具有离散红利的亚式期权定价方法

虽然它们不能影响整体行为和收敛速度，但它们的使用旨在降低任何给定设置的绝对方差。对偶变量的方法包括反转用于生成每条轨迹的样本，并生成本质上是镜像的样本。这确保了所有不太可能的高股票增长情况都伴随着亚洲期权定价，离散分割的股票对应的价格相当低，反之亦然。对于从基本轨迹到期权值的映射是单调的期权，这会减少总体估计量的方差。控制变量方法是与期权价值过程相关的过程知识可以用来改进后者的估计的思想的形式化。假设存在一个与optionvalue流程相关的流程，该流程可以使用相同的基本轨迹进行评估，并且具有已知的预期。然后，可以将此过程用作期权价值的控制模拟。对于每个轨迹，控制过程的估计值与其已知期望值之间的差异用于校正相关期权价值过程的估计值。仍需寻找控制流程的候选对象。在算术亚式期权的情况下，提出了密切相关但在数学上更方便的几何亚式期权。这些期权的价值对于高达连续股息收益率的基础债券来说是分析性的，但由于目标是考虑一般股息结构，因此控制权无法直接使用。取而代之的是，使用相同的正态样本模拟成对的轨迹，其中一个未经离散红利修正。

然后将无离散股息的基础上的按年龄计量的亚洲期权用作对照，并假设正相关应保持极大的不受影响。方差减少技术是减少蒙特卡罗估计量方差中的隐式常数的有力工具。然而，轨迹数收敛的0.5阶这一更具问题性的问题通常仍未受到影响。然而，在这两方面都有可能提高性能的技术在于引导随机抽样以艺术上均匀的方式分配点。这可以通过使用低差异序列来为模拟提供数据，而不是使用更常见的伪随机数生成器来实现。低差异（或准随机）序列是确定性结构，其名称来源于差异的概念，非正式地说，差异可以描述为一组点在域中如何“不均匀”分布的度量。等效地，这种差异可以解释为点集显示的聚集量。将添加到低离散度序列中的每个点放置在一起，以最大限度地减少结果点集的差异，从而确保在某种意义上，无论使用的点的数量如何，放置都是“最优的”。有各种各样的低差异序列可用，具有不同的特征。一种常用的类型是Sobol序列，它的生成很容易表示为一种高效的计算算法。算法的初始化和生成过程都需要外部信息，而选择会影响结果序列优化的程度以测量差异。

这一选择绝非微不足道，但作者JoeandKuo（11，12）很有礼貌地将他们关于物质的研究结果提供给公众使用。具有离散分割的亚式期权定价为了获得正态分布的样本，将低差异序列点的坐标输入到一个分布转换算法中，如正态累积分布函数的连续逆算法或Box-Muller算法。关于后一种选择是否会对低离散度序列的分布特性产生不良影响，存在争议[8，13]。为了保持焦点，出于计算效率的原因，以下使用Box-Muller算法。标准蒙特卡罗方法的优点之一是，估计器中的误差是渐近正态的，允许通过重复调用来估计误差本身。然而，对于标准准蒙特卡罗的确定性抽样，这不是一种选择。为了重新获得这种能力，可以将随机性部分地重新引入准蒙特卡罗算法，从而产生通常称为随机准蒙特卡罗（RQMC）的算法。这种随机化可以通过多种方式进行，计算和实现的复杂性各不相同，结果序列的差异也会产生不同的影响。执行这种随机化的一种方法是使用随机移位。与准随机点维数相同的向量在[0，1]上填充均匀变量，并将元素添加到序列中的每个点，只保留分数部分。

然而，需要注意的是，这个过程并没有完全保留低差异序列的所有理想分布性质。2.4实现细节下面详细介绍的实验使用C++编写的顺序实现。所有有限差异实现都将Crank-Nicolsonscheme【2】作为其主要解决方法。然而，已知该模式与类特征条件和跳跃条件的相互作用会导致收敛速度受损[17，6]。为了纠正这种情况，我们使用了建议的解决方案，即将第一步拆分为隐式Euler模式的四个步骤。这种技术被称为Rannacher时间步进，并应用于每个连续性间隔的开始。换言之，在到期日、分割日以及（如果是完整的PDE方法）在到期日。蒙特卡罗时间步进算法是直接求解驱动股票过程的几何布朗运动的基本动力学，即Sti+1=Stiexph（r- δ） （ti+1- ti）+σpti+1- tiZi，其中Tian和ti+1是两个连续的时间点，Z~ N（0，1）。在标准的Black-Scholes框架中，执行这种类型的精确步进的能力意味着，采取额外的步进并不能提高精度。因此，蒙特卡罗方法只涉及股息和红利，没有中间步骤。离散分割的亚式期权定价对于完全PDE有限差分法和蒙特卡罗法，必须确定完全重叠的公司和股息的修正顺序。从时间顺序上看，所使用的方法在亚洲监测之前应用股息支付，而反向流动有限差分方法则将其颠倒过来，以获得一致的结果。Curran近似的实现基于Haug[9]的描述，并假设等距监测数据。

这种近似对非等距安置的影响是下文研究的问题之一。监控区间内的离散股息功能也仅允许从分割日后的分割开始复利，这一事实通常被认为具有非常小的影响。3结果和讨论3.1测试设置TAIL eq 0.9753 0.9781 0.988 0.9836 0.9863 0.9890 0.9918 0.9945 0.9973 1 TAIL neq 0.9644 0.9671 0.9699 0.9726 0.988 0.9836 0.9863 0.9918 1完整eq 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1完整neq 0.114 0.203 0.295 0.445 0.551 0.692 0.710 0.778 0.932表2：监测设置的离散监测时间通常为0.0548 0.3048 0.5548 0.8048 0.23900.4890 0.7390 0.9890大小2.1 1.9 2.051 1.949表3：股息设置的离散股息支付时间和大小为了了解解算器的特征，使用了一组可变期权设置。以下情况将根据计划标记为“尾/全”—“无/早/晚”—“eq/neq”，其中字段具有以下含义：o“尾/全”—在亚洲尾或整个期权寿命期内安排的期权o“无/早/晚”—股息分配和存在o“eq/neq”—等距或非等距固定。设置详细信息如表2和表3所示，分别概述了监控时间和股息时间以及相关大小。尾部eq场景使用最后10个日历日进行监控，而尾部neq场景使用带离散分割的亚洲期权定价，并在监控间隔内包含10个工作日和两个周末。

选择完整的neq监控日期没有特别的理由，除非最近的股息设置中每次股息前后的股息数量与等距情况一致。以下参数贯穿始终o利率：每年5%o股息收益率：每年2%o波动率：每年40%o到期日：1年o支付和行使：欧亚看涨期权o执行价格：100 arb。单位。离散股息是完全绝对值，其值（以任意单位表示）[2.1、1.9、2.051、1.949]。由于完整的PDE有限差分方法仅包括应用于原始数学问题的标准数值技术，因此其在×10×10grid上的结果用作所有误差测量的参考。因此，对于完整PDE方法给出的错误是自参考的。因此，为了论证其作为参考的正确性，需要对收敛到相同值的蒙特卡罗方法进行证实，并且必须从整体的角度来看待讨论，才能认为其是准确的。基于有限差分的解算器的规定误差以参考值的分数表示，忽略误差的极性。给定的值是股票区间[0.6K，1.4K]中的最大相对误差，其中K是出击价格。对于蒙特卡罗方法，只考虑股票价格等于执行价格的值，并给出估计量的标准差作为误差度量。

因此，如果不对确定性误差和概率偏差之间的转换率进行判断，则无法直接比较有限差分解算器和蒙特卡罗解算器。n 1 2 3 4P 0.682689 0.954500 0.997300 0.999937表4：误差在标准偏差倍数内的概率标准偏差数nσSt与误差在其内的概率P之间的对应关系(-表4中给出的nσstd，nσstd）可用于确定所需的标准偏差大小。通过对蒙特卡罗估值器进行10次抽样，生成标准偏差，与完整的PDE FINITEASIAN期权定价提供的参考值相关，采用离散分割法显示S1E-071e-061e-050.00010.0010.01100 1e+03 1e+04股票节点相对错误数股票节点相对错误数二次收敛1e-081e-071e-061e-050.00010.001100 1e+03 1e+04平均节点相对错误数平均数收敛节点相关错误二次收敛1e-081e-071e-061e-050.00010.001100 1e+03 1e+04相对错误时间点数收敛相对错误二次收敛图4：完整PDE FD方法（尾部早期eq）差异解算器的收敛顺序。所示相对标准偏差的表达式为σstd，rel=Vrefσstd=VrefsPi=1（Vi，MC- Vref）- 1，其中Vrefi是参考值，Vi，MC，i∈ [1，10]是蒙特卡罗估计的独立样本。分母中减去1就是贝塞尔对样本方差估计偏差的校正[19]。3.2收敛特性完整PDE有限差分解算器的所有三维收敛为二阶，如图4所示，用于tail-early-eq。

未检查的尺寸固定在10个节点上，以隔离每个尺寸的误差。从收敛的角度来看，这种行为在所有测试场景中都是一致的，只有隐式常量发生变化。使用假设误差应在最大误差维度的启发式方法，这些图还得出了该场景中股票：平均值：时间节点的比率为4:2:1。在监控区间相似的情况下，这一比率保持合理不变（引入股息将其略微调整为10:6:3）。对于在其整个使用寿命期间进行监控的选项，10:3:3的比例也可以以类似的方式找到。图5显示了基于Curran的tail early eq求解方法的收敛行为-这种情况与近似的假设相互作用良好。每个维度中的错误如上所述进行隔离。

再次，观察到所有维度的二阶收敛，直到离散分割的Differasian期权定价S1E-061e-050.00010.001100 1e+03 1e+04相对错误股票节点数收敛股票节点数相对错误二次收敛1e-061e-050.0001100 1e+03相对错误时间点数收敛时间点数相对错误二次收敛图5：收敛顺序基于Curran的FD解算器（tail early eq）0.001 0.01 0.1 1 100 1000 10000相对标准偏差轨迹收敛数，蒙特卡罗方法标准蒙特卡罗标准，对偶，控制准蒙特卡罗夸斯蒙特卡罗，控制100 1000 10000 100000 0.001 0.01 0.1 1 1时间消耗（美国）相对标准偏差性能，蒙特卡罗方法标准蒙特卡罗标准，相反，控制准蒙特卡罗-卡洛斯蒙特卡罗，控制图6：收敛，蒙特卡罗变量的性能（尾部早期等式）在近似值和完全偏微分方程解之间的收敛值占主导地位。

由于所涉及的近似值，这种差异在很大程度上取决于所考虑的情况，下面的大部分论述将探讨近似值在不同的选项场景中的表现。对于蒙特卡罗变量，首先要考虑使用哪种类型。图6显示了以下蒙特卡罗配置的尾部早期eq的收敛性和性能行为o无方差减少的标准蒙特卡罗o有对偶变量和控制变量的标准蒙特卡罗o无方差减少的随机准蒙特卡罗o有控制变量的随机准蒙特卡罗。观察到的结果——控制变量RQMC方法几乎无一例外地表现出优越的行为——在整个测试过程中得到一致的发现。因此，将使用此方法生成蒙特卡罗方法的结果。应该提到的是，基本RQMC方法的收敛速度略大于控制变量校正RQMC方法的收敛速度。标准RQMC解算器的错误为O（N-0.79），而受控RQMC解算器的为O（N-0.63）-两者都在QMC的容量范围内[7]。因此，尽管采用离散分割的君士坦丁堡期权定价大幅降低，S1001E+031e+041e+051e+061e+071e+081e-06 1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1时间消耗（美国）相对标准偏差相对标准RQMCRQMC的时间消耗，控制图7：控制变量版本的标准与受控RQMC（neq后期）术语的行为，对于足够多的轨迹，标准RQMC解算器在性能方面超过了它，如图7所示。