不取决于电子粒子2的供应，而是取决于需求、投资等其他经济变量。此外，电子粒子1的消费并不依赖于其他电子粒子的消费，而是由收入、储蓄、通货膨胀等决定。请说明不同电子粒子的经济变量不相互作用，也不依赖于相同的变量。

让我们忽略不同电子粒子的某些经济变量之间的任何相互作用。这导致宏观经济密度Ui（t，x）缺乏任何自相互作用，我们也没有指出与压力或粘度等物理因素的经济相似性。让我们说明，右侧因素Qand Qin连续性方程和特定宏观经济密度Ui（t，x）的运动方程不取决于由相同变量Ui（t，x）确定的任何因素，而是取决于不同于Ui（t，x）的经济密度Uj（t，x），Дj（t，x）。让我们调用变量Uj（t，x），Дj（t，x），它们确定流体动力学方程右侧的Qand Qfactors，比如变量Ui（t，x）和Дj（t，x），作为变量共轭toUi（t，x）或共轭e-流体。例如，供应可能具有共轭变量，如需求、投资、信贷及其速度。需求可能与供给相结合，反之亦然。假设共轭变量或共轭e流体定义了连续性方程和运动方程的右侧（4,5）。因子Qand Qin方程（4,5）描述共轭电子流体的作用。双共轭电子流体模型是一种最简单的情况，可以导出封闭形式的方程（4,5）。让我们研究这个模型和可能的Qand Qfactors，以获得两个闭式共轭e流体的方程。如下所示，两个共轭电子流体上的方程允许电子流体密度扰动上的导数波方程。e空间上宏观经济变量扰动波传播的存在，为宏观经济建模和描述经济冲击及其后果提供了新的视角。两个共轭电子流体模型流体动力学式（4,5）描述了给定因子Qand Q的电子流体在e空间上的动力学。

让我们研究两个共轭电子流体模型的例子，并展示经济流体动力学近似的可能优势。让我们研究一下投资和利率之间的关系。上面我们称宏观经济密度U（t，x）或电子流体U（t，x）为电子流体U（t，x）的共轭，如果电子流体U（t，x）或其ELOCITYν（t，x）决定因子Qin，Qin为电子流体U（t，x）上等式（4,5）的右侧及其速度ν（t，x）。因子qan和qc可以由一种、两种或多种不同的电子流体Uj（t，x）确定，这使得espace上的宏观经济建模即使在局部近似下也是一个非常复杂的问题。方程（4.5）有两种使用方法：1。研究由给定共轭电子流体函数确定的因子Qand Qd的选定宏观经济密度U（t，x）的演化。这允许描述宏观经济电子流体U（t，x）的动态及其在给定宏观经济环境中的速度ν（t，x）。所有共轭电子流体都是电子流体U（t，x）的外生变量，onesolves方程（4,5）描述了给定右侧因子Qand Q.2内生变量U（t，x）和ν（t，x）的行为。假设电子流体是自共轭的，研究方程（4,5）。例如，电子流体U（t，x）与电子流体U（t，x）共轭，反之亦然。因此，e-fluid U（t，x）上方程（4,5）的因子Qand Qf由e-fluid U（t，x）确定，e-fluid U（t，x）上方程的因子Qand Qf由e-fluid U（t，x）确定。该模型允许以闭合形式获得电子流体U（t，x）和U（t，x）上的类流体动力学方程。方程（4,5）的两种方法都允许研究电子空间上的宏观经济模型。让我们研究第二种情况，并推导两种自共轭电子流体相互作用最简单模型的自洽方程。

这种假设简化了问题，并允许研究宏观经济变量U（t，x）和U（t，x）之间的相互关系。5.1。模型：投资需求-利率让我们研究一下描述投资需求和利率之间众所周知的关系的简单模型。投资需求的增加导致利率增长。利率增长导致投资需求下降。让我们忽略影响投资需求和利率的分配因素，简化核心宏观金融变量之间的关系，得到封闭形式的方程（4,5）。投资需求UI（t，x）是广泛变量，利率ir（t，x）是密集型经济变量。如上所述，我们可以将平均程序（1-3）仅应用于e粒子的广泛（相加）变量。密集型宏观经济变量被确定为两个广泛型宏观经济变量之间关系的比例因子。因此，宏观经济利率ir（t，x）决定了投资成本Uc（t，x）和可用于投资的基金UF（t，x）之间的比例系数。对于UF（t，x）的固定值，固定期限的投资成本UC（t，x）等于：UC（t，x）=ir（t，x）UF（t，x），因此对于可用于投资的固定基金UF（t，x），投资成本UC（t，x）仅与利率ir（t，x）成比例。投资需求UI（t，x）的增加导致利率ir（t，x）的增长，并导致投资成本UC（t，x）的增长。利率上升引起的投资增长成本UC（t，x）ir（t，x）意味着投资需求UI（t，x）的倾斜。将利率ir（t，x）替换为强度变量，将投资成本UC（t，x）替换为广泛变量，考虑到UC（t，x）仅依赖于利率ir（t，x），且基金UF（t，x）为常数。

这就建立了一个包含两种相互作用的共轭电子流体投资需求ui（t，x）-UC（t，x）投资成本的模型。由于上述经济和金融交易是局部的假设，x点的密度Ui（t，x）由共轭变量UC（t，x）确定，可以用微分算子来描述。让这项研究简化通过运算符div和grad描述共轭变量相互作用的情况。假设连续性方程（4）右侧的Qfactor对投资密度函数Ui的需求描述了对投资成本的局部作用，并且与速度νCof投资成本的散度Q~αC成正比νC.投资速度成本的正偏离νC>0描述了供应流量的增长，投资成本密度函数uC相同，投资需求UI增加，因此αC>0。假设投资成本密度函数uci上的连续性方程（4）的Qfactor与投资需求的速度νIof的散度成正比：Q~αI一、投资速度需求正偏离νI>0描述需求流量的来源，以及增加投资成本的来源，αI>0。假设投资速度需求的运动方程（5）的Qfactor与投资密度成本梯度成正比UC:Q ~CUC对投资速度的需求可以沿着投资密度成本UC的正梯度方向下降。昂贵的投资成本提案的流量将降低投资流的需求速度C<0。

假设投资成本的运动方程（5）的Qfactor速度νCis与投资密度的梯度成正比UI:Q~βIu我们的假设意味着投资速度的成本在投资密度u为正梯度的方向上增加。事实上，投资成本流向对投资需求较高的领域一> 0。因此，我们的假设给出了简单的投资需求和投资成本之间相互依赖的模型。我们提醒大家，在我们的模型中，投资成本仅取决于利率ir（t，x）。因此，两种自共轭电子流体的投资需求UI（t，x）和投资成本UC（t，x）的方程式（4,5）仅取决于利率ir（t，x）：          （6.1）      （6.2）      5.2。电子流体密度扰动波动方程在（6.1-6.2）的基础上推导宏观经济波动方程，取投资需求的小扰动Qi和投资密度常数的小扰动Qc，并假设速度νi和νCare很小。出租人：          （7.1）并假设式（6.1-6.2）中Ui0和UC0随时间和坐标的导数与qI、qC、νIand和ДCso的类似导数相比很小，我们可以忽略Ui0和UC0的导数。在流体力学中，类似的近似用于推导声波方程[34]。

小扰动下的连续性方程（6.1）qI，Cinlinear近似：            （7.2）线性近似下的运动方程：                （7.3）从（7.1-7.3）推导qI，qc方程非常简单，我们在此省略：           （8.1）    很容易证明，对于a>4b，存在两个正c1,2>0，等式（8.1）采用双波方程形式         （8.2）双波方程（8.2）描述了波q=q（x-ct）的传播，速度为c equalscor cas，风险增长方向与小风险方向相同。如果系数a<4b，则方程（8.1）允许以时间振幅放大为指数的波解。因此，投资成本的小扰动可能会导致波在e空间上传播，振幅呈指数增长：     对于>0解决方案将逐渐成熟<0将消散。         这些例子表明，在两种相互作用的共轭电子流体模型中，宏观经济小扰动的波幅可能出现指数放大或耗散。上述结果的推导很简单，我们在此省略。然而，即使对于经济密度扰动的简单模型方程，其形式也为双波方程（8.2），对于此类双波方程，其格林函数为两个波动方程的格林函数的卷积。因此，即使是经济学中δ函数冲击的最简单反应也比物理学中更复杂。e空间上波动过程的存在，使得宏观经济波动的产生、传播和相互作用可以描述为宏观经济冲击的可能波动响应。