具有离散红利的亚式期权定价方法

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英文标题：
《Approaches to Asian Option Pricing with Discrete Dividends》
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作者：
Jacob Lundgren, Yuri Shpolyanskiy
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  The method and characteristics of several approaches to the pricing of discretely monitored arithmetic Asian options on stocks with discrete, absolute dividends are described. The contrast between method behaviors for options with an Asian tail and those with monitoring throughout their lifespan is emphasized. Rates of convergence are confirmed, but greater focus is put on actual performance in regions of accuracy which are realistic for use by practitioners. A hybrid approach combining Curran\'s analytical approximation with a two-dimensional finite difference method is examined with respect to the errors caused by the approximating assumptions. For Asian tails of equidistant monitoring dates, this method performs very well, but as the scenario deviates from the method\'s ideal conditions, the errors in the approximation grow unfeasible. For general monitoring straightforward solution of the full three-dimensional partial differential equation by finite differences is highly accurate but suffers from rapid degradation in performance as the monitoring interval increases. For options with long monitoring intervals a randomized quasi-Monte Carlo method with control variate variance reduction stands out as a powerful alternative.
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中文摘要：
描述了在具有离散绝对股息的股票上进行离散监控算术亚式期权定价的几种方法及其特点。强调了具有亚洲尾的选项的方法行为与在其整个生命周期内进行监控的选项的方法行为之间的对比。收敛速度已得到确认，但更关注的是准确度区域的实际性能，这对于实践者来说是现实的。结合Curran的分析近似和二维有限差分法，研究了近似假设引起的误差。对于等距监测日期的亚洲尾部，该方法表现得非常好，但随着情景偏离该方法的理想条件，近似误差变得不可行。对于一般监测，通过有限差分直接求解全三维偏微分方程具有很高的精度，但随着监测间隔的增加，性能会迅速下降。对于具有长监测间隔的选项，带有控制变量方差减少的随机拟蒙特卡罗方法是一种强有力的替代方法。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Approaches_to_Asian_Option_Pricing_with_Discrete_Dividends.pdf (493.87 KB)

2022-5-31 03:22:44 上传

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关键词：亚式期权定价 亚式期权 期权定价 Practitioner Quantitative

具有离散红利的亚式期权定价方法*Jacob Lundgren+，Yuri Spolyanskiy2017年2月6日AbstractThe Methods and characteristics of discrete monitored算术亚洲期权的定价方法和特点，适用于具有离散绝对股息的股票。强调了具有亚洲尾的期权的方法行为与在整个寿命期内进行监控的期权的方法行为之间的对比。收敛速度是确定的，但更关注的是准确度方面的实际表现，这对于实践者来说是现实的。结合Curran\'s分析近似和二维有限差分方法，针对近似假设引起的误差，检验了一种混合方法。对于等距监测日期的亚洲尾部，该方法的性能非常好，但由于场景偏离了该方法的理想条件，近似值中的误差变得不可行。对于一般监测，通过有限差分直接求解完整的三维偏微分方程是非常精确的，但不会随着监测间隔的增加而导致性能快速下降。

对于具有长监测间隔的选项，带有控制变量方差减少的随机拟蒙特卡罗方法是一种强有力的替代方法。*这项工作部分依赖于作者之一（Lundgren）与乌普萨拉大学（Uppsala University+ITIVITI，www.ITIVITI）合作完成的论文项目。comITIVITI，www.ITIVITI。com；俄罗斯圣彼得堡ITMO大学具有离散分割的亚洲期权定价历史修订日期作者描述1.0 06.02.17 JL，YS created1.1 02.03.21 JL，YS Curran FD numericalscheme描述中更正的详细信息，结果不变1简介亚式期权支付类型的概念在于，支付功能取决于基础资产平均值的一些概念。因此，理解平均值的意义决定了所考虑的亚式期权的具体类型。虽然使用几何平均值可以产生方便的数学，但算术平均值在实践中往往更受欢迎[4、5、21、9、15]。另一个主要区别在于平均数所依据的信息——监测。具有持续监控的期权可以作为症状案例进行研究，但实际上交易的期权往往有一组离散的监控日期或类型。call和put变体之间的通常区别适用于无需修改的情况。履约价格可以是固定的，也可以是浮动的，后者使用的是到期时的股票价格。亚洲对多个潜在样本的依赖往往是一个非常可取的特征，因为它大大降低了人们对故意操纵价格的敏感性。此外，如果参与者已经暴露于特定资产在一段时间内的变动，亚洲期权可以帮助准确对冲该风险【21】。从数学角度来看，算术亚式期权是一种笨拙的构造。

在离散监测的情况下，其Payoff函数涉及一系列相关对数正态变量，这不可能表示为任何当前已知的分布[4]。目前还没有找到精确解析解的方法，而诉诸近似或数值方法是唯一可用的替代方法。在已知的分析近似值中，Curran\'sapproach[3]被认为是相当精确的，正如Haug[9]所提到的那样。其他近似值也可以在豪格的书中找到。Lord在他的论文[15]中推导了算术亚式期权价值的分析界限。至于期权定价的标准数值方法，它们在不同程度上受到亚洲支付结构额外复杂性的影响。本文的论述将围绕具有单一基础和一般股息结构的离散监控、固定行使算术平均亚式期权的定价展开。监测日期的位置仍不明确，但重点将放在仅作为亚洲尾部监测的选项上，即在期权到期日附近的一组监测日期。这类尾部的典型例子是，在每个亚洲期权定价中使用离散分割监控日期，直到（包括）到期日的最后10个日历日或营业日。考虑到一般股息结构，特别是由基础证券分割的离散股息结构，是一个复杂的问题，在之前关于相关主题的大多数论述中都没有解决。解析近似法无法处理离散股息。虽然有几篇论文提到并在理论上处理了亚式期权的数值方法[5，21]，但他们的结果并没有讨论一般股息对收敛性或绩效特征的影响。

Veˇceˇr考虑了离散股息，但他的理论仅适用于与基础价格成比例的股息，而不是预先确定的股息金额[20]。本文动机的一个重要部分是对与一般离散划分相关的问题以及由此对数值解方法的影响感兴趣。实际目标是揭示在有无离散红利的情况下都能提供高计算性能的方法。另一个可取的特性是dividendcorrection对周围算法的影响最小，从而简化结果一致性的实现和测试。1.1数值复杂性对于晶格方法来说，遇到分形破坏了复合的基本特征。通常，许多期权的价值过程的马尔可夫性大大降低了格方法的计算和存储复杂性。引入亚洲监测日期将使该属性无效，因此，在某个地点存在的节点将生成通常不会重新连接的单个树。这种状态空间中的爆炸使得该方法在计算上难以接受。有人提出【10】，丢弃部分空间，并在需要时通过插值创建丢失的信息是可行的解决方案。以大致相似的方式，修改Black-Scholes部分微分方程（PDE）以解释亚洲的支付效应，包括引入额外的空间维度【5，21】。因此，有限差分法也可以缓解复杂性的严重增加（如果通常不太具爆炸性的话）。标准网格结构在平均空间维度上进行扩展，创建三维离散问题域。在离散监测的情况下，平均维度不同级别的相互作用与监测瞬间隔离。

因此，该方法可以解释为一组独立的有限差分方法，用于解决标准二维Black-Scholes方程的离散化问题。然后将交互作为跳转条件实现，再次使用插值根据需要重建不可用的数据。还提出了一些PDE方法[18，20]，以避免维数增加的问题，从而提高计算效率。不幸的是，这些技术不能完全覆盖任意的离散股息。蒙特卡罗方法的优势之一是其对模型复杂性的弹性【13】。因此，期望它能与更为严格的数值方法相竞争，并不是完全没有根据的。该方法本身不需要太多的调整就可以对这些产品进行估价，本质上是一种离散分割的期权定价方法，只需让每条轨迹跟踪其在上市日期的运行平均值。这种灵活性的代价是相对平庸的收敛速度，这也阻碍了大多数改进尝试。伴随着收敛速度的Implicit常数是一个可行的目标，许多方差缩减技术已经被开发出来，以使其最小化[7]。为数不多的可能影响蒙特卡罗估值器收敛速度的方法之一是用低偏差序列代替轨迹生成中的随机抽样。关于拟随机序列的替代标记，该方法通常被称为拟蒙特卡罗。

所有蒙特卡罗方法都可以以一种前瞻性的方式进行扩展，以考虑离散股息，而计算时间的增长很小。1.2贡献概述本文对具有一般股息结构的算术亚式期权定价的三种方法进行了详细描述。如Zvan等人所述，使用完整PDE的有限差分解决方案【21】提供了一些Arobast、naive解决方案，以检查其他方法的一致性。概述了一种将标准二维Black-Scholes偏微分方程与Curran分析近似相结合的最近的有限差分方法[14]，并对其进行了进一步扩充，从而提供了一个显著更快的近似解。最后，蒙特卡罗方法提供了一种结构简单的替代方法，该方法在很大程度上不受模型复杂性的影响。从一致性、收敛性和计算复杂性的角度对这些方法进行了研究，得出了何时使用eachone的特征。虽然基于Curran的方法本质上不会影响一致性，但发现它可以快速提供高度准确的近似值，从而符合其假设。随着监测间隔的增长，全偏微分方程方法的计算复杂性急剧增加，使得它在尾部类型设置之外成为一个弱候选，尽管收敛性很强。蒙特卡罗方法无论期权特征如何，其表现都是一致的，因此，对于其他方法的特例中未涵盖的期权，蒙特卡罗方法的使用提出了强有力的论据。2数值方法2.1完全偏微分方程有限差分将离散的亚洲函数引入Black-Scholes偏微分方程，将模型域扩展到一个额外的空间维度，代表运行平均过程[5，21]。

在监视日期之间，PDE保持不变，因为运行平均进程的级别之间没有交换任何信息。同时，没有套利的论点意味着期权价值离散分割的亚洲期权定价s0t1t2t3t4=TtASFigure 1：完整PDE FD解算器的结构必须在筛选前与筛选后相等，并具有适当修正的运行平均水平。这将创建一个在生效日期应用的跳转条件，结果过程如图1所示。类似的条件用于离散股息。由于股息必然伴随着相同金额的股票价值下跌，因此没有套利再次意味着期权的价值作为基础股票的函数必须相应地转移。由于有限差分网格的结构，通常无法获得对跳跃条件进行校正所需的值。可以通过插值来重建这种截断信息的近似值，插值将在重心拉格朗日插值点之前进行【1】。生成的PDE采用基本Black-Scholes PDE的形式，并带有运行平均过程的附加参数：五、t+σS五、S+（r- δ） S五、S- rV=0，其中V（S，A，t）是股票价值S的期权价格和当前算术平均值A在超过监控日期ti的累计值≤ 时间t时，σ是波动率；r是利率；δ是股息（便利）收益率。在第一个监测日期t之前，A为零。

到期时的终端条件由支付函数Φ（ST，at）给出：V（ST，at，T）=Φ（ST，at）。这些函数特定于合同类型：调用或put，即Φcall（ST，AT）=max（AT- K、 0），Φput（ST，AT）=最大值（K- AT，0），其中K是执行价格。具有离散分割的亚式期权定价-表示第n次筛选前的一个非常小的时间和t+筛选后的一个非常小的时间，平均水平之间的相互作用由跳跃条件v处理S、 At+，t+= 五、S、 （N）- 1） 在-+ 序号，t-,让相同的符号表示大小为D的离散dividend的周围环境，第二个跳跃条件是vSt+、A、t+= 五、St公司-+ D、 A，t-.2.2混合Curran有限差分0td-t1t2t3t4=tCurrantas图2：之前已经描述了基于Curran的FD solverAn方法的结构[14]，用于有效估计亚洲期权的价值，其中任何离散股息支付都是在第一个监控日期之前执行的。其核心是Curran[3]提出的近似值，该近似值在几何平均值上引入了一个条件，以获得对未支付离散股息的股票的算术亚洲期权价值的估计。通过建立一个标准的Black-Scholes PDE，在最后一次股息支付时到期，可以在首个监测日期之前考虑此类股息。然后使用近似值生成终端条件，并使用有限差分法求解当前时间的值。解决方案流程如图2所示，带有tD-表示最终股息支付。另一个近似值允许监控间隔内的绝对值离散除数。假设股息与罢工相比很小，其影响可以转移到罢工价格。

LetD是在监控间隔内的tD+时间到期的绝对值离散股息支付。表示为t，t，t电影的时代。让N进一步表示监控日期的总量，并用离散股息影响福斯塔斯期权定价，从而影响股息。在固定利率r和股息收益率δ的情况下，可以通过提高执行价格Kshift=DNNXi=naffe（r）来补偿股息效应-δ） （ti-tD+，即复合股息减少未来现货价格最终算术平均下跌的金额。这忽视了股息对股票过程动力学的影响，这就引入了错误。此错误的大小是以下检查的因素之一。当股息出现在监控间隔内时，使用Curran近似值的初始化在第一次筛选时完成，而差异求解器从这一点开始。2.3蒙特卡罗解算器的结构图3：蒙特卡罗解算器的结构在蒙特卡罗方法的情况下，平均维数的跟踪非常简单。如图3所示，每个轨迹都保持一个运行平均值，当到达筛选日期时更新该值，但没有引入新的依赖结构。因此，该方法的整体复杂性和固有的并行性都不会受到很大程度的影响。然而，该方法令人失望的收敛特性仍然是一个问题，即简单性和对复杂情况的适应性的代价。为了减少蒙特卡罗估计量的方差，人们开发了各种各样的方差减少技术[7]。